CC BY
9
Механика деформируемого твердого тела
Научная статья УДК 539.3
https://doi.org/10.24866/2227-6858/2022-1/3-16 Д.А. Шляхин, Е.В. Савинова, В.А. Юрин
ШЛЯХИН ДМИТРИЙ АВЕРКИЕВИЧ - д.т.н., доцент, заведующий кафедрой,
d-612-mit2009@yandex.ru, http://orcid.org/0000-0003-0926-7388
САВИНОВА ЕЛЕНА ВЛАДИМИРОВНА - старший преподаватель, slenax@yandex.ru,
http://orcid.org/0000-0001-7155-2281
ЮРИН ВЛАДИМИР АНДРЕЕВИЧ - инженер, smsm@samgtu.ru
Кафедра «Строительная механика, инженерная геология, основания и фундаменты»
Академия строительства и архитектуры
Самарский государственный технический университет
Самара, Россия
Динамическая задача термоэлектроупругости для круглой жестко закрепленной пластины
Аннотация: Построено новое замкнутое решение динамической осесимметричной задачи термоэлектроупругости для круглой жестко закрепленной пьезокерамической пластины в случае действия на ее лицевых поверхностях температурной нагрузки (граничные условия 1-го рода). На основании гиперболической теории теплопроводности Лорда-Шульмана определяется температурное поле в конструкции с последующим исследованием связанной задачи электроупругости. Расчетные соотношения, полученные при использовании метода неполного разделения переменных в виде конечных интегральных преобразований, позволяют определить температуру и напряженно-деформированное состояние пластины в случае действия нестационарной нагрузки. Проанализирована особенность использования гиперболической теории теплопроводности в пьезокерамических пластинах, показана необходимость учета инерционных свойств упругой системы различной толщины.
Ключевые слова: задача термоэлектроупругости, пьезокерамическая круглая пластина, динамическая нагрузка, конечные интегральные преобразования
Для цитирования: Шляхин Д.А., Савинова Е.В., Юрин В.А. Динамическая задача термоэлектроупругости для круглой жестко закрепленной пластины // Вестник Инженерной школы Дальневосточного федерального университета. 2022. № 1(50). С. 3-16. https://doi.org/10.24866/2227-6858/2022-1/3-16
Введение
В современной практике для контроля нестационарных процессов в измерительных и управляющих системах используются пьезокерамические датчики. Их работа в рамках прямого пьезоэффекта дает возможность преобразовать, как правило, механическое или кинематическое воздействие в электрический сигнал [8, 13]. В последнее время широкое применение получили тепловые датчики [4, 5, 7], для которых внешней нагрузкой является температура. Для описания их работы и повышения функциональных возможностей, основанных на взаимном влиянии температурных, электрических и упругих полей, используется математическая модель теории термоэлектроупругости [17]. При этом сформулированные расчетные соотношения включают систему несамосопряженных дифференциальных уравнений в частных производных.
© Шляхин Д.А., Савинова Е.В., Юрин В.А., 2022
Статья: поступила: 18.01.2022; рецензия: 24.01.2022; финансирование: университет.
Самарский государственный технический www.dvfu.ru/vestnikis
ВЕСТНИК ИНЖЕНЕРНОЙ ШКОЛЫ ДВФУ. 2022. № 1(50)
Для более качественной оценки нестационарных процессов в конструкциях конечной жесткости возникает необходимость построения аналитических решений в трехмерной постановке. Однако проблема интегрирования исходных расчетных соотношений требует исследования статических задач или анализа связанных полей в неограниченных телах. В частности, в статьях [14, 18] построено аналитическое решение осесимметричной статической задачи для радиально поляризованной изотропной пьезокерамической полой сферы и сферической оболочки в случае действия температурного градиента. Ранее был проведен анализ работы анизотропных цилиндров, подверженных температурным и механическим нагрузкам [20]. Позднее получено решение статической задачи термоэлектроупругости для трансвер-сально-изотропного пространства [15]. Рассматривались динамические задачи для однородного и неоднородного пьезокерамических слоев [2, 3]. Также объектом исследования являлись неограниченная среда [1, 16, 19] и связанные нестационарные поля в длинном пьезоке-рамическом цилиндре [12].
Целью настоящей работы является построение замкнутого решения задачи термоэлек-троупругости для жестко закрепленной круглой пластины с учетом связанности электрических и упругих полей при действии внешней нестационарной осесимметричной температурной нагрузки.
Постановка задачи
Пусть жестко закрепленная сплошная круглая пьезокерамическая пластина занимает в цилиндрической системе координат (г. ,6 , z .) область О : {0 < г. < Ь, 0 < 6 < 2п, 0 < ^^ < к * |. Рассматривается случай действия на ее лицевых поверхностях нестационарной нагрузки в виде функции изменения температуры со. (г*) , со. (£*) соответственно при z. = 0, к * (граничные условия 1-го рода). Лицевые электродированные поверхности пластины подключены к измерительному прибору (рис. 1).
г ('.)
Р-
с
1 ( п, г. )
с
' ( п , г.)
