CC BY
25
УДК 519.8
ДИНАМИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ МЕЖОТРАСЛЕВОГО БАЛАНСА, УЧИТЫВАЮЩАЯ ВЫДЕЛЕНИЕ ВРЕДНЫХ ОТХОДОВ, И ДВОЙСТВЕННАЯ К НЕЙ МОДЕЛЬ
© 2008 г. Т.А. Костенко, Е.М. Петлина
The dual model is constructed for dynamic model of interindustry balance in view of the ecological factor and investments on development of manufacture, its economic description is given. The concept of set of decisions is given for both models, and the condition of existence of the unique positive decision is determined: the matrix operator should be productive. Besides, properties of models are examined, and the connection of decisions of mutually dual tasks is shown.
Рассматриваемая в работе динамическая модель Рассмотрим динамическую модель межотраслево-межотраслевого баланса является развитием и обоб- го баланса, в которой учитывается выделение и ути-щением ряда известных статических моделей [1, 2]. лизация вредных отходов (ВО) и внесение инвести-
ции на развитие производства:
xt+h~ А1А+й +A12yt^h+Bll
xnh xt . п yt+h yt . г
yt,h= AnXHh+ A22 yth+ В21 + B22 ^^ - f2uh ,
h
xt+h>8,yt+h>e,xt>e,yt>(
(1)
В (1) х1_11 - вектор валового выпуска полезного продукта (ПП), достигаемый к моменту времени / I /?: у, | /2 - вектор ВО в окружающей среде, возникающих в процессе производства и подлежащих уничтожению в момент времени / + к; (\, /2 - вектор
чистого выпуска 1111 в момент времени / + й; /2 - вектор остаточного уровня ВО в момент времени / + /1| | - (хя технологическая матрица; ,1|2 такая {гхдаматрица, что /1| 2>; - вектор 1111, возникающий при переработке ВО в объеме вектора у; /121 - такая х // матрица, что /121-х' - вектор ВО, создаваемых при выпуске 1111 в объеме вектора х; А22 - такая / т ^ матрица, что при уничтожении вектора у ВО в окружающую среду выделяется ВО в объеме вектора А22у; Вц - матрица, характеризующая инвестиции части созданного в момент времени I 1-го продукта на создание дополнительного резерва производства для выпуска продукции в момент времени ¡ + 2 матрица инвестиций, идущих на подавление ВО, возникающих при создании дополнительного резерва производства; В21 - матрица, характеризующая количество выделяемых единиц ВО при увеличении производства ПП на единицу за промежуток времени к ; В22 - матрица, характеризующая количество выделяемых единиц ВО, образующихся при увеличении годового производства продукта х( на единицу, при их подавлении.
Исходя из жизненного опыта и особенностей технологических процессов значительно удобнее считать, что время непрерывно. Для перехода от модели с дискретным к модели с непрерывным временем, уменьшая, насколько возможно, величину отрезка
времени h, получим
xt+h xt ^ jjm xt+h xt
h
h^O h
В (1) в качестве ^^—— и —^—— можно рас-
к к
сматривать первые производные непрерывных функций х({) и у(1) соответственно. Возникающей при этом погрешностью можно пренебречь [3].
С другой стороны, планирование производства осуществляется на определенный период времени (год, пять, десять лет). С этой точки зрения удобно рассматривать время как дискретную величину. Модели с дискретным временем применимы для исследования поведения экономической системы на достаточно длительных интервалах времени при сохранении технологического уклада.
В настоящей работе будем рассматривать время как дискретную величину.
Рассмотрим проблему существования неотрицательного решения х*+к >в,у*+к >6 системы (1) при заданных неотрицательных векторах :> в,
/2. Даже в самой простой ситуации существование неотрицательного решения возможно лишь при выполнении дополнительного условия, связанного с «согласованием» векторов (\ /+„ > в и /2 /+„ > в. что
в ряде случаев неестественно. Действительно, в случае достаточно «чистого» в экологическом смысле производства выпуск заданного вектора /¡¿+/! 1111
может сопровождаться «выбросом» в окружающую среду незначительного по уровню вектора ВО, «меньшего» предела их допустимого содержания /2, А в окружающей среде. Тогда для получения решения системы (1) необходимо «искусственно» произвести ВО до объема /2, А, вместо того чтобы удовлетвориться меньшим по объему их содержанием в окружающей среде. Таким образом, целесообразно заменить модель (1) следующей системой, составленной из уравнений и неравенств:
xt+h~ ^rt+h +Al2yt+h+Bll yt+h ^A2lxt+h+A22 yt+h+B2l
xt+h XL + ß yt+h yt
h
xt+h ~
h
■fl.
th,
h
" xt , d yt+h yt r
- 22-;--J2,
th,
xt+h>e,yt+h>e,xt>e,yt>e.
