Динамический анализ подъемных машин Текст научной статьи по специальности «Механика и машиностроение»

МАШИНОСТРОЕНИЕ И МАШИНОВЕДЕНИЕ ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК №3 (93) 2010

74

УДК 62101 Г. У. УАЛИЕВ

Б. ЖУРСЕНБАЕВ А. САРБАСОВ Е. С. ГЕБЕЛЬ

Институт механики и машиноведения им. академика У. А. Джолдасбекова, г. Алматы, Казахстан

Атырауский инженерно-гуманитарный институт, г. Атырау, Казахстан

Омский государственный технический университет

ДИНАМИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ПОДЪЕМНЫХ МАШИН

Для теоретического исследования динамики подъемных машин, определения конструктивных параметров необходимо иметь расчетные механические модели. Этот выбор расчетной модели подъемной машины в каждом конкретном случае определяется кинематической схемой подъемного механизма и механическими свойствами его деталей и узлов. В данной статье для динамического исследования механизма подъемника использованы уравнения Лагранжа второго рода.

Ключевые слова: подъемные машины, динамика, уравнения Лагранжа.

Для изучения динамики подъемных машин необходимо иметь расчетные механические модели, с достаточной точностью описывающие свойства реальных машин. Выбор расчетной модели в каждом конкретном случае определяется кинематической схемой подъемной машины и механическими свойствами (инерционными, упругими, диссипативными и т. п.) его деталей, узлов, типом и характеристиками приводов, а также необходимой точностью проводимых расчетов.

В наиболее простых моделях считается, что все детали механизма подъемника абсолютно твердые тела. Кинематические пары предполагаются идеальными, трением в них пренебрегается. Эти модели с приемлемой степенью точности отражают свойства реальных машин [1 — 2].

В исследовании динамики механических систем одним из возможных методов описания динамической модели является метод, основанный на использовании уравнений Лагранжа второго рода. Этот ме-

Рис. 1. Кинематическая схема подъемника

тод применим для любых голономных механических систем с конечным числом степеней свободы, в том числе и для систем, содержащих деформируемые элементы (пружины, упругие стержни и т.п.), если можно пренебречь их инерционностью.

В качестве уравнения движения механизма подъемника, кинематическая схема которого показана на рис. 1, могут применяться другие формы уравнений динамики: уравнения Гамильтона, уравнение Раусса, уравнение Эйлера-Лагранжа и др. [3 — 4]. Уравнения движения могут быть составлены также путем применения к отдельным элементам механизма теорем механики об изменении количества движения и момента количества движения. Существуют также подходы к описанию динамики подъемников, не требующие составления дифференциальных уравнений движения, а основанные на непосредственном использовании вариационных принципов механики [2, 5].

В случае многозвенных подъемных машин реализация любого из методов составления уравнений движения приводит к необходимости выполнять сложные аналитические выкладки. Сами же уравнения получаются очень громоздкими. В связи с этим перспективным представляется использование ЭВМ для проведения аналитических преобразований при составлении уравнений движения.

Вывод уравнений динамики движения методом Лагранжа-Эйлера отличается простотой и единством подхода. Этот подход приводит к системе нелинейных дифференциальных уравнений второго порядка, которые отражают эффекты, связанные с действием сил инерции, обусловленных ускоренным движением звеньев, действием кориолисовых и центробежных сил, а также действием сил тяжести. Эти уравнения обеспечивают строгое описание динамики состояния механизма и используются для разработки усовершенствованных законов управления в пространстве присоединенных переменных. Совместное использование матричного преобразования Денавита-Хар-

тенберга и метода Лагранжа приводит к компактной векторно-матричной форме уравнений движения, удобной для аналитического исследования и допускающей реализацию на ЭВМ. Если известны решения обратной задачи кинематики, то известны и обобщенные координаты, позволяющие придать рабочей точке положение и ориентацию относительно базовой системы координат.

Уравнения динамики движения механической системы методом Лагранжа-Эйлера основаны на использовании уравнения

(1)

где I =1, ... , 5; Ь — функция Лагранжа, которая равна Ь=К-П,

где К —кинетическая энергия механической системы; П—потенциальная энергия механической системы; д—обобщенные координаты механической системы; 4 4 — первая производная по времени обобщенных координат; — обобщенные силы (или моменты), создаваемые в г-том сочленении для реализации заданного движения 1-го звена.

Для того, чтобы воспользоваться уравнениями Лагранжа-Эйлера, необходимо определить кинетическую энергию рассматриваемой физической системы, а следовательно, и скорости всех ее точек с учетом движения всех сочленений механизма подъемника.

