CC BY
156
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ
выбирается оптимальный вариант первичного преобразователя для выбранной структуры ПрИС. [3]
Библиографический список
1. Цветков, Э.Н. Процессорные измерительные средства / Э.Н. Цветков. - Л.: Энергоатомиздат, 1989. - 224 с.
2. Катыс, П.Г. Интеллектуальные видеодатчики машинного видения / П.Г. Катыс, Г.П. Катыс // Датчики и системы. - 2001. - № 9. - С. 42-48.
3. Дорошенко, В.А. Структурная модель синтеза светооптических процессорных средств измерения геометрических размеров / В.А. Дорошенко, М.В. Титович, А.С. Мадейченко / Тезисы докладов IV Всероссийской научно-практической конференции «Решетневские чтения». - Красноярск, 2000. - С. 165-166.
4. Целищев, Е.С. Новый подход к построению универсальной структуры информационного обеспечения процесса проектирования систем контроля / Е.С. Целищев, И.С. Кудряшов, А.В. Глязиецова // Датчики и системы. - 2010. - № 6. - С. 28-34.
ДИНАМИЧЕСКИЕ НАГРУЗКИ ПРИ КОЛЕБАНИЯХ ГРУЗА НА КАНАТЕ
Д.Г. ШИМКОВИЧ, проф. каф. теории и конструирования машин МГУЛ, д-р техн. наук
При работе грузоподъемных кранов происходит раскачивание груза на канате, что сопровождается значительными динамическими нагрузками, которые рассматривалась во многих работах (см. [1] и приведенную там библиографию).
В данной статье произведен анализ закономерностей процесса колебаний груза на канате на основе двухмассовой модели с учетом влияния начальных условий на возможные значения динамических нагрузок. Приведен обзор имеющихся справочных и нормативных материалов по значениям коэф-
a
I ^
m i
mi
a)
Рис. 1. Движение тележки массой m и груза массой m
фициентов динамичности. Выполнен динамический расчет тестовых конечно-элементных моделей консольных стрел с грузом на канате и без каната при разгоне/торможении в процессе поворота стрел как пример обоснования коэффициента динамичности для конкретной конструкции.
Уравнения движения двухмассовой системы
Рассмотрим движение тележки массой m и груза массой m1 в горизонтальном направлении с некоторым ускорением a. В
б)
в горизонтальном направлении с некоторым ускорением
ЛЕСНОЙ ВЕСТНИК 4/2012
141
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ
схеме 1 (рис. 1а) будем считать массы жестко связанными и имеющими общий центр масс (канат нулевой длины); на рис. 1а массы для наглядности условно разнесены, там же показаны соответствующие силы инерции (с учетом знаков); суммарная сила, действующая на массы (рис. 1б) будет F = (m + m^a.
Рассмотрим схему 2 (рис. 1б), где массы m и m1 соединены нерастяжимым канатом длиной l. Уравнения движения системы в горизонтальном направлении будут 1m-X=F+S-sin®,
1 •• S ■ (1) [m1-x1 =-S-sin®,
где
о m g
S =—1----усилие в канате,
cos®
g - ускорение силы тяжести.
Складывая данные уравнения, получим
(m + myxc = F, где
m-x+m, - x
xc =-----1—1— центр масс системы 2,
m+m1
отсюда видно, что центр масс в схеме 2 будет двигаться так же, как и в схеме 1, т.е. колебания масс будут происходить относительно их центра масс.
При малом угле ф имеем ® « sin(®) « tg(®) = z / l и система (1) принимает вид
m-X=F+m1g
l
mi-xi =-щ gZ.
(2)
Видно, что дополнительная к F нагрузка на массу m в горизонтальном направлении составляет
z
Fan=m gj=mi g-®
и обусловлена колебаниями груза на канате.
Отметим также, что изменение усилия в канате в процессе колебаний вызывает дополнительную вертикальную нагрузку на тележку. В данном пункте этот вопрос не рассматривается.