(2)
Переход от системы уравнений (1) к системе уравнений-неравенств (2) связан с «утратой определенности», так как (2) в отличие от (1) может иметь бесконечное множество решений.
Более общей по сравнению с моделью (2) является модель
xt+h^ Aixt+h+Ai2 yt+h+Bn yt+h ^A2lXt+h+A22 yt+h+B2l
xt+h Xt +ß yt+h yt
h
xt+h ~
h
B
h
yt h yt
h
+ fl,t+h, ~f2,t+h ,
xt+h>e,yt+h>e,xt>e,yt>e,
(3)
в которой валовый выпуск продукта превосходит затраты на производство, инвестиции и потребление.
Традиционно итоги хозяйственной деятельности как на макро-, так и на микроуровнях подводят за год, поэтому в большинстве случаев к равно одному году. При более мелком разбиении времени отчетности (полугодие, квартал, месяц) к - соответствующая единица (полугодие, квартал, месяц). Пусть для определенности к=1, х{, у{ - имеющиеся ко времени t ПП и уровень ВО соответственно, следовательно, можно считать их заданными. Таким образом, (3) примет вид
1 - А\Л+1 + А12уг+1 + В11хг+1 + В12уг+1 + 8\, Ум ^ А21ХМ + А22Ум + В2\ХМ + В22Ум ~ 82 = (4) ХМ > д,ум > в, где ё1=-В1Л-В12у(+/1м1 , £2 =В21х{-В22у{ +/гм.
Рассмотрение системы (4) связано с риском неоправданного перепроизводства. Исходя из экономических соображений, естественно остановиться на таком
решении {х , у }, которое удовлетворяет условию
x
{х ,у } = {тЦх},тРку}}, (5)
где тГ берется по всему множеству (х, у} . При таком определении решения мы имеем заданный объем 1111 при условии, что не превышается допустимый уровень содержания ВО в окружающей среде и обеспечивается минимально необходимое производство 1111.
В модели (4) . 1,;. /],, ( / —1.2 ^ - линейные положительные операторы, действующие в соответствующих банаховых пространствах Ех = Я" и Еу = Ят (и -
количество единиц выпускаемого 1111; т - количество единиц ВО, выделяемых в окружающую среду при данной технологии). При этом Дп, Вп действуют из
Rn в Rn; Au, Bl2
из Rm в Rn; , R, - из Rn в
Ят ; Д22, В22 - из Ят в Ят. Полуупорядочим банаховы пространства Я" и Ят конусами неотрицательных векторов Кх, Ку соответственно.
Пару элементов 4;,у^КххКу , удовлетворяющую системе неравенств (4), будем называть планом задачи (4); П - множество всех планов этой задачи. Если множество планов задачи (4) не пустое, то оно, как правило, содержит бесконечное множество элементов. Положим, как и ранее,
4", у* = Я ^п/ где точная нижняя грань вводится по всем . Вектор (¿*,у* , если он
существует, назовем решением задачи (4). Оно существует и единственно, если Я ф& (это следует из ограниченности снизу по конусу множеством планов и сильной миниэдральности конусов Кх и Ку). Система (4) называется продуктивной, если она имеет неотрицательное решение.
Перепишем (4) в следующем виде:
(А\+ Ви)Х+1 +(Д12 + В12)УЫ+ 8ъ ' уи1 - (Д21 + В12)ХМ-1 + (Д22 + В22 )Ум~ 8 2 , ХМ ^ 0,Ум ^
опустим индекс, обозначающий год у переменных, и введем обозначения Су + = 1,2 . Тогда (4)
примет вид
х> Сцх+ + • у>С21х + С22у-^2, (6)
х>9,у>6.
Теорема 1. Если множество П планов непустое, ,у , определяемый согласно (5), является элементом множества П планов задачи, причем это наименыний из всех планов.
Доказательство. Если /7^0, то в силу свойства сильной миниэдральности конуса неотрицательных
векторов пространства Я вектор \ ,у существует (множество векторов Я ограниченно снизу элементом в).
