CC BY
42
УДК 621.813
ДИНАМИЧЕСКИЙ ПОДХОД К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ В СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫХ УПРУГИХ СИСТЕМАХ НА ПРИМЕРЕ РЕЗЬБОВЫХ СОЕДИНЕНИЙ
© 2006 М И. Курушин, А.М. Курушин
Самар ский госу дар ственны й аэр окосмический у нивер ситет
Если по принципу Даламбера динамику упругих систем можно рассматривать как статику с учетом сил инерции, то можно и наоборот, статику рассматривать как динамику, но при нулевом значении сил инерции. Что мы и предлагаем в данном исследовании на примере статически неопределимых резьбовых соединений. Такой обобщенный подход помогает находить усилия и напряжения в очень сложных упругих системах, в том числе и при динамическом их нагружении.
Рассмотрим двухмассовую статически неопределимую упругую систему в условиях динамического нагружения обоих масс (рис. 1). На обе массы одновременно независимо действуют усилия ¥$) и ¥(). Дифференциальные уравнения движения масс в упругой
системе
I 2
m,
ш„
,£У.
dt2
¿2У2
Л2
= ад - (с + С2) • У ! + С2 • У2,
= ВД - (с 2 + С3) ^ У2 + С 2 ^ УГ
Рис. 1. Двухмассовая статически неопределимая упругая модель
Р10 - (С1 + С2 ) ^ Уі + С 2 ^ У2 = 0,
Р20 - (С2 + С3) • У 2 + С 2 • У і = 0
и решать систему линейных уравнений с двумя неизвестными перемещениями масс. В результате решения находим
У
У2 =
Р10 • (С2 + С 3 ) + Р
2 0
С
С
+ С 1 • С 3 + С 2
Р10 • (С2 + С3) + Р20 • С2 С1 + С2 Р10
С,
С2 + С1
С3 + С2
С
С
С
Пусть усилия изменяются гармонически
Р1(0 = Р10 • С^( Ш1 •t), F2(t) = Б20 • соб(ш2 • t).
Для правиль ного опр еделения у силия в элементах упругой системы, естественно, не-обход имо произв одить решение приведенных дифф ер енциальных уравнений движения масс. Для решения статической задачи определения усилий в элементах упругой системы под действием статически действующих усилий ¥10 и Г20 необ-ход имо пр ир ав нять правые части дифференциальных уравнений нулю
■'1 '■'2 ' '■'1 ~3 ' 2 ~3 2 2
Соответственно усилия в элементах упругой системен между первой массой и кор -
пусом Р1 = С1 • У1, между первой и второй массами Б12 = с2 • (у1 -у2), между второй
массой и корпусом Р3 = С3 • у
Аналогично удобно применять этот принцип (обратный принципу Даламбера) и в задачах по определению усилий в сложных упругих моделях с резьбовыми соединения -ми. На рис. 2 показан конструкторский эскиз резьбового соединения цилиндра под давлением, а на рис. 3 показана упругая модель этого соединения. Разрушение резьбы происходило в сечении С-С рис. 2. На упругой модели это место соответствует жесткости С4. Составим дифференциальные уравнения движения выделенных в упругой модели масс
Д2у,
ш,
)- С1 • Уі - С 2 • У 2 + С 2 • У 2
ш,
ш
dt2
ё2У
= С2 • У1 -С2 • У2 -С3 • У2 + С2 • У3
3_ _
dt
С 2 • У2 - С 2 •У3 - С 4 •У:
С огласно пр инятому пр инци пу, приравнивая силы инерции движения масс ну -
2
1
С
С
2
3
3
лю, получим статические уравнения равновесия масс
Р-С2 • У (С2 +С2)^ У2 +С2 ^ Уз =0
С2 •Л“ С2 ^ У2 -С3 ^ У2 +С2 •Уз = 0
С2 -У2 (С2 +С4> У3 = 0
Рис.2. Эскиз резьбового соединения цилиндра под давлением
С1 + С 2 -'
С 2 + С3
С 2 + С 4
У 2 =-
С1 +С2
с;
с +с —
с;
с2 2 3 С2 + с4
с2 +С3--------------------------------------^ 2 4
С2 +С4
У3 =
С2
С .
С +С2-
с>
;+С С +С4
2 2 3 .
