Динамическая сетевая модель управления запасами с интервальной неопределенностью спроса и устареванием запасов в узлах сети Текст научной статьи по специальности «Математика»

Е.В. Чаусова

ДИНАМИЧЕСКАЯ СЕТЕВАЯ МОДЕЛЬ УПРАВЛЕНИЯ ЗАПАСАМИ С ИНТЕРВАЛЬНОЙ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЬЮ СПРОСА И УСТАРЕВАНИЕМ ЗАПАСОВ В УЗЛАХ СЕТИ

Рассматривается динамическая сетевая модель системы управления запасами с интервально заданным спросом и устареванием запасов. Для анализа и расчета оптимальной стратегии управления применяется аппарат интервальной математики. С привлечением полной интервальной арифметики Каухера получены необходимые и достаточные условия существования допустимого управления, достаточные условия существования оптимальной допустимой стратегии управления. Найдена оценка скорости сходимости системы к оптимальному допустимому уровню запаса. Разработан вычислительный алгоритм определения оптимальной допустимой стратегии управления. Рассмотрен численный пример.

Динамические сетевые модели описывают широкий класс систем управления запасами [1, 2]. В качестве примера можно привести системы снабжения, производства-распределения, транспортные, информационные, финансовые и другие системы. Узлы сети задают виды и размеры управляемых запасов, а дуги - управляемые и неуправляемые потоки в сети. Управляемые потоки перераспределяют ресурсы между узлами сети, возможно, перерабатывая их, и планируют поставки извне. Неуправляемые потоки описывают спрос на ресурсы в узлах сети, который формируется как со стороны других узлов, так и внешнего окружения.

Проблеме оптимизации динамических потоков в сети посвящено большое количество работ (см., к примеру, [1, 2] и обширную библиографию к ним). Современная теория предлагает алгоритмы оптимального управления как детерминированными, так и стохастическими динамическими сетями. Однако детерминированные модели не учитывают априорную неопределенность, свойственную реальным системам управления запасами. Вероятностные - требуют точного задания вероятностных характеристик неопределенных параметров системы (факторов неопределенности) и довольно сложны в смысле получения численных результатов. При этом во многих случаях нет основания или недостаточно информации, чтобы рассматривать факторы неопределенности как случайные (то есть адекватно описываемые теоретико-вероятностными моделями). Это приводит к необходимости учета неопределенности нестохастической (или, в общем случае, неизвестной) природы.

Интересный подход, основанный на концепции «неизвестных, но ограниченных» воздействий (unknown-but-bounded inputs), предлагается в работах Ф. Бланчини, Ф. Ринальди и В. Уковича [3-5]. В них рассматриваются динамические сетевые модели систем управления запасами в предположении, что неизвестный спрос принадлежит заданному множеству. Такой подход приводит к минимаксным игровым постановкам и гарантированным решениям в смысле заданного критерия. Авторы [3-5] используют аппарат теории множеств. Однако теоретико-множественное представление результатов приводит к трудностям при проверке условий существования оптимальных стратегий управления и вычисления их параметров. Кроме того, предложенные в этих работах модели не учитывают возможное устаревание запаса в узлах сети (порчу, естественную убыль, моральный износ и т.д.).

В работах [6-10] неопределенность спроса в системе управления запасами предлагается моделировать в виде интервала, в границах которого спрос произвольным образом принимает свои значения. Нижнюю и верхнюю границы изменения возможных значений спроса всегда можно оценить с достаточной степенью достоверности по статистическим данным или руководствуясь накопленным опытом и интуитивными предположениями. При этом для анализа и расчета оптимальной стратегии управления запасами используется аппарат интервальной математики.