Согласно определению точной нижней грани и монотонности операторов (= 1.2 (каждый линейный оператор является монотонным), имеем для
любого П :
[ х >Спх + С12 у+ 8^ С11х +С12 у* +81, 1 11 1 . . и, следова-
\у>С21х + С22У + 82^ С21х +С22У +82 тельно, на основании определения точной нижней
т.е.
х>Сих + С12у*
У* ^С2\х* +С22У* +82'
*
у - наименьший из элемен-
грани (х >в, у >в )
(* * „ у* *
,у е Я , причем I; тов множества П. Теорема доказана.
Введем обозначения: Си ^ = су:1) к,1 = 1,2.
Теорема 2. Пусть g1 >9. Если для некоторого 1 = г0 для решения (
- Jk>
км 8,
* *
y выполняется строгое нера-
венство у* > £с(2:% + Тс(2:2)У,- J2)
^ 'oJ J 'oJ J3
ТО V. =0.
]=1 ]=1 Доказательство. Допустим противное и выберем
£ > 0 настолько малым, чтобы для вектора (
* * Уе
где
fm >
при
Г ФГП
У,п
выполнялось нера-
венство
при I =10,
+ Отсюда
]=1 ]=1
(* * „ *
,уЕ е II и потому решение \ ,у
модели (6), как точная нижняя грань множества пла-
* *
нов, должно удовлетворять неравенству у <уе, которое нарушается для компоненты / = /0. Теорема доказана.
Обобщенная динамическая модель межотраслевого баланса представляется в виде
Гх = Сцх + С1^.^ + 81,
[у>С21^С22 у-82-
(7)
Рассмотрим двойственную задачу. Пусть Ех, Е* -пространства линейно ограниченных функционалов,
сопряженные к пространствам ЕХ=Я", Еу=Ят; * *
Кх, К* - сопряженные полугруппы к конусам Кх, Ку соответственно; С* (/,/ = 1,2) - сопряженные операторы к операторам Су модели (7). При этом
П* ¿7* ¡7* "V1* ¿7* ¡7* "V"* ёг* Т7* "V"* 4т* Т7* С11 \х Ьх ^12 Ъх Ьх ^22 \у ^ ¿у
Рассмотрим модель вида
Р = СиР + С*21д + У1:,
Р + С22^ ~ ^2 , (8)
р&Е*х,ц&Е*х,р>д,ц>в,
которую будем назьшать моделью, двойственной к (7). Множество Р функционалов 4р. (/ . удовлетворяющих (8), будем называть множеством планов (множеством решений) двойственной задачи. Определим вектор
(>*,Ч* ^ 4рр{р},ыр{<7> Р , если он
существует. Этот вектор (в случае его существования) назовем обобщенным решением двойственной задачи.
Как и в случае обобщенной динамической модели, возникает вопрос: будет ли обобщенное решение задачи (8), если оно существует, являться решением (планом) этой задачи? Ответ на него содержится в следующей теореме.
Теорема 3. Пусть оператор С =
C11 C12 C21 C22
продуктивен в Е = Ех х Еу, т.е. р(С) < 1, Р * 0. Тогда обобщенное решение ,q* этой задачи, если оно существует, является планом: ,q ^ Р.
Доказательство. По условию теоремы I' -/- 0. поэтому существуют элементы
р" = sup Pa, q = sup qa , (9)
\Pa=CllPa+C2l4a+vl
где pa и qa таковы, что
4a^C12Pa+C224a-v2-
откуда в силу свойств точ-
(10)
(
венство Сj =
Си 0 о о
** „* ** „* * * Л * Л^, *
Р =4lР +С2\Ч Р V21? +vl ,> (12)
вом р < р это доказывает, что р = р . Итак. \Р =СП Р +С21<? +V1
т.е. С?*, ¿7* е Р .
\ * ^ п* * , п* * [<7 ^СиР +С224 -^2,
Теорема доказана.
Поясним экономический смысл двойственной модели. Рассмотрим частный случай модели, когда Е=Я" Е=Кт и, следовательно, Е*=Я"
Еу =Rm
Еу =R -R",
R"
:R"
:R"
Из
определения точной верхней грани и положительности операторов С* (у = 1,2 следует, что
I Ра +С21Ч* +^1,
[Ча ^С12Р* +С22Ч* ной верхней грани следует, что
\р <С*пр* +С*2& + VI,
* V—,* * у—Г* *
[Я — С12 Р +С22? Положим
>[о1< Ж * ^^ .¡5 ^
Р = > (И)
Оператор С1*1 положителен и справедливо нера-
> гг* г* Л
» » = С , из которого в
С 21 C22J
силу того, что ^ - воспроизводящий и нормальный конус [5], следует неравенство р(С*) < р(С*) =
= р(С)< 1. Так как р(С?) = р(С*п), то /Ж У,) < 1.
