Научная статья на тему 'Динамическая сетевая модель управления запасами с интервальной неопределенностью спроса и устареванием запасов в узлах сети'

Динамическая сетевая модель управления запасами с интервальной неопределенностью спроса и устареванием запасов в узлах сети Текст научной статьи по специальности «Математика»

CC BY
600
51
Читать
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Чаусова Елена Владимировна

Рассматривается динамическая сетевая модель системы управления запасами с интервально заданным спросом и устареванием запасов. Для анализа и расчета оптимальной стратегии управления применяется аппарат интервальной математики. С привлечением полной интервальной арифметики Каухера получены необходимые и достаточные условия существования допустимого управления, достаточные условия существования оптимальной допустимой стратегии управления. Найдена оценка скорости сходимости системы к оптимальному допустимому уровню запаса. Разработан вычислительный алгоритм определения оптимальной допустимой стратегии управления. Рассмотрен численный пример

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.
Предварительный просмотр
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

We consider a dynamic inventory control system described by a network model with an interval assigned demand. We assume that unknown demand may take any value within the interval. Moreover we observe obsolescense of resources in the network nodes. In terms of Kaucher interval arithmetic, we derive necessary and sufficient conditions for the existence of a feasible feedback control and sufficient conditions for the existence of an optimal feedback control strategy. We obtain an optimal feasible storage level and estimate the rate of the system convergence to this level. Then we develop the algorithm of finding the optimal control strategy. These results are applied to an example.

Текст научной работы на тему «Динамическая сетевая модель управления запасами с интервальной неопределенностью спроса и устареванием запасов в узлах сети»

Е.В. Чаусова

ДИНАМИЧЕСКАЯ СЕТЕВАЯ МОДЕЛЬ УПРАВЛЕНИЯ ЗАПАСАМИ С ИНТЕРВАЛЬНОЙ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЬЮ СПРОСА И УСТАРЕВАНИЕМ ЗАПАСОВ В УЗЛАХ СЕТИ

Рассматривается динамическая сетевая модель системы управления запасами с интервально заданным спросом и устареванием запасов. Для анализа и расчета оптимальной стратегии управления применяется аппарат интервальной математики. С привлечением полной интервальной арифметики Каухера получены необходимые и достаточные условия существования допустимого управления, достаточные условия существования оптимальной допустимой стратегии управления. Найдена оценка скорости сходимости системы к оптимальному допустимому уровню запаса. Разработан вычислительный алгоритм определения оптимальной допустимой стратегии управления. Рассмотрен численный пример.

Динамические сетевые модели описывают широкий класс систем управления запасами [1, 2]. В качестве примера можно привести системы снабжения, производства-распределения, транспортные, информационные, финансовые и другие системы. Узлы сети задают виды и размеры управляемых запасов, а дуги - управляемые и неуправляемые потоки в сети. Управляемые потоки перераспределяют ресурсы между узлами сети, возможно, перерабатывая их, и планируют поставки извне. Неуправляемые потоки описывают спрос на ресурсы в узлах сети, который формируется как со стороны других узлов, так и внешнего окружения.

Проблеме оптимизации динамических потоков в сети посвящено большое количество работ (см., к примеру, [1, 2] и обширную библиографию к ним). Современная теория предлагает алгоритмы оптимального управления как детерминированными, так и стохастическими динамическими сетями. Однако детерминированные модели не учитывают априорную неопределенность, свойственную реальным системам управления запасами. Вероятностные - требуют точного задания вероятностных характеристик неопределенных параметров системы (факторов неопределенности) и довольно сложны в смысле получения численных результатов. При этом во многих случаях нет основания или недостаточно информации, чтобы рассматривать факторы неопределенности как случайные (то есть адекватно описываемые теоретико-вероятностными моделями). Это приводит к необходимости учета неопределенности нестохастической (или, в общем случае, неизвестной) природы.