Рис. 1. Расчетная схема
В общем случае дифференциальные уравнения движения, электростатики, теплового баланса на основании гиперболической зависимости Лорда-Шульмана и краевые условия в цилиндрической системе координат в безразмерной форме имеют вид [6, 8]:
^ д2и д2Ж д2ф
— V и + —— + а2--+ а
дг дz ^^^^
д© д2и
„ дЖ д2Ж ^ ди а V--+ а ——+а V
дгдz дг
2
= 0
дг
дz2
дф д ф --+ а. V--+ а —г - ап
дz дг дz дz
дг2
д© д2Ж
---- = 0.
дг2
(1)
дф д2ф
-V — - а дг
дz2
^ ди
+ а V--+ а „V
дz
10
дЖ дг
+ а
д 22
11
дz
2 + + а1з
д©
дz
= 0
к
г
Ь
Ь
z
к
ВЕСТНИК ИНЖЕНЕРНОЙ ШКОЛЫ ДВФУ. 2022. № 1(50)
_э© д2© V-+
дг д2
д д
-+ Р-7
дг дг2
2 Л
г
а14 © + а15
VU + ■
V
Ж
д2
— а
дф
дг
= 0
г = 0,1 {и,Ж,ф, ©}|г=о , = 0 , {и,,} = 0.
д®
дг |г=1
(2)
дфф дг
+ а
10
( дЖ ди} -+ —
дг дг
+ а12 © = 0
дЖ дф дЖ ди л
2 = 0, На1^и + — + аб — — а7© = 0 + ^ = 0
' дг дг ' дг д2
дФ= 0
дг " , ©2=0 =®1, ©|г=к =^2;
д{и, Ж ,ф}
г = 0 {и,Ж,ф, ©>} = 0, ^ 1 = 0, = 6п
дг |г=0
(3)
| Ь=0
(4)
где {и,Ж,к,г,2} = {и*,Ж*,к",г,,2,}/Ь , {©,«!,®2}=тт1 {©*,(«;— Т0),Ц* — )}
С11
ф = -ет ф, {г, Р} =
{г,,Рге1} С7
С
55
С + С
С13 + С 55
е15 + е31
Р
С„
С11
е
31
С33 е15 е33 ^33 - "5 =— , аб = ~ , а7~ —
£
а =
33
ас
Сц
е
31
е
31
Гп
£
11
е31 (е15 + е31 ) С11 £11
а10
"14
е15. 31
С,, £11
Ь 1 ^11
А \ Р
е
а11 а10
33
е
а12
15
ё 11 в31 ^33
а13 а12
1
= т Ь^11^33 а =ТЬ а 15 Т0 . п:.- ,а1б Т0Ь
Гц£11
^33^11
<§"1
С„ ^ Э 1
, а17 = а — а, V = —+—,
р ' дг г
и*(г,, 2,, г*), Ж*(г,, 2,, г*), ф* (г,, , г*), ©* (г„ 2, г*) — компоненты вектора перемещений, потенциал электрического поля и приращение температуры в размерной форме; г* — время в размерной форме; ©* = Т — Т0 ; Т, Т0 — соответственно текущая температура и температура первоначального состояния тела, при котором отсутствуют механические напряжения; Ст8, етя ,£11,£33 — модули упругости, пьезомодули и коэффициенты диэлектрической проницаемости электроупругого материала ( т, я = 1,5 ) ; У11,УЪЪ —
компоненты тензора температурных напряжений ( уп = С13, уъъ = С33); А, к, а( — коэффициенты теплопроводности, объемной теплоемкости и линейного температурного расширения материала; gп, g33 — компоненты тензора пирокоэффициентов; Рге1 — время релаксации; 0о — известная в начальный момент времени скорость изменения температуры в пластине.
Неравенства (2) при г = 0 учитывают регулярность решения в центре пластины, а оставшиеся выражения при г = 1 - теплоизоляцию ее цилиндрической поверхности, условие закрепления и отсутствия радиальной компоненты индукции электрического поля при аксиальной поляризации материала.
3
2
Ь
ВЕСТНИК ИНЖЕНЕРНОЙ ШКОЛЫ ДВФУ. 2022. № 1(50)
Равенства (3) удовлетворяют условия отсутствия механических нормальных и касательных напряжений, подключение электродированных эквипотенциальных поверхностей к измерительному прибору и действию температурной внешней нагрузки.
Проблема интегрирования несамосопряженной системы дифференциальных уравнений (1) и удовлетворение начально-краевых условий (2)-(4) приводят к исследованию рассматриваемой задачи в несвязанной постановке.
На первом этапе решается уравнение теплопроводности с соответствующими краевыми условиями:
^д0 д20
V-+-5--а14
дт дг
г д0 д 0
-+ Р-г
удг дг 2
= 0; (5)
д0
т = 0,1 &( 0, г ,- = 0 ; (6)
дт\т=1
2 = 0,к ©(г, 0, г) = сох, 0(т,к,г) = со2; (7)
г = 0 0 = 0, =ё0 (8)
На следующем этапе рассматривается задача теории электроупругости относительно компонент вектора перемещений и, Ж и потенциала электрического поля ф с учетом заданной (определенной) функцией температуры 0 :
^ д 2и д 2Ж д2ф д2и д0
— VU + а1—— + а2-+ а3---— =-, (9)
дт дг дтдг дтдг дг дт
^дЖ д 2Ж ^ди ^дф д2ф д 2Ж д0
дт дг дг дт дг дг дг
_ дф д2ф ди _ дЖ д2Ж _ д0 -V--а —т + а V--+ а „V--+ а,, —— = -а, ^0- а,,-.
