CC BY
22
УДК 621.787:621.91
А. М. Довгалев, канд. техн. наук, доц., С. Н. Близнюк
ДИНАМИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ УПРУГОСИЛОВОГО КОМБИНИРОВАННОЙ ОБРАБОТКИ РЕЗАНИЕМ И ППД
МЕТОДА
На основе динамической модели упругосилового метода комбинированной обработки получены аналитические зависимости для выбора рациональных динамических параметров технологической системы, обеспечивающих гашение вынужденных колебаний в системе и повышение геометрической точности формообразования цилиндрических поверхностей. Выведены математические зависимости для расчета амплитуд и фаз колебаний детали, деформирующего узла упрочняющего и режущего инструментов при различных динамических параметрах системы.
Для описания упругих перемещений детали, режущего и деформирующего инструментов представим технологическую систему в виде механической системы, состоящей из сосредоточенных масс, соединенных упругими и диссипативными связями. Максимально упрощая расчетную схему, принимаем ее как
трехмассовую. При этом полагаем, что массы исследуемых объектов сосредоточены в центре масс, а деталь, режущий инструмент и деформирующий узел упрочняющего инструмента осуществляют плоское колебательное движение (рис. 1). Станину станка считаем жестким неподвижным телом.
Рис. 1. Трехмассовая модель упругосилового метода комбинированной обработки резанием и ППД
В расчетной схеме используем следующие обозначения: т1 - приведенная масса детали; т2 - приведенная масса режущего инструмента; т3 - приведенная масса деформирующего узла упрочняющего инструмента; с1 - жесткость закрепления детали; с2 - жесткость ре-
жущего инструмента; ср - жесткость в
зоне контакта детали и режущего инструмента; сЛ - жесткость в зоне контакта детали и деформирующего инструмента; с3 - жесткость деформирующего узла упрочняющего инструмента; в1 -коэффициент демпфирования в месте
закрепления детали; в2 - коэффициент демпфирования в месте закрепления режущего инструмента; вр - коэффициент
демпфирования в зоне контакта детали и режущего инструмента; вй - коэффициент демпфирования в зоне контакта детали и деформирующего узла упрочняющего инструмента; в3 - коэффициент демпфирования деформирующего узла упрочняющего инструмента; Г $1пю1 - возмущающая сила, действующая на деталь (результирующая возмущающей силы резания и деформирования за оборот детали).
За обобщенные координаты принимаем относительные перемещения масс, отсчитываемые от начала координат, расположенных в центре каждой массы.
Уравнения Лагранжа для рассматриваемой системы имеют вид:
а ( дТ ' дТ дП дФ
а (дхі У дх1 дх1 дх1
а (дТ I дТ дП дФ
а (дх2 ) дх2 2 і 2 1
а ( дТ Л дТ = дП дФ
а (дхз ) дхз дхз з 1
+ бх;
. (1)
+
+
где Т, П и Ф - кинетическая энергия, потенциальная энергия и функция рассеивания системы соответственно; Qx1, Qx2, Qx3 - обобщенные силы.
Запишем выражение для определения кинетической энергии системы:
2 , • 2 , -2 + т2 х2 + тз Хз
).(2)
При постоянной жесткости упругих элементов потенциальная энергия определяется из следующего выражения:
П = 1
2
С Х12 + Ср (Х2 - Х1) +
+ С, (хз - Х1 )2 + сз (х2 - хз )2 + С
х 2
2 2
. (з)
Функция рассеивания системы равна:
Ф =1 2
•2 (• • Л2
Ь1 хі + Ь\ х2 - хі I +
-
+ Ьа I хз - хі I + Ьз I х2 - хз I + Ь2 Х2
■Г •'
. (4)
Определим значение общих сил: 8х1 0; 5х2 = 0; 5хз = 0;
„ 8 А ¥sinшt -8-1 „ .