Интересный подход, основанный на концепции «неизвестных, но ограниченных» воздействий (unknown-but-bounded inputs), предлагается в работах Ф. Бланчини, Ф. Ринальди и В. Уковича [3-5]. В них рассматриваются динамические сетевые модели систем управления запасами в предположении, что неизвестный спрос принадлежит заданному множеству. Такой подход приводит к минимаксным игровым постановкам и гарантированным решениям в смысле заданного критерия. Авторы [3-5] используют аппарат теории множеств. Однако теоретико-множественное представление результатов приводит к трудностям при проверке условий существования оптимальных стратегий управления и вычисления их параметров. Кроме того, предложенные в этих работах модели не учитывают возможное устаревание запаса в узлах сети (порчу, естественную убыль, моральный износ и т.д.).

В работах [6-10] неопределенность спроса в системе управления запасами предлагается моделировать в виде интервала, в границах которого спрос произвольным образом принимает свои значения. Нижнюю и верхнюю границы изменения возможных значений спроса всегда можно оценить с достаточной степенью достоверности по статистическим данным или руководствуясь накопленным опытом и интуитивными предположениями. При этом для анализа и расчета оптимальной стратегии управления запасами используется аппарат интервальной математики.

В настоящей работе рассматривается динамическая сетевая модель системы управления запасами с интервальной неопределенностью спроса и устареванием запаса в узлах сети. С привлечением полной интервальной арифметики Каухера определяются необходимые и достаточные условия существования допустимого управления и достаточные условия существования опти-

мальной допустимой стратегии управления. Оценивается скорость сходимости системы к оптимальному допустимому уровню запаса. Разрабатывается вычислительный алгоритм определения оптимальной допустимой стратегии управления запасами. Предлагается численный пример.

ОПИСАНИЕ МОДЕЛИ

Рассмотрим систему управления запасами в дискретном времени (с периодическим контролем уровня запасов), представленную в виде динамической сети. Динамика сети описывается следующим рекуррентным соотношением:

х^ +1) = Ах(1) + Вы(^) + Ed (/), t > 0, (1)

где х(0 е Я" - вектор состояний системы, г-я компонента которого задает уровень запаса на г-м узле сети; и(0 е Я4 - вектор управляющих воздействий (управление), компоненты которого представляют управляемые потоки в сети в момент времени /; d(t) е Ят - вектор неуправляемых воздействий (спрос), компоненты которого описывают неуправляемые потоки в сети в момент времени ^ структура сети определяется структурой матриц В е Япхд, Е е Япхт; диагональная матрица

А = Diag(a1, а2,..., ап), 0 < а,- < 1, г =1,п, учитывает устаревание запаса в узлах сети.

Относительно спроса d(t) известно лишь то, что он произвольным образом принимает значения в заданном интервале

d(^ е Б, t > 0 , (2)

где Б е 1Ят, Б = [ЦБ], Б > 0 .

На состояния системы х(^ и управления ы(() накладываются ограничения, которые обусловлены возможностями системы:

х(0 е X, t > 0; (3)

) е и, t > 0, (4)

где X е 1Яп, X = [0, X]; и е Я, и = [0,^ ].

Здесь и далее используется стандартная система обозначений [16]. Интервалы и другие интервальные величины (векторы, матрицы) выделяются жирным шрифтом. Арифметические операции с интервальными величинами рассматриваются как операции соответствующих интервальных арифметик: классической интервальной арифметики 1Я [11-13], где 1Я есть множество всех правильных интервалов 1Я = {х = [х, х] | х < х, х, х е Я}, либо полной интервальной арифметики Каухера КЯ [14, 15], где КЯ = { х = [х,х]| х,х е Я} - расширенное множество интервалов. Под векторами (точечными или интервальными) всюду понимаются вектор-столбцы.

Определение 1. Будем называть функцию ы()=и (хф, /), ы(t) е и, допустимым на интервале X управлением для состояния х(^ в момент времени ^ t > 0, если для любого значения спроса d(t) е Б выполнено включение х^+1) е X,, где х(^ определяется рекуррентным соотношением (1).

Определение 2. Будем называть стратегию Ф={ы((), t > 0}, ы(t) е и, допустимой на интервале X стратегией управления для начального состояния х(0) е X, если ы(^ является допустимым на интервале X управлением для состояния х(^ в момент времени ^ t > 0, где х(^ определяется рекуррентным соотношением (1).