•-) о 2 9 ^ 10 ^ 11 /-Ч 2 12 13 /"Ч ;
дт дг дг дт дг дг
т = 0,1 {и, Ж,ф}\=0 < ^ , {и,Ж}|г=1 = 0 , (10)
(дЖ дил -+-
у дт дг
дЖ дф „ дЖ ди п дф п
г = 0,kаl7VU + а4 — + а6 — = а70 + —= 0 — = 0 • (11)
дг дг ' дт 'дг ' дт К '
д {и ,Ж }
г = 0 {и9Ж} = 0,—^-- = 0 (12)
дг \г=0
Решение задачи теплопроводности
Для решения краевой задачи (5)-(8) первоначально применяется конечное интегральное преобразование Ханкеля [10]:
дф
я + а
дт
= -а120 ;
Ян (п, г, г) = | 0(т, г, г) т/0 (]пт )йт,
(13)
" Я (п, г, г)/ ( ] т)
0(т,г,г) = 2^ н( ' ^0(Л ) , (14)
/=0 ^ 0 ( Jn )
0
где ]п — положительные нули функции Jl ( уи ) (п = 0, 10 = 0), У0 (...), — функции Бесселя первого рода нулевого и первого порядков.
В результате получается новая задача относительно трансформанты Яя :
— 1 +
^ п Н
д2Я
д2
— — а
2 а14
дЯН _ д2ЯН л
-— + Р-—
V дг дг2
= 0;
2 = ак Я—(п,0,г) = р—(п,г), Я—(п,к,г) = р2 —(п,г):
г = 0 я— (п,2,0) = 0, =КоН(п,г);
(15)
(16) (17)
| Г=0
Здесь [Р1Н, Р2Н, Ион] = 0о}г]о (пГ)Лг.
Использование новой функции ТН(п, 2, г), связанной с ЯН(п, 2, г) :
я— (п, 2, г) = /1 (2) Р1Н (п, г)+/2 (2) р
2 Н (пг)+ТН 2, г),
при удовлетворении условий:
/1(0) = /2(к) = 1, /1(к) = /2(0) = 0 позволяет сформулировать краевую задачу для функции ТН с однородными граничными условиями. При этом уравнение (15) становится неоднородным с правой частью Ря , а начальные условия (17) следует заменить на Т0Н, Т0Н:
д2
(18) (19)
Р— =
' д „ д2 Л
Л
д2
2 + а14
-+Р-
удг дг у
[ /1(2) Р1— (n, г) + /2(2) Р2 — (пг)]
Т0Н = —/1(2)Р— (п,°) — /2(2)Р2Н (п,°),
• • д
Тон = Яон(п.г) — — [/1(г)р1Н(пЛ)+[2(г)р2н(п.Щ,:=о,
/ (2), /2 (2) — дважды дифференцируемые функции.
Применяя к (15)—(17) относительно функции Тн конечные Бт-преобразования Фурье по переменной 2 [10]:
ЬН(п,т,г) = JТН(п,2,г(Лт2*)й2 .
2
ТН К 2, г) = 2 X ЬН (n, m, г) ^ (Лт2) , ^т =
тж
7 ^^^ 11 ^ ' ' ^ \ т / т 7
к т=1 к
получаем следующую задачу относительно трансформанты :
(20) (21)
а,
14
г дТ„ пд 2ТНЛ
—— + Р-—
Vдг дгг у
(12 + А2) = В
\~> п т ) Н j
г = 0 ТН(п,т,0) = ц решение которой имеет вид:
Н
дтн(п,т,0 _ : 0 — г- = ^он,
|Г=0
(22) (23)
0
да
LH = (Аг - ¿2)-1{(¿H0 - ^2¿hc) ехр(Агг) - (Lm - A1LH0) exV(A2t) +
+P"1 jBH (t)[exp(A1 (t - t)) - exp(A (t -r))]í/rl, (24)
0 J
r«e Au = -1 ~ , bi = ai4 +Л), BH = - a-\FH sin (Xmz ) dz, 2 P 0
h
L0H = jT0H sin(¿mz)dz ,Loh = /0ft Тон sin(Amz) dz.
0
Выражение для ®(r, z, t) при использовании формул обращения (21), (14) с учетом (18) имеет вид:
®( r, z, t ) = 2¿ J0{jj )
^J0O; )2
2 00
/1(г)Рш + /2(г)Р2Н + Т X(n, г(Лт2) (25)
}=0 " 0 ^ п ) |_ к т=1
Функции /1 (г), /2 (г) определяются при решении следующих уравнений:
^^ - НА (г) = 0, (26)
аг
что позволяет существенно упростить функцию РН.
В результате с учетом граничных условий (19) имеем
/1 (г)= ^(к -г)], /2(г)= .
Полученная зависимость распределения температурного поля в виде замкнутого решения (25) позволяет перейти к решению связанной задачи электроупругости.