В настоящей работе рассматривается динамическая сетевая модель системы управления запасами с интервальной неопределенностью спроса и устареванием запаса в узлах сети. С привлечением полной интервальной арифметики Каухера определяются необходимые и достаточные условия существования допустимого управления и достаточные условия существования опти-

мальной допустимой стратегии управления. Оценивается скорость сходимости системы к оптимальному допустимому уровню запаса. Разрабатывается вычислительный алгоритм определения оптимальной допустимой стратегии управления запасами. Предлагается численный пример.

ОПИСАНИЕ МОДЕЛИ

Рассмотрим систему управления запасами в дискретном времени (с периодическим контролем уровня запасов), представленную в виде динамической сети. Динамика сети описывается следующим рекуррентным соотношением:

х^ +1) = Ах(1) + Вы(^) + Ed (/), t > 0, (1)

где х(0 е Я" - вектор состояний системы, г-я компонента которого задает уровень запаса на г-м узле сети; и(0 е Я4 - вектор управляющих воздействий (управление), компоненты которого представляют управляемые потоки в сети в момент времени /; d(t) е Ят - вектор неуправляемых воздействий (спрос), компоненты которого описывают неуправляемые потоки в сети в момент времени ^ структура сети определяется структурой матриц В е Япхд, Е е Япхт; диагональная матрица

А = Diag(a1, а2,..., ап), 0 < а,- < 1, г =1,п, учитывает устаревание запаса в узлах сети.

Относительно спроса d(t) известно лишь то, что он произвольным образом принимает значения в заданном интервале

d(^ е Б, t > 0 , (2)

где Б е 1Ят, Б = [ЦБ], Б > 0 .

На состояния системы х(^ и управления ы(() накладываются ограничения, которые обусловлены возможностями системы:

х(0 е X, t > 0; (3)

) е и, t > 0, (4)

где X е 1Яп, X = [0, X]; и е Я, и = [0,^ ].

Здесь и далее используется стандартная система обозначений [16]. Интервалы и другие интервальные величины (векторы, матрицы) выделяются жирным шрифтом. Арифметические операции с интервальными величинами рассматриваются как операции соответствующих интервальных арифметик: классической интервальной арифметики 1Я [11-13], где 1Я есть множество всех правильных интервалов 1Я = {х = [х, х] | х < х, х, х е Я}, либо полной интервальной арифметики Каухера КЯ [14, 15], где КЯ = { х = [х,х]| х,х е Я} - расширенное множество интервалов. Под векторами (точечными или интервальными) всюду понимаются вектор-столбцы.

Определение 1. Будем называть функцию ы()=и (хф, /), ы(t) е и, допустимым на интервале X управлением для состояния х(^ в момент времени ^ t > 0, если для любого значения спроса d(t) е Б выполнено включение х^+1) е X,, где х(^ определяется рекуррентным соотношением (1).

Определение 2. Будем называть стратегию Ф={ы((), t > 0}, ы(t) е и, допустимой на интервале X стратегией управления для начального состояния х(0) е X, если ы(^ является допустимым на интервале X управлением для состояния х(^ в момент времени ^ t > 0, где х(^ определяется рекуррентным соотношением (1).

Определение 3. Будем называть х, х е X , допустимым уровнем запаса в сети, если для любого начального состояния х(0) е X существует допустимая на интервале X стратегия Ф е Ф(х(0)) такая, что х ^) е Х(0, х), t >т> 0, где интервальнозначная [11-13] функция X(a, Ь) = [а, Ь] определена для любых а < Ь, а,Ь е Я"; Ф(х(0)) - множество стратегий, допустимых на интервале X при начальном состоянии х(0) е X, а х(Г) определяется рекуррентным соотношением (1).

Очевидно, что если для любого начального состояния х(0) е X существует допустимая стратегия управления Ф е Ф(х(0)), то X является допустимым уровнем запаса. Однако, как известно, при неоправданно высоком уровне запаса система несет потери от омертвления капитала в запасах и замедления его оборачиваемости. Поэтому необходимо найти оптимальный допустимый уровень запаса в сети х , минимизирующий расходы системы на хранение запаса (максимальные возможные расходы за один период):

С (х) = к' х, (5)

и стратегию управления запасами Ф* е Ф(х(0)), гарантирующую включение

х^) е X(0,х*), t >т* > 0, (6)

где к е Я" - вектор затрат, к > 0, к Ф 0, г-я компонента которого представляет затраты на хранение единицы запаса в г-м узле сети; символ «'» (штрих сверху) означает транспонирование.

