CC BY
30
Сер. 4. 2009. Вып. 3
ВЕСТНИК САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО УНИВЕРСИТЕТА
УДК 539.184.3 М. Ю. Захаров
ДИНАМИЧЕСКИЙ ХАОС, ИНДУЦИРОВАННЫЙ НЕСТАБИЛЬНОСТЬЮ ТРАЕКТОРИИ ВАЛЕНТНОГО ЭЛЕКТРОНА РИДБЕРГОВСКОГО АТОМА В МИКРОВОЛНОВОМ ПОЛЕ
Введение. Элементарные процессы с участием ридберговских атомов (РА) привлекают большое внимание исследователей в последние годы. Это объясняется той значительной ролью, которые РА играют в явлениях квантовой телепортации, логических схемах компьютерных технологий будущего, процессах в геокосмической плазме. Нелинейная механика сегодня свидетельствует в пользу того, что так называемый режим динамического хаоса должен рассматриваться скорее как типичная нежели исключительная ситуация в гамильтоновых системах. Интересным примером таких систем с траекторной нестабильностью является высоковозбуждённый РА в электрическом микроволновом поле.
В случае симметричных РА+А-столкновений апробированные в большом числе экспериментов теоретические модели хемоионизации рассматривают ионизационный процесс как фотоионизацию РА в квазимонохроматическом электрическом поле, индуцированным в процессе перезарядки положительного заряженного кора РА на атоме А. Поэтому вопросы траекторной неустойчивости валентного электрона РА, приводящие к возникновению явления глобального хаоса - диффузии ридберговского электрона (РЭ) по системе высоковозбуждённых атомных термов, представляются весьма существенными.
В физических задачах явление хаоса может возникать вследствие локальной неустойчивости орбит взаимно движущихся частиц относительно сколь угодно малых возмущений [1-3]. Ему соответствуют определённые области фазового пространства, а так же определённые области значений параметров системы. Наиболее примечательным свойством хаоса является его принципиальная неустранимость в типичных физических ситуациях. При весьма общих условиях всегда существуют области в фазовом пространстве и в пространстве значений параметров, для которых динамика системы стохастична. Эти области могут быть сколь угодно малы, однако они не устранимы при любых конечных значениях параметров и фиксированной структуры динамической системы, задаваемой гамильтонианом системы.
Переход от задач, классической (нехаотической) динамики, к системам с хаосом за счёт изменения параметров систем начинается с появления малых областей - зародышей хаоса. В гамильтоновых задачах такими зародышами являются стохастические слои и стохастические паутины. Они реализуют «слабый» хаос в физических системах и одновременно производят некоторое возмущение фазового пространства. Вследствие этого топологические свойства фазового пространства оказываются обусловленными условиями и формой областей - зародышей хаоса.
© М. Ю. Захаров, 2009
Гамильтоновы системы в общем случае являются «носителями хаоса». Это означает, что при некоторых минимальных ограничениях фазовое пространство произвольной динамической гамильтоновой системы имеет некоторые области, внутри которых происходит движение с перемешиванием. Ограничения связаны, главным образом, с размерностью системы N. Она должна иметь не менее 3/2 степеней свободы, то есть N ^ 3/2, что означает возможность реализации режима динамического хаоса даже для одномерной задачи с переменным во времени воздействием внешнего возмущения. В работе приведены результаты исследований некоторых свойств стохастической динамики для реальной атомарной систем типа ридберговского атома
Общие положения. Пример физической системы с явными свойствами нестабильности траектории - водородоподобный (ридберговский) атом в монохроматическом электрическом микроволновом поле, частоты и напряжённости Г с вектором поляризации е. Соответствующий гамильтониан Не для внешнего электрона имеет вид:
Не(р, г) = р2/2 + и (г) + Ге • г еов(ю£), (1)
где р - импульс электрона, и (г) - потенциал. Используется атомная система единиц I = те = Н = 1.