Решение задачи электроупругости
Краевая задача (9)—(12) решается с помощью метода конечных интегральных преобразований Ханкеля [10] и обобщенного интегрального преобразования (КИП) [9].
Алгоритмы преобразований позволяют удовлетворить только смешанные однородные граничные условия. Для этого равенство Ж (1, г, г) = 0 (10) заменяется условием наличия
касательных напряжений р (г, г) на цилиндрической поверхности пластины:
„ (дЖ ди^ „ ^ дф 0
"'+=1=с» ЬтУ С11 ^=(27)
и вводятся новые
функции ^(т, г, г), X (т, г,г), связанные с Ж (т, г, г) ,ф( т, г, г) соотношениями: Ж(т, г, г) = Н (т, г, г) + Ж (г) + ™(т, г, г),
ф (т, г, г) = Н2 (т, г, г) + X (т, г, г) , (28)
где Н (т, г, г) = /3 (т) р (г, г) + / (т) 0 (1, г, г), Н2 (т, г, г) = / (т) р (г, г) +
+/ (т)©(1,г,г) ,/ (т)..../ (т)-дважды дифференцируемые функции Р1 (1,1), -функции, определяемые в процессе решения задачи, позволяющие удовлетворить условие Ж (1, г, г ) = 0 .
ВЕСТНИК ИНЖЕНЕРНОЙ ШКОЛЫ ДВФУ. 2022. № 1(50)
В результате подстановки (28) в (9)-(12), (27) при выполнении условий
дНх а5 дН2 Р1 д— дНх
г = 1
— а
= а,, ©,,
(29)
^ ^ , л "'10 ^ 12 |г=1
ог а иг С55 дг дг
получаем новую краевую задачу относительно функций и (г, 2, г), ж(г, 2, г), х(г, 2, г) . При этом дифференциальные уравнения (9), граничные условия (11) и начальные условия относительно ж(г,2,г) становятся неоднородными с правыми частями р...р, В1...В3, Ж0 ,жо,жо:
Р =
э©
дг
а 2
а 2
а0
ЭгЭ2
1 - " В! = а © — а"м
а
э© э2ж
Р2 = а7 — + —— 2 7 Э2 Эг2
ЭгЭ2
' Э Э2 Э2 л
а1 V — + а4 —2--2
Эг Э2 Эг
ЭН ЭН а
Э2
Э2
2 в =—д—
Н —
д
д
2 Л
а5 V — + а6
5 л 6 Л 2
V дг д2 у
Эг
Н
Э©
р = —а12 V© — а13 —--а10V — ап ^ 2 + V —2 + ас
д22
Э2
Л,, — г-Т • дН1
^ |Г=о
Эг
Э21
дг
д 2
22 , В3 =-
ЭН 2 Эг
В результате применения к краевой задаче относительно и, Ж, Х преобразования Хан-келя [10]
и
н
( п, 2, г) = J и ( г, 2, г ) гЗх (]Г ) йг , Ж— (п, 2, г ) = J Ж ( г, 2, г) гЗ^ (]пг ) ¿г
Хн ( п 2, г ) = Jx( г, 2, г ) гЗ0 ( Лг ) йг;
(30)
. . ™ и„ (п, 2, г) , ч , ч ® ж„ (п, 2, г) , ч и (г, 2, г) = 2Х (п ' )3 (1пг), Ж(г, 2, г) = 2Х Н ( , ч;)З, (]пг);
п=1
Л (Л )2
п=0
3 (1п )
х( г, 2, г ) = 0 (Лг)
п=0 3 0 ( Л )
получаем краевую задачу в области изображений:
, „ Э2 и—
1 и„ + а
^ п Н 1
Э2 ^
а2Л
ЭЖН „ V дХ—_ Э иН =г
Э2
Э2 Эг 2
1Н
2 Э2 жн Эи
—а, 1 2„ + а-Н + а01
1~> п Н 4—2 2-> п
4 Э22
•2 д2Уи
12Х— — + а9
д2
2 = 0, к а17]пиН + а4 Эи„
1 жч +—— = В9„
л п Н ^ 2 Н :
Э2
Н „ , „ д Хн Э ЖН = к
а,1 х„ + а, „
_ ^ ^Н 6 о 2
Э2 д2
Эи— .2 Э2Ж—
--а10ЛЖН + = р3Н .
Эг2
2Н
Э2
Э2 ^
+а дх
Н 1 ^ Н = В,
д2 д2 — ] пХН = В3 Н
1Н ;
(31)
(32)
(33)
0
0
ВЕСТНИК ИНЖЕНЕРНОЙ ШКОЛЫ ДВФУ. 2022. № 1(50)
г = 0 иН = 0 , w„ =
ди
Н
Н гу0н ,
= 0, д™н -
V/,
он,
дг \г=0 ' ^ №=0
где Лп - положительные нули функции / (]п) (п = 0, о; у0 = 0),
1
{Р1Н , в2Н, ВзН } = | {Р1, в2, Вз }т/ (]пт) ат,
0
{р2н,Рзн,В1н1,Шон,Щн} = ¡1{р2,Рз,В1,'Шон,щ}г]о(]пг)(1г.