Стратегию Ф* е Ф(х(0)), удовлетворяющую (6), будем называть оптимальной допустимой стратегией управления для начального состояния х(0) е X, а время т* - скоростью сходимости системы к оптимальному допустимому уровню запаса х*. При оптимальной стратегии управления Ф* затраты системы за один период, начиная с момента времени т*, будут удовлетворять ограничению С(х(1)) < С (х*) для любого значения спроса d(t) е Б, t > т*.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОПТИМАЛЬНОГО

ДОПУСТИМОГО УРОВНЯ ЗАПАСА В СЕТИ

Терема 1 (о существовании допустимого управления). Для любого состояния системы х(^ е X в момент времени t, t > 0, допустимое на интервале X управление ы(()=и (х(^, t), ы(р) е и, существует и определяется из включения

Ах^) + Вы (^ е X + орр£Б , (7)

если и только если выполнены условия

widED < widX; (8)

ЕБ е {— Ви}, (9)

где wid х = х - х - ширина интервала х; ЕБ - интервал, полученный умножением вещественной матрицы Е на интервальный вектор Б [11-13]; орр х = [- х, -х] есть интервал, противоположный к интервалу х [14, 15]; множество {- Ви}={х е Я" | х = -Вы, ы е и}.

Доказательство. Построим управление ы(^ в момент времени t в виде (7). Заметим, что включение (7) имеет смысл, если и только если выполнено условие (8). Действительно,

X + oppED < X + oppED » X - ЕБ < X - ЕБ »

» ЕБ - ЕБ < X - X » widED < widX. Покажем, что такое управление существует для любого x(t) е X. Из (7) имеем

Ух^) е X Зы^) е и | Ax(t) + Вы ^) е X + oppEБ »

» Ух^) е X Эы(t) е иI Ах^) е X + oppEБ - Вы($) » » Ух(^ е X| Ах(t) е X + oppEБ + {-Ви} »

» Уx(t) е X| Ах^) е {X + oppEБ - Ви} »

» ЛЛ с {X + oppEБ - Ви}, где ЛX есть интервал, полученный умножением диагональной матрицы А на интервальный вектор X, множество {X + oppEБ - Ви} = {х е Я" | х = хл - Вы, хл е X + oppEБ, ы е и} .

Учитывая то, что ЛX с X для матрицы А = =Diag(аь а2, ..., а„), 0 < а,- < 1, г =1,", и интервального вектора X = [0,X],X е ¡Я", имеем

ЛX = ЛX + oppEБ + EБ с ЛX + oppEБ + {-Ви} =

= {ЛX + oppEБ - ви} с {X + oppEБ - Ви},

если и только если выполнено условие (9). Следовательно, управление ы(()=и(х((),(), ы(() е и, гарантирующее (7), существует для любого х(^ е X.

Покажем далее, что такое управление является допустимым на интервале X. Действительно,

Ух(/) е X Зы^) е и Ах([)+Вм([) е X + oppED »

» Ух(/) е X Зм([) е и Ах([) + Вм([) + ED с X »

» Ух([) е X Зы([) е иУd(t) е Б | Ах([) + Вы([) + Ed(t) е X. По определению 1 управление ы(() является допустимым на интервале X для состояния х(^ е X в момент времени 11> 0. Теорема доказана.

Замечание 1. Интервал X + oppEБ определяет уровень

запаса, необходимого и достаточного для полного и своевременного удовлетворения спроса при выполнении ограничения (3). Логично предположить, что X + oppED > 0 .

