Динамическая сетевая модель управления запасами с интервально заданным нестационарным спросом и интервальными коэффициентами потерь запаса Текст научной статьи по специальности «Математика»

Е.В. Чаусова

ДИНАМИЧЕСКАЯ СЕТЕВАЯ МОДЕЛЬ УПРАВЛЕНИЯ ЗАПАСАМИ С ИНТЕРВАЛЬНО ЗАДАННЫМ НЕСТАЦИОНАРНЫМ СПРОСОМ И ИНТЕРВАЛЬНЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ ПОТЕРЬ ЗАПАСА

Работа выполнена при финансовой поддержке гранта Президента РФ №МК-3097.2005.8

Рассматривается динамическая сетевая модель системы управления запасами с неопределенностью в данных. Неизвестные параметры системы (спрос и коэффициенты потерь запаса) задаются в виде интервалов, в границах которых они произвольным образом принимают свои значения. Предполагается, что спрос имеет нестационарный характер и интервал его возможных значений меняется во времени. Для анализа и расчета оптимальной стратегии управления применяется аппарат интервальной математики, в том числе полная интервальная арифметика Каухера. Получены необходимые и достаточные условия существования допустимого управления, доказана теорема об оптимальном допустимом уровне запаса, определены достаточные условия существования оптимальной допустимой стратегии управления и разработан вычислительный алгоритм ее построения. Проведены численные исследования.

Проблема управления запасами является одной из наиболее важных и актуальных в экономике, поскольку к ней сводятся многие задачи оптимального планирования складских, производственных, транспортных, финансовых, водохозяйственных, энергетических и других систем. Широкий класс систем управления запасами, в том числе системы снабжения и производства-распределения, описывается динамическими сетевыми моделями. Структура систем управления запасами представляется в виде динамической сети, узлы которой задают виды и размеры управляемых запасов, а дуги - управляемые и неуправляемые потоки в сети. Под запасом здесь понимается не только наличие некоторого товара или продукции на складе, но и любые другие виды ресурсов (производственные, трудовые, транспортные, финансовые и др.). Управляемые потоки перераспределяют ресурсы (запасы) между узлами сети, возможно перерабатывая их, и планируют поставки извне. Неуправляемые потоки описывают спрос на ресурсы в узлах сети, который формируется как со стороны других узлов, так и внешнего окружения. Задача управления запасами формулируется как задача поиска минимального по стоимости динамического потока в сети. Достаточно полный обзор о постановках сетевых задач и методах их решения приведен в [1, 2].

Наиболее востребованными на практике являются модели управления запасами с неопределенностью в данных. В классической теории управления запасами принято считать, что априорная неопределенность, свойственная реальным системам управления запасами, имеет стохастический характер [3-5]. Однако практическое применение стохастических моделей во многих случаях затрудняется из-за отсутствия информации о вероятностных характеристиках системы. В работах [6-11] предлагаются интервальные модели управления запасами, основанные на предположении о нестохастической природе неопределенности, присутствующей в системе. Неизвестные параметры системы описываются интервалами, в границах которых они произвольным образом принимают свои значения. На практике такое описание неопределенности по сравнению с вероятностным является более простым и доступным, поскольку границы интервалов неопределенности оценить проще, чем вероятностные характеристики. Для анализа и расчета оптимальной стратегии управления применяется аппарат интервальной математики [12-15], в том числе полная интервальная арифметика Каухера [14, 15]. В [8-10] рассматриваются динамические сетевые модели систем управления запасами с интервальной неопределенностью спроса. Неизвестный спрос задается в виде интервала с постоянными (стационарный спрос) или переменными (нестационарный спрос) границами. В работе [11] в модель со стационарным спросом вводится дополнительная неопределенность, источником которой являются коэффициенты потерь запаса, учитывающие естественные изменения в его количестве и свойствах (порча, убыль, ус-

таревание и т.д.). Это обусловлено тем, что в большинстве случаях на практике известными бывают не сами значения коэффициентов потерь, а интервалы их возможных значений.

В данной работе рассматривается динамическая сетевая модель управления запасами с интервально заданным нестационарным спросом и интервальными коэффициентами потерь запаса. Получены необходимые и достаточные условия существования допустимого управления, доказана теорема об оптимальном допустимом уровне запаса, определены достаточные условия существования оптимальной допустимой стратегии управления, гарантирующей асимптотическую сходимость к оптимальному запасу, и разработан вычислительный алгоритм построения этой стратегии. Приведены результаты численного моделирования, подтверждающие работоспособность и эффективность предложенного алгоритма.

Описание модели и постановка задачи

Рассмотрим динамическую систему управления запасами с периодическим контролем уровня запасов и бесконечным горизонтом планирования. Структуру системы представим в виде динамической сети, эволюция которой описывается многомерной моделью в пространстве состояний:

x(t +1) = A(t)x(t) + Bu(t) + Ed(^, t > 0, (1)

где x(t) є Rn - вектор состояний системы, г-я компонента которого задает уровень запаса в і-м узле сети (на і-м складе) в момент времени t (х(0) считается известным); и(0 є Rq - вектор управляющих воздействий (управление), компоненты которого представляют управляемые потоки в сети в момент времени ^ d(t) є К” - вектор неуправляемых воздействий (спрос), компоненты которого описывают неуправляемые потоки в сети в момент времени f. Структура сети определяется структурой матриц В є Кпх^ Е є К"'™; диагональная матрица Л(0 = = Diag(a1(f), ..., оп(0) є К' учитывает возможные потери запаса в узлах сети в момент времени f.

Спрос d(f) имеет нестационарный характер (например, сезонный) и точно не известен, но задан интервал его возможных значений, границы которого меняются во времени:

d(0 є Б(ґ) с Б, f > 0, (2)

где Б(ґ), Б є ІКт , Б(ґ) = Б(ґ), D(0], Б = [Д D], Б > 0; Ж = {х = [х, X] | X < X, х, X є К} - множество правильных интервалов [12, 13]. В ряде случаев с нестационарным спросом такое (более точное) задание интервала неопределенности спроса позволяет уменьшить уровень запаса в системе и, как следствие, затраты на его хранение.

