Динамическая модель упругопластического контактного взаимодействия гладких тел Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 621.891(048):539.178(048)

ДИНАМИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ УПРУГОПЛАСТИЧЕСКОГО КОНТАКТНОГО ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ ГЛАДКИХ ТЕЛ

А.А. Максименко, Н.В. Котенева

Алтайский государственный технический университет, г. Барнаул Е^У: [email protected]

Рассматривается динамическая модель внедрения жесткой гладкой сферы в однородное упругопластическое упрочняемое твердое тело. На основе модели предложены численно-аналитические зависимости, описывающие поведение твердого тела в упру-гопластической области контактного взаимодействия. Предложенные численно-аналитические зависимости позволяют учесть дополнительное сближение контактирующих тел за счет динамического нагружения.

Запросы современной техники, связанные с созданием конструкций, обладающих прочностной надежностью при малой материалоемкости, приводят к необходимости разработки оптимальных расчетов на прочность с учетом контактных деформаций. На базе уточнения физических и механических представлений о механизмах разрушения твердых тел был сформулирован в течение последних трех десятилетий раздел механики деформируемого твердого тела, получивший название механики разрушения.

Создание механики разрушения позволило с совершенно новых позиций взглянуть на процессы контактного взаимодействия твердых тел. Известно, что при контактном взаимодействии твердых тел характерна геометрическая локализация (в области под контактом) всех видов деформации (упругой и пластической) и разрушение. Являясь сначала локальным, разрушение затем может развиваться катастрофически и привести к поломке образца или конкретной детали. В настоящее время считается общепризнанным, что более 80 % случаев выхода из строя машин, механизмов и устройств обусловлено процессами, происходящими в зоне контакта соприкасающихся твердых тел. Исследования в этом направлении связаны, также как и в испытаниях на твердость, с изучением поведения поверхностных слоев материала при вдавливании одного тела (индентора) в другое. Испытания на твердость дают большую информацию о механических свойствах материала, и в изучении этого явления достигнут значительных успех. Исследованиям же механики контактного разрушения уделялось незаслуженно малое внимание, что, по-видимому, объясняется сложностью процессов образования и роста поверхностных трещин и отсутствием в свое время соответствующих теоретических методов анализа. Однако изучение контактного разрушения имеет большое научное и практическое значение.

Наиболее хорошо изученным и часто используемым в практических применениях является случай контакта сферического индентора радиуса Я с упругим полупространством под действием статической силы Р, так называемый герцевский контакт или герцевское нагружение (рис. 1).

Рис. 1. Внедрение сферического индентора в упругое полупространство (контакт Герца)

В соответствии с теорией Герца сближение тел 50 является степенной функцией контактной нагрузки Р [1], т. е.

80 = кР2

где к = 2

(1 -М2)

Е, м - упругая постоянная, нор-

мальный модуль упругости и коэффициент Пуассона соответственно.

С возрастанием контактной нагрузки Р впервые возникает пластическая деформация, которая затем постепенно распространяется как на глубину, так и к поверхности контртела. При некоторой величине нагрузки на поверхности контртела зависимость Герца нарушается. После снятия нагрузки происходит упругое восстановление материала контртела и общее сближение, уменьшившись на величину 8У контртела, становится равной 8Ш (рис. 2).

С появлением на поверхности контакта остаточной вмятины упругие деформации продолжают, как известно, подчиняться зависимостям теории упругости, однако, очевидно, что при этом обычные «упругие» формулы должны быть скорректированы в соответствии с новыми условиями контакта. Принципиальное отличие этих условий от условий чисто упругого контакта тел состоит в том, что при наличии остаточной вмятины сфера радиусом Я находится в контакте не в точке, а с поверхностью остаточной вмятины, радиус кривизны которой равен Я1 (рис. 2).

Математика и механика. Физика

Q =

1+-

(1)

У У

где 8У - упругая составляющая полного сближения; 8Ш - пластическая составляющая полного сближения. Окончательно имеем

8п

8

у Q

или с учетом формулы (1)

8 = k3/2 (PnRH)1/2,

(2)

Сближение, соответствующее зарождению и наличию пластической деформации можно рассчитать по формуле [3]:

р

8ш = 2лШ' (3)

Полное сближение в упругопластическом контакте сферы с контртелом состоит из двух слагаемых, остаточного сближения 8п„ равного глубине остаточного отпечатка, и упругого сближения 5У, исчезающего со снятием нагрузки вследствие упругого восстановления контртела. Таким образом,

(4)

8 =8у +8п

Подставляя в уравнение (4) значения упругого и остаточного сближений из формул (2) и (3) соответственно получаем:

8=аР + Р(уР)и\ (5)

где а =

1

ß= k3/2; у = nRH.

InRH'

Рис. 2. Схема внедрения жесткого шара в плоскую границу упругопластического контртела

Для определения величины примем следующие допущения:

1) со снятием нагрузки сферический контур отпечатка не изменяется;

2) профиль вмятины под нагрузкой и после разгрузки в плоскостях ее главных кривизн очерчены окружностью радиусом Д;

3) поверхность контртела вне контакта не деформируется.