(* >1
-Сп^ и его положительность, откуда, в свою очередь, следует, что
** ^
р > (9. Так как
то из (11) следует, что р < р . Поэтому в силу второго неравенства в(10)
q'^с12р**-v2. (13)
Из (12) и (13) следует, что -<7 > I' и потому на основании (9) ^ (-<7* . Это значит, что
/?* > р**. Вместе с ранее установленным неравенст-
р е л , q ь л , 1/! с л , 1/2
Будем интерпретировать р как вектор цен 1111, т.е. ¡-я С< г < п ^ компонента вектора р равна цене одной единицы /-го ПП. Аналогично к-я (<к<ткомпонента вектора q равна плате за выброс в окружающую среду одной единицы к-го вредного продукта (ВП) (загрязнения), являющегося побочным результатом
производственной деятельности. Вектор V! е М" представляет собой вектор добавленных стоимостей, т.е. компонента ^ этого вектора указывает стоимость труда, затраченного на создание одной единицы /-го 1111 / < п . Аналогично вектор у2ей"' представляет собой вектор, к-я компонента которого равна уменьшению платы за загрязнение одной единицей к-го ВП окружающей среды, в силу которой сама среда «борется» с загрязнением. Вектор С*пр = рСи - часть стоимости затрат по созданию единичного вектора ПП, полученная за счет использования в производстве ПП всех отраслей в соответствующих количествах. Вектор С2^ = qC2l - часть стоимости затрат при создании единичного вектора ПП, связанная с мероприятиями по охране окружающей среды. Вектор С*Х2р = рС12 - часть затрат, направленных на борьбу с загрязнением окружающей среды, равная стоимости затраченных ПП при уничтожении
единицы 1111. Наконец, С2^ = qC22 - часть затрат на
борьбу с загрязнением, равная плате за побочный (вредный) результат этой деятельности, связанный с дополнительными выбросами в окружающую среду ВП при уничтожении единицы этого продукта (например, выброс в воздух вредных соединений при сжигании мусора), т.е. создание новых групп ВП при уничтожении ВО.
При такой интерпретации составных элементов модели (8) первое уравнение этой модели означает, что цена ПП является справедливой, так как она состоит из стоимости затраченных ПП (как в процессе производства, так и в процессе борьбы с загрязнением окружающей среды) и добавленной стоимости, т.е. стоимости затраченного труда. Второе соотношение (неравенство) модели (8) означает, что плата за создание одной единицы загрязнения не превосходит суммы стоимости затраченного на борьбу с загрязнением ПП и стоимости затрат на уничтожение воспроизводимого загрязнения, т.е. за вычетом величины дотации. Ясно, что в случае, когда второе соотношение модели (8) будет выполнено со знаком равенства, это будет означать, что назначенная плата за загрязнение является справедливой. Если же второе соотношение
будет выполнено со знаком неравенства, то это будет говорить о том, что назначенная плата за загрязнение является убыточной для общества в целом. Именно поэтому неразумно любой вектор из множества Р (а совокупность Р, если она не пуста, содержит, как правило, бесконечное множество векторов) называть вектором цен производства. Естественно, возникает вопрос, а что можно сказать в этой связи о векторе Р,д , определенном согласно (9).
Из приводимых ниже результатов следует, что при естественных предположениях относительно производства решение (* = <?* модели (8) существует и единственно. При этом вектор удовлетворяет второму
соотношению модели со знаком равенства, т. е. цена 4 * * 4 * *
, д справедливая. Более того, вектор , д связан
(* >!<
, у модели (7) простым соотношением, имеющим важный экономический смысл, обобщающий один из основных результатов теории Леонтьева, утверждающего о том, что национальный продукт равен национальному доходу [1].
Рассмотрим еще одну модель, более общую по сравнению с моделью (8):
Р<С1 1Р + С2 14 + ^1 < д<С*иР + С224 ~ ^2 , реЕ*х,деЕ*х,р>в,д>в.
Решение системы (14) (если оно существует) определим аналогично тому, как было определено решение модели (8). Множество планов модели (14) обозначим через !]. Ясно, что 1\ з Р .