На состояния х(і) и управления и(і) накладываются ограничения, обусловленные возможностями системы:

X(0 є X, f > 0, (3)

и(і) є и, f > 0 , (4)

где X є Жп, X = [0, X]; и є IRq, и = [0,и ].

Коэффициенты потерь запаса 0^(0, ..., оп(0 заданы в виде интервалов

Л(0 є А, f > 0, (5)

где А = Diag(а1, ..., ап)єШпхп,А = [Л,Л],аг = [аг,аг],

0 < аі < 1, widаi < 1, і = 1, п ; widх = X - X - ширина интервала х, wid х > 0.

Для системы (1) необходимо найти оптимальную (с точки зрения минимума затрат) стратегию управления, гарантирующую полное и своевременное удовлетворение спроса (2) на бесконечном периоде планирования с учетом возможных потерь запаса (5) и ограничений (3), (4).

Определение 1. Будем называть функцию u(f)=U(x(f),f), и(0 є и, допустимым на интервале X управлением для состояния x(f) в момент времени ґ, t > 0, если при любых потерях запаса Л(ґ) є А для любого значения спроса d(f) є Б(ґ) выполнено включение x(f+1) є X, где x(f) определяется рекуррентным соотношением (1).

Определение 2. Будем называть стратегию ф={и(0, t > 0} допустимой на интервале X стратегией управления для начального состояния x(0) є X, если все управления, составляющие эту стратегию, являются допустимыми на интервале X. Множество стратегий, допустимых на интервале X при начальном запасе x(0) є X будем обозначать Ф^(0)).

Определение 3. Будем называть X, X є X, допустимым уровнем запаса в системе, если для любого начального запаса x(0)є X(0, X) существует допустимая на интервале X(0, X) стратегия управления, где X(a,b) = = [а,Ь] - интервальнозначная вектор-функция, которая определена для любых а, Ь є Кп, а < Ь.

Определим затраты системы на хранение запаса в виде функции

С (X) = И т X, (6)

где X є X - допустимый уровень запаса; И є Кп - вектор затрат, И > 0, И Ф 0, і-я компонента которого пред-

ставляет затраты на хранение единицы запаса в і-м узле сети; символ Т означает транспонирование. Понятно, что если для любого начального состояния x(0) є X существует стратегия управления Ф є Ф^(0)), то X является допустимым уровнем запаса и, следовательно, затраты системы меньше либо равны С (X) при любых потерях запаса Л(ґ) є А и спросе d(f)є Б(ґ) для всех t > 0. Чтобы минимизировать затраты системы, необходимо найти оптимальный допустимый уровень запаса X *, минимизирующий функцию затрат (6), и стратегию управления запасами Ф* є Ф^(0)), гарантирующую условие

x(f) є X(0, X*), t >т* > 0, (7)

при любых потерях запаса Л (і) є А и любом спросе d(f)є Б(ґ). Стратегию Ф* є Ф^(0)) будем называть оптимальной допустимой стратегией управления для начального состояния x(0)є X, а время т* - скоростью сходимости системы к оптимальному допустимому запасу X*.

Определение оптимального допустимого уровня запаса

Теорема 1 (о существовании допустимого управления). Для любого состояния системы х(0 е X в момент времени ?, ? > 0, допустимое на интервале X управление с обратной связью и(0=и(х(0, ?), и(?)е и, существует и определяется из включения

Ах(?) + Ви (?) е (I - wid А)X + орр ЕБ(?), (8)

если и только если выполнены условия

wid ЕБ(?) < (I - wid А)X , (9)

ЕБ(?) с (I - А) X + {- Ви}, (10)

где интервальный вектор ЕБ(() е 1В", ЕБ(() =

= \ЕДУ),ЕДО], получен умножением матрицы Е на интервальный вектор Б(?); орр х = \-х,-х] - интервал, обратный по сложению к интервалу х в полной интервальной арифметике Каухера, х + орр х = 0; множество {-Ви} = {хе Я" | х = -Ви, ие и}; I е Я"х" - единичная матрица.

Доказательство. Для состояния системы х(?) е Xпостроим управление и(0 в виде (8). Включение (8) имеет смысл, если и только если выполнено (9). Действительно, интервал (I - widА)X + оррЕБ(?) является правильным, если и только если

(I - wid А)X + оррЕБ(ґ) < (I - wid А)X + орр£Б(Ґ) »

» (I - wid А)X - ЕБ(0 < (I - wid А)X - ED(t) » » ЕБ(ґ) - ЕШ) < (I - wid А)(X - X) »

» wid ЕБ(ґ) < (I - wid A)wid X »

» wid ЕБ(ґ) < (I - wid А)X,

так как X = 0 по условию (3). Покажем, что такое управление существует для любого x(t) е X, если и только если выполнено условие (10). Имеем

Vx(t) е X 3u(t) eU | Ax(t) + Bu(t) е (I - widA)X+oppED(t) ö oVx(/) eX3u(t) eUIAx(t) + ED(t) с(I-widA)X-Bu(t) ö ö Vx(t) e X | Ax(t) + ED(t) с (I -(A- A))X+{-BU} ö ö AX+ED(t) с (I-A)X+AX+{-BU} ö ö ED(t) с (I - A) X+{-BU}.

Покажем, что управление вида (8) является допустимым на интервале X для состояния x(t) е X, т.е.

VA(t) е A Vd(t) е D(t) | x(t +1) e X. Действительно,

VA(t) e A Vd(t) e D(t) | x(t +1) = A(t)x(t) + Bu(t) +

+ Ed(t) e Ax(t) + Bu (t) + ED(t) = Ax(t) + Bu (t) +

+ X(0,wid A)x(t) + ED(t) с (I - wid A)X + oppED(t) + + X (0, wid A) X + ED(t) = X,

так как X (0, wid A) • X = X (0, wid A • X) = widA • X. Теорема доказана.

Следствие 1. Для любого начального состояния x(0)e X допустимая на интервале X стратегия управления Ф е Ф^(0)) существует, если и только если для всех t > 0 выполнены условия (9), (10). Управления, составляющие эту стратегию, определяются из включения (8). (Доказательство легко получить с учетом определения 2.)