С учетом вышесказанного поправка к формуле Герца, учитывающая влияние пластической деформации контртела в зоне контакта на величину упругого сближения, может быть рассчитана по формуле [2]:

Приведенные выше формулы позволяют рассчитать полное сближение в упругопластическом контакте при статическом нагружении. В ряде случаев контактирование твердых тел происходит при динамическом, в частности ударном, нагружении. Динамичность нагружения характеризуется либо скоростью удара или скоростью деформации, либо скоростью напряжения, которая зависит от скорости приложения нагрузки. При упругопластическом контактировании материалов в условиях динамического нагружения появляется дополнительное сближение, что может привести к изменению механических свойств поверхности. Упругий контакт при первоначальном соударении твердых тел осуществляется редко, особенно для металлов. Анализ напряженного состояния материала при динамическом упругопластическом внедрении в него жестких инденторов представляет собой очень сложную задачу, и исследования в этом направлении еще продолжаются. Отсутствие общих методов построения тонных решений нелинейных задач динамики приводит к необходимости разработки эффективных приближенных численно-аналитических методов.

Во многих механических системах движение описывается нелинейными дифференциальными уравнениями. Рассматриваемая в работе модель контактного взаимодействия является нелинейной, поэтому дифференциальное уравнение движения в условиях свободных колебаний имеет вид: mx+P( x) = О,

где x=8, а P(x) выражается из формулы (5). С учетом сказанного дифференциальное уравнение движения жесткой, гладкой сферы по упругопластиче-скому полупространству при ударе будет иметь вид:

mx + a1 ^/x" + a2 x = О,

где а1 = ■

ßrh

а2 = —.

2 а

Считая, что в начальный момент соударения

(х

=V), после первого интегрирования можно

найти скорость сближения в виде

dx. dt'

-

4a1 x 3m

a2 x m

(6)

Наибольшего значения величина сближения достигается в тот момент, когда —=0. Решая уравнения (6) можно рассчитать величину динамического сближения, максимальную силу удара и максимальное давление в центре контакта. Для вычисления продолжительности удара производится разделение переменных в уравнении (6), а затем интегрирование от начала удара до момента максимального сближения

t = ±

dx

vl -

4al x 3m

a, x

(7)

Решая данную зависимость и аппроксимируя полученное решение, можно построить зависимости х(/) и в любой момент времени процесса соударения.

Если принять значение начальной скорости равным нулю (у0=0), то можно рассчитать статическое упругопластическое значение сближения. Решение имеет вид:

(

x =

la,

3a,

(

sin

tjal 2\[m

\

+1

У

(8)

Значения, рассчитанные по формуле (8), аналогичны значениям, рассчитанным по формуле (5).

В заключение следует отметить, что данный численно-аналитический метод дает возможность рассчитать параметры контактной жесткости и прочности как в условиях статического, так и динамического нагружения. Использование этого алгоритма расчета позволит дать оценку влияния упру-гопластических деформаций на контактную прочность для случая удара жесткого гладкого шара о гладкое упругопластическое полупространство. Предлагаемый численно-аналитический метод расчета может быть использован и для расчета упругопластического контактного взаимодействия шероховатых тел. Для этого в формуле (5) необходимо учесть параметры микрогеометрии контактирующих тел.

x

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Тимошенко С.П., Гудьер Дж. Теория упругости. - М.: Наука, 1975. - 567 с.

2. Дрозд М.С., Матлин М.М., Сидяхин Ю.И. Инженерные расчеты упругопластической контактной деформации. - М.: Машиностроение, 1986. - 220 с.

3. Котенева Н.В. Упугопластический контакт гладкой сферы с плоской поверхностью при динамическом нагружении // Известия Томского политехнического университета. - 2005. -Т. 308. - № 2. - С. 114-116.

Поступила 31.10.2006 г.

УДК 533.6.011.5:532.582.3

ПРОСТРАНСТВЕННАЯ АЭРОДИНАМИКА ЗАТУПЛЕННЫХ КОНУСОВ ПРИ НАЛИЧИИ ОСЛОЖНЯЮЩИХ ФАКТОРОВ В НАБЕГАЮЩЕМ СВЕРХЗВУКОВОМ ПОТОКЕ

Ф.М. Пахомов

Томский государственный университет E-mail: [email protected]

Приведены результаты решения задач взаимодействия затупленного конуса со сферической нагретой областью в набегающем под ненулевым углом атаки сверхзвуковом потоке в отсутствие и при наличии сильного локализованного вдува с поверхности, а также с падающей под углом атаки плоской ударной волной.

Задачи взаимодействия быстролетящего тела с рассматриваемыми нагретыми областями носят очевидный практический интерес. В [1] задача взаимодействия сферы с локальными неоднород-ностями различной формы решена в осесимме-тричной постановке. В [2] рассмотрен случай, когда центр сферической нагретой области смещен относительно оси симметрии тела. В [3] приведены результаты начального этапа входа затупленного конуса в плоскую нагретую область под углом атаки.

Нестационарная задача взаимодействия ударной волны в набегающем сверхзвуковом потоке с летательным аппаратом носит исключительно важный практический интерес с точки зрения изменения его аэродинамических характеристик. В осе-симметричном случае, на примере обтекания полусферы, она решена в [4]. В данной работе рассмо-

трен случай взаимодействия ударной волны с затупленным по сфере конусом (моделью спускаемого космического аппарата) при наличии угла атаки.

Целью данной работы является исследование аэродинамических характеристик затупленных конусов при взаимодействии с локальными нагретыми областями при сверхзвуковом движении под ненулевым углом атаки и при взаимодействии с падающей плоской ударной волной.

Математическая постановка задачи, основанная на системе уравнений Эйлера с соответствующими начальными и граничными условиями, приведена в [2]. Как и в [2], для решения использовалась явная конечно-разностная схема С.К. Годунова первого порядка точности [5], вполне достаточного для определения интегральных аэродинамических характеристик.