Ох =—1 =-------------------= ¥япШ ; (5)
1 С» с» ~
8х1 8 х
8х1 = 0; 8х2 0; 8хз = 0; Ох2 = 0; (6)
8х1 = 0; 8х2 = 0; 8хз ^ 0; Охз = 0. (7)
После подстановки в систему уравнений (1) вычисленных значений слагаемых запишем дифференциальные уравнения вынужденных колебаний масс в окончательном виде
т
хі + ( + ЬР + Ьа )хі + (Сі + СР + Са )хі
-Ь х2 - с х2 - Ь,хз - с,хз = ¥ ътШ;
р р 2 а а з ’
т
(8)
х2+ (2 + Ьр)х2+(с2 + ср)х2 -- Ьрхі-Срхі = 0;
•• •
тз хз +(а + Ьз)хз +(Са + Сз)хз -
-Ьа хі- СЖ = 0
Найдем частное решение системы уравнений (8), соответствующее установившимся вынужденным колебаниям. С этой целью полагаем, что:
х
1 = А1 sin (юt + (рх х;
А2 8Іп (íУt + (р2 х; (9)
Аз sin (cDt + (рз х.
х 2 =
хз =
Исходя из последовательности вступления в работу режущего и деформирующего инструментов выбираем условия для частного решения системы уравнений (8), при которых обеспечивается гашение вынужденных колебаний в технологической системе [1].
1. В начале осуществления упругосилового метода комбинированной обработки, когда с поверхностью обрабатываемой шейки взаимодействует только деформирующий инструмент, предложено гашение колебаний в технологической системе обеспечить за счет выравнивания амплитуд колебаний детали и деформирующего узла упрочняющего инструмента и смещения фаз их колебаний на угол п:
A1 - A2~0; (р1 = p3 + п.
Минимизация колебаний детали обеспечивает плавное нагружение технологической системы силой резания при вступлении в работу режущего инструмента и приводит к повышению точности обработки.
Подставим значение F sin mt в следующем виде:
F sin mt = F sin [(0/ + (p')- p] =
Fcos psin(mt + p) - Fsinpcos (mt + p). (10)
Считаем, что
Pi = p; P3 =p + п.
Решение уравнений (8) будем искать в следующем виде:
x1 = A1 sin (mt + p ); x3 = - A3 sin (mt + p ). (11)
Подставив в первое уравнение системы (8) параметры (11), запишем:
- m1 A1m2sin(mt + p) + (b1 + bp + bd)x x A1m cos (mt + p) + (c1 + cp + cd )x x A1 sin (mt + p) + bpA2 wmcos (mt + p) +
+ cp A2 sin (mt + p) + bdA3 wmcos (mt + p) + + cdA3 sin(mt + p) = F cos p sin(mt + p) -
-F sinpcos(mt + p).
При равенстве значений при cos (mt + p ) и sin (mt + p) имеем:
-т1 А^о2 + (c + cp + cd ) Ai + cp Д, +
+ cdA3 = F cos p; bdA°+(b1 + bp + bd )A1° +
+bpA2o = -F sinp. (12)
Аналогично запишем для третьего уравнения системы (8):
т3 A3 со2 sin(ot + p)-(bd + b3)х x A3acos(at + p)-(cd + c3)x x A3 sin(ot + p) - bdA1ocos(ot + p) -- cdA1 sin(ot + p) = 0.
После преобразования запишем:
тз A3 °2 - (cd + c3 )A3- cdAi =0;
bdA1o + (bd + b3) A3 o = 0. (13)
Пусть A1 = A2 = A3 = A . Тогда из
уравнений (12) и (13) получаем математические выражения для определения рациональных параметров системы: жесткости закрепления детали; приведенной массы и коэффициента демпфирования деформирующего узла упрочняющего инструмента:
c1 = m1°2 - 2cp - 2cd -
- ctgp-o-(bx + 2bp + 2bd); (14)
m3 =
2cd + C3
CO2
b3 = 2bd •
(15)
(16)
2. При совмещенной обработке шейки вала резанием и поверхностным пластическим деформированием гашение колебаний в технологической системе обеспечивается при равенстве амплитуд колебаний детали, режущего инструмента и деформирующего узла упрочняющего инструмента, смещении фаз колебаний детали и режущего инструмента на угол п и сближении фаз колебаний детали и деформирующего узла упрочняющего инструмента:
А1 А2
0;
A1 A3
(Pi = p2 + п; (Pi-p3
0; 0.
В этом случае достигается стабилизация размера динамической настройки режущего инструмента и повышение точности формообразования.