Замечание 1. Интервал (I - widA)X+oppED(t) определяет уровень запаса, гарантирующий полное и своевременное удовлетворение спроса, и должен быть неотрицательным для всех t > 0. Это условие выполняется, когда ED(t) < 0 для всех t > 0.

Будем считать далее, что условия теоремы 1 выполнены для всех t > 0 и для любого начального состояния x(0) е X существует допустимая на интервале X стратегия управления Ф е Ф^(0)), т.е. X является допустимым уровнем запаса.

Теорема 2 (об оптимальном допустимом уровне запаса). Оптимальный допустимый уровень запаса x* является решением задачи

C(x) = hTx ^ min (11)

x

при ограничениях

(I - wid A)-1 maxiwidED(t)}< x < X, (12)

t>0

ED(t) с (I - A)X(0, x) + {- BU} для Vt > 0. (13)

Доказательство. По определению 3 уровень запаса x является допустимым, если

x е X (или 0 < x < X ), (14)

и для любого начального состояния x(0) е X(0, x) существует допустимая на интервале X(0, x) стратегия

управления. По следствию 1 такая стратегия существует, если и только если выполнены условия

wid ED(t) < (I - wid A)X для Vt > 0, (15)

ED(t) с (I - A)X(0, X) + {- BU} для Vt > 0. (16)

Условие (16) совпадает с (13). Условие (15) равносильно неравенству maXwidED(t)}<(I-widA)X, следовательно, (I-wicA)-1maXwidEDt)}< X. В силу того, что

maXwidEDft)}< (I - widA)X (так как (9) выполнено для

t>0

всех t > 0), имеем 0 < (I - wid A)-1 maxiwid ED(t)}< X,

t>0

значит, множество решений системы неравенств (14) и (15) имеет вид (12). Теорема доказана.

Следствие 2. Если для некоторого вектора затрат h>0, Иф0, оптимальный допустимый уровень запаса равен

X* = (I - wid A)-1 max{wid ED(t)}, то он будет таким же

и для любого другого h > 0, h Ф 0. (Доказательство основывается на том, что функция C(X) возрастает по X.)

Допустим, что в некоторый момент времени т* > 0 состояние системы попадет в интервал X(0, X*). По теореме 1 для любого X(t) е X(0, X*) в момент времени t > т* допустимое на интервале X(0, X*) управление u(t)=U(X(t), t), u(t) е U, можно определить из включения

AX(t) + Bu(t) е (I - wid A)X(0, X*) + opp ED(t). (17)

Управления u(t), удовлетворяющие (4) и (17), гарантируют условие (7) и составляют оптимальную стратегию управления.

Замечание 2. Включение (17) обращается в равенство

AX(t) + Bu(t) = -ED(t), если X* = (I - wid A)-1 max {wid ED(t)} и ширина интервала возможных значений неизвестного спроса постоянна (wid ED(t) = const для всех t > 0).

Замечание 3. Начиная с момента времени т*, управления u(t) логично выбирать, минимизируя затраты на управления (транспортные расходы, затраты на производство и т.д.) при ограничениях (4) и (17), поскольку любое управление, удовлетворяющее этим ограничениям, является оптимальным в смысле (7).

Построение оптимальной допустимой стратегии управления

Проблема существования оптимальной допустимой стратегии управления не возникает в двух случаях:

1) если оптимальный допустимый уровень запаса X* = X, то любая допустимая на интервале X стратегия управления является оптимальной;

2) если оптимальный допустимый уровень запаса X* < X, X* Ф X, и начальный запас x(0) е X(0, X*), то

любая допустимая на интервале X(0, X*) стратегия управления является оптимальной.

В этих двух случаях управления, составляющие оптимальную стратегию Ф* є Ф^0)), определяются из включения (17) для всех Ґ > 0 и скорость сходимости системы к оптимальному запасу т* = 0. В тех случаях, когда хотя бы в одном из узлов начальный запас больше оптимального уровня запаса (Зі | X* < xi(0) <X¡), требуется определить условия существования оптимальной допустимой стратегии Ф* є Ф^(0)), гарантирующей сходимость к оптимальному запасу X*, и оценить скорость сходимости системы.

В работе [10] показано, что если потери запаса отсутствуют, либо коэффициенты потерь запаса точно известны, то система с интервально заданным нестационарным спросом сходится к оптимальному запасу за конечное число шагов при любом начальном состоянии x(0) є X и найдена оценка скорости сходимости. Для случая с интервально заданными коэффициентами удалось доказать лишь асимптотическую сходимость системы и получить стратегию управления, гарантирующую

x(t) є X(0, X*) при Ґ (18)

для любого x(0) є X . Достаточные условия существования такой стратегии приведены в теореме 3.

Теорема 3 (о существовании оптимальной допустимой стратегии). Если для всех Ґ > 0 выполнены условия (9), (10), для всех Ґ > 1 выполнено условие

(I - Л)г(ґ -1) < г(ґ), (19)

где г(ґ) = (I - widА)X* -widЕБ(ґ) є Яп, г(ґ) > 0, и существует число є > - ш1л{(1 - а і ) wid аі} такое, что

¡=1,п

ЕБ + (є I + wid А) X(0,0) с (I - Л) X(0, X*) + {-ВЦ}, (20)

где ЕБ = ЕБєЩ”, ЕБ = [ЕБ,ЕБ], 0= X-у^єЯ",0>0,

0 Ф 0, то для любого начального состояния x(0) є X существует допустимая на интервале X стратегия управления Ф* є Ф^(0)), гарантирующая утверждение (18).

Доказательство. Введем вектор

~(Ґ +1) = Лx(t) + Ви(ґ), Ґ > 0,

который определяет минимальный возможный уровень запаса после поставки в момент времени ґ, но до очередного предъявления спроса. Тогда

x(t +1) = Л(Ґ) x(f) + Ви(ґ) + Ed (Ґ) =

= ~(Ґ +1) + (Л(Ґ) -Л)x(t) + Ed(t), Ґ > 0.