Исследования движения ридберговского электрона в кулоновском потенциале ие(г) = -х/г под действием микроволнового поля [3, 4] показывают, что наступление динамического хаоса на квазиклассических траекториях имеет ярко выраженный порог по интенсивности микроволнового поля Г. Для заданного значения главного квантового числа по этот порог Гс может быть найден из соотношения [3]:
Для интенсивности Г, меньшей, но близкой по величине со значением Гс, существуют «островки» неустойчивости в фазовом пространстве, которые чередуются с областями регулярного движения (случай слабого хаоса). Если Г > Гс, то динамика траектории РЭ приобретает свойства так называемой К-системы как локально нестабильной системы с интенсивным перемешиванием траекторий в фазовом пространстве и с сильной дефазировкой динамических переменных типа «угол». Это означает, что движение РЭ будет нестабильным, поскольку отдельные стохастические слои сливаются в стохастическое «море» (случай сильного хаоса). Соотношению (2) можно придать ещё одну интерпретацию. Зафиксируем значение Г = Гс. Тогда согласно (2) существует хорошо определённая граница п0 (п - главное квантовое число), которая разделяет область п > по, хаотического движения, и область п < по, регулярного движения.
В водородоподобных щелочных атомах отступление реального атомного потенциала от чисто кулоновского вносит ряд специфических моментов, имеющих принципиальное значение. В ранних работах [3, 4] описание режима динамического хаоса предлагалось приводить к случаю атома водорода за счёт переопределения в (2) главного квантового числа на эффективное: пд = п0 — |Л,0, где |Л,0 означает квантовый дефект для выделенной серии атомных состояний. Однако, как было показано в работе [5], при анализе областей регулярного движения необходимо учитывать так же модификацию диполь-ных матричных элементов оптических переходов. Формула (2) для щелочных атомов, согласно [5], переходит в (3):
; ] —, (з)
где
Интенсивность критического поля Гс выражается через элементы дипольной матрицы Б±(е010) = (е0, 10|г|е0 + а,10 ± 1} между Ридберговскими состояниями. Последние маркируются двумя квантовыми числами д = {е = 1/(2п*2),1} - эффективным и орбитальным, которые и определяют энергию е РЭ. Параметр Де играет роль коэффициента диффузии, описывающего стохастическое перемещение РЭ по энергетическим уровням в области п* > п*. В связи с этой случайной миграцией РЭ, в микроволновом поле может происходить так называемая диффузионная ионизация. Несмотря на то, что энергии микроволнового поля оказывается совершенно недостаточной для осуществления прямой фотоионизации, РЭ в результате своего стохастического движения в области связанных состояний достигает границы кулоновского сгущения спектра энергии и уходит в континуум [3]. С квантовомеханических позиций, диффузионной ионизации соответствует процесс многофотонной ионизации.
Появление дипольных матричных элементов в количественных характеристиках диффузионного процесса РЭ (границы диффузии п0, коэффициента диффузии Д.) позволяет сделать несколько предсказаний при реализации особенностей режима динамического хаоса в системе щелочного атома. Для него хорошо известно явление возникновения куперовского минимума [6] в сечениях фотоионизации. Объяснение этому, данное Ситоном [7], обусловлено обращением дипольного матричного элемента для рассматриваемого оптического перехода в нуль. Условие Б(д,д') = 0 может быть сведено к требованию
ДД = Дд — Дд' = к + 0,5 (5)
равенства разности Дд квантовых дефектов полуцелому значению для уровней {д, д'}, участвующих в переходе. Поскольку дипольные матричные элементы определяют свойства динамического хаоса (4) и (5), то при реализации условия (5) в атомной системе следует ожидать стабилизации хаоса и существенного расширения области регулярной динамики РЭ по сравнению с каноническим случаем атома водорода.
