Динамическая реконструкция хаотических сигналов на основе нейросетевых технологий Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 681.513

ДИНАМИЧЕСКАЯ РЕКОНСТРУКЦИЯ ХАОТИЧЕСКИХ СИГНАЛОВ НА ОСНОВЕ НЕЙРОСЕТЕВЫХ ТЕХНОЛОГИЙ

БОДЯНСКИЙ Е.В., ПЛИСС И.П.,

ЧАПЛАНОВ А.П.

Рассматривается задача восстановления характеристик и прогнозирования временных рядов произвольной природы. Предлагается процедура динамической реконструкции, основанной на аппарате хаос-динамики и искусственных нейронных сетей.

При решении медико-биологических, финансовоэкономических, радиотехнических и тому подобных задач исследователю достаточно часто приходится сталкиваться с сигналами и процессами, поведение которых выглядит как случайное, хотя по сути им не является. Более того, статистический анализ (вторые моменты, автокорреляционные функции, спектр) показывает, что это широкополосный случайный процесс, хотя и порождаемый совершенно детерминированной нелинейной системой, что само собой парадоксально. Такие системы называются хаотическими и последние два десятилетия они являются предметом пристального внимания как теоретиков, так и специалистов совершенно различных областей [ 1-3].

В принципе будущее поведение хаотической системы в силу ее детерминированности полностью определяется ее прошлым, но на практике любая неопределенность или неточность в выборе начальных условий резко усложняют задачи анализа, для решения которых в последнее время все чаще используются нейронные сети, в первую очередь благодаря своим универсальным аппроксимирующим свойствам [4-7].

Подобный временной ряд может быть получен с помощью элементарной схемы генератора хаоса, приведенного на рис. 1 и содержащего блоки умножения, суммирования, усиления и чистой задержки z _1.

Переписав (1) в виде

x(k +1)

xi(k +1) X2(k +1)

' x2 (k) - x2(k) ЇГ011 v2x1(k)x2(k)j [Q2 )

T1(Xc(k)) W 01 T 2(xc(k)) J~40 2

T(xc(k)) + 0,

введя вектор ошибок

e(k)

e1(k)

e2(k)

x(k)l2 - x(k) =

= x(k)l2 -y(xc(k -1)) -0

и одношаговый критерий обучения, принятый в теории нейронных сетей

1 II- II2 1 ll~ -II2

E(k) = -||e(k)||2 = -|x(k) -е| ,

можно записать рекуррентную процедуру его минимизации в виде

0(k +1) = 0(k) + p(k)(~(k) -0(k)), (2)

где x(k) = x(k)l2 - ф(xc (k -1)), I2 = (1,1)T , p(k) -параметр шага обучения.

Несложно видеть, что (2) совпадает с алгоритмом Т. Кохонена [10], при этом вектор восстановленных

параметров 0 позволяет получить пару прогнозных значений наблюдаемого ряда в виде

x(k +1) = vfr (xc (k)) + 0(k +1).

Одной из таких задач является так называемая динамическая реконструкция [8], состоящая в восстановлении модели, которая генерирует хаотический временной ряд по растущей выборке наблюдений

x(1), x(2),... x(k),..., где k — текущее дискретное время.

Решение этой задачи рассмотрим на примере простейшей модели Б. Мандельброта [9] вида

xc(k +1) = x2(k) +0, (1)

1

где xc(k) = x1 + ix2 , 0 = 01 + i02 ,

i = лЛ , при этом предполагается, что параметры 01 и 02 неизвестны.