Покажем по индукции, что для любого начального состояния x(0) є X существует допустимая на интервале X стратегия Ф є Ф^(0)), такая, что

~(ґ) є [-ЕБуґ -1), тах{ (I - widA)X * -ЕБ(Ґ -1),(! - widA)X -

-ЕБ(Ґ-1)-(I-Л + єI)(I +Л + ••• +ЛҐ-2)0}], ґ> 1. (21)

Так как для всех ґ > 0 выполнены условия (9), (10), то по теореме 1 для любого начального состояния x(0) є X существует допустимое на интервале X управление такое, что

~(1) є (I - wid А)X + оррЕБ(0) =

= [-ЕБ(0), (I - wid А) X - ЕБ(0)].

Так как X* < X , включение (21) справедливо для ґ = 1. Пусть (21) справедливо для некоторого ґ > 2. Покажем, что оно справедливо для ґ + 1. Для этого, используя разложения

I = Л + (I - Л), I - Л = (I - Л)Ц - wid А) - Л wid А

и свойства интервально-арифметических операций

(а + Ь) х = ах + Ьх, У а, Ь > 0, а, Ь є Я,

(а - Ь) х = ах + Ь • орр х, У а > Ь > 0, а, Ь є Я, орр(сх) = с • орр х, с(х + у) = сх + су, Ус є Я,

представим (20) в виде эквивалентного включения

ЛЕБ(Ґ) + (I - Л)ЕБ(Ґ) + ЕБ + орр ЕБ(Ґ) +

+ (єI + (I - A)wid А)X(0,0) + Л wid(А)X(0,0) с С (I - Л)Ц - wid А)X(0, X*) +

+ Л wid( А) орр X (0, X*) + {-ВЦ },

откуда имеем

ЛЕБ(ґ) + ^ + (I - Л) wid А)X(0,0) +

+ ЕБ + орр ЕБ(ґ ) + Л wid А( X (0,0) + X (0, X*)) с с (I - Л)^ - wid А)X(0, X*) + (I - Л) орр ЕБ(ґ) + {-ВЦ}

и, так как wid А( X (0,0) + X (0, X*)) = wid(A) X =

= X(0^И(А)X) = X(0^И А)X = (А - Л)X , получаем

ЛЕБ(ґ) + ^ + (I - Л) wid А)X(0,0) +

+ ЕБ + орр ЕБ(Ґ) + Л(А - Л)X с с (I -ЛШ - wid А)X(0, X*) + орр ЕБ(ґ)) + {-ВЦ}. (22)

Рассмотрим ~ (Ґ + 1) = Ax(t) + Ви(ґ) = Л(х (Ґ) + Ed(t -1) +

+(Л(ґ-1) - Л^ґ -1))+Ви(ґ) ± (є/ + (I - A)widA)0(f) ± ~(Ґ), где 0(ґ) є X (0,0), 0(ґ) є ЕБ+оррЕБ(ґ-1). По условию (22) для любых значений d(f-1) є Б(ґ-1), Л(ґ-1) є А, x(f—1) є X, 0(Ґ) є X(0,0) и 0(Ґ) є ЕБ + оррЕБ(Ґ -1) найдется такое и(ґ) є и, для которого

AEd (ґ -1) + (єI + (I - Л) wid А)0(ґ) +

+ 0(ґ) + Л(Л(ґ -1) -Л)x(t -1) + Ви(ґ) с с (I - A)((I - wid А)X(0, X*) + орр ЕБ(ґ -1)).

Следовательно,

x(t + 1) = Ax (t) - (є/ + (I - A) wid A)0(t) - 0(t) + A(t), (23)

где A(t) є (I - A)((I - wid A)X(0, X*) + opp ED(t -1)).

Будем выбирать компоненты векторов 0(t) и 0(t ) в момент времени t по следующему правилу:

Если выполнено условие

aiX (t) - (є + (1 - а ) widai )0,. - (EDi - EDi (t)) >

> ai ((1 - widai )x* -EDi (t -1)), (24)

то

иначе

где

0i(t) =

0. (t) = 0,., 0,. (t) = EDi - EDi (t -1) :

0,. (t) = max(0,0' (t)), 0 (t) = Є,' (t),

a. ~ (t) - (EDi - EDi (t)) -a. ((1 - wida )x* -EDi (t -1))

є+(1-а-)widai

0' (Ґ) - любое значение из интервала ЕБІ + орр ЕБІ (ґ -1), такое, что ~(Ґ +1) є (1 - widаі)X(0, X*) + оррЕБІ (ґ) для любого Ді (ґ) є(1-аі)((!-widai )X(0, x*)+oppEБ (ґ-1)).

Покажем, что 0(ґ) є X(0,0), 0(ґ) є ЕБ+оррЕБ(ґ -1). Согласно принятому правилу, 0і(ґ) либо равна 0і (верхней границе і-й компоненты вектора X(0, 0)), либо равна нулю (нижней границе і-й компоненты вектора X(0, 0)), либо равна 0' (ґ) , когда 0 < 0' (ґ) < 0і (в этом случае

аі~і (Ґ) - (є + (1 - а.) wid аі )0і - (ЕБі - ЕБі (Ґ)) <

< аі ((1 - wid аі) X* - ЕБі (ґ -1)),

откуда получаем 0і (ґ) < 0і, так как по условию теоремы є + (1-аі )widai > 0 для У і = 1, п ). Значит, 0(Ґ) є X (0,0).

0і (ґ) либо равна ЕБі - ЕБі (ґ -1) (верхней границе вектора ЕБІ + оррЕБ (ґ -1)), либо 0' (ґ) є ЕБІ + оррЕБ- (ґ -1). Значит, 0(ґ) є ЕБ+ оррЕБ(ґ -1).

