CC BY
9
УДК 621.01
Е.С. Гебель, Б.И. Журсенбаев*
Омский государственный технический университет, г. Омск
*Институт механики и машиноведения им. У. А. Джолдасбекова, г. Алматы, Казахстан
РАЗРАБОТКА СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ СТРОИТЕЛЬНЫМИ ПОДМОСТЯМИ
Введение. Технические возможности современных строительных машин, манипуляторов связаны как с совершенствованием существующих конструкций, так и с оснащением их принципиально новыми механизмами и системами управления.
Стационарные строительные роботы при выполнении технологической операции осуществляют перемещение выходного звена в соответствии с заданной траекторией. Исследуемые в статье мобильные подмости [1] реализуют перемещение рабочей площадки за счет движения штока гидроцилиндра, а управление колесами - электродвигателями, установленными на передних колесах. Обеспечение целенаправленного движения рабочего органа робота вдоль траектории с определенной ориентацией и скоростью составляет основную цель управления исполнительными приводами.
В статье решена обратная задача кинематики для установления зависимости между требуемым перемещением выходного звена подмостей и штока гидроцилиндра. Нахождение значений обобщенных координат в явном виде является достаточно сложной задачей, поскольку уравнения движения механизма являются нелинейными. Для упрощения решения задачи существует ряд методов, в частности, метод обратных преобразований денавита-хартенберга, суть которого заключается в определении углов поворотов звеньев из матричных уравнений для отдельных элементов.
15
Рис. 1. Расчетная схема исполнительного механизма подъемника
На рис. 1 изображены локальные системы координат исполнительного механизма подъемника [2], кинематическая схема которого содержит 11 вращательных и 1 поступа-
тельную кинематическую пару. Параметры аі и аі являются константами, а 0 и ф подлежат определению.
Разобьем структурную схему механизма на четыре контура:
К1(АО + БЕ + ЕЛ) ; К2 (ОВ + ВР + РМ + Ш); К3 (ОБ + БЕ + ЕС + СР + РМ + М4) ; (1)
К4 (Ш + БЕ + ЕС + СО + 01 + ЬМ + МА).
Первый контур используется для установления зависимости между перемещением штока 4 гидроцилиндра 5 и шатуном 3, остальные контуры дают систему уравнений, решение которых устанавливает взаимодействие между другими подвижными звеньями м е-ханизма.
Составим таблицу параметров сочленений подъемного механизма по указанным контурам (табл. 1).
16
Кинематические параметры сочленений подъемного механизма
Таблица 1
Пара Тип пары 0І аі аі аі БІп(аі) СоБ(аі)
К1(АБ + БЕ + ЕЛ)
0-4 поступ. 0 ё4 0 0 0 1
4-2.2 вращат. 022 0 0 а22 0 1
2.2-3 вращат. 03 0 0 а3 0 1
К2 (ОВ + ВР + Р£> + (0А)
0-1.2 вращат. 012 0 0 а12 0 1
1.2-6.1 вращат. 061 0 0 а61 0 1
6.1-9.1 вращат. 091 0 0 а91 0 1
К3 (ОБ + БЕ + ЕС + СР + Рб + 0Л)
0-1.1 вращат. 011 0 0 а11 0 1
1.1-2.1 вращат. 021 0 0 а21 0 1
2.1-7.2 вращат. 072 0 0 а72 0 1
7.2-6.2 вращат. 062 0 0 а62 0 1
6.2-9.1 вращат. 091 0 0 а91 0 1
К4 (ОБ + БЕ + ЕС + СС + СХ + + 0Л)
0-1.1 вращат. 011 0 0 а11 0 1
1.1-2.1 вращат. 021 0 0 а21 0 1
2.1-7.1 вращат. 071 0 0 а71 0 1
7.1-8 вращат. 08 0 0 а8 0 1
8-9.2 вращат. 092 0 0 а9 0 1
Результирующая матрица Т} представляет собой произведение соответствующих мат-
риц перехода 1
Л
2
Л1 , 1
1 1 3
и Л 1 :
ГС22С3 - ад £ С + С Б
I
1 22 3 22 3
С22Б3 Б22С3
— Б22Б3 + С22С3
а Б + а (Б С + С Б )
0
22 22 3 22 3 22 3
0 а22С22 + а3 (С22С3 Б22Б3 )_1
I
Т1 - Л1 ' А2 ' А3 -
0
I 0
0
0
1
0
(2)
1
Аналогично определим матрицу результирующего преобразования координат по кон-
туру К2:
2 2 2
I t t
2 2 11 12
| 2 2
21 22
t
t I
2 2
13 14
t
'2 2 |
23 24
'
Т2 - А1 ' А2 ' А3 - [ 2 2
I '31 32
41
42
2 2 1 ,
33 34 |
' I
2 2 I
43 44 |
I'
2 2
(3)
где, используя тригонометрические функции суммы и разности углов, упростим элементы 2 для и = 1,...,3.