Это условие выполняется, если и только если ЕБ < 0.

Следствие 1. Для любого начального состояния х(0) е X допустимая на интервале X стратегия управления Ф е Ф(х(0)) существует, если и только если выполнены условия (8), (9). Доказательство легко получить с учетом определения (2).

Терема 2 (о виде оптимального допустимого уровня запаса). Оптимальный допустимый уровень запаса в сети

х*, минимизирующий функцию затрат (5), имеет вид

х* = ЕБ - ЕБ. (10)

Доказательство. Пусть выполнены условия существования допустимой на интервале X стратегии управления (8), (9) и х е X - допустимый уровень запаса. Тогда по определению (3) для любого начального состояния х(0) е X существует допустимая стратегия

стояния х(0) е X существует допустимая стратегия Ф е Ф(х(0)) такая, что х^ + 1) = Ах(^ + Вы(^ + Ed(t) е е X(0,X), t >т-1 > 0, для любого d(t)еБ. Следовательно,

х^ +1) = Ах^) + Вы(t) + EБ е X (0,х), t > т-1 > 0 »

» х(t +1) = Ах^) + Вы (t) е X(0,х) + oppEБ, t > т -1 > 0. (Заметим, что здесь, в отличие от определения 3, т > 1. Однако, если х(0) е X(0,х), то получаем т > 0.) Последнее соотношение имеет смысл, если и только если

X(0,х) + oppEБ < X(0,х) + oppEБ »

» - ЕБ. < х - ЕБ » х < ЕБ - ЕБ.

Учитывая то, что х е X , получаем х е [ЕБ - ЕБ, X] (в силу (8) этот интервал - правильный).

Далее, так как функция затрат (5) монотонно возрастает по х, то для любого вектора к > 0, к Ф 0, минимум функции (5) доставляет х* = ЕБ - ЕБ , что и требовалось доказать.

Замечание 2. Для оптимального допустимого уровня запаса х* вида (10) справедливо включение

widEБ < widX (0, х*). (11)

Допустим, что в некоторый момент времени т* состояние системы попало в интервал X(0, х*). Учитывая (11), можно применить теорему 1 для X= X(0, х*). По теореме 1 для любого состояния х(^ е X (0, х*) в момент времени ^ t > 0, допустимое на интервале X(0, х*) управление ы(^=и(х(^Д), ы(t) е и, существует и определяется из включения

Ах(ґ) + Ви (ґ) є X(0, х*) + оррЕБ .

(12)

е X(0, х*), тогда любая допустимая на интервале X(0, х*) стратегия управления будет оптимальной.

В этих случаях проблема существования оптимальной допустимой стратегии управления не возникает и скорость сходимости т*=0. Оптимальные управления ы*(Г), ы*(t)е и, составляющие оптимальную стратегию Ф* е Ф(х(0)), являются решениями уравнения (13) в каждый момент времени t > 0.

Рассмотрим далее случай, когда начальный запас превосходит оптимальный допустимый уровень запаса х(0) е X(х* X), х* < X, х* Ф X . Определим для этого случая условия существования оптимальной допустимой стратегии Ф* е Ф(х(0)) и скорость сходимости т* к оптимальному допустимому уровню запаса х*.

Терема 3. (о существовании оптимальной допустимой стратегии). Для любого начального состояния х(0) е X существует оптимальная допустимая на интервале X стратегия управления Ф* е Ф(х(0)), если выполнены условия (8), (9) и существует е>0 такое, что

X(ЕБ,АЕБ) + е X(0,0) с {-Ви}, (14)

где 0 е Я", 0 = X - х*. Причем сходимость к оптимальному допустимому уровню запаса х* достигается не более чем за конечное число шагов

Т = тах

І = 1,П

1п-

1 -а І +є

1п а

+1,

(15)

С учетом того, что X(0, х* ) + oppEБ = [-ЕБ,-ЕБ], из (12) получаем матричное уравнение

Ах(0 + Вы(0 = -ЕБ . (13)

Управления ы($), ы(t) е и, удовлетворяющие (13), гарантируют включения х(^ е X(0, х*) для t> т* и составляют оптимальную стратегию управления (будем называть их оптимальными управлениями).