Пусть условие (24) выполнено. Если аі Ф 0, то X (ґ ) > (1 - wid аі ):г* - ЕБі (ґ -1) + ((є + (1 - аі) wid аі )0і + + ЕБі - ЕБі (ґ))/аі > (1 - wid аі) X* -ЕБі (ґ -1), тогда

из (21) получаем ~ (ґ) < (1 - wid аі)X, - ЕБі (ґ -1) -

Ґ-2

- (1 -аі +є)(1 + а. + к + аі )0і. Выбирая 0і(ґ) = 0і,

0і (Ґ) = ЕБі - ЕБі (Ґ -1), имеем

~ (ґ + 1) = аі~ (ґ) - (є + (1 - аі) widai )0і -

- (ЕБі - ЕБі (ґ-1))+д,. (ґ) <аі ((1-widai )XІ - ЕБі (ґ-1) -

Ґ-2 ^

— (1 — аі + є)(1+аі +. к+аі )0і) — (є + (1 — аі) wida¡ )0і —

- (ЕБі - 'ЕБі (ґ -1))+(1 - аі )((1 - widai )х* -ЕБі (ґ -1)) =

= (1 — wida¡)Xi — ЕБі — а.(1 — а. + є)(1+а. +...+а. )0і —

- (є + (1-а,- )widai )0. - (1-а,- )(1-widai )(1,. -4*) <

=0і

< (1—widai)Хі — ЕБ. (Ґ) — (1 — а. + є)(1+а. +. к+а. )0. для УДі (ґ) є (1 - а. )((1 - widаі)X(0, X*) + орр ЕБ, (ґ -1)).

Чтобы оценить нижнюю границу х, (? +1), рассмотрим два случая: 1) если

а,-~,- (?) - (£ + (1 - а,) wid а,)0, - (ЕБ i -- ЕБ, (? -1)) - (1 - а, )ЕБ, (? -1) > (I - wid а ,) х * - ЕБ, (?) , то

х, (? +1) = а Д. (?) - (£ + (1 - а,) wid а , )0, -

- (ЕБ, - ЕБ, (? -1)) + Д, (?) > (1 - wid а,)х,* -ЕБ I (?)

для УД,.(?) е (1 -а,)((1 - widа,)X(0,х,*) + оррЕБ, (?-1)); 2) если

аД. (?) - (£ + (1 - а,) wid а, )0, - (ЕБ, - ЕБ, (? -1)) -

- (1 - а, )ЕБ, (?_ 1) < (I_ wid а, )х* -ЕБ, (?), то

х, (? + 1) = а,х, (?) - (£ + (1 - а,) wida, )0, - (ЕБ, -

- ЕБ I (? -1)) + Д, (?) > а, ((1 - widai )х * -ЕБ, (? -1)) --ЕБ, (?)+ЕБ i (? -1) - (1 - а, )ЕБ, (? -1) = -ЕБ, (?) + г, (?) -

- (1 - а, )Г (? -1) > (по условию(19)^ > -ЕБ,. (?) для УД, (^ е (1 -а, )((1 - wid а, ^ (0, х*) + орр ЕБ, ^-1)).

Если а, = 0, то 0 , = 0 (^,* = X ,) и ЕБ, = ЕБ, (?) (иначе (24) не выполнено). Выбирая 0,(0 = 0, 0,. (?) = ЕБ1 (?) - ЕБ1 (? -1), имеем

~ (?+1) = -(ЕБ, (?) - ЕБ, (? -1))+д, (?) е \-ЕБ, (?) +

+ ЕБ, (? -1) - ЕБ1 (? -1),(1 - wid а,)х * -ЕБ , (?)] с

с (1 - wid а,)X(0, х,*) - ЕБ , (?),

так как по условию (19) г, (? -1) < г, (?), а значит, wid ЕБ (?) < wid ЕБ , (? -1).

Таким образом, если (24) выполнено, то

~ (? +1) е \-ЕБ, (?), (1 - wid а,)X, - ЕБ, (?) -

?-1 т

— (1 — а, + £)(1 + а, +. к + а, )0, ].

Пусть условие (24) не выполнено. Рассмотрим два случая: 1) 0'$) < 0, при этом а,~. (?) < а, ((1 - widа1)х,* -

- ЕБ, (? -1)) + (ЕБ, - ЕБ, (?)), тогда 0,(?) = 0 и ~ (? +1) = = а,-~, (?) -0'(?) + Д(?). Если а, Ф 0, то, с учетом предположения индукции (21), имеем -ЕБ,(?-1) < ~(?) <

< (1 - widai )х*-ЕБ, (? -1) + (ЕБ , - ЕБ, (?)) / а,. Покажем, что для Ух,. (?) е \-ЕБ,(? -1) ,(1 - widа1)х* -ЕБ, (? -1) + + (ЕБ, -ЕБ1 (?))/а, ] 30; (?) е ЕБ, + орр ЕБ, (?-1)

УД, (?) е (1 - а, )((1 - wid а,)X(0, х*) + орр ЕБ (? -1)) |

0 (? +1) е (1 - wid а,)X(0, х,*) + орр ЕБ , (?). Воспользуемся следующим свойством:

Ух е х 3Ь е А Ус е с | х - Ь + с е й »

» х с й + орр с + Ь, wid с < wid й, (25)

где х, Ь, с, й е IЯ. В нашем случае имеем

х = \-а,. ЕБ,(? -1) ,а ((1 - wida■ )х* -

-ЕБ, (?-1))+ЕБ, - ЕБ, (*)],

Ь = ЕБ , + орр ЕБ , (? -1), с = (1 -а, )((1 - wid а,) X (0, х,*) + орр ЕБ, (? -1)),

d = (1 - wid a t )X(0, x *) + opp EDi (t), d + oppc + b = a ((1 - widat)X(0, x*) + opp ED. (t -1)) +

+ ED t + opp EDt (t) = [-a EDi (t -1) + EDi - EDi (t), a. ((1 - wid ai ) X,*+EDi (t -1)) + EDi - EDi (t)]. Условие wid c < wid d выполнено в силу (19), так как widc = (1 - ai )((1 - wida. )X * - widED. (t -1)) = (1 - ai )r (t -1), widd = (1- widai)3c.* - widED.(t) = г.(t).

Интервал x ç d+oppc+b, так как x > d+oppc+b (в силу

(2) ЕБі - ЕБі (ґ) < 0 для Уі =1, п), а X = d + орр с + А .

