CC BY
51
УДК 519.865.5
В. В. Домбровский, В.А. Гальперин
ДИНАМИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ УПРАВЛЕНИЯ ИНВЕСТИЦИОННЫМ ПОРТФЕЛЕМ ПРИ КВАДРАТИЧНОЙ ФУНКЦИИ РИСКА
Задача управления самофинансируемым портфелем ценных бумаг, состоящим из рисковых (обыкновенные акции) и безрисковых (банковский счет, надежные облигации) вложений, формулируется как динамическая задача слежения за эталонным портфелем, имеющим заданную желаемую эффективность. Предлагается подход к определению оптимальной стратегии управления при квадратичной функции риска.
1. Динамическая модель инвестиционного портфеля
Рассмотрим инвестиционный портфель, состоящий из п видов рисковых вложений (под рисковыми будем понимать инвестиции, доходность которых - случайная величина [1-3]) и безрискового вклада с неслучайной, но возможно переменной доходностью. Капитал, помещенный в ;'-й рисковый актив, в момент времени
к равен и,(к), /-1,2.и; в безрисковый - и0(А). Тогда
общий объем вложений (портфель) в момент к будет равен
К(А)=]>,(*)+«„(*). (1.1)
В момент времени к+\ капитал, вложенный в безрисковый актив, станет равен (рассматривается само-финансируемый портфель)
1"о (* + О = [1 + г(к + 1)]и0 №.
а в /-Й рисковый актив:
Y, (*+1H1+v, (А+1)К (Л),/=1,2,..,п, где v,(fc+l) - ставка доходности рисковых вложений на интервале [£, А+1], случайная величина; г(А+1) -неслучайная доходность безрисковых вложений.
Условие самофинансируемости портфеля означает, что должно выполняться равенство
Cu(k) = CY(k) = V(k), (1.2)
(1.3)
где С={ 1,1,.., 1 ] - вектор размерности л+1,
w(*HMo (*)>“i (*)>Ы2 (*)>•••>"» (*)Г >
(ВД (ВД (*)>•••,(*)Г •
Состояние портфеля в момент времени А+1 определяется уравнениями
Г(* + 1) = £)(* + 1)и(*),
Cu(k) = CY(k) = V(k).
1 + г(к) 0 ... О
_„.ч О 1 + vAk) ... О
где D(k)= |V ’
О 0 ... 1 + v.W
В начальный момент времени капитал инвестора равен К(0).
Решение уравнения (1.2) относительно вектора и(к) имеет вид [4]
u(k)=C*CY(k)+Cv(k), (1.4)
где С* - псевдообратная матрица, C"=CT(CCT) U, I-единичная матрица размерности п+1; v(A) - произвольный вектор соответствующей размерности,
С=(/-С*С).
Подставляя вектор управления (1.4) в уравнение портфеля (1.3), получим
Y (k+\)=D(k+\)C*CY(k)+D(k+l)Cv(k). (1.5)
Домножая левую и правую части (1.5) слева на вектор С и используя (1.2), запишем уравнение динамики капитала управляемого портфеля:
V(k+l)=CD(k+l)C*V(k)+CD(k+\)Cv(k). (1.6)
В (1.6) в качестве вектора управлений будем рассматривать вектор v(k) (назовем его псевдоуправлением).
Определим стратегию управления портфелем путем перераспределения капитала между различными видами инвестиций так, чтобы капитал управляемого портфеля с минимально возможными отклонениями (с минимально возможным риском) следовал капиталу некоторого определяемого инвестором эталонного портфеля с доходностью р0(£)>г(£), т.е. чтобы его капитал рос по закону:
F°(*-H) = [lV(* + l)F°(*). (1.7)
Уравнение (1.8) описывает динамику эталонного портфеля. В начальный момент времени F°(0)=F(0). В качестве меры риска выберем функционал
^{|( [V(khVa (*)]2+vr (*)/?(*)v(A)>- (1 g)
-КК(Г)-К°(Г)]2},
где R(k)>0 - диагональная матрица соответствующей размерности.