Введение новых функций иН, ЖН, фН , связанных с иН, wH, ХН соотношениями:
ия (п, г, г) = Н3 (п, г, г) + ин (п, г, г),
wн (п, г, г) = Н4 (п, г, г) + Жн (п, г, г), Хн (п, г, г) = Н, (п, г, г) + фН (п, г, г),
позволяет привести граничные условия (33) к однородным.
Здесь Нз(п ^ г) = /7 (г)В2н\г=0 + /9 (г)В2Н\г=к + ./11(2)В4Н\г=0 + У1з (2)В4Н\г=к ,
Н4 (n, г, г) = Л (г)В2Н\ г=0 + Л10 (г)В2Н \ г=к + Л12 (г)В4Н\ г=0 + Л14 (г)В4Н\ г=к ,
дВ^
(34)
(35)
Н 5(п г, г ) = /15 ( г ) Взн\ г=0 + /1б( г ) В
3Н\ г=к , В4Н = В1Н аб пЗН
дг
/7(г).../16(г) - дважды дифференцируемые функции.
Подстановка (35) в (32)-(34) при введении дополнительных ограничений на функции Н3 (п, г, г), Н4 (п, г, г), Н, (п, г, г) :
дН дН дН
г = 0, к ъЛН + а —4 + а —5 = , —3 - ЛпН4 = В2Н, ЛпН5 = -В.
а17./пН 3 ' а4 п ' а6 0 В4Н> ~
дг дг дг
3Н
(36)
приводит к краевой задаче для функций ин, Жн, фн с однородными граничными условиями. Здесь правые части дифференциальных уравнений следует заменить на Яхн...Я3н , а начальные условия - на ион, 0он, №он, №он:
Я = Р
1Н
д 22
дН.
^М 4- /7 " Н 3 „ • 4 _ , дН5 5 Н3 _Л Н 3 + а1—Г2 - а2Л —:--а3Л---
дг2
дг
дг дГ
Я = Р -
^2 Н 1 2 Н
Я = Р
^ Н А 3Н
д2Н4 . дН3
-а1Л Н4 + а4-Т1- + а2Л дг
2 ¿^^ Н",
12 - а 5
п 5 !
+ аа1
9п
дг
дН,
- а5Л Н 5 + аб
д2Щ д2Н4
дг2 дг2
aloJН4 + аи
~ 2 ' "п -
дг дг
д2 Н л
дг'
дн?
дн4
и0 Я = -Н3 \ г0 , Ж0Н = Н - Н4 \ г=0 , ион = -"-нТ1 , ^^он = ^он - ^
Краевая задача относительно иН, ЖН, фН решается обобщенным методом конечных интегральных преобразований с неизвестными компонентами вектор-функции ядра преобразований Кх (Л!п, 2), К2 (Л, г), Къ (Л„, г) и весовыми коэффициентами а, Р, у [9]:
к
О(Лт,п,г(п,2,г)аК (Лп,2) + Ж— (п,2,г)рк2 (Л1п,2)],
{UH (n, z, t) ,WH (n, z, t) ф (n, z, t)} = jj G (Л,, n, t)
i=1
{K (4,, z) , K2 (Лп , z) , K3 (4n , z)}
l|Kin II
\K\\2 = J [*KÍ (л,, z) + рк 22 (4n, z )]dz
где Л1п — положительные параметры, образующие счетное множество (1 = 1, да).
В результате использования алгоритма преобразований формируются задачи относительно трансформанты О (Л.„, п, г) и компонент вектор-функции ядра преобразований
К (Лп,2)...К3 (Л-„,2) . Алгоритм решения задачи относительно данных задач представлен в работе [11].
Окончательные выражения для функций и(г,2,г), Ж(г, 2,г) ,ф(г,2,г) имеют вид:
U (г, z, t ) = 2j
Ji (Jnr)
n=1
J0 ( j )
H з(п, z, t) + j G (л, , n, t)
i =1
ki (л, , z) IKII2
(38)
W ( r, z, t) = H (r, z, t) + W (t) + 2 j
J o( Jnr )
n=0
ф(r,z,t) = H2 (r,z,t) + 2 j
Jo ( Jn)
J o( Jnr )
H 4 (n, z, t) + j G (4n, n, t)
i=i
n=0
Jo ( j, )2
H 5(n, z, t) + j G (л, , n, t)
i=l
K 2(4,,z)
КГ .
КЗ, z)'
Kl2
Для определения —, Ж , Р первоначально рассматривается случай действия только температурной нагрузки ©^ ф ? ф . Тогда —...— определяются из условия упрощения правых частей соответствующих неоднородных уравнений ( Р1, Р2, Я1Н, Я2Н, ЯН ) при удовлетворении условий (29), (36).
Функция Ж (г) вычисляется из условия закрепления нижней цилиндрической поверхности пластины (ж (1 к г) = 0) :
W1 (t) = -Hi (1,h,t)-£
J o ( Jn)
H 4(n, h, t) + X G (Л,, n, t)
К 2 (Л,,h)
IKJ 2
На следующем этапе решения рассматривается случай действия касательных напряжений P (z, t) ( 0 = 0=0= o ). Функция р( z, t) представляется, с учетом парности касательных напряжений и равновесия пластины, в следующем виде:
(2я Л
P ( z, t ) = S0W (t) sin -z ,
V h J
что позволяет определить H1...H5 также из условия упрощения правых частей соответствующих уравнений.
o
Сумма двух результатов расчета позволяет определить постоянную 50 из условия интегрального равенства нулю вертикальных перемещений цилиндрической поверхности пластины:
к
J W (1, z, ¿max )dz = 0 .