Решения уравнений (8) при этих условиях имеют вид:
с1 = т1 ю2 -2ср -^р-ю-(Ь1 + 2Ьр); (17)
т2 =
2-Ср + С 2 со2
b2 = 2Ьр;
2-c
т3 = 2
o
b3 = 0.
3
(18)
(19)
(20) (21)
3. В конце упругосилового метода комбинированной обработки, когда режущий инструмент снимет весь необходимый припуск на обработку, а в контакте с шейкой вала останется только деформирующий элемент, окончательно формирующий качественные характеристики поверхностного слоя, следует совместить фазы колебаний детали и деформирующего узла упрочняющего инструмента и выровнять по величине амплитуды их колебаний:
Ax - A3~0; рх -р3~0.
При этом обеспечивается постоянство натяга деформирования и, как следствие, повышение качественных характеристик упрочненной поверхности.
Решения уравнений системы (8) при данных условиях имеют вид:
2ср -ctgp-a-(bx + 2Ър); (22)
С1 = т1о -- p
2 - с..
^3
тз =-2-;
o
b3 = 0.
(23)
(24)
Для определения параметров упругих перемещений детали, режущего и деформирующего инструментов при различных динамических параметрах, отличных от полученных в уравнениях (14)-(24), необходимо иметь общее решение системы (8). Общее решение уравнений системы (8) определим с помощью векторных диаграмм [3]:
x1 = A1 cos(mt - p1); x2 = A2 cos (mt - p2); x3 = A3 cos (mt - p3); x1 = -m A1 sin (mt - p1) =
л / П 4
= m A1 cos (mt -p1 + —); x 2 = -m A2 sin (mt - p2) =
л / П 4
= m j±2 cos (mt - p2 + —); x3 = -mA3 sin (mt - p3) = (25)
л / П 4
= mA3 cos (mt - p3 + —);
j^1 = -m2 A1 cos (mt -p1) =
= m2A1 cos (mt - p1 + п); x2 = -m2A2 cos (mt -p2) =
= m2 A2 cos (mt - p2 + п); x3 = -m2A3 cos(mt -p3) =
= m2A3 cos (mt - p3 + п).
После подстановки значений (25) в уравнения (8) получим
m1o2A1 cos(ot - p + п) +
+ (b1 + bp + bd)°A1 x
п.
x cos (ot - P1 + —) +
3п.
+ bpoA2 cos (ot - p2 + —^) +
+ bdoA3 cos (ot - p3 + ~~) +
+ (c1 + cp + cd) A1cos (ot -P1) +
+ cpA2 cos (ot - p2 + п) +
+ cdA3 cos (ot - p3 + п) = F cos ot.
т2а>2Л2 cos (О — р2 + п) +
п
+ (Ь2 + Ьр )юЛ2 соя (О — (р2 +—) +
+ ЬрюЛ1 соя (О — р1 + -П) + (27)
+ (с2 + ср)Л2 соя (О — р2) +
+ срЛ1 соя (О — р1 + п) = 0.
т3а>2Л3 соя (О — р3 + п) +
п
+ (Ь3 + Ьс1 )оЛ3 соя (О — р3 +—) +
+ Ьс1аЛ1 соя( О — р1 + ~~) + (28)
+ (с3 + с<1) Л3 соя (О — р3) +
+ саЛ1 соя (О — р1 + п) = 0.
На основе векторной диаграммы, представленной на рис. 2, запишем, что
F =
b + bp + bd) a2®2 +
-[(c1 + cp + Cd Hi - т102A1 ]2;
(30)
R = F2 + F3 -2F2F3cosy" =
= A2(c 2+ b>2) + A3 (cd + bd®2) -
- 244V(cd+bpy2)(cd+by) cosY"; (31)
Fd = Ad^c] + by ; (32)
F3 = АзVc2 + by • (33)
Подставив уравнения (30) и (31) в (29), получим
F =
Л
+
(b1 + bp + bd) A1W +
[(c1+cp + cd )A1- m1®2 A1 ]2
F = F} - R,
(29)
a22(c2 + bpV) - A32(c2d + b2y)+
+ 2AA3^(cp + bpm2)(cd + b>2)cosy". (34)
где векторы F1, F2, F3 и R сответственно равны:
Рис. 2. Векторная диаграмма для уравнения (26)
Из (34) найдем значения амплитуды А1 и фазы колебаний p1:
A1 = [F + A2 (cp + b2pa>2) +
+ A3 (cd + bd° ) - 2A2A3 X
XV(c p + bp°2)(ci + b°2)cos Г"
(bi + bp + bd) Д ° +
+[(ci + cp + cd )Ai - m\°)1 Ai ] ; (bi + bp + bd)a
px = arctg
(ci + cp + cd ) - mia
(35)
(36)
где у" - угол между векторами Б3 и Б1.
