CC BY
31
УДК 621.8:534.83
Черноус Дмитрий Анатольевич,
доцент кафедры «Техническая физика и теоретическая механика», Белорусский государственный университет транспорта, тел.: +375(232)952951, e-mail: tm@belsut.gomel.by
ДИНАМИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ИЗГИБНЫХ КОЛЕБАНИИ ДЕТАЛЕЙ ИЗ КОМПОЗИТНОГО ПОЛИМЕРНОГО МАТЕРИАЛА
D. A. Chernous
A DYNAMIC MODEL OF BENDING VIBRATIONS OF DETAILS MADE OF COMPOSITE POLYMERIC MATERIAL
Аннотация. Предложена динамическая модель вибрации деталей машин, изготовленных из полимерных композитов, представляющая собой композитный массивный консольно-закрепленный стержень с установленной на нем материальной точкой. Для описания поперечных колебаний модели использовалась простейшая модель балки Бернулли - Эйлера. Эффективные механические характеристики композитного материала балки определялись на основе модели Мори - Танаки и упруго-вязкоупругой аналогии. При этом материал наполнителя рассматривался как линейно упругий, а материал полимерной матрицы - как вязкоупругий. Получено аналитическое решение задачи вынужденных изгибных колебаний модели. В качестве расчетного примера рассмотрен стержень из угленаполненного политетрафторэтилена. Установлены зависимости уровня звукового давления от рецептуры композита и геометрических параметров модели. Описано влияние доли наполнителя и вязкости материала матрицы на частотный спектр уровня звукового давления.
Ключевые слова: вынужденные колебания, изгиб стержня, вязкоупругое деформирование, эффективные характеристики композита, уровень звукового давления.
Abstract. A dynamic model of the vibrations of details made of polymer composites has been suggested. This model is a composite massive cantilever-mounted rod mounted thereon a material point. A simple model of Euler - Bernoulli beam is used for description of the transverse vibrations of the model. Effective mechanical properties of composite beams were determined on the basis of Mori-Tanaka model and elastic-viscoelastic analogy. Given this, the filler material was considered as linear elastic and polymeric matrix material as viscoelastic. An analytical solution of the problem of forced bending vibrations of the model was derived. The rod of carbon filled polyfluorene was considered as a calculation example. The dependences of the sound pressure level on the formulation of the composite and the geometric parameters of the model were established. The effect of the volume filler fraction and viscosity of the matrix material on the frequency spectrum of the sound pressure level was described.
Keywords: forced oscillation, rod bending, viscoelastic deformation, effective characteristics of composite, level of sound pressure.
Введение
Одним из эффективных способов снижения шума при работе механических передач является использование в конструкции передачи элементов из полимерных материалов. Относительно низкая контактная жесткость таких элементов позволяет, в частности, обеспечить многопарное зацепление в зубчатых передачах [1]. При этом существенно снижается ударная сила, действующая на зуб, и, как следствие, уровень шума. Кроме того, выраженные реономные свойства полимерных материалов [2] обуславливают высокий уровень поглощения механической энергии при циклическом нагружении.
Для обеспечения требуемой жесткости и прочности конструкции, содержащей элементы из полимерных материалов, часто производят армирование полимера волокнами или дисперсными частицами [3]. Наличие наполнителя оказывает существенное влияние на вязкоупругие характеристики композита и, следовательно, на уровень шума при работе механизма.
В монографии [1] проанализировано влияние вязкоупругих характеристик материала полимерного зубчатого кольца на коэффициент полезного действия передачи. Однако при этом не ис-
следовались динамические вибрационные параметры рассматриваемого механизма. Кроме того, в [1] не рассматривалась возможность использования композита на основе полимерного материала. В работах [3, 4] установлены зависимости прочностных параметров зубчатой передачи от объемной доли наполнителя в композитном материале зубчатого кольца. Однако в рамках предложенного в [3, 4] подхода не учитывается вязкость материала матрицы композита. Ранее [5] была разработана методика расчета уровня звукового давления при колебаниях материальной точки с одной степенью свободы, установленной на конце безмассового композитного вязкоупругого стержня. В процессе колебания стержень находится в одноосном напряженном состоянии. Вместе с тем при вибрациях механизмов реализуются как продольные, так и поперечные колебания элементов конструкций. Кроме того, сведение распределенной массы к установленным на стержне материальным точкам не позволяет достаточно точно и подробно описать колебания исследуемых объектов.
В связи с вышесказанным целью настоящей работы является изучение влияния рецептуры композита на динамические параметры поперечных колебаний стержневой системы, изготовлен-
Механика
ной из дисперсно-наполненного вязкоупругого материала.
Стержневая динамическая модель
В настоящее время для анализа вибраций в механизмах широко используются упрощенные динамические модели [6]. Одна из таких моделей представляет собой консольную балку, совершающую поперечные колебания под действием гармонической силы Р, приложенной к свободному концу консоли (рис. 1). Для расширения возможностей модели на балке в некоторых промежуточных токах устанавливаются точечные массы, моделирующие массивные элементы механизма. Поперечное сечение стержня имеет площадь S и момент инерции J. Величины S и J не зависят от продольной координаты х, отсчитываемой вдоль средней линии стержня от 0 (точка заделки) до Ь (свободный конец консоли). Материал стержня имеет плотность р и рассматривается как линейно вязкоупругий.
<
>
L
P
7 + — 7 = E£ + E-£ ,
X X
(1)
где Е - мгновенный модуль Юнга; 5 - безразмерный параметр ядра; х - время релаксации.
Точка над символом означает производную по времени от соответствующей величины.