0
Численный анализ результатов
В качестве примера рассматривается круглая пластина (Ь = 0.014 м), изготовленная из
аксиально поляризованной пьезокерамики PZT-4, имеющей следующие физико-механические характеристики:
{Сп,Сз,С33,С55} = {13.9, 7.43, 11.5, 2.56}х1010 Па, {¿тп,^} = {б.45, 5.62}х10-9
Ф/м, {е15, е31, е33} = {12.7, -5.2, 15.1} Кл/м2 , р = 7500 кг/ м3 , к = 3х106Дж/(м3К),
Л = 1.6Вт/(м К),=0.4х10-5К -1 ,{^,} = {-0.3, -0.6}х10-6Кл/(м2 К), Рге1 = 5х 10-5 с.
Рассматривается случай действия на верхней лицевой поверхности ( г* = 0 ) температурной нагрузки:
f r Л
V b у
ч (r.,u)= i-tL sin)н(tmax-Фн(t*-с) х,к)=о,
где H)— единичная функция Хевисайда (H(t ) = 1 при ~ > 0 , H(~ )= 0 при ~ < 0 ), Tmax, tmax — максимальное значение внешнего температурного воздействия и соответствующее ему время в размерной форме (Tm*ax = 373 0^ (100 0С), T0 = 293 0K, (20 0С), t*max = 1 с),
о=я! (2tmax).
Полученные расчетные соотношения позволяют определить все компоненты термо-электроупругого поля. Ниже ограничимся только численными результатами, которые позволяют в дальнейших работах авторов с некоторыми упрощениями построить в общем виде решение связанной задачи (1)-(4).
Показаны графики изменения температуры 0* (0, z, tt) по высоте пластины h с учетом
(сплошная линия) и без учета ( ¡ге1 = 0, пунктирная линия) релаксации температурного потока в цилиндре (рис. 2).
На рисунке цифрами 1, 2 обозначены результаты соответственно для времени L =t* , 10t*
* max' max •
Результаты расчета позволяют сделать следующие выводы:
- в рассматриваемом диапазоне изменения толщины пластины учет релаксации теплового потока приводит к снижению температуры во время ее прогрева (рис. 2, графики 1);
- при установившемся температурном режиме, а также в пластинах меньшей толщины
результаты, полученные с помощью гиперболической и параболической (¡rei = 0) теорий, совпадают (рис. 2, график 2).
©*( 0, z, t*) ,0 С
80
% NA Хч 2
\ч / х> 1
" * *
0.05 0.1
а) к* = 2 х 10-3 (м)
®*( 0, z, с ах) ,0 с
80
60
40
20
^ 2
/ >*
1
0.05 0.1
б) к* = 2.5х 10-3 (м)
0.15
Рис. 2. Графики изменения 0* (0, г, ^) по высоте пластины к (к = к* / Ь)
(сплошная линия -рге1 = 5 х10-5 (с)- пунктирная линия -рге1 = 0, I-= Сах,» 2-г* = 10^ах)
Для оценки влияния инерционной составляющей упругой системы на напряженно-деформированное состояние рассматриваемой конструкции используются результаты расчета задачи электроупругости [20], позволяющие сделать вывод, что при гармоническом воздействии силы инерции необходимо учитывать при следующем соотношении частоты вынужден-
I— в
ных колебаний в и первой частоты собственных колебаний у (у = А1 ): —> 0.5.
Ь у р у
В результате получается следующая зависимость между г*тах и у , при которой необходимо учитывать инерционные характеристики упругой системы:
t* <max
¥
(38)
На рисунке 3 представлены результаты, по которым можно для произвольной толщины пластины определить время достижения нагрузки максимального значения tmax ( = 373 K
(100 0 С )), когда в расчетах необходимо учитывать инерционные характеристики упругой системы (заштрихованная часть графика). Сплошной и пунктирной линиями обозначены данные вычисления, полученные с учетом связанности электроупругих полей и без учета электрического поля.
Анализ неравенства (39) и численных результатов расчета (см. рис. 3) позволяют сделать вывод, что увеличение толщины пластины приводит к увеличению ее жесткости и частоты собственных колебаний ¥, что позволяет уменьшить предельное значение времени
60
40
20
z
0
0
z
0
0
. Здесь необходимо отметить, что учет электрического поля приводит к увеличению Щ на 3-5%.
t" х 10- 4, c
max '
1.5
0.5
к* х10 3,м
0.5 1 1.5
Рис. 3. Зависимость " t* - к*"
1
0
Приведенные результаты (см. рис. 3) позволяют, при соответствующих ограничениях по скорости изменения температурной нагрузки, в расчетах вместо уравнений движений использовать уравнения равновесия, существенно упрощающие исходные расчетные соотношения.