17
2
12 61
12 61 / 91
1)
( 12 61 12 61 ) 91
( 12
61 91 )
(
'11 - С С
- £ £
С - С £ + £ С
19 Zl
Z
‘ zlvzlj + (l9@+ ZIQ)J19V + Q6Q + l90 + zl0)Dl6v =
» D v S S D D
v S D S S D
D S S D D
— z\ z\
+ 19 ^19 Z\ _ 19 Z\ ^ _|_ 16 (“ („ Z\ _|_ 19 Z\ )-16 ^19 Z\ _ 19 Я ))= * • 0 + 0 + 0S-= D D S + S D~ S
s s-
D D~=ul )
^16 19
11 )
16 ^ 19 Z\
19 Z\ ^ 16 ^ 19 Z\ 19 Z\
Z
‘ 0+ 0+ 0D= S
12 61 91
1 )
С 12 61 12 61 ) 91
С 12
61 91 )
С
t21 = S С +С S С + С С
- S S
S =SG +G +G ;
2
12 61
12 61 91
12 61
12 61 91
1)
С
1)
С 12
61 91 )
С
t22 = - s С + С S S + С С
- S S
С = С G +G +G ; = «
2 12
61 +
12 61 )
61
) )
12 61
91
91 + С 12
61 +
61
+
12 12
ґ24
£ С С £ С
С С £ £ £ а
£ С С £ а £ а
= а91£ (#12 +#61 +$91)+ а61£ (§12 +$61) + £12а12 ;
2 2 2 2
2 2 2
2 о 2 2
ґ13 = ґ23 = ґ31 = ґ32 = ґ34 = ґ41 = ґ42 = ґ43 =
; ґ33 = ґ44 = 1 •
Преобразование координат по контуру К3 находим следующим образом:
І і і
3 3
11 12
і
і І
3 3
13 14
3 3 3 3
і
і
І 3 3
3 21 22
і
і
3 3 І
23 24
і
Т3 = ^1 • А2 • А3 • ^4 • А5 = І 3 3
І і331 332
і
і
3 3 і ’
33 34 І
(4)
І і3 і3
і3 і3 І |_ 41 42
43 44 ]
і11 = С # +# +#
+# +#
; і
12
3 = (#11 + #21 + #72 + #62 + #91) ;
і
14
= а91С (#ц + #21 + #72 + #62 + #91 ) + а62С (#11 + #21 + #72 + #62 ) + а72С (#11 + #21 + #72 ) +
+ а21С(#11 +#21) + а11С11 ;
і21 = £ # +# +# +# +#
; і
22
3 = С(#11 + #21 + #72 + #62 + #91 ) ;
і
24
= а91£ (#11 +#21 +#72 +#62 +#91 ) + а62£ (#11 +#21 +#72 +#62 ) + а72£ (#11 +#21 +#72 ) +
+ а21£ (#11 +#21 ) + а11£11 ;
3 3 3 3 3 3 3
3 о 3 3
і13 = і23 = і31 = і32 = і34 = і41 = і42 = і43 =
; ґ33 = ґ44 = 1 •
Матрицы преобразования по контру К4 для точек Б и Е аналогичные первому и второму контуру соответственно элементарные движения для систем координат связанных с точ-
ками С, О, Ь и Q запишем как:
4 4 4
Іі і
4 4
11 12
і
‘ І 4 4
4 4 21 22
і
і І
4 4
13 14
і
і 4 4 І
23 24
Т 4 = А1 • А2 • А3 • А4 • А5
= І 4 4
32
_і4 4
і
І і31
41 і
42
і
і
4 4 I ,
33 34 |
/ I
4 4 I
43 44 |
(5) /ц = С 0 + 0 + 0 +0 +0
; t
12
14
£ (011 +021 +071 +08 +092 ) ;
= а92С(011 +021 +071 +08 +092 ) + а8С(011 +021 + 071 + 08 ) + а71С(011 +021 + 071 ) +
+ а21С(011 +021 ) + а11С11 ;
4 (
11
21 71 8
92 )
11 21 72
62 91
/21 = £ 0 +0 +0 +0 +0
; *22
= С (0 +0 +0 +0 + 0 );
14