Рассмотрим особенности процесса диффузионной ионизации электрона в поле потенциала
иг (г) = —х/г + а/(2г2). (6)
Потенциал иг отличается от чисто кулоновского за счёт добавочного члена с параметром а. Если а имеет отрицательное значение, то поправка описывает дополнительное притяжение к атомному кору. При положительном значении поправочный член учитывает отталкивание РЭ от электронов внутренних оболочек. Как известно [9], реальный щелочной атом хорошо моделируется потенциалом Зоммерфельда с отрицательным
значением параметра а, который находится эмпирически из данных по значению тер-
мов спектральных серий [9].
Нелинейные динамические резонансы атомной системы во внешнем поле. Рассмотрим физику возникновения хаоса на примере одномерной гамильтоновой системы (частицы), невозмущённые (свободные) состояния которой задаются стационарным гамильтонианом Н0(р, х) = р2/2+и(х), определяющим полную (кинетическую и потенциальную) энергию системы. На частицу действует периодический во времени (период Ть) возмущающий потенциал V(р,х,Ъ):
Н = Н0 + V,V (р,х,Ь) = ^ Vк (р,х)совка>ь Ъ, (7)
к
имеющий гармонические составляющие с частотами кюь = 2пк/Ть и интенсивностями Vk (к = 1, 2,...). Будем для удобства в дальнейшем потенциал V именовать внешним полем, а его составляющие Vk - к-фотонным возмущением.
При описании динамики невозмущённой частицы удобно пользоваться системой канонических переменных {I, 0}, так называемых переменных «действие-угол» [1, 10]. Основное преимущество такого перехода обусловлено существенным упрощением свободного гамильтониана Н0(р,х) = Нэ(1), который становится функцией одной переменной действия. Соответствующие уравнения Гамильтона приобретают простой вид
Переменная действия I является, как видно, интегралом движения, в то время как переменная угол 0 возрастает со временем по линейному закону.
Отклик системы на внешнее периодическое во времени воздействие удобно исследовать в переменных {I, 0} и рассматривать потенциал V(р,х,Ъ) (7) как возмущение. Потенциал V(р, х, Ъ) периодичен по переменной «угол» 0 (период 2п) и временной переменной (период Ть), что позволяет разложить его в двойной ряд Фурье
В первом порядке теории возмущений временное поведение угловой переменной 0 совпадает с линейным ростом (8), так что потенциал внешнего поля записывается в виде
Разберём структуру разложения (10) с квантовомеханических позиций. Наиболее сильное перемешивание двух фиксированных уровней энергии, соответствующих квантовым числам п0 и п0 + к0, происходит при реализации т-фотонного резонанса
когда суммарная энергия т-0 фотонов совпадает с энергетическим расстоянием к0ЮЕ между уровнями.
С точки зрения классической механики резонанс (11) соответствует появлению в (10) стационарного члена Vko,mo (е0). Подобная ситуация носит название реализации динамического нелинейного резонанса для «резонансной» энергии .0. Только в этом случае возмущение (10) может заметным образом исказить невозмущённое движение. Оказывается [1], что начальная энергия еП0 частицы вместе с соответствующим действием начинают относительно медленно осциллировать в окрестности своих невозмущённых значений, где 5е:
возможных осцилляций в пространстве энергий [1] даёт величину ширины нелинейного резонанса. Отметим корневую зависимость ширины 8е от интенсивности возмущения. Другая особенность (12) - наличие в знаменателе члена dюе/Се. В случае линейной системы СюЕ/Се = 0 система может сколь угодно сильно быть возбуждена резонансным возмущением.