Определение 3. Будем называть х, х е X , допустимым уровнем запаса в сети, если для любого начального состояния х(0) е X существует допустимая на интервале X стратегия Ф е Ф(х(0)) такая, что х ^) е Х(0, х), t >т> 0, где интервальнозначная [11-13] функция X(a, Ь) = [а, Ь] определена для любых а < Ь, а,Ь е Я"; Ф(х(0)) - множество стратегий, допустимых на интервале X при начальном состоянии х(0) е X, а х(Г) определяется рекуррентным соотношением (1).

Очевидно, что если для любого начального состояния х(0) е X существует допустимая стратегия управления Ф е Ф(х(0)), то X является допустимым уровнем запаса. Однако, как известно, при неоправданно высоком уровне запаса система несет потери от омертвления капитала в запасах и замедления его оборачиваемости. Поэтому необходимо найти оптимальный допустимый уровень запаса в сети х , минимизирующий расходы системы на хранение запаса (максимальные возможные расходы за один период):

С (х) = к' х, (5)

и стратегию управления запасами Ф* е Ф(х(0)), гарантирующую включение

х^) е X(0,х*), t >т* > 0, (6)

где к е Я" - вектор затрат, к > 0, к Ф 0, г-я компонента которого представляет затраты на хранение единицы запаса в г-м узле сети; символ «'» (штрих сверху) означает транспонирование.

Стратегию Ф* е Ф(х(0)), удовлетворяющую (6), будем называть оптимальной допустимой стратегией управления для начального состояния х(0) е X, а время т* - скоростью сходимости системы к оптимальному допустимому уровню запаса х*. При оптимальной стратегии управления Ф* затраты системы за один период, начиная с момента времени т*, будут удовлетворять ограничению С(х(1)) < С (х*) для любого значения спроса d(t) е Б, t > т*.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОПТИМАЛЬНОГО

ДОПУСТИМОГО УРОВНЯ ЗАПАСА В СЕТИ

Терема 1 (о существовании допустимого управления). Для любого состояния системы х(^ е X в момент времени t, t > 0, допустимое на интервале X управление ы(()=и (х(^, t), ы(р) е и, существует и определяется из включения

Ах^) + Вы (^ е X + орр£Б , (7)

если и только если выполнены условия

widED < widX; (8)

ЕБ е {— Ви}, (9)

где wid х = х - х - ширина интервала х; ЕБ - интервал, полученный умножением вещественной матрицы Е на интервальный вектор Б [11-13]; орр х = [- х, -х] есть интервал, противоположный к интервалу х [14, 15]; множество {- Ви}={х е Я" | х = -Вы, ы е и}.

Доказательство. Построим управление ы(^ в момент времени t в виде (7). Заметим, что включение (7) имеет смысл, если и только если выполнено условие (8). Действительно,

X + oppED < X + oppED » X - ЕБ < X - ЕБ »

» ЕБ - ЕБ < X - X » widED < widX. Покажем, что такое управление существует для любого x(t) е X. Из (7) имеем

Ух^) е X Зы^) е и | Ax(t) + Вы ^) е X + oppEБ »

» Ух^) е X Эы(t) е иI Ах^) е X + oppEБ - Вы($) » » Ух(^ е X| Ах(t) е X + oppEБ + {-Ви} »

» Уx(t) е X| Ах^) е {X + oppEБ - Ви} »

» ЛЛ с {X + oppEБ - Ви}, где ЛX есть интервал, полученный умножением диагональной матрицы А на интервальный вектор X, множество {X + oppEБ - Ви} = {х е Я" | х = хл - Вы, хл е X + oppEБ, ы е и} .

Учитывая то, что ЛX с X для матрицы А = =Diag(аь а2, ..., а„), 0 < а,- < 1, г =1,", и интервального вектора X = [0,X],X е ¡Я", имеем

ЛX = ЛX + oppEБ + EБ с ЛX + oppEБ + {-Ви} =

= {ЛX + oppEБ - ви} с {X + oppEБ - Ви},

если и только если выполнено условие (9). Следовательно, управление ы(()=и(х((),(), ы(() е и, гарантирующее (7), существует для любого х(^ е X.