Согласно векторной диаграмме, изображенной на рис. 3, запишем:
к1 = ;
= A
(b + bp )0 +
+ [(c2 + cp) - m2®2)] •
(38)
С учетом равенства векторов Я1 и Я2 имеем:
AiyJс p + b
2^2 p° =
= A
(b2 + bp ) a +
+ [(c2 + cp ) — m2a )] ■
(39)
Из выражения (39) найдем значения амплитуды А2 и фазы колебаний р2:
A2 =
-\J(b2 + bp У 0)1 +[(c2 + cp ) - m2a)]
;(40)
R = j с У + b2p A°2 = AnJ с p + bpa2 ;(37)
R2
(b + bp )2 +
+ [(c2 + cp )A2 - m2°2 A2) ] =
(p2 = arctg
(b2 + bp )a
(c 2 + cp ) - m2a
2
(4i)
Рис. з. Векторная диаграмма для уравнения (27)
Рис. 4. Векторная диаграмма для уравнения (28)
Из векторной диаграммы, показанной на рис. 4, получаем:
Яз = Я4;
Яз = Vс2А1 + Ь1 Аі®2 = Аі д/с2 + Ь<2®2 ; (42) Яз =^(Ьз + Ьй)2А,а>2 + (с3 + са)А -тза>2Аз)^ =
= Аз^іЬ^+Ьаії^ю^+^з+Саї-тзю2)^; (4з)
с1 + Ь°2 =
= Лзу1(Ьэ + Ьй )О2 + [(с3 + са) — тО)]2. (44)
Из уравнения (44) найдем значения амплитуды А3 и фазы колебаний р3:
Аз =
л/(Ьз + Ьа )2®2 +[(сз + Са ) - тз°г)]
■; (45)
(Ьз + Ьс )®
(сз + Са)-тз®2 '
(46)
На основе разработки и анализа динамической модели упругосилового метода комбинированной обработки резанием и ППД получены аналитические зависимости для определения рациональных динамических параметров технологической системы, при которых обеспечивается гашение вынужденных колебаний детали, режущего и деформирующего инструментов.
Найдено общее решение уравнений динамической модели, позволяющее определять упругие перемещения детали, режущего и деформирующего инструментов при различных динамических параметрах системы.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Довгалев, А. М. Управление колебаниями при упругосиловом методе комбинированной обработки / А. М. Довгалев, С. Н. Близнюк // Материалы, оборудование и ресурсосберегающие технологии : материалы междунар. науч.-техн. конф. - Могилев : Белорус.-Рос. ун-т, 2008. - С. 89.
2. Близнюк, С. Н. Малооперационные технологии изготовления валов с применением совмещенной обработки резанием и ППД / С. Н. Близнюк, А. М. Довгалев // Материалы, оборудование и ресурсосберегающие технологии : мате-
риалы междунар. науч.-техн. конф. - Могилев : Белорус.-Рос. ун-т, 2008. - С. 70.
3. Мичулин, В. В. Основы теории колебаний / В. В. Мичулин. - М. : Наука, 1978. -С. 392.
Белорусско-Российский университет Материал поступил 18.12.2008
A. M. Dovgalev, S. N. Blizniuk Dynamic model of elastic force method of combined machining by cutting and surface plastic deformation
On the basis of the dynamic model of the elastic force method of combined machining analytical dependences for choosing rational dynamical parameters of the technological system have been obtained, which ensure forced oscillations damping in the system and increase of accuracy of cylindrical surfaces geometric relationship. Mathematical dependences for calculation of amplitudes and oscillation phases of a work piece, of a deformation unit of hardening and cutting tools under different dynamical system parameters have been derived.