С д С д
ж1 == 0; *е = тн^ - ю(/); 0(#) = ^
(8)
(9)
(10)
т-0Юь = к0Юе,
(11)
(12)
к = 3, т = 1
к = 1, т = 2 п + 1 ж-
п + 2
V
А
п + 1
п
п
а
б
t
Рис. 1. Нелинейные динамические резонансы разных порядков
Возникновение конечной ширины нелинейного резонанса для нелинейных систем (йюе/^е = 0) является ключевым моментом при формулировке условий возникновения глобального (сильного) хаоса (движение электрона по энергетическим уровням, рис. 1б). В общем случае, в энергетическом пространстве при заданном внешнем возбуждении может реализоваться целый набор «резонансных» значений е* энергии, соответствующих нелинейным резонансам (11) разных порядков. На рис. 1 левая схема представляет случай слабого возбуждения, когда соседние резонансы не перекрываются, т. е. 8е < Де, где Де = е* — е*—1 - расстояние между соседними резонансными энергиями. Начав движение с начальным значением энергии е = ео, система все время остаётся в пределах ширины 5е.
Ситуация коренным образом меняется, когда области соседних нелинейных резонансов начинают перекрываться (рис. 2б). Теперь частица может «продиффундировать» в окрестность любого нелинейного резонанса и уйти, таким образом, сколь угодно далеко в пространстве энергий. Условие перекрытия резонансов
известно в литературе как критерий Чирикова для наступления глобального хаоса.
Диффузионная ионизация атома с одним валентным электроном во внешнем микроволновом поле. Высоковозбуждённый (ридберговский) электрон в атоме может рассматриваться как квазиклассическая система. Тогда для описания воздействия на него внешнего поля можно воспользоваться законами классической механики. Хорошо известно, что к ионизации атом в рамках классической механики может привести процесс надбарьерного перехода [3]. По аналогии со случаем внешнего постоянного электрического поля физически такой процесс соответствует надбарьерному переходу электрона из потенциальной ямы в непрерывный спектр под действием поля с частотой ю ^ п-3. Подобная надбарьерная ионизация возможна только в случае весьма высокой напряжённости переменного поля. Однако очевидно, что наибольший интерес представляют частоты ю порядка кеплеровой частоты обращения электрона по орбите О = 1/(п*)3, так как при этом действие переменного поля на электрон носит резонансный характер. Оказывается, что в поле достаточно сильной строго монохро-матичной волны частоты ю = Юь траектории электрона становятся стохастическими. Для возникновения стохастичности требуется выполнения критерия (13) перекрытия
5е/Де = 1
(13)
Рис. 2. Иллюстрация условий возникновения глобального хаоса
нелинейных резонансов (11) разных порядков. Это приводит к существованию резкой границы Ес (2) для напряжённости электрического поля. Значение Ес соответствует уравнению (13) [3], так что фазовый портрет стохастической динамики (рис. 2) определяется параметром Чирикова К = 1. При поле, превышающем критической значение Рс(К > 1) РЭ, имеющего энергию ео = — 1/п0, происходит стохастизация движения. При поле меньшем Ес(К < 1) РЭ будет двигаться по стационарным, относительно классическим орбитам.
Механизм диффузионной ионизации. В случае внешнего монохроматического поля в его Фурье-представлении присутствует единственный член с т = 1. Все резонансы (11) оказываются однофотонными (рис. ^). Это означает что:
1. Расстояние Де между соседними резонансными значениями энергий е* РЭ равно энергии фотона Ю внешнего поля;
2. Внутри интервала Де должно точно укладываться несколько квантовых уровней энергии (рис. 1).
Если начальное значение энергии ео удовлетворяет условию в = Юп3 ^ 1 (2), то как снизу, так и сверху ео расположены резонансные уровни энергий е*. Однако число е* снизу оказывается ограниченным в силу увеличения расстояния 1 /п3 межу квантовыми уровнями. Поэтому в области 1/п3 > Ю реализация динамических резонансов становится невозможной. Соответственно невозможна и динамическая диффузия. Для высоких состояний (е > ео), напротив, существует бесконечное число динамических резонансов, и диффузионная миграция РЭ за счёт динамического хаоса рано или поздно «вынесет» его в континуум.
Параметр Зоммерфельда для куперовского минимума. Взаимодействие РА в атоме с микроволновым полем задается третьим членом гамильтониана Не (1):
V(р, х, #) = • г(ехр i(£)t + ехр —гей).