Покажем далее, что такое управление является допустимым на интервале X. Действительно,

Ух(/) е X Зы^) е и Ах([)+Вм([) е X + oppED »

» Ух(/) е X Зм([) е и Ах([) + Вм([) + ED с X »

» Ух([) е X Зы([) е иУd(t) е Б | Ах([) + Вы([) + Ed(t) е X. По определению 1 управление ы(() является допустимым на интервале X для состояния х(^ е X в момент времени 11> 0. Теорема доказана.

Замечание 1. Интервал X + oppEБ определяет уровень

запаса, необходимого и достаточного для полного и своевременного удовлетворения спроса при выполнении ограничения (3). Логично предположить, что X + oppED > 0 .

Это условие выполняется, если и только если ЕБ < 0.

Следствие 1. Для любого начального состояния х(0) е X допустимая на интервале X стратегия управления Ф е Ф(х(0)) существует, если и только если выполнены условия (8), (9). Доказательство легко получить с учетом определения (2).

Терема 2 (о виде оптимального допустимого уровня запаса). Оптимальный допустимый уровень запаса в сети

х*, минимизирующий функцию затрат (5), имеет вид

х* = ЕБ - ЕБ. (10)

Доказательство. Пусть выполнены условия существования допустимой на интервале X стратегии управления (8), (9) и х е X - допустимый уровень запаса. Тогда по определению (3) для любого начального состояния х(0) е X существует допустимая стратегия

стояния х(0) е X существует допустимая стратегия Ф е Ф(х(0)) такая, что х^ + 1) = Ах(^ + Вы(^ + Ed(t) е е X(0,X), t >т-1 > 0, для любого d(t)еБ. Следовательно,

х^ +1) = Ах^) + Вы(t) + EБ е X (0,х), t > т-1 > 0 »

» х(t +1) = Ах^) + Вы (t) е X(0,х) + oppEБ, t > т -1 > 0. (Заметим, что здесь, в отличие от определения 3, т > 1. Однако, если х(0) е X(0,х), то получаем т > 0.) Последнее соотношение имеет смысл, если и только если

X(0,х) + oppEБ < X(0,х) + oppEБ »

» - ЕБ. < х - ЕБ » х < ЕБ - ЕБ.

Учитывая то, что х е X , получаем х е [ЕБ - ЕБ, X] (в силу (8) этот интервал - правильный).

Далее, так как функция затрат (5) монотонно возрастает по х, то для любого вектора к > 0, к Ф 0, минимум функции (5) доставляет х* = ЕБ - ЕБ , что и требовалось доказать.

Замечание 2. Для оптимального допустимого уровня запаса х* вида (10) справедливо включение

widEБ < widX (0, х*). (11)

Допустим, что в некоторый момент времени т* состояние системы попало в интервал X(0, х*). Учитывая (11), можно применить теорему 1 для X= X(0, х*). По теореме 1 для любого состояния х(^ е X (0, х*) в момент времени ^ t > 0, допустимое на интервале X(0, х*) управление ы(^=и(х(^Д), ы(t) е и, существует и определяется из включения

Ах(ґ) + Ви (ґ) є X(0, х*) + оррЕБ .

(12)

е X(0, х*), тогда любая допустимая на интервале X(0, х*) стратегия управления будет оптимальной.

В этих случаях проблема существования оптимальной допустимой стратегии управления не возникает и скорость сходимости т*=0. Оптимальные управления ы*(Г), ы*(t)е и, составляющие оптимальную стратегию Ф* е Ф(х(0)), являются решениями уравнения (13) в каждый момент времени t > 0.

Рассмотрим далее случай, когда начальный запас превосходит оптимальный допустимый уровень запаса х(0) е X(х* X), х* < X, х* Ф X . Определим для этого случая условия существования оптимальной допустимой стратегии Ф* е Ф(х(0)) и скорость сходимости т* к оптимальному допустимому уровню запаса х*.