Задача состоит в минимизации критерия (1.8) по переменным v,(k), i=0, 1, 2, ..., п при динамических ограничениях (1.6), (1.7) и ограничениях на первоначальные управляющие переменные:
и((*)>0, /=0,1,2..п. (1.9)
2. Определение
оптимальной стратегии управления
Рассмотрим один из возможных подходов к решению сформулированной задачи. Для описания эволюции цен рисковых финансовых активов используем модель вида
(*+l)=S, (*)[1+р, (*+1)+5Х, (*+!><
.и
XWj (*+1)],
где w/k) - некоррелированные гауссовские случайные последовательности с нулевыми средними и единичными дисперсиями; ц/(Л)>г(А:); а,/£)>(); /=1, 2,..., п. Данные уравнения представляют собой дискретизованные аналоги геометрического (экономического) броуновского движения, модели которого обычно используются в финансовой математике для описания эволюции цен рисковых финансовых активов [5-7]. Таким образом, доходность /-го рискового актива определяется уравнением
73
у,(* + 1) = М* + 1) + 5>^(* + 1)"0(* + 1). (21>
1=1
Определим вектор-столбец х(к) = [к(Л),Р°(/1)]г и с учетом (2.1) представим уравнения динамики реального и эталонного портфелей в виде
*(A+l)=y4(£+l)x(£)+]Srw( (£+1)Л, (А+1)дг(А)+
/=1
+ В(к + l)v(Ar) + Yiwl(k + 1)5, (к + I)v(*), (2.2)
где матрицы
А(к)=
CD{k)C*
О
Д(*)=
CD, (к)С* О
О
° \
B(kh
CD(k)C
0„,
; 4(*)=['
CD, (кус
О
л+1
О „+1 = [ 0,0,..., 0 ] - вектор размерности п+1;
A(*)=diag{ou; <тг,; ..; сгл,}; Z>(*)=diag{l+r(*);l+p, (к); 1+р2 (*),...,1+р„ (к)}.
Функционал (1.9) запишем следующим образом: J=m\%xt (k)hThx(kW (*)5(*)v(*)]+
.*=i К*'*)
+хт (T)hThx(T)},
где А=[ 1, -1]. Система (2.2) относится к классу систем со случайными параметрами (мультипликативными шумами). Вопросы синтеза управления для подобного класса систем рассматривались в [8-10]. Эффективный и достаточно просто реализуемый подход к определению оптимальной стратегии управления с обратной связью по квадратичному критерию для таких систем - синтез закона управления, оптимального в классе линейных
v(k) = K(k)x(k), (2.4)
где К(к) - матрица коэффициентов обратной связи выбирается из условия минимума функционала (2.3).
Отметим, что в данной постановке на новые управления v(k) ограничения не накладываются, однако они должны выбираться так, чтобы выполнялись условия (1.10) неотрицательности первоначальных управляющих переменных. Выполнение этих условий можно обеспечить подходящим выбором весовой матрицы R(k) в функции риска.
Функционал (2.3) можно записать в виде:
J=trly±hThP(k)+R(k)K(k)P(k)KT(k)Y еч U=o (2.5)
+hThP(T)},
где матрица вторых моментов Р(к) = М^ст(к)х(к)] с учетом (2.4) удовлетворяет уравнению 5(ЫНЛ(]Ы)+5(Л:-Я)*(*)]5(*)[Л()Ы)+
+B(k+l)K(k)]T+j}A,(k+l)+ (2.6)
1=1
В, (*+1)*(*)]?(*)[4 (к+\)+В, (Л-»-1)А:(Л)]г .
Оптимальную стратегию управления можно получить, переформулировав данную задачу управления
74
стохастической системой в виде эквивалентной задачи управления детерминированной системой, описываемой матричным уравнением динамики вторых моментов состояний (2.6), матрицей К(к) в качестве управляющих воздействий, критерием качества (2.5) и используя принцип максимума в матричной формулировке [11].
Решение задачи дают следующие уравнения:
К(к) = -[Вт (к +1 )Q(k +1 )5(А +1) +
+ £ В] (к +1 )Q(k +1)5, (k + l) + R(k)Y] х * х[5(А + 1)£(* + 1)Л(* + 1) +
+ £5Г(* + Ш* +1М (* + l)L
*=1
Q(k) = [А(к +1) + В(к + l)A-(Jt)]r Q(k +1) х х [А(к +1) + В(к +1)К (А)] +
+ £[Л,(*-И) + 5,(* + 1Щ*)]гх
х Q(k + 1)[Л, (к +1) + В, (к + 1)К(к)] +
+ KT(k)R(k)K(k) + hTh,
Q(T) = hTh.