Ширина нелинейного резонанса 8є (12), согласно второму правилу соответствия Бора (9), ________
5е = < / Е ; d, = (п + k,l ± II?- г|?г, /)
У dює/dє
определяется, кроме напряжённости поля F, значением дипольного матричного элемента d между уровнями энергии, участвующими в формировании нелинейного резонанса (рис. 2). При слабых оптических переходах (небольшие дипольные моменты) для возникновения глобального хаоса и соответствующего стимулирования диффузионной ионизации необходимы очень сильные поля. Подобная ситуация реализуется в условиях (5) возникновения куперовского минимума, когда значение дипольного матричного элемента может стать равным нулю.
Несложно найти критические значения ac для параметра a потенциала Зоммер-фельда (5), при котором разность квантовых дефектов І-серий приобретает полуцелое значение [14]. Радиальное движение электрона зависит от эффективного потенциала
L2 a L2
UMr) = Ua(r) + ^ = -z/r + ^ + ^. (14)
Если в последнем равенстве ввести эффективный орбитальный момент = \Jlr- + а, то ие^{т) (14) будет совпадать с эффективным потенциалом атома водорода. Квантовые уровни энергии, следовательно, должны задаваться формулой Бора
п* — пг + — + Leff; Leg — \JI? + о, (15)
где пг является радиальным квантовым числом. В соответствии с определением квантового дефекта п* = пг + 1 + І — Дд, формула (15) позволяет записать Д; в явном виде
|= Ь — \/Ь2 + о; Ьчс = I + —. (16)
Здесь используется квазиклассическое выражение Ьдс = І + 1/2 [11] значения момента количества движения для 1-серии.
Воспользуемся выражением (16), чтобы найти параметр Зоммерфельда ас(І ^ І— — 1), при котором оптические переходы между І- и (І — 1)-сериями обладали малыми дипольными моментами. Для этого потребуется выполнение равенства
Дг - Дг-і — 1 - J (l + ^ +ас — ту (17)
Если воспользоваться аппроксимацией
то решение (17) имеет простой вид
ac(l —* I — 1) — 3 ( / + —
є
Рис. 3. Схема, иллюстрирующая граничные условия движения электрона в эффективном потенциале иея
В частном случае р-серии куперовское значение ас(р ^ в) = 6,75.
Диффузионная ионизация. При проведении численных расчётов ограничим рассмотрение случаем двумерной траектории движения электрона в плоскости {х,у}. Гамильтоновы уравнения движения для атома Зоммерфельда с потенциалом (6) сводятся к системе уравнений
дх дрх х х
,11 г': ,11 “V+ V ' и> (,)/:
<1у &Ру У , У г-^~х—о
л = р»; ^ = -г? + “н; ’' = ^ + г
В качестве начальных условий выбрано положение электрона в левой точке поворота: электрон находится на оси ОХ г|(=о = (го, 0}, а скорость направлена вдоль ОУ -у|4=о = {0,-Уо}. Состояние электрона описывается квантовыми числами (Ь,п*). Связь начальных значений (го,«о) и (Ь,п*) определяется следующим образом. Радиальное движение невозмущённого электрона происходит в поле эффективного потенциала иед (рис. 3):
.. , , тт , , Ь2 -г а Ь2
иек(г) - иг(г) + тгт> - — + 7Г7>+7Г7>
2г2 г 2г2 2г2
Из закона сохранения энергии р2гІ2 + иед(г) = є и условия нахождения РЭ в точке поворота уг = рг = 0 следует первое необходимое соотношение
г а Ь2 г2
Пей + 2п2ей + 2г1ей 2п*2 ’
для момента t = 0. Начальная скорость уо определяется из выражения для орбитального момента
Ь = уого; го = ПеЦ. (19)
Таким образом, уравнения (18), (19) дают искомую связь между начальными условиями для РЭ и квантовыми числами (Ь,п*).