Меру воздействия массы груза m1 на тележку массой m при колебаниях груза по отношению к схеме 1 (рис. 1а) без колебаний
груза будем оценивать коэффициентом динамичности
K = Fdm = g z
dm Fn -al
(3)
Учитывая, что x1 = x + z, несложно привести систему (2) к виду
где обозначено
x=f(t Нш0-z, z=-f(t )-Ш-z,
(4)
f(t)
F (t)
m
m 2
V=—, ®0 = m
g l ’
Ш°2 =p,y , Ш2 =®0 +Ю°2 =(1+^)y
Нетрудно видеть, что ш0 и
Шо
- это собственная частота и период колебаний груза на канате при закрепленной точке его подвеса.
Общее решение второго уравнения системы (4) будет
z(t)=A-smшt+B-cosшt+zm (t), (5)
где A, B - константы, определяемые из начальных условий,
zm (t) - частное решение данного уравнения.
Влияние начальных условий
Рассмотрим случай движения с постоянным ускорением a = const.
Тогда
f (t )=F=(т+щуа =(1+ц>д
mm
и частное решение zm при z = 0 будет
Разгон a > 0 Торможение a < 0
Рис. 2. Отклонение груза от вертикали при стационарном движении системы с постоянным ускорением
142
ЛЕСНОЙ ВЕСТНИК 4/2012
Рис. 3. Зависимости z(t) численного решения уравнений (4) при движении тележки
z _-f(t)_-(1+Д>а-1 т ш2 (1+p)-g
—l и угол g
а
Фт ™№m _ • (6)
g
Величина zm представляет собой отклонение груза от вертикали при стационарном движении системы с постоянным ускорением (рис. 2).
Пусть в начальный момент времени t = 0: z(0) = z0, z(0)_Vz0. Определяя из этих условий константы A, B в (5), получим z V
z(t)_ zm [(1-cosшt)+—- •cosшt +—— •sinшt ]. (7)
Z т Ш* Zm
Используя соотношения (6-7) из (3), найдем явное выражение для коэффициента динамичности
^ Ф z , z0 Vz0
Kdin _—_—_1-cos0t +—-COSQt+——-SinQt (8) Ф z z ш-z ’ v ’
T m m m m
Обычно [1-3] для анализа принимаются нулевые начальные условия: вертикальное начальное положение груза (z0 = 0) и его нулевая относительная скорость Vz0 = 0. При этом максимальное значение коэффициента динамичности (при rot > п) равно 2, поскольку cosn = -1.
В действительности начальные условия z0 и Vz0 являются случайными величинами, зависящими от предыстории движения груза, длительности процессов разгона/тор-можения, времени включения/выключения механизмов, эффективности системы управления приводами, квалификации крановщика, сторонних (например ветровых) воздействий, податливости конструкции крана и др. При этом коэффициент динамичности может возрасти до 3...4 и выше.
На рис. 3 показаны зависимости z(t) численного решения уравнений (4) при движении тележки по схеме: разгон (5 с, на графиках время разгона обозначено tm) при воздействии постоянной силы F, движение с постоянной скоростью (F = 0), торможение (5 с) при воздействии той же силы F обратного направления. В зависимости от момента начала процесса торможения (на графике обозначено ttorm) после его окончания может происходить как гашение (рис. 3 а), так и возбуждение (рис. 3б) колебаний - увеличение их интенсивности с ростом коэффициента динамичности в данном случае с 2 до 4.
Если направление начального смещения z0 перед торможением совпадает с направлением ускорения, то амплитуда последующих колебаний возрастает, если наоборот - уменьшается.
Обзор справочных и нормативных материалов
В связи с неопределенностью начальных условий для груза возникает вопрос о расчетных значениях коэффициента динамичности, которые следует принимать при анализе работоспособности конструкции крана.
В учебной литературе по грузоподъемным машинам [2,3 и др.], как правило, ограничиваются иллюстративным случаем нулевых начальных условий при колебаниях груза на канатах; при этом значение коэффициента динамичности получается равным 2.
В различных нормах расчета конструкций кранов величина Kdin или угла отклонения канатов от положения равновесия
ЛЕСНОЙ ВЕСТНИК 4/2012
143
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ
задается в зависимости от типа крана и режима его эксплуатации.
Краны пролетного типа
В нормах [1] для мостовых и козловых кранов общего назначения грузоподъемностью от 1 до 50 т регламентируется угол отклонения канатов с грузом 60 при расчете по максимальным нагрузкам рабочего состояния.