Терема 3. (о существовании оптимальной допустимой стратегии). Для любого начального состояния х(0) е X существует оптимальная допустимая на интервале X стратегия управления Ф* е Ф(х(0)), если выполнены условия (8), (9) и существует е>0 такое, что

X(ЕБ,АЕБ) + е X(0,0) с {-Ви}, (14)

где 0 е Я", 0 = X - х*. Причем сходимость к оптимальному допустимому уровню запаса х* достигается не более чем за конечное число шагов

Т = тах

І = 1,П

1п-

1 -а І +є

1п а

+1,

(15)

С учетом того, что X(0, х* ) + oppEБ = [-ЕБ,-ЕБ], из (12) получаем матричное уравнение

Ах(0 + Вы(0 = -ЕБ . (13)

Управления ы($), ы(t) е и, удовлетворяющие (13), гарантируют включения х(^ е X(0, х*) для t> т* и составляют оптимальную стратегию управления (будем называть их оптимальными управлениями).

Замечание 3. Величина -ЕБ определяет оптимальный уровень предельного запаса в системе для t > т*. Причем любое управление ы((), ы(t) е и, удовлетворяющее (13), является оптимальным в смысле (6). В этом случае для t > т* управления ы(() логично выбирать, минимизируя затраты на управления (транспортные расходы, затраты на производство и т.д.) при условиях ы(^ е и и (13).

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОПТИМАЛЬНОЙ

ДОПУСТИМОЙ СТРАТЕГИИ УПРАВЛЕНИЯ

Пусть для любого начального состояния х(0) е X существует допустимая на интервале X стратегия управления. Для существования оптимальной в смысле (6) допустимой стратегии управления этого достаточно в двух случаях:

- когда оптимальный допустимый уровень запаса х* = X, тогда любая допустимая на интервале X стратегия управления будет оптимальной;

- когда оптимальный допустимый уровень запаса х* < X, х* Ф X, и начальный уровень запаса х(0) е

где [х] - наименьшее целое, большее числа х. Доказательство. Введем вектор

~(ґ +1) = Ах(ґ) + Ви(ґ), ґ > 0,

который определяет уровень запаса в сети после поставки в момент времени ґ, но до очередного предъявления спроса. Тогда х(ґ +1) = ~(ґ +1) + Её (ґ), ґ > 0. Покажем, что х(ґ+1) є X для любого значения спроса ё(() є Б, если и только если ~(ґ +1) є X + оррЕБ . Действительно,

Уё(ґ) є Б\ ~(ґ +1) + Её(ґ) є X »

» ~(ґ +1) + ЕБ с X » ~(ґ +1) є X + оррЕБ. Покажем по индукции, что для любого начального состояния х(0) є X существует допустимая на интервале X стратегия Ф є Ф(х(0)) такая, что

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

~(ґ) є [- Ей, тах{- ЕБ, Аґ-1 (X - ЕБ) -

-є(І + А + к + Аґ-2)Є|] , ґ > 1, (16)

где І є ЯКХ" - единичная матрица. Так как выполнены условия (8), (9), то по теореме 1 для любого начального состояния х(0) є X существует допустимое управление такое, что

~(1) є X + оррЕБ = [-ЕйХ - ЕБ].

С учетом соотношения - Ей = х* - ЕБ < X - ЕБ ясно, что для ґ = 1 включение (16) справедливо. Далее, пусть (16) справедливо для произвольного ґ, ґ > 2. Покажем, что оно справедливо для ґ + 1. Заметим, что условие (14) можно представить в виде

Х(АЕБ,АЕБ) + єХ(0,Є) + Х((І - А)ЕБ0) с {-ВП}. (17)

Рассмотрим ~(ґ +1) = Ах(ґ) + Ви(ґ) = А(~ (ґ) + ЕЩ - 1) +

в

+ Вы(') ± е0(О ±0(t) . Согласно условию (17), существует управление ы(') е и такое, что AEd^ -1) + в0(') + + 0(0 + Вы($) = 0 для любого d (t - 1)еБ и любых 0(0 е X(0,0), 0(0 е X((I - А)ЕБ,0). Тогда