= а92£ (011 + 021 + 071 + 08 + 092 ) + а8£ (011 + 021 + 071 + 08 ) + а71£ (011 + 021 + 071) +
+ а21£ (0ц + 021) + а11£11 ;
3 3 3 3 3 3 3
3 о 3 3
^13 = ^23 = ^31 = ^32 = ^34 = ^41 = ^42 = ^43 =
; ^33 = ^44 = 1 •
Поскольку результирующие матрицы для третьего К3 и четвертого К4 контуров равны, то, приравняв соответствующие элементы матриц Т3 и Т4, определим положение центра
18
шарнира Q выходного звена механизма в локальной системе координат треугольного коромысла ОББ:
4
ьіі = СиА £и/2 ; *12 = -Си /2 - £іі/1; Ь2і = £іі У1 + Сц ,/2 ;
Ь = С
/ - $ / ;
(6)
I
22
іі і
іі 2
где
I Ьі4 = СііУз - $іі./4 ;
|Ь24 = $ііА3 + Сіі /4 5 /і = С(#2і +#72 +#62 + #9і )- С(#2і + #7і +#8 +#92 )> /2 = $ (#2і +#72 +#62 + #9і )- С(#2і + #7і +#8 +#92 );
/3 = а9іС(#2і +#72 +#62 +#9і )- а92С(#2і + #7і +#8 +#92 )+ а62С(#2і +#72 +#62 )
- а8С(#2і + #7і +#8 )+ а72С(#2і +#72 )- а7іС(#2і + #7і /4 = а9і$(#2і +#72 +#62 + #9і )- а92$(#2і +#7і +#8 +#92 )+ а62$(#2і +#72 +#62 )-
- а8 $ (#2і +#7і +#8 )+ а72 $ (#2і +#72 )- а7і$ (#2і +#7і )-
Т-преобразование, относящееся к выходному звену PLQ такое, что начало системы координат рабочей точки Р выходного звена PLQ описывается вектором положения
Р = (Рх 5 Ру
5 р2
)Т , где Т - операция транспонирования. Ориентация рабочего органа подъемника в пространстве задается единичным вектором (а, о, п), направленным вдоль системы Рх9ус£9. Матрицу Т можно представить как:
I
Гпх ох ах
Т = I
Рх рт р
пт
от ат
п
а
(7)
I
г г г г
|_ 0 0 0 1 ]
Элементы матрицы (6) определены и равны соответствующим элементам матрицы (3), тогда как угол поворота входного коромысла ОПБ, т.е. переменная 0ц, является искомым параметром. Приравнивая элементы матрицы (3) за минусом соответствующих элементов матрицы (7) к элементам (7), получаем 12 уравнений для расчета вектора углов и перемещений в сочленениях:
о
С(#2 + #6і )(С9і Ьіі ) $(#і2 + #6і )($9і Ь2і) = пх;
| 15 (0 + 0 )(С91 - Ьп ) - С (0 + 0 )(£91 - Ь21 ) = пу ;
1с(012 + 061 )(591 - Ъ12 ) - 5(012 + 061 )(С91 - Ъ22 ) = 0х ;
{ 5 (012 + 061 )(С91
- Ъ12 ) + С(0,2 + 061 )(С91
- Ь22
)=0у ; (8)
а
|а91(С(012 + 061 )(С91 - Ъ14 ) - 5(012 + 061 )(591 - Ъ24 )) + а61С(012 + 061 ) + а12С12 - Рх ;
I а91(5 (012 + 061 )(С91 - Ь14 ) + С (012 + 061 )(591 - Ъ24 )) + а615 (012 + 061 ) + а12 512 - ру ;
I
I - 1;
- ау
- Рz
- 0.