Исходный вектор управлений и(к) вычисляется по формуле
u(k) = C,x(k)+Cv(k), (2.7)
где С,=[С*,0].
Значение функции риска (2.5) на оптимальной траектории легко вычисляется.
3. Численное моделирование
Определим стратегию управления портфелем, состоящим из банковского счета доходностью г=0,01 и трех видов акций, доходность вложений в которые описывается уравнениями вида (2.1) с параметрами:
о =
0,01 0,005 0,005
0,0045 0,0175 0,0045 0,004 0,004 0,025
ц,=0,02; ц2=0.03; ц3=0,04.
Доходность эталонного портфеля ц°=0,025. Численно была реализована стратегия управления вида (2.4), (2.7) с весовой матрицей 5=diag{0,02; 0,01; 0,01; 0,01}. Результаты численного моделирования представлены на рис. 1,2, где на оси абсцисс указаны номера интервалов, на оси ординат - суммы вложений. Рис. 1 ил-
люстрирует динамику поведения эталонного и управляемого портфелей, на рис. 2 показано поведение уп-
равляющих переменных и0 ,и, ,и2 ,и3 .
Рис. 1. Динамика изменения капитала управляемого и эталонного портфелей: 1 - У°(к); 2 - К(Л)
мого инвестиционного портфеля, состоящего из рисковых и безрискового финансовых активов. Задача управления портфелем сформулирована как динамическая задача слежения за эталонным портфелем с заданной желаемой эффективностью. Предложен способ определения оптимальной стратегии управления.
Отметим, что в рамках предлагаемого подхода можно решить задачу управления портфелем в случае, когда параметры модели, описывающей динамику цен рисковых активов, меняются скачкообразно, используя методы, обзор которых дан в [9].
Модель без принципиальных затруднений может быть обобщена на случай, когда возможны инвестиции заемных средств и использование части доходов на потребление.
ЛИТЕРАТУРА
1. Шарп У., Александер Г., Бейли Дж. Инвестиции. М.: ИНФРА-М, 1997.
2. Первозванский А.А., Первозванская Т.Н. Финансовый рынок: расчет и риск. М.: ИНФРА-М, 1994.
3. Уотшем Т.Дж., Парраыоу К. Количественные методы в финансах. М.: Финансы. Изд. объединение «ЮНИТИ», 1999.
4. Алберт А. Регрессия, псевдоинверсия и рекуррентное оценивание. М.: Наука, 1973.
5. Первозванский А.А. Оптимальный портфель ценных бумаг на нестационарном неравновесном рынке // Экономика и математические методы. 1999. Т.35,№3.
6. Merlon ЯС. Continuous-time Finance. Cambr. Ма., Balkwelt, 1990.
7. Ширяев А.Н. Вероятностно-статистические модели эволюции финансовых индексов // Обозрение прикладной и промышленной математики. 1995. Т. 2, вып. 4.
8. McLane P.J. Optimal Stochastic Control of Linear Systems with State and Control-Dependent Disturbances // IEEE Trans, on Automat. Control. 1971. V. AC-16, №6.
9. Малышев B.B., Пакшин П.В. Прикладная теория статистической устойчивости и оптимального стационарного управления. Обзор. Ч. 2 // Изв. АН СССР. Техн. кибернетика 1990. № 2.
10. Домбровский В.В. Синтез динамических регуляторов пониженного порядка для систем со случайными параметрами // Изв. РАН. Теория и системы управления. 1998. № 2.
11. Athens М. The Matrix Minimum Principle // Information and Control. 1968. V. 11.
Статья представлена кафедрой математических методов в экономике экономического факультета Томского государственного университета, поступила в научную редакцию «Кибернетика и информатика»! 5 декабря 1999 г.
Рис. 2. Динамика вложений в рисковые активы:
1 — м,(А:) ;2 — иг(к);3- иг(к);4- и0(к)
4. Заключение
В данной работе предложена динамическая стохастическая модель формирования самофинансируе-
75