Обозначим через К1 кинетическую энергию элемента массы dm. 1-го звена, тогда выражение примет вид:

сІКі = 1/2(х2 + у2 + г2)Лт = 1/2 • Тг\ Т /,Т/

dm

(2)

где Г—описание конечного звена подъемного механизма по отношению к системе координат г-го звена через однородные преобразования Денавита-Хартен-берга.

Скалярное произведение координат заменим оператором Гг (след матрицы), что в дальнейшем позволит перейти к матрице инерции Ji і -го звена. Подставляя в выражение (2) значение скорости V, получаем:

менты тензора инерции 1-го звена относительно собственных осей.

Величины Jг зависят только от распределения массы г-го звена подъемника в г-той системе координат и не зависят от положения и от скорости звеньев. Это позволяет, вычислив матрицы Ji, использовать их для вычисления кинетической энергии механизма подъемника. Запишем выражение для расчета кинетической энергии для первого звена:

(6)

К1 =1 /2 •ХТг Т / ТТ ),

- С„ 0 - а11*^1

• • С„ - ^11 0 О11С11

д = 4.1 0 0 0 0

0 0 0 0

Таким образом,

*^ид1 1 11 15 0 а11^11д1

= 1/2Тг С11д1 0 $11д1 0 0 0 - 1 011С д X

0 0 0 0

/Хх 0 0 0 '

- І2 0 0 щу'і X

00 -н N 0

00 ЩУЇ т1

- *^ид1 С11д1 0 0'

- С11д1 - ^11^1 0 0 \2/г + т1О11 )д1

0 0 0 0 2

°11^11д1 - О11С1 И 0 0

Следовательно,

К1 = 0.5(2/ + т1а121)д12

(7)

Причем J1z получено с учетом 3^ + 3 1уу = , где —

осевой момент инерции звена 1 относительно оси z1.

Аналогично для второго, третьего, четвертого и пятого звеньев механизма зависимости будут иметь вид:

К2 = 0.5(2/ + т2а22 )д2.

(8)

11

X

X

= 1/2ЕЕЕ

Тг\ V і /і иі г др д,

(3)

Кинетическая энергия механизма подъемника равна арифметической сумме кинетической энергии всех его звеньев и может быть записана в виде:

(4)

где

/ =

К = 1/2 • ЕТг[

/ (і) и XX / (і) и XI / (і ) и хт тіх*

/ (і) и IX / (і ) и уу / (і) •' ут тіУІ

/ (і) и ТХ / (і) и ту / (і) тт тг*

щх* щу* ті

(5)

— матрица инерции 1-го звена; т - — масса 1-го звена; х , у , г*- — координаты центра тяжести 1-го звена в собственной системе координат; J^l,хx, J<l>vv, — эле-

К3 = 0.5(273 + )у2 , где аг = а31 + аъг-

К4 = 0.5(27:4 + т4а2 )д2. и К5 = 0.5(27^ + т5а523

Полную кинетическую энергию механизма подъемника получим, сложив выражения для К1, К2, К3, К4 и К5:

+ ЩЦ2 + / 4 + т4°42 + / 5 + т5°532 + / 6 + тб О2 + / 7 | д'2 (10)

2

2

2

2

Полная потенциальная энергия, связанная с весом механизма подъемника, определяется как сумма всех потенциальных энергий отдельных его звеньев. Потенциальная энергия 1-го звена механизма в поле сил тяжести равна:

(11)

ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК №3 (93) 2010 МАШИНОСТРОЕНИЕ И МАШИНОВЕДЕНИЕ

75

МАШИНОСТРОЕНИЕ И МАШИНОВЕДЕНИЕ ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК №3 (93) 2010

где Р.— сила тяжести /-го звена; у0 — координата по оси у центра тяжести /-го звена.

Для первого звена выражение для расчета потенциальной энергии примет вид:

Пі = т • [- я (уі*сіі - аіАі)]=р • (уі*сп+аи5и).

Для вычисления потенциальных энергии остальных звеньев воспользуемся матрицами Т2, Т3, Т4 и Т5, тогда потенциальные энергии второго, третьего, четвертого и пятого звеньев будут:

П2 Р2 • [у2( [іі[22 + СііС22 )+ а22([ііС22 + [22Сіі )+ аіі[іі];

П3 = Р) •[(азіСзі - [31 Х^іАз +- <^11‘),21 )_

- (а3і[3і + С3і Х[іі[2і - СііС2і ) + (аіі + а2і Жі + а2іСіі[2і];

П4 - Р4 •[(аііСіі - [іі Х[ііС22 + Сіі[22 ) +

+ (а4 [4 + С4 [іі[22 + СііС2і )+(аіі + а22 [і + а22Сіі];

а53 ([53 + С53 )[С4 ([пс22 + сп[22)+[4 (- [п[22 + СПС22 )]-■

— [4 (- [п[22 + СііС22 )+ а22 ([ііС22 + Сіі)+ аіі[2і

пм - (Пі + П2 + П) + П4 + П5 )0і .