~(t +1) = Ax(t) -s9(t) -9(t),

где

0(ґ) є X(0,0), 0(ґ) є X((І - А)ЕО,0). Определим вектора 0(/), 0(/) с компонентами

0,, if а,хі (ґ) -є0. > -ЕБ,,

(18)

(19)

9,- (t) =

maxi 0.

aixi(t) + ED,

else,

(20)

9 (t) = J0, f а,5?,(t)-є9, > -Ші =

* ' min(0, а,x, (t) + EDi ) else*

получаем включение

[- ED,i, max{- ED,i, а, (X, - EDi) -є(1 + а, +... + af

')9,1

c [-ED,, X, - EDi ] .

Таким образом, ~^ +1) е X + oppEБ и х('+1) е X для любого d(t) е Б. По определению 1 управление ы(0, удовлетворяющее (21), является допустимым на интервале X в момент времени t. Следовательно, утверждение (16) имеет силу для любого t > 1.

Покажем, что стратегия Фе Ф(х(0)), является оптимальной, т.е. начиная с некоторого момента времени т* выполнено включение (6). Рассмотрим случай, когда 0,- = 0 ( х,* = X¡). При этом включение (16) примет вид

i (t) є [- EDi, max{- ED

max{ - EDi, ai1 (x* - EDi)}, t > 1.

Заметим, что

а'ч(х*-ЕБ) = а'-1 (-ЕБ) <(0 <а,. < 1,Щ <0 <-ЕБ,

следовательно,

~ (t) е [- ЕО, ,-ЕО, ] = X(0, х,*) + oppED¡, t > 1, что гарантирует включение х, (t) е X(0, х,*), t > 0 (с учетом того, что х, (0) е X(0, х,*), t > 0).

Для случая, когда 0г>0, найдем момент времени т*, начиная с которого (t) е [- [Б, ,-ЕБ, ], t > т*. Рассмотрим функцию

/, (t) = аГ1 (X,. - ЁБ1) - е(1 + а+ к + а,~2)0,. =

__ ______ і - at-1

= аГ‘(X, - EDi) -є----------і— 9.

1 -а,

Учитывая то, что

Покажем, что 0(ґ), 0(ґ) вида (20) удовлетворяют условию (19). Согласно (20), 0,(ґ) либо принимает значение 0. (верхней границы ,-ой компоненты интервала X(0, 0)), либо равна нулю (нижней границе ,-й компоненты интервала

а, х,. (ґ) + ЕБ.

X(0, 0)), либо 0, (ґ) =----------=.- > 0, причем из условия

є

~ ах. (ґ) + ЕБ.

а,х, (ґ) - є0. < -ЕБ. следует 0, (ґ) =-----------<0,, от-

є

куда получаем включение 0(ґ) є X(0,0). Далее, 0, (ґ) либо равна нулю (верхней границе ,-ой компоненты интервала Х((І - А)ЕБ, 0)); либо ~ (ґ) = а,х, (ґ) + ЕБІ < 0 , причем в силу предположения индукции (16) имеем ~ (ґ) > - ЕБ., откуда ві (ґ) > (1 - аі )ЕБ., что и доказывает включение ~(ґ) є X((І - А)ЕБ, 0).

Таким образом, из (18) получаем

Га, X, (ґ) -є0., если а, х. (ґ) -є0. > - ЕБ.,

хі (ґ +1) =^

. І- ЕБІ, иначе,

откуда, с учетом предположения индукции (16),

х. (ґ +1) є [- ЕБІ, тах{- ЕБІ, аґ (Хі - ЕБ,) -

-є(1 + а. + к + а,1)0,}] . (21)

Кроме того, учитывая соотношения

аґ (X, - ЕБ,) - є(1 + а. + к + а‘-1 )0. < X, - ЕБі ,

- ЕБ.. = х* -ЕБ, < X, - ЕБ,,

f (t) = аГ1 (X, - EDi) - є—9, =

1 -а,

1 - аґ-1

= а Г1 (0. - ЕБі ) -є ^ 0. <

1 -а.