Теорема 4. Пусть оператор С продуктивен, а вектор л>2 удовлетворяет неравенству
* ж * v-,<C12\-Cii j Vi
у2 — \ — 1 > Ч ■ (15) Тогда множество планов р модели (14) непустое, и существует решение этой модели.
Доказательство. Положим, что
-п > vi
положительность
(16) оператора
(существование и
(*
- ("п у следует из продуктивности оператора С), и рассмотрим уравнение д = С1*2р1 + С22д ~ у2 ■
В силу (15) свободный член ~у2 ~ элемент
конуса К*у . Так как С*2 - «часть» продуктивного опе-
Г1* Г1*
ратора С * , то С2*2 - продуктивный оператор, и значит,
>1<
решение этого уравнения принадлежит Ку , т.е.
"С22> ~ (17) неотрицательный элемент. Так как в соответствии с
(16) /?, = ( | | + у, . то ввиду неотрицательности <г/( имеем р1 < С1*1р1 + С*2Хд + . И, кроме того, на основании (17) <г/1 =<"| 2/'| + ^ 22*7| • а эт0 значит, что ф|.<У| 3= /■). т.е. множество планов задачи (14) непустое. Заметим, что каждый план м>= ф,д моде-
ли (14) удовлетворяет векторному неравенству м> <(1 - С) 'у , где V = . \>2 , т.е. множество планов Р ограничено по полуупорядоченности сверху. Из этого условия и сильной миниэдральной конуса К следует существование точной верхней грани у множества р . Теорема доказана.
Замечание. Условие (15) заведомо выполнено, если у2 = в.
Следующая теорема поясняет связь между решением модели (8) и (14).
£ * >!<
Теорема 5. Пусть ,д решение модели (8). Тогда ни для какого /' = /0 строгое неравенство
С* 2 *= (СпР\ + ОоЯ ^ - <2 ^ ('8)
невозможно. Аналогично ни для какого / = ^ невозможно неравенство
(19)
Доказательство. Докажем невозможность неравенства (18) (невозможность неравенства (19) доказывается аналогично).
Предположим, что утверждение теоремы неверно.
Тогда для некоторого /0 и решения ц выполня-
>1<
ется неравенство (18). По вектору ц построим вектор д*, координаты которого определим по формуле
■ > II >
€
* м+£
при при
J=i0,
где £>0 настолько
мало, чтобы ц.. <С12р + С22де - у2 • При этом выполняется так же неравенство р* < С^р* + ( 2,* +v1, т.е.
* * q вопреки
ц,: ^ . Очевидно, что ^*,д*е определению С1*'?* • Теорема доказана.
Следствие. Решение ,д модели (14) является одновременно решением модели (8), причем второе соотношение модели выполняется со знаком равенства.
При выполнении условия (15) существует неотри-
у * *
цательное решение у ,д модели |р = спР + с2
и=С1*2 Р + С**2^^2-
Условие (15) означает, по существу, согласование уровней векторов: V - величины добавленной стоимости и у2 - уменьшения платы за загрязнение (реге-нерационной способности природы); -вектор
справедливой цены.
* >!<
Пусть теперь х , у - решение модели (7), а
Р , ц - решение модели (20). Представим (7) и (20) соответственно в виде
(21)
Исходя из экономической интерпретации двойственной модели, последнее выражение представимо в виде
4>, Ч У 6 Ч £ + <¡1 3 (22)
Из (21) получаем
i~C
У
gi -g2
(23)
а из
\>2 = О. то неравенство (25) переходит в равенство d * ^ ä*
I? >81J7 \ >vi ' которое означает, что совокупный
национальный продукт
, g1 равен полному на-
(22) - фчто равносильно
(24)
Из (23) и (24) имеем
^1,-v2 У-С?)ы,г 8Л. После
\У) \-82j
преобразования получим уух-у2у> pgí-qg2, или
^>1- Р81- 482 .
Тогда, как легко видеть,
С*
,81 \ * (25)
причем это неравенство переходит в равенство в случае, , у соотношения (7) выполняются со знаком равенства. В частности, знак равенства в (7) имеет место, если = в . Если одновременно = в и
циональному доходу ^ , ^
Литература
1. Леонтьев В.В., Форд Д. Экономика и математические методы. М., 1972.
2. Рюмина Е.В. Экологический фактор в экономико-математических моделях. М., 1980.
3. КолемаевВ.А. Математическая экономика. М., 2005.
Ставропольский государственный университет
25 апреля 2007 г.