Выводы
Полученные в работе результаты динамического расчета позволяют определить напряженно-деформированное состояние, температурное и электрическое поля в жестко закрепленной пьезокерамической пластине. Использование гиперболической теории теплопроводности дает возможность уточнить величину температурного поля в пластине при относительной толщине к > 0.1. Установлена зависимость между геометрическими размерами упругой системы и скоростью изменения температуры, при которой необходимо учитывать ее инерционные характеристики.
Заявленный вклад авторов: все авторы сделали эквивалентный вклад в подготовку публикации. Авторы заявляют об отсутствии конфликта интересов.
СПИСОК ИСТОЧНИКОВ
1. Ватульян А.О, Кирютенко А.Ю., Федорова В.В. Задача Даниловской в термоэлектроупругости // Интегро-дифференциальные операторы и их приложения. 1997. № 2. С. 25-30.
2. Ватульян А.О., Нестеров С. А. Динамическая задача термоэлектроупругости для функционально-градиентного слоя // Вычислительная механика сплошных сред. 2017. Т. 10, № 2. С. 117-126. DOI: 10.7242/1999-6691/2017.10.2.10
3. Ватульян А.О. Тепловой удар по термоэлектроупругому слою // Вестник ДГТУ. 2001. Т. 1(7), № 1.С. 82-89.
4. Ионов Б.П., Ионов А.Б. Спектрально-статистический подход к бесконтактному измерению температуры // Датчики и системы. 2009. № 2. С. 9-12.
5. Казарян А.А. Тонкопленочный датчик давления и температуры // Датчики и системы. 2016. № 3(201). С. 50-56.
6. Коваленко А.Д. Основы термоупругости. Киев: Наук. думка, 1970. 307 с.
7. Паньков А.А. Резонансная диагностика распределения температуры пьезоэлектролюминес-центным оптоволоконным датчиком по решению интегрального уравнения Фредгольма // Вестник Пермского национального исследовательского политехнического университета. Механика. 2018. № 2. С. 72-82. DOI: 10.15593/perm.mech/2018.2.07
8. Партон В.З., Кудрявцев Б.А. Электроупругость пьезоэлектрических и электропроводных тел. Москва: Наука, 1988. 470 с.
9. Сеницкий Ю.Э. Исследование упругого деформирования элементов конструкций при динамических воздействиях методом конечных интегральных преобразований. Саратов: Изд-во Саратов. ун-та, 1985. 174 с.
10. Снеддон И.Н. Преобразования Фурье. Москва: Изд-во иностр. лит., 1955. 668 с.
11. Шляхин Д. А. Вынужденные осесимметричные колебания толстой круглой жестко закрепленной пьезокерамической пластины // Известия Российской академии наук. Механика твердого тела. 2014.№ 4. С. 90-100.
12. Шляхин Д. А. Кальмова М. А. Нестационарная задача термоэлектроупругости для длинного пье-зокерамического цилиндра // Вестник Пермского национального исследовательского политехнического университета. Механика. 2021. № 2. С. 181-190. DOI: 10.15593/perm.mech/2021.2.16.
13. Ультразвуковые преобразователи для неразрушающего контроля / под общ. ред. И.Н. Ермолова. Москва: Машиностроение, 1986. 280 с.
14. Chen W.Q., Shioya T. Piezothermoelastic behavior of a pyroelectric spherical shel. J. Thermal Stress. 2001;(24): 105-120.
15. Kaczynski A. On 3rd anticrack problem of thermoelectroelasticity. Acta Mechanica et Automatica. 2018;12(2): 109-114. DOI: 10.2478/ama-2018-0018
16. Kirilyuk V.S. Thermostressed state of a piezoelectric body with a plane crack under symmetric thermal load. International Applied Mechanics. 2008;44(3):320-330.
17. Mindlin R.D. Equations of high frequency vibrations of thermopiezoelectric crystal plates. Int. J. Solids Struct. 1974;10(6):625-637.
18. Saadatfar M., Rastgoo A. Stress in piezoelectric hollow sphere with thermal gradient. J. оf Mechanical Science and Technology. 2008;22:1460-1467.
19. Shang F., Kuna M., Kitamura T. Theoretical investigation of an elliptical crack in thermopiezoelectric material. Part 1: Analytical development. Theor. Appl. Fract. Mech. 2003;40(3):237-246.
20. Tarn J.Q. Exact solutions for functionally graded anisotropic cylinders subjected to thermal and mechanical loads. Int. J. Solids Structure. 2001;(38):8189-8206.
FEFU: SCHOOL of ENGINEERING BULLETIN. 2022. N 1/50 Mechanics of Deformable Solids ww.dvfu.ru/en/vestnikis
Original article
https://doi.org/10.24866/2227-6858/2022-1/3-16
Shlyakhin D., Savinova E., Yurin V.