Подставив в первое и третье уравнения системы (8) зависимости (6) для вычисления Ъц, Ъ22, получим:
[С„ (С(012 + 061 )/1 + 5(012 + 061 )/2) + 511 (С(012 + 061 )/. + 5(012 + 061 )/1) - Пх - С(012 + 061 + 091 ) С (С(012 + 061 )/2 + 5(012 + 061 )/1 ) + 5ц (С(02 + 061 )/1 - 5(012 + 061 )/2 ) - П, - С(0 + 061 + 091 )
19
Используя метод Крамера, найдем формулы для расчета тригонометрических функций Сц, 5ц условной обобщенной координаты угла поворота коромысла ЛБ:
11
С - 13 (пх - С(012 + 061 + 091))- 12 (ох - 5(012 +061 + 091 ))
2
- а х
2
- I
Б
и
11 (о* - Б($12 + #61 + #91)) - 12 (пх - С(#12 + #61 + #91 ))
(10)
кк
-12 где
11 = С(#12 + #61 )/1 + Б(#12 + #61 )У2 ; 12 = С(#12 + #61 )У2 + Б(#12 + #61 )У1 ;
'з = С(#12 + #61 )/1 - Б(#12 + #61 )/2 •
Полученное решение неустойчиво и плохо обусловлено по следующим причинам:
о функции
агооо8( ) и
агс8т( )
неудобны тем, что точность вычисления ее значения
зависит от значения аргумента;
о в точках, где тригонометрические функции принимают близкие к нулю значения равенства (9) и (10) либо не определены, либо дают низкую точность вычислений.
Для расчета угла #ц, значения которого лежат в пределах 0<#ц<2ж, воспользуемся функцией арктангенса:
&#
С
Б
11
Г11 (°Х Б(#12 +#61 + #91)) 12 (Пх С(#12 +#61 + #91))!
(11)
11 (п*
- С(#12
+ #61 + #91
2
_ ^ (#12 + #61 + #91
))
Обозначив знаменатель дроби (11) через ц1, а числитель - через щ2, угол в11 с учетом принадлежности аргумента соответствующему квадранту определим как:
в
Г0о < #11 < 90°,
190° < #11 < 180°,
если т1 > 0,т2 > 0, если г1 < 0, г 2 > 0,
11 = аШя\
I = ^ -180° < #
< -90°, если г
< 0, г
< 0,
[- 90° < #11 < 0°, если г1 > 0, г 2 < 0.
Полученные аналитические выражения устанавливают зависимость между углом поворота звена АО и положением рабочей площадки исполнительного механизма мобильных подмостей.
11
\-
Библиографический список
1. Пат. № 22439. Инновационный патент «Самоподъемные подмости» / Б. И. Журсен-баев, А. Т. Сарбасов (выданный Комитетом по правам интеллектуальной собственности МЮ РК от 25.02. 2010 г.)
2. Гебель, Е. С. Математическая модель аппроксимационного синтеза рычажных м е-ханизмов / Е. С. Гебель, Б. И. Журсенбаев // Развитие дорожно-транспортного комплекса и строительной инфраструктуры на основе рационального природопользования : мат е-риалы VII Всерос. науч.-практ. конф. (с межд. участием). - Омск : СибАДИ, 2012. - Кн. 2.
- С. 132 - 138.