Замечание 3. Величина -ЕБ определяет оптимальный уровень предельного запаса в системе для t > т*. Причем любое управление ы((), ы(t) е и, удовлетворяющее (13), является оптимальным в смысле (6). В этом случае для t > т* управления ы(() логично выбирать, минимизируя затраты на управления (транспортные расходы, затраты на производство и т.д.) при условиях ы(^ е и и (13).

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОПТИМАЛЬНОЙ

ДОПУСТИМОЙ СТРАТЕГИИ УПРАВЛЕНИЯ

Пусть для любого начального состояния х(0) е X существует допустимая на интервале X стратегия управления. Для существования оптимальной в смысле (6) допустимой стратегии управления этого достаточно в двух случаях:

- когда оптимальный допустимый уровень запаса х* = X, тогда любая допустимая на интервале X стратегия управления будет оптимальной;

- когда оптимальный допустимый уровень запаса х* < X, х* Ф X, и начальный уровень запаса х(0) е

где [х] - наименьшее целое, большее числа х. Доказательство. Введем вектор

~(ґ +1) = Ах(ґ) + Ви(ґ), ґ > 0,

который определяет уровень запаса в сети после поставки в момент времени ґ, но до очередного предъявления спроса. Тогда х(ґ +1) = ~(ґ +1) + Её (ґ), ґ > 0. Покажем, что х(ґ+1) є X для любого значения спроса ё(() є Б, если и только если ~(ґ +1) є X + оррЕБ . Действительно,

Уё(ґ) є Б\ ~(ґ +1) + Её(ґ) є X »

» ~(ґ +1) + ЕБ с X » ~(ґ +1) є X + оррЕБ. Покажем по индукции, что для любого начального состояния х(0) є X существует допустимая на интервале X стратегия Ф є Ф(х(0)) такая, что

~(ґ) є [- Ей, тах{- ЕБ, Аґ-1 (X - ЕБ) -

-є(І + А + к + Аґ-2)Є|] , ґ > 1, (16)

где І є ЯКХ" - единичная матрица. Так как выполнены условия (8), (9), то по теореме 1 для любого начального состояния х(0) є X существует допустимое управление такое, что

~(1) є X + оррЕБ = [-ЕйХ - ЕБ].

С учетом соотношения - Ей = х* - ЕБ < X - ЕБ ясно, что для ґ = 1 включение (16) справедливо. Далее, пусть (16) справедливо для произвольного ґ, ґ > 2. Покажем, что оно справедливо для ґ + 1. Заметим, что условие (14) можно представить в виде

Х(АЕБ,АЕБ) + єХ(0,Є) + Х((І - А)ЕБ0) с {-ВП}. (17)

Рассмотрим ~(ґ +1) = Ах(ґ) + Ви(ґ) = А(~ (ґ) + ЕЩ - 1) +

в

+ Вы(') ± е0(О ±0(t) . Согласно условию (17), существует управление ы(') е и такое, что AEd^ -1) + в0(') + + 0(0 + Вы($) = 0 для любого d (t - 1)еБ и любых 0(0 е X(0,0), 0(0 е X((I - А)ЕБ,0). Тогда

~(t +1) = Ax(t) -s9(t) -9(t),

где

0(ґ) є X(0,0), 0(ґ) є X((І - А)ЕО,0). Определим вектора 0(/), 0(/) с компонентами

0,, if а,хі (ґ) -є0. > -ЕБ,,

(18)

(19)

9,- (t) =

maxi 0.

aixi(t) + ED,

else,

(20)

9 (t) = J0, f а,5?,(t)-є9, > -Ші =

* ' min(0, а,x, (t) + EDi ) else*

получаем включение

[- ED,i, max{- ED,i, а, (X, - EDi) -є(1 + а, +... + af

')9,1

c [-ED,, X, - EDi ] .