DMITRY A. SHLYAKHIN, Doctor of Engineering Sciences, Associate Professor, Head of the Department, d-612-mit2009@yandex.ru, http://orcid.org/0000-0003-0926-7388 ELENA V. SAVINOVA, Senior Lecturer, slenax@yandex.ru, http://orcid.org/0000-0001-7155-2281 VLADIMIR A. YURIN, Engineer, smsm@samgtu.ru
Department of Construction Mechanics, Engineering Geology, Grounds and Foundations Architecture and Civil Engineering Academy Samara State Technical University Samara, Russia
Dynamic problem of thermoelectricity for round rigidly fixed plate
Abstract: A new closed solution of a dynamic axisymmetric problem of thermoelectroelasticity for a round rigidly fixed piezoceramic plate in the case of a temperature load acting on its front surfaces (boundary conditions of the 1st kind) is constructed. The temperature field in the structure is determined based on Lord-Schul-man's hyperbolic heat conduction theory, followed by the study of the relevant electroelasticity problem. The design ratio obtained by the method of incomplete separation of variables in the form of finite integral transformations make it possible to determine the temperature and the stress-strain state of the plate in the case of a non-stationary load. The special aspects of the use of the hyperbolic heat conduction theory in piezoceramic
plates, as well as the need to consider the inertial properties of an elastic system of various thicknesses, are analyzed.
Keywords: problem of thermoelectroelasticity, piezoceramic round plate, dynamic load, finite integral transformations
For citation: Shlyakhin D., Savinova E., Yurin V. Dynamic problem of thermoelectricity for round rigidly fixed plate. FEFU: School of Engineering Bulletin. 2022;(50):3-16. (In Russ.). https://doi.org/10.24866/2227-6858/2022-1/3-16
Contribution of the authors: the authors contributed equally to this article The authors declare no conflict of interests.
REFERENCES
1. Vatulyan A.O., Kiryutenko A.Yu., Fedorova V.V. Danilovskaya's task in thermoelectric insulation-guests. Integro-differential operators and their applications. 1997;(2):25-30.
2. Vatulyan A.O., Nesterov S.A. Dynamic problem of thermoelectromagnetic for the functionally graded layer. Computational mechanics of continuous media. 2017;10(2): 117-126. DOI: 10.7242/19996691/2017.10.2.10
3. Vatulyan A.O. Thermal impact termoelektrarna layer. Bulletin of the DSTU. 2001;1(1):82-89.
4. Ionov B.P., Ionov A.B. Spectral-statistical approach to contactless temperature measurement. Sensors and systems. 2009;(2):9-12.
5. Kazaryan A.A. Fine-film captive pressure and temperature. Sensors & systems. 2016;(3):50-56.
6. Kovalenko A.D. Fundamentals of thermoelasticity. Kiev, Nauk. dumka, 1970. 307 p.
7. Pankov A.A. Resonant diagnostics of temperature distribution by a piezoelectrolyuminous fiber-optic sensor according to the solution of the Fred-golm integral equation. Bulletin of the Perm National Research Poly-Technical University. Mechanics. 2018;(2):72-82. DOI: 10.15593/perm.mechan-ics/2018.2.07
8. Parton V.Z., Kudryavtsev B.A. Electroelasticity of piezoelectric and electrically conductive bodies. Moscow, Nauka, 1988. 470 p.
9. Senitsky Yu.E. Investigation of elastic deformation of structural elements under dynamic influences by the method of finite integral transformations. Saratov, Publishing House of Saratov Univercity, 1985. 174 p.
10. Sneddon I.N. Fourier transforms. Moscow, Publishing House of Foreign Lit., 1955. 668 p.
11. Shlyakhin D.A. Forced axisymmetric oscillations of a thick round rigidly fixed piezoceramic plate. Izvestiya Rossiyskoy akad-mii nauk. Solid state mechanics. 2014;(4):90-100.
12. Shlyakhin D.A., Kalmova M.A. Nonstationary thermoelectroelasticity problem for a long pie-zoceramic cylinder. Bulletin of Perm National Research Polytechnic University. Mechanics. 2021;(2): 181-190. DOI: 10.15593/perm.mech/2021.2.16
13. Ultrasonic transducers for non-destructive testing / I.N. Ermolov (ed.). Moscow, Mashinostroenie, 1986.280 p.
14. Chen W.Q., Shioya T. Piezothermoelastic behavior of a pyroelectric spherical shel. J. Thermal Stress. 2001;(24): 105-120.
15. Kaczynski A. On 3rd anticrack problem of thermoelectroelasticity. Acta Mechanica et Automatica. 2018;12(2): 109-114. DOI: 10.2478/ama-2018-0018
16. Kirilyuk V.S. Thermostressed state of a piezoelectric body with a plane crack under symmetric thermal load. International Applied Mechanics. 2008;44(3):320-330.
17. Mindlin R.D. Equations of high frequency vibrations of thermopiezoelectric crystal plates. Int. J. Solids Struct. 1974;10(6):625-637.
18. Saadatfar M., Rastgoo A. Stress in piezoelectric hollow sphere with thermal gradient. Journal of Mechanical Science and Technology. 2008;22:1460-1467.
19. Shang F., Kuna M., Kitamura T. Theoretical investigation of an elliptical crack in thermopiezoelectric material. Part 1: Analytical development. Theor. Appl. Fract. Mech. 2003;40(3):237-246.
20. Tarn J.Q. Exact solutions for functionally graded anisotropic cylinders subjected to thermal and mechanical loads. Int. J. Solids Structure. 2001;(38):8189-8206.