Если а. = 0 (в этом случае 0'і(ґ) < 0 автоматически), то ~ (ґ+1) =—0 (ґ)+Д(ґ). Покажем, что З~ (ґ)єЕБ) +орЕБ(ґ-1) УД. (ґ) є (1 - а. )((1 - wid аі)X(0, X*) + орр ЕБІ (Ґ -1)) | х,(ґ +1) є (1 - widаі)X(0, X*) + оррЕБ1 (ґ). Имеем: х = 0

- вырожденный интервал (число), X є d + орр с + Ь = = ЕБX + оррЕБО в силу (2). Следовательно, по свойству (25) 0' (ґ) существует;

2) 0і (ґ) > 0 (при этом а. Ф 0), тогда 0,(ґ) = 0 ' (ґ) и

где X. (ґ) = 1-widai - (1-а. +є)(1+аі + ...+а, ), і = 1, п, и для каждого і найдем момент времени Ті такой, что

X (ґ) є [-ЕБі (ґ -1), (1 - wid аі)X* -ЕБі (ґ -1)] =

= (1 - wid а.) X (0, X*) + орр ЕБ, (ґ -1), ґ > Ті , (28)

т.е. Х,(ґ)0, < 0.

Очевидно, что если 0. = 0, то Ті = 1. Если 0. > 0, рассмотрим три случая: 1) если а. = 1, widаі = 0 (потерь запаса в і-м узле нет), то Х,(ґ) = 1 - є (ґ - 1). Имеем Xі (ґ) < 0 »1 — є(ґ -1) < 0 » ґ > 1/є +1. Учитывая то, что система наблюдается в дискретные моменты времени

ґ = 0, 1, 2, ..., Т = Г1/є] +1, где [X] - округление вверх до ближайшего целого числа; 2) если 0 < а. < 1 (потери запаса в і-м узле есть), то

Ґ-1

X. (ґ) = 1 - wid аі - (1-а. +є)(1 -а. )/(1-аі). Учитывая то, что 1 - а. + є> 0 У і = 1, п , имеем

x,(t +1) = EDi - EDi (t) + a. ((1 - wid at ) x* -EDi (t-1)) - X,. (t) < 0 » 1-wid at - (1 -a. + є)(1 -af‘)/(1-a. ) < 0 »

- 0 ' (t) + A(t). Имеем: вырожденный интервал x = x = EDi - EDi (t) + a. ((1 - wid at )x* -EDi (t -1)), интервалы b, c, d - такие же, как в предыдущем случае. Условие x є d + opp c + b выполнено, так как x равен верхней границе этого интервала. Следовательно, по свойству (25) 0' (t) существует (можно показать, что

x (t) = EDi - Ed, (t -1)).

Таким образом, если (24) не выполнено, то

(t +1) є [-EDi (t), (1 - wid at )x * -EDi (t)]. Следовательно,

x(t + 1) є [-ED(t), max{ (I - widA)x * -ED(t), (I - widA)X -

- ED(t) - (I - A + є! )(I + A + ••• + At-1)0}]. (26)

Покажем, что управление u(t), удовлетворяющее (26), является допустимым на интервале X в момент времени t. Действительно, из (26) видно, что

x (t +1) є [-ED(t), (I - wid A)X - ED(t)] =

= (I - wid A)X + oppED(t),

так как 1 - a. + є > (1 - a.) widai + є > 0 Vi = 1,n .

По предположению индукции x(t) є X, следовательно, VA(t) є A Vd (t) є D(t)| x(t + 1) = x (t +1) + (A(t) - A)x(t) +

+ Ed(t) є ~(t + 1) + (A - A)x(t) + ED(t) ç ç (I - wid A) X+oppED(t) + wid(A) X + ED(t) = X. Таким образом, утверждение (21) имеет силу для всех t > 1.

Покажем далее, что стратегия Ф є Ф^(0)), удовлетворяющая (21), гарантирует включение (18). Для этого представим включение (21) в виде

(t) є [-EDi (t -1), max{(1 - wid at ) x* - EDi (t -1),

(1 - wid at )x* -EDi (t-1)-x,. (t)0i}], t > 1, (27)

»ai < (є + (1 - a,)wida,) /(1 -a, +є) »

>0 >0

lna, <

» lna'4 < ln((e + (1 - a, ) wida, ) /(1 - a, + є)) » » t -1 > 1п((є + (1 - a, ) wid at ) /(1 - a, + є)) / ln a, ;

1п((є + (1 - a. ) wid at ) /(1 - a. + є))

отсюда T =

ln a

+1;

3) если a. = 0,wida,. =a,. (весь запас в i-м узле может быть потерян), Х.(1) = 1-wid a. > 0, X.(t) = -(wid a.+ e )<0, t > 2, (wid ai + e > (1 - a.) wid ai + e > 0 Vi = 1, n), значит, T = 2. _

Покажем по индукции, что для Vi = 1, n (28) гарантирует

X.(t) е X(0,X,.*) + (widai)t+1-Ti X(0,0,.), t > . (29)

Действительно, если в момент времени t = T,

х, (t) е (1 - widat)X(0, X*) + oppEDt (t -1), то, с учетом того, что Xt (t -1) е Xl,

Vai (t -1) е at Vdi (t -1) е Dt (t -1)| x, (t) = ~ (t) +

+(a( (t-1) - aj)x, (t-1) + (Ed(t-1)), е x, (t) + (a, - ai)X(t) +

+ EDj (t -1) с (1 - wida,.) X(0, jc*) + opp EDj (t -1) +

+ wid(a,) Xf + EDj (t-1) = X(0, jc*) + wid(a,) X(0,0,), значит, (29) справедливо для t = TДопустим, что (29) выполняется для некоторого t > T,+1, тогда

Va, (t) е at Vd, (t) е D, (t)| xt (t +1) = x, (t + 1) +

+ (a, (t) - a, )x, (t) + (Ed(t))i е x,. (t+1) + (a, - a, )x(t) +

+ EDl (t) с (1 - wida,) X(0, X,*)+opp EDl (t) +

+wida, (X (0, X,*) + (wida, )t+1-Ti X (0,0,)) + ED, (t) =

= X(0, X*) + (wida, )t+2-Ti X(0,0,). Следовательно, (29) имеет силу для любого t > Tt.