Рис. 1

62

РИ, 2002, № 3

Введем далее более сложную структуру комплексного хаотического процесса:

x(k +1)

xi(k +1) x2(k +1)

" wn(xj2(k) - x2(k)) + 0i'' v W2ixi(k)x2(k) + 02 ,

wnVi(xc(k)) + 0i Wii 0i

W21V 2(xc(k)) +0 2 ) \ W 2i 0 2

V i(xc(k)) 1|I

ф2(xc(k)) 1J 2

W®Y(xc(k))l2,

(3)

и решив дифференциальное уравнение

S|| v(k)|Vdc = 0,

можно получить оценку

c(k) = V2T (k)

v2(k) - Vi(k) IV2 (k) - Vi (k)||2 ’

1 - c(k) = ViT(k)

Vi(k) - V2(k) ||Vi(k) - V2 (k)||2

(8)

где wii, W21, 0i, 02 — неизвестные параметры,

подлежащие определению; ® — символ скоттова произведения.

Переписав (3) покомпонентно

|xi (k +1) = (w 11,01 )(у i (x c (k)),1)T = W1 Ti (xc (k)),

[x 2 (k +1) = (w 21,0 2 )(V 2 (x c (k)),1)T = W 2 ^2 (x c (k)),

можно уточнять неизвестные параметры с помощью стандартного нейросетевого алгоритма Б. Уидроу—М. Хоффа в форме [11]

Подставляя (8) в последнее уравнение системы (7), получаем

V(k) = V2T (k)

V2(k) - Vi(k)

IIV2 (k) - Vi(k)||2

Vi(k) +

+ VjT (k) Vi(k) - V2(k)

II Vi (k) - V2 (k)||2

V2(k)=

= (Vi(k)V2T(k) - V2 (k)ViT (k))

Vi(k) - V2(k) ||Vi(k) - V2 (k)||2 ’

откуда следует

w1(k + 1)

Wi(k) + p

x(k) - Wi(k)Ti(xc(k -1))^ 1 + W(xc(k - i)) X

x^iT(xc(k - 1)),

• w2(k + i) = w2(k) + p x^T(xc(k - i)),

0 <p < 2

x(k) - w2(k)y2(xc(k -1)) x

1 + У 2 (xc (k - i))

(4)

||V(k)||2 = ( (|V2(k)|2

ViT(k)V2(k))Vi(k) +

+ (|Vi(k)|2 - ViT(k)V2(k))V2(k) x|| Vi(k) - V2 (k)|| ~4.

2

)x

(9)

Используя (9), несложно получить систему неравенств

и на их основе строить пару одношаговых прогнозов:

x(k +1) = W(k + 1)®T(xc(k))I2. (5)

Комплексный прогноз вещественного сигнала x(k) может быть некоторым образом свернут в целях получения более точных результатов. Для этого можно использовать простейшую аддитивную форму

x(k +1) = cx 1 (k +1) + (1 - c)x2(k +1), (6)

где c — некоторый параметр, определяющий точность прогнозирования.

Введя (k х 1) — векторы сигналов и ошибок X(k) = (x(1),x(2),...,x(k))T,

X(k) = (x(1),x(2),..,x(k))T,

■ic;(k) = (х;(1),х;(2),„ ,x;(k))T,i = 1,2,

V;(k) = X(k) - Xi (k), i = 1,2, (7)

V(k) = X(k) - X(k) = cV1 (k) + (1 - c)V2 (k)

Ml2-I lVi(k)||2 ||V(k)|2 -IIV2 (k)||2

(|Vi(k)|2 - ViT(k)V2(k))2 II Vi (k) - V2(k)||2

< 0,

(|V2(k)|2 - ViT(k)V2(k))2 ||Vi(k) - V2 (k)||2

< 0,

свидетельствующую о том, что точность прогноза (6) никогда не может быть хуже, чем точность любой из компонент (5).