Таким образом, ~^ +1) е X + oppEБ и х('+1) е X для любого d(t) е Б. По определению 1 управление ы(0, удовлетворяющее (21), является допустимым на интервале X в момент времени t. Следовательно, утверждение (16) имеет силу для любого t > 1.

Покажем, что стратегия Фе Ф(х(0)), является оптимальной, т.е. начиная с некоторого момента времени т* выполнено включение (6). Рассмотрим случай, когда 0,- = 0 ( х,* = X¡). При этом включение (16) примет вид

i (t) є [- EDi, max{- ED

max{ - EDi, ai1 (x* - EDi)}, t > 1.

Заметим, что

а'ч(х*-ЕБ) = а'-1 (-ЕБ) <(0 <а,. < 1,Щ <0 <-ЕБ,

следовательно,

~ (t) е [- ЕО, ,-ЕО, ] = X(0, х,*) + oppED¡, t > 1, что гарантирует включение х, (t) е X(0, х,*), t > 0 (с учетом того, что х, (0) е X(0, х,*), t > 0).

Для случая, когда 0г>0, найдем момент времени т*, начиная с которого (t) е [- [Б, ,-ЕБ, ], t > т*. Рассмотрим функцию

/, (t) = аГ1 (X,. - ЁБ1) - е(1 + а+ к + а,~2)0,. =

__ ______ і - at-1

= аГ‘(X, - EDi) -є----------і— 9.

1 -а,

Учитывая то, что

Покажем, что 0(ґ), 0(ґ) вида (20) удовлетворяют условию (19). Согласно (20), 0,(ґ) либо принимает значение 0. (верхней границы ,-ой компоненты интервала X(0, 0)), либо равна нулю (нижней границе ,-й компоненты интервала

а, х,. (ґ) + ЕБ.

X(0, 0)), либо 0, (ґ) =----------=.- > 0, причем из условия

є

~ ах. (ґ) + ЕБ.

а,х, (ґ) - є0. < -ЕБ. следует 0, (ґ) =-----------<0,, от-

є

куда получаем включение 0(ґ) є X(0,0). Далее, 0, (ґ) либо равна нулю (верхней границе ,-ой компоненты интервала Х((І - А)ЕБ, 0)); либо ~ (ґ) = а,х, (ґ) + ЕБІ < 0 , причем в силу предположения индукции (16) имеем ~ (ґ) > - ЕБ., откуда ві (ґ) > (1 - аі )ЕБ., что и доказывает включение ~(ґ) є X((І - А)ЕБ, 0).

Таким образом, из (18) получаем

Га, X, (ґ) -є0., если а, х. (ґ) -є0. > - ЕБ.,

хі (ґ +1) =^

. І- ЕБІ, иначе,

откуда, с учетом предположения индукции (16),

х. (ґ +1) є [- ЕБІ, тах{- ЕБІ, аґ (Хі - ЕБ,) -

-є(1 + а. + к + а,1)0,}] . (21)

Кроме того, учитывая соотношения

аґ (X, - ЕБ,) - є(1 + а. + к + а‘-1 )0. < X, - ЕБі ,

- ЕБ.. = х* -ЕБ, < X, - ЕБ,,

f (t) = аГ1 (X, - EDi) - є—9, =

1 -а,

1 - аґ-1

= а Г1 (0. - ЕБі ) -є ^ 0. <

1 -а.

1 - аґ-1

< - ЕБ. +а Г‘0. -є----------0.,

. 1 -а і

нетрудно показать, что функцияЛ(ґ) убывает по ґ и

f. (t) < -ED, для t >

Следовательно, из (16) имеем

ln-

1 -а, + є

ln а

+1.

i (t) є [- ED і ,-EDi ] = X(0,x,*) + oppED,

t >

ln

1 - а, + є

+1,

откуда получаем

x(t) є X(0, x*), t > max

i = 1,и

ln

1 -а, + є

+1.