Расчетная скорость передвижения указанных кранов находится в пределах 0,5...2,0 м/с, время разгона 8...10 с, торможения 6...8 с, следовательно, ускорения будут примерно а = 0,1...0,3 м/с2, углы
Ф» = a=0,60...1,80; g
при ф=60 это соответствует
К«*=—=3,5...10,
Фт
Допустимое ускорение при разгоне и торможении механизмов передвижения для данных кранов не должно превышать 0,3 м/с2 [1], соответствующая величина угла отклонения каната с грузом будет
a 0,3 180 С0 * 0
Ф» =-=^7------=1,75 , Ф=6
g 9,81 п
откуда минимальное значение коэффициента динамичности
K
din
—=3,4.
Ф»
Стреловые краны
В [1] для поворотных кранов при отсутствии натурных исследований рекомендуется расчетный угол отклонения каната с грузом принимать по соотношению
ак + ац + ав + Fe
tgф=----ц----+-7,
g G
где ак, ац,- средние касательное, центробежное ускорения точки подвеса груза при вращении на максимальном вылете;
а - то же при изменении вылета;
F - сила ветра на груз силой тяжести G.
Учитывая, что указанные ускорения близкого порядка и, как правило, не превышают 0,3...0,6 м/с2, отношение ветровой нагрузки к силе тяжести груза обычно не более 0,06,
получаем оценку коэффициента динамичности от качания груза по данной рекомендации на уровне 3,5....4.
В [4] расчетную нагрузку при вращении поворотной части крана ¥пов рекомендуется принимать по соотношению
Ков =(1+Ki -0,15) Ко7, где Ki=4.6, -коэффици-
т—i ном
ент надежности, гпов - нормативная нагрузка при повороте, откуда Kdin =1+K1-0,15=1,6...1,9 .
В нормах европейской ассоциации производителей грузоподъемной техники FEM 1.001 [5] приводится график выбора коэффициента динамичности при качании груза на канате в зависимости от отношения времени разгона/торможения к периоду свободных колебаний груза и соотношения масс груза и тележки (крана); по этим данным при характерных параметрах движения Kdin > 2...2,5 (для кранов пролетного и стрелового типов).
В наиболее современном европейском стандарте EN 13001 [6] приводятся значения коэффициентов динамичности при работе крановых приводов в диапазоне 1,0...3,0 в зависимости от типа системы управления с рекомендацией оценки динамических нагрузок на основе конечно-элементных моделей. С учетом значений частного коэффициента надежности 1,22...1,34 по данной нагрузке при расчете по методу предельных состояний ожидаемые максимальные значения Kdin будут 1,2...4.
Из обзора видно, что устоявшегося подхода к выбору коэффициента динамичности от раскачивания груза на канатах нет - его назначают исходя из традиций, опыта проектирования и эксплуатации различных типов кранов, имеющихся экспериментальных данных и расчетных оценок, степени квалификации машинистов кранов. Средние значения данного коэффициента находятся на уровне 2...4.
Из эксплуатационных требований отметим имеющиеся в инструкциях по эксплуатации кранов указания машинисту «...управлять всеми механизмами крана нужно плавно, без рывков и раскачивания груза», однако это трудно контролируется и возможны нарушения данных правил вследствие объективных и субъективных причин.
144
ЛЕСНОЙ ВЕСТНИК 4/2012
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ
В настоящее время предлагаются также системы управления крановыми механизмами для гашения раскачивания груза [7].
Анализ динамических нагрузок с использованием
конечно-элементных моделей
В качестве примера анализа динамических нагрузок использована балочная модель консольной стрелы длиной 7 м, коробчатого сечения высотой 350 мм, шириной 250 мм с толщиной стенок 5 мм. Стрела расположена горизонтально и поворачивается по заданному закону изменения угловой скорости поворота вокруг вертикальной оси, проходящей через основание стрелы.
Для сравнения одновременно производился расчет двух вариантов закрепления груза массой 5000 кг (рис. 4):
1) груз закреплен на конце стрелы (верхняя модель);
2) груз подвешен к концу стрелы на упругом канате (нижняя модель).