Для работы в реальном времени полученные соотношения следует представить в рекуррентной форме, что можно сделать, введя новые переменные

V2i(k) = V2 (k) - Vi(k), e1 (k +1) = x(k +1) - xi (k +1), e2(k +1) = x(k +1) - x2(k +1),

e2i(k +1) = e2(k +1) - ei(k +1) и переписав (8) в виде

c(k +1) = jfiLC(k) + + 1)e21 (k + 1)

p(k +1) p(k +1) = p(k) + e2i(k +1).

p(k +1)

РИ, 2002, № 3

63

С учетом очевидных выражений

jv21(k) = XjGo - ic2(k),

Iе 21 (k +1) = Xi(k +1) - X2(k +1) окончательно получаем

River, N.J.: Prentice Hall, Inc., 1999. 842 p. 9. Mandelbrot

B.B. Die fraktale Geomrtrie der Natur Basel: Birkhaeuser Verlag, 1991. 491 S. 10. Kohonen T. Self-Organizing Maps. Berlin: Springer-Verlag, 1995. 362 p. 11. Cichocki A., Unbehauen R. Neural Networks for Optimization and Signal Processing. Stuttgart: Teubner, 1993. 526 p.

Поступила в редколлегию 12.07.2002

c(k+1)=-^kLc(k)+^k_+ 1)(X1(k+1) - x2(k+1))

p(k +1)

p(k +1)

p(k +1) = p(k) + (£1 (k +1) - X2(k +1))2.

(10)

На рис. 2 приведена схема формального нейрона, осуществляющая динамическую реконструкцию хаотического процесса согласно соотношениям (4), (5), (10).

Подобная схема может быть построена для любой из известных математических моделей хаоса [1-3, 9]. Она предназначена для анализа и прогнозирования сигналов различной природы.

Рецензент: д-р техн. наук, проф. Любчик Л.М.

Бодянский Евгений Владимирович, д-р техн. наук, профессор кафедры искусственного интеллекта, научный руководитель ПНИЛ АСУ ХНУРЭ, член IEEE, WSES. Научные интересы: нейро-фаззи-системы. Адрес: Украина, 61166, Харьков, пр. Ленина, 14, тел. 4098-90

E-mail: Bodyanskiy@ieee.org, bodya@kture.kharkov.ua

Плисс Ирина Павловна, канд. техн. наук, ст. науч. сотр., вед. науч. сотр. ПНИЛ АСУ ХНУРЭ, член IeEe. Научные интересы: адаптивные системы, искусственные нейронные сети. Адрес: Украина, 61166, Харьков, пр. Ленина, 14, тел.: 40-98-90.

E-mail: Pliss@ieee.org

Литература: 1. Мун Ф. Хаотические колебания. М.: Мир, 1990. 312 с. 2. Верже П, Помо И., Видаль К. Порядок в хаосе. М.: Мир, 1991. 368 с. 3. Кроновер Р.М. Фракталы и хаос в динамических системах. Основы теории. М.: Постмаркет, 2000. 352 с. 4. Intelligent Hybrid Systems: Fuzzy Logic, Neural Networks, and Genetic Algorithms / Ed. by Da Ruan. Boston: Kluwer Academic Publishers, 1997. 354 p. 5.

Abe S. Neural Networks and Fuzzy Systems:

Theory and Application.

Boston: Kluwer Academic Publishers, 1997. 258 p. 6.

Osana Yu., Hagiwara W.

Separation of superimposed pattern and many-to-many associations by chaotic neural networks /

/ Proc. IEEE Int. Joint conf. on Neural Networks “IJCNN’98”. Anckorage,

Alaska, 1998. P. 514-519.

7. Rojas I., Gonzalez J,

Canas A, Diaz A.F., Rojas F.J., Rodriguez M. Shortterm prediction of chaotic time series by using RBF network with regression weights // Int. J. of Neural Systems. 2000. 10. N 5. P.

353-364. 8. Haykin S.

Neural Networks. A ►

Comprehensive Foundation. Upper-Saddle

Чапланов Алексей Павлович, аспирант кафедры искусственного интеллекта, мл. науч. сотр. ПНИЛ АСУ ХНУРЭ. Научные интересы: искусственные нейронные сети, хаос-динамика. Адрес: Украина, 61166, Харьков, пр. Ленина, 14, тел.: 40-98-90.

E-mail: Chaplanov@ieee.org

64

РИ, 2002, № 3