= Т

Таким образом, стратегия Ф е Ф(х(0)), удовлетворяющая (16), является оптимальной, а скорость сходимости к оптимальному допустимому уровню т*=Т, где Т определяется соотношением (15). Теорема доказана.

Из доказательства теоремы 3 следует, что если выбирать управление ы(') е и в момент времени t так, чтобы Ах(') + Вы(') е

е [- ЕБ, тах{- ЕБ, а' (X - ЕБ) -е(! - А)-1 (I - а')0}] с с [- ЕБ, тах{- ЕБ,-ЕБ +(А' - е(1 - А)(I - а' ))^}] , то, начиная с момента времени Т-1, будем иметь Ах(') + Вы(') е [- ЕБ,-ЕБ] = -ЕБ, t > Т -1, что гарантирует

х(') е X(0, ^), t > Т , следовательно, стратегия Ф={ы('), />0}является оптимальной в смысле (6).

Для того чтобы увеличить скорость сходимости системы, будем определять управления ы*(') в момент

є

є

є

в

времени t, t > 0, составляющие оптимальную стратегию Ф*={ы*('), t>0} из решения следующей оптимизационной задачи:

V X^ min

т! u(t )= VA

(22)

при ограничениях

- ЕБ < Ах(') + Вы(') <-ЕБ + Л0, -ЕБ + Л0< X -ЕБ, ы(') е и, Х1,X2,...,Xп > 0,

где х(') определяется рекуррентным соотношением (1) (х(0) - известное начальное состояние запаса); Л=Diag(V V -, V - диагональная п х п -матрица; Хь Х2,..., Хп е ^ - вспомогательные параметры. Момент

п

времени т*, т*<Т, начиная с которого ^Х,. = 0 , опре-

1=1

деляет скорость сходимости системы.

Замечание 4. В случае единичной матрицы A=Diag(1Д,... 1) (без учета устаревания запаса) оценка скорости сходимости системы к оптимальному допустимому уровню запаса х* определяется по формуле Т= = [1/е] + 1. (Эта оценка получается в результате предельного перехода а 1 ^ 1, г = 1, п , в формуле (15).)

ПРИМЕР

Рассмотрим систему производства-распределения, которая описывается динамической сетью, представленной на рис. 1.

ную линию, которая из А и В производит продукцию АВ. Неуправляемые потоки dь d2, d3 определяют спрос в узлах сети на продукцию А, В и АВ соответственно; d4, d5 представляют спрос в 3-ем узле на продукцию А и В.

Динамика сети описывается рекуррентным соотношением (1) со структурными матрицами

(1 0 -1 -1> - 0 0 - 0

B = 0 1 -1 1 , E = 0 -10 0 -1

10 01 0 V 1 0 0 -11 1 )

Матрица, учитывающая устаревание запаса, имеет вид (0.7 0 0 'ï

A =

0.5 0

0 0.8

Неопределенность спроса и ограничения на состояния системы и управления заданы в виде соответствующих интервалов ( [5, 25] ^

^ [0,130] ^

[0,120]

,[0,150],

D =

X =

U =

( [0,190]^ [0, 55] [0,100] [0, 70]

[20, 30]

[60, 80]

[0, 20]

, [0, 30] ,

Для данной системы оптимально допустимый уровень запаса х* = (40 20 50)' (формула (10)), условия

теоремы 3 выполнены (е = 0.158), максимальная скорость сходимости Т = 5 (формула (15)).