Согласно (29), если 0, = 0, то xt (t) е X(0, X*), t > 0 , так как xt (0) е X (0, X*). Если 0, > 0, но wid a, = 0 (a,(t) = a, t > 0), то xi (t) е X(0, X*) для t > T, в противном случае

xt (t) е X(0, X,*) при t ^ ж, так как wid a, < 1. Таким образом, стратегия Фе Ф(х(0)), удовлетворяющая (21), гарантирует асимптотическую сходимость к оптимальному допустимому уровню запаса X*. Теорема доказана.

Замечание 4. Если a, = 1 или ширина интервала возможных значений спроса в i-м узле постоянна (wid ED(t) = const для всех t > 0), то условие (19) выполняется автоматически.

Замечание 5. Если коэффициенты потерь запаса a,(t) е a, = [0, 1], wid a, = 1, i = 1, ..., n, то wid ED(t)= 0 (иначе условие (9) не выполняется). Это значит, что для существования допустимой стратегии управления спрос должен быть точно известным^ Оптимальный уровень запаса в этом случае X* е [0, X], но, как следует из (29), сходимость системы к оптимальному запасу возможна только при 0 = 0, при этом т* = 0.

Из доказательства теоремы 3 следует, что управления, составляющие оптимальную стратегию, надо выбирать так, чтобы было выполнено (27). Будем определять управления u*(t) из решения следующей задачи:

Sp Л = V X, » min

ti г «(О,xn

(30)

при ограничениях

- ЕБ(ґ) < Ax(t) + Ви(ґ) < (I - wid А)X* -ЕБ(ґ) + Л0, и(ґ) є и,

0 < X і < 1 - wid аі, і = 1, п, где x(f) определяется рекуррентным соотношением (1), Л = Diag0^l, ..., Хп) є Япхп, Хь ..., Хп - вспомогательные параметры, 8р Л - след матрицы Л. Момент времени т*, начиная с которого 8р Л = 0, определит скорость сходимости системы.

Частные случаи

Модель с детерминированными коэффициентами потерь. Предположим, что коэффициенты потерь запаса аі(ґ) точно известны и постоянны во времени, т.е.

Л(ґ) = Л, Ґ > 0,

где Л = Diag(а1, ..., ап) є Япхп, 0 < а.- < 1, і=1,п . В этом случае wid а. = 0. Тогда теоремы 1, 2, 3 примут следующий вид.

Теорема 1. Для любого состояния системы x(f) є X в момент времени ґ, Ґ > 0, допустимое на интервале X управление с обратной связью и^^Ц^ґ), ґ), и(ґ)є и, существует и определяется из включения Ax(t) + Ви(ґ) є X + орр ЕБ(Ґ), если и только если выполнены условия

wid ED(t) < X,

ED(t) с (I - A)X + {- BU}.

(31)

(32)

Теорема 2. Оптимальный допустимый уровень запаса х* является решением задачи

C( x) = hx » min

x

mаx{wid ЕБ(?)} < х < X ,

? >0

ЕБ(?) с (I - А)X(0, х) + {- 5^} для У? > 0. Видно, что при интервально заданных коэффициентах потерь уровень оптимального запаса увеличивается, х* = (I - widА)- max{widЕБ(?)}> max{widЕБ(?)}.

?>0 г>0

Это повышение следует рассматривать как вынужденную плату за работу в условиях дополнительной неопределенности, источником которой являются коэффициенты потерь запаса.

Теорема 3. Если для всех ? > 0 выполнены условия (31), (32), для всех ? > 1 выполнено условие

(I - A)r(t -1) < r(t)

(33)

где г (ґ) = X * - wid ЕБ(ґ) є Яп, г (Ґ) > 0 , и существует число є > 0, такое, что

ЕБ + є X(0,0) с (I - Л)X(0, X*) + {-ВЦ}, где 0 = X - X* є Яп, 0> 0, 0Ф 0, то для любого начального состояния x(0) є X существует допустимая на интервале X стратегия управления Ф* є Ф^(0)), гарантирующая утверждение (18). Причем сходимость к оптимальному допустимому уровню запаса X* достигается не более чем за конечное число шагов

T = max

i=1,n: 0,>O

ln(s /(1 -a, + s)) ln a,

+1 .

(34)

(Доказательство формулы (34) следует из утверждения (29), так как wid а, = 0.)

Управления ы*(() определяются из решения задачи

Sp Л = V X, » min

г u(t), X,, ..., X

г=1 v ^ Р ’ n

при ограничениях

- ED(t) < Ax(t) + Bu(t) < x* -ED(t) + Л0, u(t) є U,

0 < X, < 1, i = 1, n,

Когда a, = 0, i= 1, n , система сходится не более, чем за 2 шага (это можно показать, выполнив предельный переход при a, ^ 0 в формуле (34)).

Модель при отсутствии потерь запаса. При отсутствии потерь запаса a,(t) = 1, i = 1, ..., n, т.е.

A(t) = I, t > 0.

Теоремы 1, 2, 3 имеют следующий вид.

Теорема 1. Для любого состояния системы x(t) є X в момент времени t, t > 0, допустимое на интервале X управление с обратной связью u(t)=U(x(t), t), и(^є U, существует и определяется из включения

x(t) + Bu (t) є X + opp ED(t), если и только если выполнены условия

при ограничениях

wid ED(t) < X, ED(t) с {-BU}.

(35)

(36)

Теорема 2. Оптимальный допустимый уровень запаса X* имеет вид

X* = max{wid ED(t)}. (37)

t>0

(Доказательство основывается на том, что функция затрат C(X) возрастает по X для любого вектора h > 0, h ф 0.)

Теорема 3. Если для всех t > 0 выполнены условия (35), (36) и существует число є > 0, такое, что ED + єХ(0,0) с {-BU},

где 0 = X - X* є Rn, 0> 0, 0Ф 0, то для любого начального состояния x(0) є X существует допустимая на интервале X стратегия управления Ф* є Ф^(0)), гарантирующая утверждение (18). Причем сходимость к оптимальному допустимому уровню запаса X* достигается не более чем за конечное число шагов

T = \И є] +1. (38)

(Условие (33) в этом случае имеет вид r(t) > 0 и выполняется автоматически. Формулу (38) можно получить, выполнив предельный переход при а, ^ 1 в формуле (34).)