На модели действуют вертикальное ускорение силы тяжести 9,81 м/с2 и инерционные нагрузки от ускорения и угловой скорости при повороте. Вращение принято по следующей схеме: разгон с постоянным ускорением, движение с постоянной скоростью и торможение с постоянным ускорением, как при разгоне. Время разгона и торможения приняты одинаковыми 5 с. Время начала торможения подобрано так, чтобы при торможении получались колебания максимальной интенсивности. Ветровые нагрузки в данном расчете не учитывались. Производился динамический, нелинейный (большие перемещения) анализ моделей [8] без учета демпфирования. На рис. 4 также приведены эпюры нормальных напряжений в стреле в Па.
На рис. 5а показаны изменения во времени максимальных напряжений (МПа) в сечениях стрелы у ее основания - толстой линией в модели с подвесом груза к концу стрелы на канате, тонкой линией - в модели с закреплением груза на конце стрелы (без каната).
Интересно отметить, что, несмотря на интенсивные колебания груза на канате, максимальные напряжения при этом оказались
близкими к имеющим место при колебаниях стрелы с грузом на ее конце (без каната) - примерно 622 МПа. Коэффициенты динамичности при разгоне/торможении стрелы в процессе поворота получились 3,1...3,2.
На рис. 5б приведены аналогичные результаты расчетов с учетом конструкционного демпфирования в элементах металлоконструкций, для которых логарифмический декремент затухания принят равным 0,3 [1]. Поскольку раскачивание груза затухает медленно [7], для него демпфирование в данном расчете не вводилось.
Из данного рисунка видно, что колебания груза, закрепленного на конце стрелы, практически затухают к моменту начала торможения, соответственно снизились максимальные напряжения с 621 МПа до 604 МПа и коэффициент динамичности с 3,1 до значения 1,93. Интенсивность колебаний и максимальные напряжения в стреле с грузом, подвешенным на канате, снизились незначительно и остались практически на уровне колебаний без демпфирования с коэффициентом динамичности 3,2.
Аналогичные расчеты по обоснования коэффициентов динамичности можно выполнить и для более сложных конструкций.
ления груза массой 5000 кг
ЛЕСНОЙ ВЕСТНИК 4/2012
145
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ 2
650,635. ■ 620-605,590. ■ 575,560,545. ■ 530,515-500,650,635. • 620. • 605-590. • 575. • 560. 545. • 530-SI 5. 500.
W
У
л А \
\ л А/1 J 1 I 1
м ю III J
п /V 54 з| Г1 ш
03 1.3
0. 2. 4. 6. 8. 10. 12. 14. 16. 18. 20. 22. 24. 26. 28. 30.
а)
622.5
т у / \ ( \ г
л л \
j IX (10 (а Л т \\ /V 1 1 L
№ £ У V V VI' 1 1 т Г
5^V / V V
5' L \ 1 V 1
2. 4. 6. 8. 10. 12. 14. 16. 18. 20. 22. 24. 26. 28. 30.
б)
Рис. 5. Изменения во времени максимальных напряжений (МПа)
Библиографический список
1. Гохберг, М.М. Справочник по кранам / М.М. Гох-берг и др. - Л.: Машиностроение, 1988. - Т. 1-2.
2. Грузоподъемные машины / М.П. Александров. - М.: Высшая школа, 1986. - 400 с.
3. Соколов, С.А. Металлические конструкции подъемно-транспортных машин / С.А. Соколов. - СПб.: Политехника, 2005. - 423 с.
4. РД НИИКраностроения - 08 - 07. - М.: ООО НИ-ИКраностроения, 2007.
5. FEM 1.001, Rules for the design of hoisting appliances. Book 2. 3-rd Edition, 1998.
6. EN 13001. Crane safety - General design. - Brusseles, 2004.
7. Зарецкий, А.А. Управление и защита грузоподъемного крана с гашением раскачивания груза / А.А. Зарецкий и др. // Журнал Все краны. - 162007; 17-2008; 19-2008.
8. Шимкович, Д.Г. Инженерный анализ методом конечных элементов / Д.Г. Шимкович, Femap & Nastran. - М.: ДМК Пресс, 2008. - 704 с.
146
ЛЕСНОЙ ВЕСТНИК 4/2012
