Динамическая устойчивость зубчато-ременной передачи Текст научной статьи по специальности «Механика и машиностроение»

УДК 534

А. К. Беляев

ДИНАМИЧЕСКАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ ЗУБЧАТО-РЕМЕННОЙ ПЕРЕДАЧИ

Рассмотрена проблема динамической устойчивости зубчато-ременной передачи. Предложен метод и получены уравнения для построения областей устойчивого поступательного движения зубчатого ремня. Построены две области неустойчивости прямолинейного движения ремня: область дивергентной неустойчивости и область параметрического резонанса.

Ключевые слова: зубчато-ременные передачи, дивергентная неустойчивость, параметрический резонанс.

Введение. Зубчато-ременные передачи широко распространены в различных устройствах и механизмах: в средствах оргтехники (принтеры, плоттеры, сканеры), двигателях и коробках передач автомобилей и пр. Это обусловлено, в первую очередь, тем, что благодаря зубчато-ременной передаче достигается высокая точность позиционирования приспособлений, управляемых ремнем. К неоспоримым плюсам следует также отнести низкий уровень шума, что немаловажно во всех сферах деятельности человека и является одним из требований, предъявляемых организациями технического надзора. Кроме того, зубчато-ременная передача достаточно проста в обслуживании и контроль ее технического состояния не представляет особой трудности.

Основное требование к зубчато-ременным передачам — точная передача крутящего момента от ведущего колеса к ведомому. Это настолько важное условие, что во многих меха-тронных устройствах зубчатый ремень называется синхронным ремнем, гарантирующим синхронность вращений и тем самым точность позиционирования. Например, в двигателях автомобилей неточность в передаче крутящего момента от коленчатого вала к распределительному влечет за собой несвоевременное открытие впускных и выпускных клапанов, т. е. неустойчивую работу всего двигателя. Известно, что ошибка в 1 % приводит к повышенной эмиссии выхлопных газов, а ошибка в 3 % — к повреждению клапанов у дизельных двигателей. Другим примером точного позиционирования является использование зубчатых ремней в печатающих механизмах, где от точности подведения печатающей головки напрямую зависит качество печати.

В настоящей статье исследуется движение зубчатого ремня в зубчато-ременной передаче; предлагается вывод дифференциального уравнения движения ремня; приводятся расчет и метод построения областей устойчивого и неустойчивого движения в зависимости от скорости движения и силы натяжения ремня.

Постановка задачи динамической устойчивости. Зубчато-ременная передача схематически изображена на рис. 1. Исследуем устойчивость равномерного движения участка ремня 0 < х < I, для чего он аппроксимируется двуопертой балкой. Для получения дифференциального уравнения применим принцип Гамильтона — Остроградского. Кинетическая энергия участка ремня 0 < х < I определяется как

где р — плотность материала ремня, А — площадь поперечного сечения; горизонтальная и вертикальная проекции абсолютной скорости УаЬ элемента ремня равны соответственно V и

(у + Уу'), где V — переносная скорость движения элемента ремня вдоль оси х, а точка и штрих обозначают соответственно производную по времени и по х.

Рис. 1

Потенциальная энергия изгибной деформации ремня

1

П = - J EI (y")2 dx,

где EI — изгибная жесткость ремня.

Вследствие малости прогиба ремня выражение, характеризующее работу, вызванную силой натяжения ремня, допускает упрощение:

l 1 l WF =-FJ(1 -cosy')dx«—FJy'2(x, t)dx,

0 2 0

а работа моментов определяется выражением

WM = M (0, t)y' (0, t) + M (l, t)y '(l, t).

Применяя принцип Гамильтона [1], получаем дифференциальное уравнение движения ремня

pAy+(V 2рЛ-F ) y'+2V pAy'+Ely' ''' = 0 (1)

и следующие граничные условия

Ely "(0, t) = -M(t), Ely \l, t)=M(t). (2)

Определение границ области устойчивости. Для сведения полученной граничной задачи, состоящей из дифференциального уравнения в частных производных (1) и граничных условий (2), к обыкновенному дифференциальному уравнению применим метод Галеркина. Решение будем искать в следующем виде:

M(t) 3 „. 2 l2 ч ✓ ч • nx

y(x, t) = (2xj - 3lx2 +12 x) + q(t) sin ——, 6lEI l

(3)

здесь первое слагаемое введено для преобразования граничных условий к однородным; q(t) — обобщенная координата; выбрана базисная функция 8т(тсх /1), поскольку она одновременно является первой формой колебаний и формой потери статической устойчивости ремня.

l

Подставим выражение (3) в уравнение движения (1) и применим метод Галеркина, т.е. умножим полученное выражение на базисную функцию б1п(пх /1) и проинтегрируем по переменной х . В результате получим

•V4 п2

q (t)+-Т-i

1

pA

С п2 ^

п

F+El — l

V 1 У

-V 2

4lV(12-п2) . q(t) =-Ь-—Lm (t). (4)

3EI п3

Сила натяжения ремня имеет две составляющие: ¥ (г) = ¥0 + ¥ 1Ф(г), здесь ¥0 — постоянная составляющая, обозначающая силу первоначального натяжения ремня, а ¥1Ф(^) — периодическая составляющая, вызванная контактами зубьев ремня и колеса при движении ремня, причем функция Ф(г) имеет период Т = пг / Ух, где г — радиус зубчатого колеса, 2 — число зубьев колеса.