(12)

Лд+ Сд - 0,

(13)

(14)

стве начальных условий примем равенство нулю обобщенной координаты и ее первой производной:

до = 0, до = 0 '

где д0—определяют из условия статического равновесия для заданной конфигурации.

Решение поставленной задачи динамического анализа подъемных машин проводилось численно по методу Рунге-Кутте с автоматическим выбором шага и контролем точности по стандартной программе, написанной на универсальном языке БЛЯ1С с помощью ПЭВМ. Шаг численного интегрирования выбирался значительно меньше, чем период свободных колебаний конструкции подъемного механизма.

Подставив (14) в (13), получим систему линейных уравнений в матричном виде относительно компонента вектора Ь:

(с - Лю2)> - 0.

(15)

Приравнивая к нулю определитель этой системы, получим характеристическое уравнение:

Суммируя полученные выражения, рассчитаем полную потенциальную энергию механизма подъемника:

det(с - Лю2)- 0 .

(16)

где 9. — угол, задающий ориентацию оси х. г-го звена относительно оси хм (г + 1)-го звена механизма.

Полученные выражения кинетической и потенциальной энергий для подъемного механизма, подставляя в формулу (1), получаем уравнения движения его механической системы.

Дальнейшие преобразования нацелены на то, чтобы записать уравнение (1) в матричном виде, удобном для программирования. Уравнения движения механизма представляют собой систему нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка. Эти уравнения учитывают все действующие на звенья механизма подъемника силы и моменты: инер-циальные, центробежные, кориолисовы и гравитационные. Для анализа свободных колебаний механической системы механизма относительно некоторой конфигурации при полностью остановленном приводе, т.е. приравнивая силы (моменты) к нулю, после некоторых преобразований полученные зависимости можно привести в общем виде к однородным уравнениям второго порядка с постоянными коэффициентами:

где А—матрица инерционных коэффициентов; С — матрица жесткостных коэффициентов.

Общее решение системы дифференциальных уравнений (13) записывается в виде суммы частных решений следующим образом:

где Ь‘ — амплитудный вектор; а — частота колебаний; 5. — начальная фаза колебаний.

Формула (14) описывает свободные колебания звеньев механизма подъемника. Параметры а, 5. — произвольные постоянные, определяемые из начальных условий. Начальные условия при свободных колебаниях в общем случае неизвестны, по этой причине в каче-

В силу положительной определенности матриц А

и С корни а, где г =1.5, уравнения (15) вещественны

и положительны. Величины а. являются собствен-

I

ными частотами колебаний системы. Определив а, подставим их в уравнение (14), из которого найдем амплитудные векторы Ьг.

В приводимых результатах вычислений параметры т, I (где т и 1—это масса и длины звеньев подъемника) полагались равными единице, а также Е., I= = 1/3. Это не ограничивает общности и соответствует переходу в уравнениях к безразмерным переменным и параметрам. Проведенные расчеты показали, что низшие (основные) частоты колебаний близки для всех звеньев. Это говорит о том, что низшие частоты колебаний в основном определяются перемещениями на одной плоскости.

Собственные частоты звеньев составляют, согласно расчетам, а} »13 Гц, а2 »21 Гц, а3»26 Гц, а4 »15 Гц и а5 »19 Гц. Подставляя полученные данные в (6), определены амплитуды свободного колебания.

На опытном образце подъемника были проведены статические и динамические испытания для определения жесткостных характеристик, а также формы колебания. Результаты динамических экспериментов показывают, что низшие резонансные частоты свободного колебания механизма подъемника равны с точностью до (10^ 13)% расчетным частотам.

Из этого следует, что колебания системы близки к одночастотным и можно оценить амплитуду колебаний механической системы с учетом только первой формы колебания звена. Когда подъемник начинает подъем рабочей площадки, амплитуда колебаний рабочей площадки составляет величину порядка (2^4) 10-31. Сравнительно высокие частоты некоторых звеньев указывают на большую жесткость, что характеризуется быстрозатухающим процессом колебаний. В случае, когда площадка загружена, амплитуда колебаний её меньше и составляет величину порядка (0,5^2). 10-31.

Построенная динамическая модель механической системы подъемного механизма с помощью уравнений Лагранжа второго рода матричным методом позволяет исследовать динамические свойства механизма подъемника.