1 - аґ-1

< - ЕБ. +а Г‘0. -є----------0.,

. 1 -а і

нетрудно показать, что функцияЛ(ґ) убывает по ґ и

f. (t) < -ED, для t >

Следовательно, из (16) имеем

ln-

1 -а, + є

ln а

+1.

i (t) є [- ED і ,-EDi ] = X(0,x,*) + oppED,

t >

ln

1 - а, + є

+1,

откуда получаем

x(t) є X(0, x*), t > max

i = 1,и

ln

1 -а, + є

+1.

= Т

Таким образом, стратегия Ф е Ф(х(0)), удовлетворяющая (16), является оптимальной, а скорость сходимости к оптимальному допустимому уровню т*=Т, где Т определяется соотношением (15). Теорема доказана.

Из доказательства теоремы 3 следует, что если выбирать управление ы(') е и в момент времени t так, чтобы Ах(') + Вы(') е

е [- ЕБ, тах{- ЕБ, а' (X - ЕБ) -е(! - А)-1 (I - а')0}] с с [- ЕБ, тах{- ЕБ,-ЕБ +(А' - е(1 - А)(I - а' ))^}] , то, начиная с момента времени Т-1, будем иметь Ах(') + Вы(') е [- ЕБ,-ЕБ] = -ЕБ, t > Т -1, что гарантирует

х(') е X(0, ^), t > Т , следовательно, стратегия Ф={ы('), />0}является оптимальной в смысле (6).

Для того чтобы увеличить скорость сходимости системы, будем определять управления ы*(') в момент

є

є

є

в

времени t, t > 0, составляющие оптимальную стратегию Ф*={ы*('), t>0} из решения следующей оптимизационной задачи:

V X^ min

т! u(t )= VA

(22)

при ограничениях

- ЕБ < Ах(') + Вы(') <-ЕБ + Л0, -ЕБ + Л0< X -ЕБ, ы(') е и, Х1,X2,...,Xп > 0,

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

где х(') определяется рекуррентным соотношением (1) (х(0) - известное начальное состояние запаса); Л=Diag(V V -, V - диагональная п х п -матрица; Хь Х2,..., Хп е ^ - вспомогательные параметры. Момент

п

времени т*, т*<Т, начиная с которого ^Х,. = 0 , опре-

1=1

деляет скорость сходимости системы.

Замечание 4. В случае единичной матрицы A=Diag(1Д,... 1) (без учета устаревания запаса) оценка скорости сходимости системы к оптимальному допустимому уровню запаса х* определяется по формуле Т= = [1/е] + 1. (Эта оценка получается в результате предельного перехода а 1 ^ 1, г = 1, п , в формуле (15).)

ПРИМЕР

Рассмотрим систему производства-распределения, которая описывается динамической сетью, представленной на рис. 1.

ную линию, которая из А и В производит продукцию АВ. Неуправляемые потоки dь d2, d3 определяют спрос в узлах сети на продукцию А, В и АВ соответственно; d4, d5 представляют спрос в 3-ем узле на продукцию А и В.

Динамика сети описывается рекуррентным соотношением (1) со структурными матрицами

(1 0 -1 -1> - 0 0 - 0

B = 0 1 -1 1 , E = 0 -10 0 -1

10 01 0 V 1 0 0 -11 1 )

Матрица, учитывающая устаревание запаса, имеет вид (0.7 0 0 'ï

A =

0.5 0

0 0.8

Неопределенность спроса и ограничения на состояния системы и управления заданы в виде соответствующих интервалов ( [5, 25] ^

^ [0,130] ^

[0,120]

,[0,150],

D =

X =

U =

( [0,190]^ [0, 55] [0,100] [0, 70]

[20, 30]

[60, 80]

[0, 20]

, [0, 30] ,

Для данной системы оптимально допустимый уровень запаса х* = (40 20 50)' (формула (10)), условия

теоремы 3 выполнены (е = 0.158), максимальная скорость сходимости Т = 5 (формула (15)).