С2 С- +С4
С +с4
Тогда усилия по месту разрушения
Р4 =С %
С1 +С2-
С +С,-
2
С22
С +С
2 3
24 С с, +С4
С +С4
С2 +4
Рис.3. Упругая модель резьбового соединения цилиндра под давлением
Решая уравнения равновесия относительно смещения масс элементов упругой модели под действием статической нагрузки Б, находим значения этих смещений
Б
У1 =----------------------п----------’
В резьбе р =С3 • (У2 -Уз), в стыке 2
р2 = с 2 • (У1 - У 2 ) , в стыке 1 Р1 = С1 • У1.
Если принять значения жесткостей С1 =С2 =С3 =С4 =1, получим
3 111
р =-• р;р2 =-•р; Р3 =-• Р; =-•р.
1 4 2 4 3 4 4 4
Естественно, при действии переменного по времени давления в цилиндре, необходимо непосредственно решать исходную систему дифференциальных уравнений движения элементов упругой системы, определяя одновременно ее собственные частоты.
На рис. 4 показано туго затянутое одиночное резьбовое соединение под действием усилия Р (t), а на рис. 5 - его упругая модель в довольно сложном (подробном) изображении. Усилие приложено к массе ш1. Масса ш5 неподвижна и является опорой конструкции пр и внешнем воздействии на нее.
Согласно принятой концепции динамического подхода к решению статически неопределимых задач составляем систему дифференциальных уравнений движения элементов упругой системы d2
ш1 • “¡¡Г = ^ Ь С3 • У1 - С2 ^ У1 + С3 ^ У^
d2y2
ш2 •^Г = С3 • У1 +С4 • Уз - С3 • У2 - С4 • У2,
ш3 •
ш
“і2
“2Уз
dt2
=С •У +С •У -С •У -С •У
4 У 2 5 У 4 4 У 3 5 У 3
= С 5 • Уз - С1 • У 4 - С 5 • У
4 '
Система статических уравнений равно-в есия в ыделен ны х эле ментов
Р( С3 • У1 - С2 • У1 + С3 • У2 = 0.
С3 • У1 + С4 • Уз -С3 ^У2 -С4 • У2 = °.
С4 -У2 +С5 • У4 С4 • Уз С5 • Уз =0 С 5 ^ Уз - С1 ^ У4 - С 5 ^ У4 = 0.
Решая эту систему относительно статических перемещений масс под действием
С
2
2
4
С
2
С
2
Рис. 4. Туго затянутое одиночное резьбовое соединение
статически приложенного усилия Б, например , методом исключений, начиная с последнего уравнения, находим смещения элементов упругой модели
1
С2 + Сз -
С • С
2з
С3 + С
У 2 = У
С3 + С 4 -
У
У
+
4 С4 + С1 ^ С 5 С1 + С6
Сз
с4
С 4 + С 1 ^ С 5
С1 + С 5
С 4
С 1 С 5
С 1 + С 5
У 4 = Уз------т—•
С1 + с5
Усилия в элементах между массами упругой системы резьбового соединения:
в контакте головки болта с корпусом Б1 = с4 • у4, в контакте крышки корпуса с
корпусом Б2 = С2 • у в контакте бобышки крышки корпуса с самой крышкой Б3 = С3 •& -У1), в контакте гайки с бобыш-
Рис. 5. Упругая модель резьбового соединения по рис. 4 в подробном разбиении на элементы
кой крышки корпуса р =С4 ^(У3 —У2), в
стержне болта р. = С5 • (уз — У4) .
Если пр инять для пр имер а
С1 =С2 =С3 =С4 =С5 =1,
то получим: деформации упругих элементов системы
2 1 Уі = 5• р ; У2 = -3•р; Уз =5•р; У4 = -•р.
Соответственно усилия в контактах элементов упругой системы резьбового соединения
Е,=1 • Р; р2 = 1Г; Р =—5 Р ; Р. =—-5р; Р, =і • К
Если принять С, = С2 = С4 = С5 = 1, а
Сз = 2, то получим: деформации упругих элементов системы
7 Т7 • 6 Т7 • 4 2
У1 = -• Б; у2 =—• Б, У3 =—• Б, у4 = —• Б.
9 9 5 9
Усилия в контактах элементов упругой системы резьбового соединения
2 7 2 2 2
11 = - • Б ; р = - • Б ; р =—2 • б; р =—-• б; б, =-• б.
1 9 2 9 3 9 4 9 5 9
При менее простом разбиении этого же резьбового соедин ения на упру гие элеме нты,
2
С
4
3
2
С
4
С
как показано на рис. 6, задачу решаем аналогичным же образом.