Полученное дифференциальное уравнение (4) может быть записано в форме классического уравнения Хилла:

2

ц(г) + 02(1 + 2||фМО = 4У(12 -п ) М(г), (5)

3Е1 п2

О п2

где £2 = — . l2

EI F0 + F* - V2pA . _ п2 ET

— собственная частота нагруженного ремня, F* = -г- ET —

pA F* l2

критическая сила Эйлера, д = —-,-т- — коэффициент осевого возбуждения.

2 (F0 + F* - V2pA)

Как показано в работе [2], уравнение Хилла имеет области неустойчивости, причем первое приближение к границе области устойчивости может быть получено, если ограничиться первой гармоникой ряда Фурье периодической функции Ф(/), т.е. принять Ф(/) = Ф1 cosшt. Тогда уравнение Хилла преобразуется в уравнение Матье [2] (ниже рассматривается только однородное уравнение Матье):

q(t) + Q2 (1 + 2 дФ1 cos ш t)q(t) = 0. (6)

Верхняя и нижняя границы области неустойчивости определяются выражением ш = 2QyJ 1 ± д (см. [2]). Так как в выражениях (5) и (6) Q и д зависят от силы первоначального натяжения F0 и скорости движения ремня V, то область устойчивости строится на плоскости параметров F0, V .

Проанализируем формулу для критической скорости. Как следует из выражения для собственной частоты ремня, Q обращается в нуль при критической скорости

V™ =

F0 + F*

*

кр \ рА

т.е. при V > Vp наблюдается дивергентная неустойчивость поперечного движения ремня.

Пример. Рассмотрим построение областей неустойчивости зубчатого ремня трапецеидального профиля DIN 7721-16T10x880 / DIN 7721-18T10N2. Расчеты контактного взаимодействия при движении зубчатого ремня по зубчатому колесу, с момента начального контакта до момента полного схода зуба ремня с зуба шестерни, были проведены с использованием конечно-элементного пакета ANSYS. Были приняты следующие физико-механические характеристи-

9 2

ки зубчатого ремня: модуль Юнга Е = 1 • 10 Н/м и коэффициент Пуассона v = 0,2, а для

11 2

зубчатого колеса Е = 1 • 101 Н/м2 и v = 0,3 . Значения горизонтальной проекции силы, воз-

никающей при движении, иллюстрируются графиком, представленным на рис. 2. Номер задачи (К) по оси абсцисс соответствует определенному углу поворота ф зуба, так что фактически горизонтальная ось соответствует повороту колеса на один зуб.

Fх, Н

12

Рис. 2

Аппроксимация данной зависимости функции на интервале от 0 до 2п имеет следующий вид: ^ = 0,00139ф5 + 0,0337ф4 - 0,685ф3 + 2,89ф2 - 1,71ф + 7,29.

Разложение данной зависимости в ряд Фурье позволяет вычислить значение переменной составляющей силы, возникающей при движении зубчатого ремня: ^ = 3,058 Н.

Для построения областей неустойчивости были взяты следующие параметры: А = 2,8 • 10-5 м2, р = 3 • 10-3 кг/м3, I = 0,3 м, Е1 = 0,045 Нм2, г = 16, г = 24 • 10-3 м.

Построенные области динамической неустойчивости (дивергентная неустойчивость и параметрический резонанс) графически представлены на рис. 3, а; область параметрического резонанса (неустойчивость) представлена в увеличенном масштабе на рис. 3, б.

б)

V, м/с А 4

-20

100

106

112

118 К,, Н

Рис. 3

Выводы. Рассмотрена проблема динамической устойчивости зубчато-ременной передачи. Предложен метод и получены уравнения для построения областей устойчивого поступательного движения зубчатого ремня.

Построены две области неустойчивости прямолинейного движения ремня принципиально различной природы. Первая — область дивергентной неустойчивости — расположена над кривой критической скорости; вторая, гораздо меньшая область является областью параметрического резонанса.

Как известно, в процессе эксплуатации любой системы в ней происходят некоторые изменения характеристик и настроек. В зубчато-ременных передачах одной из таких характеристик является сила натяжения ремня, изменение которой может повлечь попадание рабочего состояния системы в область неустойчивости. Изменения силы натяжения ремня вызывается множеством причин. В первую очередь, это естественный износ и вытягивание ремня,

8

4

0