Сеть состоит из трех узлов: узлы 1, 2 производят продукцию А и В, которая используется для производства продукции АВ в 3-м узле. Управляемые потоки ыь ы2 определяют интенсивность производства продукции А и В соответственно; ы4 перераспределяет дополнительные производственные возможности системы между производственными линиями А и В (если ы4=0, то все дополнительные возможности системы направлены на производство продукции А); ы3 описывает производствен-

Рис. 2. Динамика изменения запаса в узлах сети

В каждый момент времени t, t > 0, решая задачу (22), получаем оптимальное управление ы*('). Рис. 2 показывает динамику изменения запаса в узлах сети при оптимальной стратегии управления Ф*={ы*('), t > 0}, Ф* е Ф(х(0)), для начального состояния запаса х(0)= =(130 120 150)'. Видно, что скорость сходимости т*=2,

так как х(') е X(0,х*) для t > 2.

ЛИТЕРАТУРА

1. Ловецкий С.Е., Меламед И.И. Динамические потоки в сетях // Автоматика и телемеханика. 1987. № 11. С. 7-29.

2. Glover F., Klingman D., Phillips N.V. Network models in optimization and their applications in practice. NY.: Wiley, 1992.

3. Blanchini F., Rinaldi F., Ukovich W. A network design problem for a distribution system with uncertain demands // SIAM Journal on Optimization.

1997. Vol. 7, №. 2. P. 560-578.

4. Blanchini F., Rinaldi F., Ukovich W. Least Inventory control of multistorage systems with non-stochastic unknown demand // IEEE Transaction on Robotics and Automation. 1997. Vol. 13, №. 5. P. 633-645.

5. Blanchini F., Pesenti R., Rinaldi F., Ukovich W. Feedback control on production-distribution systems with unknown demand and delays // IEEE

Transaction on Robotics and Automation. 2000. Vol. 16, №. 3. P. 313-317.

6. Домбровский В.В., Чаусова Е.В. Динамическая сетевая модель управления запасами с интервальной неопределенностью спроса // Вычислительные технологии. 2001. Т. 6. Ч. 2. С. 271-274 (спец. выпуск, CD).

7. Чаусова Е.В. Динамическая сетевая модель управления запасами с интервальной неопределенностью спроса и задержками в поставках // Обозрение прикладной и промышленной математики. 2001. Т. 8. № 2. С. 719-720.

8. Чаусова Е.В. Динамическая модель управления запасами с интервальной неопределенностью спроса // Вестник Томского государственного университета. 2002. № 1(1). С. 195-200.

9. Chausova E.V. Dynamic network inventory control model with interval nonstationary demand uncertainty // GAMM-IMACS International Symposium on Scientific Computing, Computer Arithmetic, and Validated Numerics: Book of Abstracts. Paris: Universite Pierre et Marie Curie, Laboratory LIP6, 2002. P. 101.

10. Чаусова Е.В. Динамическая сетевая модель с интервально заданным нестационарным спросом // Дискретный анализ и исследование операций: Материалы Российской конференции. Новосибирск: Изд-во Института математики, 2002. С. 248.

11. Moore R.E. Methods and applications of interval analysis. Philadelphia: SIAM, 1979.

12. Калмыков С.А., Шокин Ю.И., Юлдашев З.Х. Методы интервального анализа. Новосибирск: Наука, 1986.

13. Алефельд Г., Херцбергер Ю. Введение в интервальные вычисления. М.: Мир, 1987.

14. Шарый С.П. Алгебраический подход во «внешней задаче» для интервальных линейных систем // Вычислительные технологии. 1998. Т. 3, № 2. С. 67-114.

15. Kaucher E. Interval analysis in the extended interval space IR // Computing Supplement. 1980. V. 2. P. 33-49.

16. KearfottR.B., NakaoM.T., Neumaier A., Rump SM., Shary S.P., HentenryckP. Standardized notation in interval analysis // Reliable Computing, to appear.

Статья представлена кафедрой математических методов и информационных технологий в экономике экономического факультета Томского

государственного университета, поступила в научную редакцию «Кибернетика» 30 мая 2003 г.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.