Случай атома водорода, а = 0. Этот случай является хорошо исследованным в литературе [3, 4, 14]. Рассмотрим атом водорода в 2Р состоянии с главным квантовым числом п = 30 и Ь = 1,5. Частота микроволнового поля ю = 1|303.
На рис. 4 приведены траектория движения атома водорода в отсутствии внешнего поля и в слабом микроволновом поле Е = 0,1ЕС, на рис. 5 - зависимость энергии є(і).
Атом Зоммерфельда. Из приведённых выше результатов следует, что удобной величиной характеристики хаоса является число периодов N, необходимое для ухода электрона в континуум. Уменьшение N свидетельствует об интенсификации диффузионных потоков в пространстве энергии, в то время как увеличение N указывает на ослабление процессов перемешивания регулярных траекторий. При моделировании движения РЭ электрона в атоме Зоммерфельда во внешнем электрическом микроволновом поле выбиралось 2Р-состояние РА со значением эффективного квантового числа п* = 13. Тогда частота микроволнового поля выбиралась равной ю = 11133. Основной интерес представлял вопрос - каким образом изменяются характеристики хаоса при изменении параметра а атомного потенциала (6). Результаты расчётов, поэтому, приведены здесь для случая сильного поля. Его напряжённость была зафиксирована на уровне Е = 10Ес, где Ес рассчитывалась по формуле (2).
На рис. 6 изображена зависимость числа N периодов Т13 = 2п133, необходимого РЭ для ухода в континуум, от параметра а. На рис. 7 приведены полученные зависимости энергии электрона в атоме Зоммерфельда от времени для значения параметра а равных 6,75. Данные рис. 7 свидетельствуют о диффузионном характере изменения энергии є электрона при его миграции по связанным состояниям (є < 0) в ионизационный континуум. По достижении энергии электроном уровня энергии є = 0 происходит ионизация атома. При увеличении параметра а диполь-ные моменты переходов должны монотонным образом уменьшаться в соответствии с критерием Ситона (5). Соответственно происходит сужение областей динамических резонансов, что в свою очередь приводит к уменьшению коэффициента диффузии (4) и затягиванию диффузионного времени ионизации. Любопытная картина наблюдается в окрестности «куперовского» ас(р ^ в) = 6,75 значения параметра Зоммерфельда. Здесь, согласно критерию Ситона, дипольные моменты для оптических переходов между р- и в-сериями атомных уровней становятся аномально малыми и динамические резонансы в основном определяются относительно слабыми дипольными моментами между р- и /-сериями. При этом, для некоторых областей фазового пространства ширины резонансов могут оставлять возможность для регулярного движения, что приводит к появлению «узких мест» для диффузионных процессов и общему
У, а. е.
У, а. е.
X, а. е. б
X, а. е.
Рис. 4- Траектория движения РЭ в атоме водорода в отсутствии поля (а) и в слабом поле (б)
а
е, а. е.
■ 5,2.10'
■ 5,4.10
■ 5,6.10
■ 5,8.10
6,0.10'
е, а. е.
0,0 5,0 1 06 1,0 1 07 1,5 1 07 2,0 1 07
г, а. е.
б
г, а. е.
Рис. 5. Зависимость е(£) РЭ в атоме водорода в отсутствии поля (а) и в слабом поле (б)
Рис. 6. Число периодов, необходимое для отрыва электрона, как функция параметра а
увеличению времени диффузионной ионизации. Структура фазового пространства становится заметно неоднородной: в обширные области динамического хаоса вплетаются островки регулярного движения. Этот процесс оказывается весьма чувствительным к величинам дипольных моментов, что в конечном итоге и приводит к нерегулярному поведению N (а) для значений а > 6.