Дифференциальные уравнения движения элементов упругой системы
Рис. 6. Упругая модель резьбового соединения по рис. 4 в более простом разбиении
т1 •
^2
|2
:—Сз' У1 — С 2 • У1 + С3 ^ У2 ,
т2
а2у
dt!
=Б(:)+С2 • У1 — С2 • У2—СГ У2.
Условия статического равновесия
— V У1 —С2 • У1 +С3 ^ У2 =0.
Б+С2 ^ У —С2^2 —СГУ2 =0
Решая их, находим перемещения масс упругой системы под действием статически приложенного усилия Б ко второй массе.
Смещения первой массы (гайки с прилежащим участком стержня болта)
У1 = Р •
С1 Чс2 + Сз) + С
У 2 = Б-
С2 + С3
С 1 ' (С 2 + С3)+ С 2 ' С 3
Усилия в стыках масс: болт - 13 =С3 • у1 =Б
фланец крышки
Р2 =2- (У1 —У2)=-Р‘
фланец корпуса р1 = СгУ2 = Б‘
С1 • (С +С,)+С, <
С2 +С, .
СГ (С2 + С3) + С 2 ^ С3
Таким образом, усилия на гайку со стороны стержня болта и фланца крышки кор -пуса равны и противоположны, т.е.
Б2 =— Б3, а отношение усилий во фланце крышки и фланце корпуса
Б,
С 2 + С 3
Б 2 С 2 ^ С 3
И наконец, рассмотрим самый тривиальный случай, который приводится во всех учебниках и справочниках по расчету резьбовых соединений типа изображенного на рис. 4, когда стягиваемые болтом детали рассматриваются как единое целое. Упрощенную упругую модель при нашем подходе к решению задачи можно изобразить как на рис. 7. Дифференциальное уравнения масс гайки с частью стержня болта
d2y 1
т,
dt:
= Б(0—Сб •у—Сд •у.
Уравнение равновесия при отсутствии сил инерции Б —Сб • у —Сд • у = 0. Отсюда находим величину перемещения массы в статике
Б
у = —+—.
с к + с
б д
Усилие в стержне болта Ск
Бб = С б У = Б
С б + Сд
Усилие в детали Б = с •у = Б•
д д
С б + С д
фланца корпуса и фланца его крышки
С
д
У1
/ , I
mi t
Сд Сб
Сд
Рис. 7. Упругая модель туго затянутого резьбового соединения при действии на стержень болта внешнего усилия Г в самом простом случае моделирования как обычно принято в учебной лит ерат уре
Если же усилие на болт гармонически изменяется по закону
Б^) = Б0 соб^^ ^,
то перемещение массы в установившемся режиме с учетом затухания колебаний будет совершаться по закону гармонических колебаний
У с
y(t) =
1
p )
•cos(w1)'
где собственная частота колебаний упругой
системы p =
m
и усилия в стержне болта необходимо определять по
Рб (t) = Сб ■
Ус
1 -
C0s(w1):
p)
F0c б
(с. + сд)•(!- 1-І )
cos(ro-1)
В этом случае возможны уже резонансы и динамическое изменение усилий в упругой системе по сравнению с решением, полученным при статическом нагружении, может совершенно не соответствовать действительности.
В заключение необходимо отметить, что при определении усилий в туго затяну -тых резьбовых соединениях, как в статически неопределимых системах, всегда приходится определять жесткости или податливости элементов упругих систем, в которые входят эти резьбовые соединения. Поэтому удобнее и правильнее при определении усилий на элементы резьбовых соединений определять не в статике, а в динамике, решая системы дифференциальных уравнений движения элементов упругих систем, в которые они входят. При современных возможностях вычислительных методов и средств это не представляет трудностей. Требуется только в совершенстве знать рассчитываемое изделие, обладать умением составлять динамические модели, составлять дифференциальные уравнения движения таких систем и р ешать их.
2
THE DYNAMIC APPROACH TO THE PROBLEM SOLVING IN STATICALLY INDEFINABLE ELASTIC-SYSTEMS ON THE EXAMPLE OF THREADED CONNECTIONS
© 2006 M .I. Kurushin, A.M. Kurushin Samara State Aerospace University
If on a d'Alembert principle dynamics of elastic-systems can be viewed as a statics taking into consideration of inertial forces it is possible on the contrary, a statics to view as dynamics but at a zero value of inertial forces. W e offer it in this examination on an example of statically indefinable threaded connections. Such generalized approach helps to find efforts and stresses in very complex elastic-systems including at their dynamic loading.