Библиографический список

1. Боренштейн, И.П. Исполнительные механизмы со сложным движением рабочих органов / И.П. Боренштейн.—Л.: Машиностроение, 1973. — 263 с.

2. Дорожно-строительные машины и комплексы / В. И. Бало-внев и [др.], под общ. ред. В. И. Баловнева. — М.: Машиностроение, 1983. — 98 с.

3. Джолдасбеков, У.А. Теория механизмов высоких классов / У.А. Джолдасбеков. — Алматы : Гылым, 2001. — 427 с.

4. Кобринский, А.А. Манипуляционные системы роботов / А.А. Кобринский, А Е. Кобринская. — М.: Наука, 1985. — 153 с.

5. Зенкевич, С.Л. Управление роботами. Основы управления манипуляционными роботами : учеб. для вузов / С.Л. Зенкевич, А.С. Ющенко. — М.: МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2000. — 400 с. — КБК 5-7038-1339-5.

УАЛИЕВ Г ахип Уалиевич, доктор технических наук, профессор, академик Национальной академии наук

Республики Казахстан, дочернее государственное предприятие «Институт механики и машиноведения им. У. А. Джолдасбекова» Министерства образования и науки Республики Казахстан.

ЖУРСЕНБАЕВ Балахазы, старший научный сотрудник дочернего государственного предприятия «Институт механики и машиноведения им. У. А. Джолдасбекова» Министерства образования и науки Республики Казахстан. САРБАСОВ Аскар, преподаватель кафедры подъемнотранспортных машин и оборудования Атырауского инженерно-гуманитарного института.

ГЕБЕЛЬ Елена Сергеевна, кандидат технических наук, старший преподаватель кафедры автоматизации и робототехники Омского государственного технического университета.

Адрес для переписки: е-шаП: [email protected]

Статья поступила в редакцию 27.05.2010 г.

© Г. У. Уалиев, Б. Журсенбаев, А. Сарбасов, Е. С. Гебель

УДК 62-822:519.673

В. Е. ЩЕРБА А. В. ГРИГОРЬЕВ В. С. ВИНИЧЕНКО Д. А. УЛЬЯНОВ

Омский государственный технический университет

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ РАБОЧИХ ПРОЦЕССОВ НАСОСА ОБЪЕМНОГО ДЕЙСТВИЯ_____________________________

В работе рассмотрены вопросы математического моделирования процессов цикла насоса объемного действия. В основу математических моделей процессов положены законы сохранения массы, энергии и динамики движения. В качестве примера рассмотрено моделирование цикла поршневого насоса одинарного действия. Ключевые слова: насос объемного действия, рабочие процессы, математическое моделирование.

Насосы объемного действия являются основными элементами гидравлических приводов, гидравлических и топливных систем автоматического регулирования, нашедших широкое применение в различных отраслях техники: авиация, автотранспорт, машиностроение и т.д.[1 ].

В отличие от компрессорных машин объемного действия [2], исследованию рабочих процессов объемных насосов посвящено весьма мало работ и метод математического моделирования для расчета рабочих процессов практически не применялся. Основной целью расчета насосов объемного действия является расчет кинематики, динамики, средней и мгновенной подачи, а также ее неравномерности. Отсутствие интереса к расчету рабочих процессов насосов объемного действия можно объяснить в первую очередь малой сжимаемостью жидкости и применением в большинстве случаев золотникового распределения. Однако с широким внедрением вычислительной техники, развитием методов математического моделирования и разработкой новых конструкций насос-компрессоров, задача моделирования рабочих процессов насосов объемного действия является весьма актуальной.

При проведении математического моделирования рабочих процессов насоса объемного действия примем следующие основные допущения:

1. Рабочее тело представляет собой капельную жидкость, подчиняющуюся закону трения Ньютона.

2. Распределение давления в рабочем объеме насоса однородно.

3. Давление в полостях всасывания и нагнетания принимаем постоянным.

4. Кинетической энергией рабочего органа в процессах сжатия и расширения пренебрегаем.

Для определенности рассмотрим процесс математического моделирования рабочих процессов поршневого насоса простого действия (рис. 1). Уплотнение поршня осуществляется с помощью концентричной гладкой щели с подвижными стенками. Проведем последовательное рассмотрение процессов цикла насоса объемного действия.

Процесс сжатия.

Изменение объема рабочей камеры насоса обусловлено тремя основными причинами: кинематикой кривошипно-шатунного механизма (А Укин ^, утечками ра-

N ^

бочего тела (ХА^о< ) и его притечками (^АКи ). Сум-

1=1

ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК №3 (93) 2010 МАШИНОСТРОЕНИЕ И МАШИНОВЕДЕНИЕ