Заключение. В работе проведён анализ физических процессов, приводящих к хаоти-зации одномерных систем под действием периодически меняющихся электрических полей. Этому случаю соответствует возникновение динамического хаоса при симметричных однократных столкновениях Рид-берговский атом - атом в тепловых и субтепловых диапазонах энергии столкновения. Получила свое наглядное объяснение в рамках критерия Чи-рикова возможность в этих условиях существования глобального хаоса, приводящего к диффузии валентного электрона РА в пространстве энергии. Как результат, это приводит к многоканальности процесса хемоионизации с участием РА. В работе был разработан код в пакете Мар1е для получения численных решений системы уравнений для траектории РЭ во внешнем электрическом микроволновом поле. Показано, что существует широкая область значений параметра Зо-ммерфельда а, для которого время диффузионной ионизации носит нерегулярный характер. Объяснение природы этого
а
е, а. е. 2,0.10' 4
а
0,0 2,0 1 06 4,0 1 06 6,0 1 06 8,0 1 06
г, а. е.
е, а. е. б
г, а. е.
Рис. 7. Зависимость £^) при а = 0, Е = Ес (а) и а = 6,75, Е = Ес (б)
явления обусловлено «блокировкой» оптических переходов для условий, аналогичных явлению куперовского минимума в сечениях фотоионизации, т. е. к возможности блокады режима динамического хаоса.
Автор выражает благодарность Н. Н. Безуглову и А. Н. Ключарёву за поддержку работы, а так же К. Арефьеву, принимавшему участие в проведении численных расчётов модели.
Литература
1. Заславский Г. М., Сагдеев Р. З., Усиков Д. А. Ведение в нелинейную физику: от маятника до турбулентности и хаоса. М., 19SS.
2. Заславский Г. М., Сагдеев Р. З., Усиков Д. А., Черников А. А. Слабый хаос и квазире-гулярные структуры. М., 1991.
3. Делоне Н. Б., Крайнов В. П., Шепелянский Д. Л. Высоковозбуждённый атом в электромагнитном поле II Усп. физ. наук. 19S3. Т. 140. С. ЗЗБ.
4. Gontis V., Kaulakys B. Stochastic dynamics of hydrogenic atoms in the microwave field: modeling by maps and quantum description II J. Phys. (B). 19S7. Vol. 20. P. Б0Б1;
Б. Безуглов Н. Н., Бородин В. М., Екерс А., Ключарев А. Н. Квазиклассическое описание стохастической динамики ридберговского электрона в двухатомном квазимолекулярном комплексе II Опт. и спектр. 2002. Т. 9З. C. 721.
6. Фано У., Купер Дж. Спектральные распределения сил осцилляторов в атомах. М., 1972.
7. Seaton I. J. II Rep. Prog. Phys. 19S3. V. 4б. P. 1б7-2ББ.
5. Зоммерфельд A. Строение атома и спектры. Т. 1. М., 19Бб. б94 c.
9. Груздев П. Ф. Спектры атомов и ионов в рентгеновской и ультрафиолетовой областях. М., 19S2. 2З9 c.
10. Ландау Л. Д., Лифшиц Б. М. Механика: теоретическая физика: в 10 т. Т. 1. М., 197З. 20S c.
11. Ландау Л. Д., Лифшиц Б. М. Квантовая механика: теоретическая физика: в 10 т. Т. З. М., 19бЗ. 704 c.
12. Мигдал А. Б. Качественные методы в квантовой теории. М., 19бБ. 33S c.
13. Безуглов Н. Н., Борисов Е. Н., Просихин В. П. Квантовомеханические аналоги сил торможения излучением и слабоe свечение атомных систем II Опт. и спект. 1991. T. 70. C. 72б.
14. Jensen R. V., Sussckind S. M., Sanders M. M. Chaotic ionization of highly excited hydrogen atoms: comparison of classical and quantum theory with experiment II Phys. Rep. 1991. Vol. 201. P. 1-Бб.
1Б. Klyucharev A. N., Bezuglov N. N., Matveev A. A. et al. Rate coefficients for the chemi-ionazation processes in sodium and other alkali-metal eocosmical plasmas II New Astr. Reviews. 2007. Vol. Б1. P. Б47.
Принято к публикации 26 декабря 2008 г.