Сеть состоит из трех узлов: узлы 1, 2 производят продукцию А и В, которая используется для производства продукции АВ в 3-м узле. Управляемые потоки ыь ы2 определяют интенсивность производства продукции А и В соответственно; ы4 перераспределяет дополнительные производственные возможности системы между производственными линиями А и В (если ы4=0, то все дополнительные возможности системы направлены на производство продукции А); ы3 описывает производствен-

Рис. 2. Динамика изменения запаса в узлах сети

В каждый момент времени t, t > 0, решая задачу (22), получаем оптимальное управление ы*('). Рис. 2 показывает динамику изменения запаса в узлах сети при оптимальной стратегии управления Ф*={ы*('), t > 0}, Ф* е Ф(х(0)), для начального состояния запаса х(0)= =(130 120 150)'. Видно, что скорость сходимости т*=2,

так как х(') е X(0,х*) для t > 2.

ЛИТЕРАТУРА

1. Ловецкий С.Е., Меламед И.И. Динамические потоки в сетях // Автоматика и телемеханика. 1987. № 11. С. 7-29.

2. Glover F., Klingman D., Phillips N.V. Network models in optimization and their applications in practice. NY.: Wiley, 1992.

3. Blanchini F., Rinaldi F., Ukovich W. A network design problem for a distribution system with uncertain demands // SIAM Journal on Optimization.

1997. Vol. 7, №. 2. P. 560-578.

4. Blanchini F., Rinaldi F., Ukovich W. Least Inventory control of multistorage systems with non-stochastic unknown demand // IEEE Transaction on Robotics and Automation. 1997. Vol. 13, №. 5. P. 633-645.

5. Blanchini F., Pesenti R., Rinaldi F., Ukovich W. Feedback control on production-distribution systems with unknown demand and delays // IEEE

Transaction on Robotics and Automation. 2000. Vol. 16, №. 3. P. 313-317.

6. Домбровский В.В., Чаусова Е.В. Динамическая сетевая модель управления запасами с интервальной неопределенностью спроса // Вычислительные технологии. 2001. Т. 6. Ч. 2. С. 271-274 (спец. выпуск, CD).

7. Чаусова Е.В. Динамическая сетевая модель управления запасами с интервальной неопределенностью спроса и задержками в поставках // Обозрение прикладной и промышленной математики. 2001. Т. 8. № 2. С. 719-720.

8. Чаусова Е.В. Динамическая модель управления запасами с интервальной неопределенностью спроса // Вестник Томского государственного университета. 2002. № 1(1). С. 195-200.

9. Chausova E.V. Dynamic network inventory control model with interval nonstationary demand uncertainty // GAMM-IMACS International Symposium on Scientific Computing, Computer Arithmetic, and Validated Numerics: Book of Abstracts. Paris: Universite Pierre et Marie Curie, Laboratory LIP6, 2002. P. 101.

10. Чаусова Е.В. Динамическая сетевая модель с интервально заданным нестационарным спросом // Дискретный анализ и исследование операций: Материалы Российской конференции. Новосибирск: Изд-во Института математики, 2002. С. 248.

11. Moore R.E. Methods and applications of interval analysis. Philadelphia: SIAM, 1979.

12. Калмыков С.А., Шокин Ю.И., Юлдашев З.Х. Методы интервального анализа. Новосибирск: Наука, 1986.

13. Алефельд Г., Херцбергер Ю. Введение в интервальные вычисления. М.: Мир, 1987.

14. Шарый С.П. Алгебраический подход во «внешней задаче» для интервальных линейных систем // Вычислительные технологии. 1998. Т. 3, № 2. С. 67-114.

15. Kaucher E. Interval analysis in the extended interval space IR // Computing Supplement. 1980. V. 2. P. 33-49.

16. KearfottR.B., NakaoM.T., Neumaier A., Rump SM., Shary S.P., HentenryckP. Standardized notation in interval analysis // Reliable Computing, to appear.

Статья представлена кафедрой математических методов и информационных технологий в экономике экономического факультета Томского

государственного университета, поступила в научную редакцию «Кибернетика» 30 мая 2003 г.