Управления u*(t) определяются из решения оптимизационной задачи

X » min

u(t), X

при ограничениях

-ED(t) < AX(t) + Bu(t) < -ED(t) + X0, u(t) є U,

0 <X< 1.

Численный пример

Рассмотрим в качестве примера систему производства-распределения (рис. 1), которая описывается динамической сетевой моделью (1) со структурными матрицами

(1 0 -1 -1> 0 - 0 0 1

B = 0 1 -1 1 , E = 0 -10 0 -1

10 01 0 V 1 0 0 -11 1 )

Сеть состоит из трех узлов: узлы 1, 2 производят продукцию А и В, которая используется для производства продукции АВ в 3-м узле.

Управляемые потоки иь и2 определяют интенсивность производства продукции А и В соответственно; и4 перераспределяет дополнительные производственные возможности системы между производственными линиями А и В (если и4 = 0, то все дополнительные возможности системы направлены на производство продукции А); и3 описывает производственную линию, которая из А и В производит продукцию АВ. Неуправляемые потоки dj, d2, d3 определяют спрос в узлах сети на продукцию А, В и АВ соответственно; d4, d5 представляют спрос в 3-м узле на продукцию А и В.

Спрос имеет сезонный характер и задан интервальным вектором с переменными границами:

D (t) = [Di + 2(1 + sint),D - 2(1 - sint)], i = 1Д (39) где D = ( [5,25] [20,30] [60,80] [0,20] [0, 30])T .

Коэффициенты потерь запаса в узлах сети заданы в виде интервалов:

([0,6; 0,75] 0

A =

0

0 [0,5; 0,6] 0

0 0 [0,75; 0,8]

Л

Состояния системы и управления ограничены интервалами

X =

([0,130] ^ [0,120] [0,150]

U =

([0,190]^ [0, 55] [0,100] [0, 70]

Затраты системы на хранение запаса И = (70, 80, 30)т.

Для данной системы оптимальный допустимый уровень запаса:?* = (37,65 13,33 40)т (решение оптимизационной задачи (11)), X* не зависит от расходов системы на хранения запаса (следствие 2), условия теоремы 3 выполнены (є = 0,191, условие (19) выполняется автоматически). В каждый момент времени Ґ, решая задачу (24), получаем оптимальное управление и*(ґ), ґ > 0.

Рис. 1. Структура сети

Рис. 2. Динамика изменения запаса в узлах сети при начальном запасе х1(0) = 130, х2(0) = 120, х3(0) = 150

Рис. 2 показывает динамику изменения запаса в узлах сети при стратегии управления Ф*={и*(?), ? > 0} для начального состояния запаса х(0)=(130 120 150)т. Из графика видно, что скорость сходимости т*=2, так как х(?) е Х(0,х*) для ? > 2.

При детерминированном задании коэффициентов потерь запаса, когда А(() = Diag(0,l; 0,5; 0,8), ? > 0, оптимальный уровень запаса х* = (32 12 38)т, е = = 0,269, максимальная скорость сходимости Т = 4 (34).

При отсутствии потерь запаса х* = (32 12 38)т (37), е = 0,198, максимальная скорость сходимости Т = 7 (38).

Если не учитывать сезонность спроса и описывать его интервалом с постоянными границами, как это сделано в работе [11]: ё(?) е Б, ? > 0, то оптимальный допустимый уровень запаса увеличивается (в случае с интервально заданными коэффициентами потерь запаса х* = (47,06 22,22 52,63)т, при детерминированном задании коэффициентов потерь х* = (40 20 50)т), что приводит к соответствующему увеличению затрат.

ЛИТЕРАТУРА

1. Ловецкий С.Е., Меламед И.И. Динамические потоки в сетях // Автоматика и Телемеханика. 1987. № 11. С. 7-29.

2. GloverF., KlingmanD, PhillipsN.V. Network models in optimization and their applications in practice. N.Y.: Wiley, 1992.

3. Лотоцкий В.А., Мандель А.С. Модели и методы управления запасами. М.: Наука, 1991.

4. РыжиковЮ.И. Теория очередей и управление запасами. СПб.: Питер, 2001.

5. Рубальский Г.Б. Вероятностные и вычислительные методы оптимального управления запасами. М.: Знание, 1987.

6. Домбровский В.В., Чаусова Е.В. Применение интервальных методов в управлении запасами // Вычислительные Технологии. 2002. Т. 7, N° 2.

С. 50-58.

7. Чаусова Е.В. Динамическая модель управления запасами с интервальной неопределенностью спроса // Вестник Томского государственного университета. 2002. № 1 (I). С. 195-200.

8. Домбровский В.В., Чаусова Е.В. Динамическая сетевая модель управления запасами с интервальной неопределенностью спроса // Вычисли-

тельные технологии. 2001. Т. 6, ч. 2. С. 271-274 (Спец. выпуск, CD).

9. Чаусова Е.В. Динамическая сетевая модель управления запасами с интервальной неопределенностью спроса и устареванием запаса в узлах сети // Вестник Томского государственного университета. 2004. № 284. С. 103-108.

10. Chausova E.V. Dynamic Network Inventory Control Model with Interval Nonstationary Demand Uncertainty // Numerical Algorithms. 2004. Vol. 37. P. 71-84.

11. Чаусова Е.В. Динамическая сетевая модель управления запасами с интервальной неопределенностью спроса и потерь запаса // Вестник Томского государственного университета. 2006. № 290. С. 208-215.

12. Алефельд Г., ХерцбергерЮ. Введение в интервальные вычисления. М.: Мир, 1987.

13.MooreR.E. Methods and applications of interval analysis. Philadelphia: SIAM, 1979.

14. Kaucher E. Interval analysis in the extended interval space IR // Computing Supplement. 1980. Vol. 2. P. 33-49.

15. Шарый С.П. Алгебраический подход во «внешней задаче» для интервальных линейных систем // Вычислительные Технологии. 1998. Т. 3, № 2. С. 67-114.

Статья представлена кафедрой математических методов и информационных технологий в экономике экономического факультета Томского государственного университета, поступила в научную редакцию «Кибернетика» 15 июня 2006 г.