В рамках настоящей работы для описания поперечных колебаний будем использовать простейшую модель балки Бернулли - Эйлера [7]. Данная модель подразумевает пренебрежение инерцией вращения поперечного сечения и сдвиговой деформацией. Используя равенство (1), для прогиба балки Бернулли - Эйлера можно составить следующее уравнение в частных производ-
ных:
Р^ (ц- +1 й) + и (4) + i-5 и (4) = о. (2) EJ у X J X
В дальнейшем будем рассматривать устано-
вившиеся вынужденные колебания консоли под действием приложенной к свободному концу x = L гармонической поперечной силы
P = P0 sin(ш). (3)
Здесь Po, ш - амплитуда и частота вынуждающей силы соответственно.
Частное решение уравнения (2) для установившихся колебаний будем искать в виде
u = us (x)sin (raí) + uc (x)cos(raí). (4)
Здесь us, Uc - функции координаты x.
Подставим выражение (4) в уравнение (2). Из полученного равенства составим два уравнения - отдельно для слагаемых, содержащих sin(raí) и cos(raí):
ши<4) + Ни{4 = ^ s Ex c EJ
(4) , H (4) _
-ши; +
Ex
EJ
1
(5)
-шис + —us
Решение системы (5) будем искать в виде
из = Сз ехр (кх), ис = Сс ехр (кх). (6) Здесь Св, Сс — константы, определяемые из граничных условий.
Подставив (6) в (5) и выполнив математические преобразования, определим параметр к:
<-
Рис. 1. Стержневая динамическая модель
При использовании экспоненциального ядра релаксации [2] связь осевого напряжения с с продольной деформацией в для одноосного напряженного состояния вязкоупругого материала задается дифференциальным уравнением
к = ±q,±iq; q =
рЛ'ш 2 (ш 2 X 2 +1 -5 + iQxs)
EJ (ш2 X 2 + (1 -5)2 )
(ш
0,25
(7)
Здесь i = V—1 — мнимая единица.
Таким образом, для определения прогибов рассматриваемого стержня требуется установить 16 констант C — по 8 констант для участков I и II (рис. 1). Условие жесткого закрепления при x = 0 позволяют составить 4 уравнения: два для usi и два для Uci. Требования неразрывности при переходе с участка I на участок II (x = I) прогиба, первой и второй производной сводятся к шести уравнениям. Третья производная от прогиба, связанная с поперечной силой, при наличии сосредоточенной массы m претерпевает разрыв в точке перехода между участками. Используя соотношение (1) и допущения модели балки Бернулли - Эйлера, можно для точки x = I составить два уравнения, связывающие величины us (l), uc (l), u'"(l), u'"(l). Остальные 4 уравнения составляются исходя из условий на свободном конце консоли при x = L.
В дальнейшем для определения максимального уровня шума L потребуется расчетная оценка максимальной скорости vmax колебания точек стержня. Величина Vmax связана с амплитудой Umax прогиба точки приложения вынуждающей силы (x = L)
шиs +— ис
\
s
x
I
II
h
l
ИРКУТСКИМ государственный университет путей сообщения
/2 2 vmax = ®umax = WUsII(L) + UcII(L) • (8)
При известной скорости ^max максимальный уровень звукового давления D определяется соотношением [8]
D = 20 lg
г \ Р
= 20 lg
PaCa Ро
(9)
V Ро у
где р — звуковое давление;
ро = 2-10-5 Па — пороговое давление;
Ра = 1,23 кг/м3 — плотность воздуха (20 °С);
са = 343 м/с — скорость звука в воздухе (20 °С).
Таким образом, для расчета уровня звукового давления при колебаниях рассматриваемой динамической модели требуется знать следующие исходные параметры: геометрические характеристики модели (Ь, Б, ./); место расположения (I) и массу т груза; амплитуду Ро и частоту ю вынуждающей силы; вязкоупругие характеристики материала стержня (Е, т, 5). Зная значения указанных величин, первоначально определяют параметр q
(7). Затем с учетом общего вида решения (6) составляется система линейных уравнений для констант С. После этого используются соотношения
(8) и (9). Изложенная расчетная методика реализована в программном продукте MathCad 6.0. Использование данного продукта позволяет производить математические действия с комплексными величинами без явного разделения действительной и мнимой компонент. В равенстве (8) используется абсолютное значение скорости.
Определение характеристик материала
Реализация изложенных выше методик расчета уровня звукового давления подразумевает наличие полной информации о вязкоупругих характеристиках (Е, т, 5) материала рассматриваемого элемента конструкции. При использовании композитных материалов данные характеристики будут определяться механическими параметрами и объемным содержанием компонент.
В качестве материала стержня в динамической модели (рис. 1) рассмотрим наполненный сферическими частицами композит на полимерной матрице. Обе компоненты будем считать изотропными. Материал наполнителя рассматривается как линейно упругий и характеризуется модулем сдвига О/, объемным модулем К/ и плотностью р/. Материал полимерной матрицы имеет плотность Рт и рассматривается как линейно вязкоупругий. В соответствии с данными работы [2] изотермическое деформирование такого материала описывается физическими уравнениями вида
s.,-(t) = 2 Go
5 г
u- (t) —- Ju- (x)exp
X m 0
a = K— A,
- (t - x)
\dx
(10)
где t - время;
% Оу - компоненты девиатора тензора напряжения и деформации соответственно; с - гидростатическое давление; А - объемная деформация; О0т - мгновенный модуль сдвига матрицы; Кт - объемный модуль матрицы; тт, 5т - время релаксации и безразмерный параметр ядра релаксации для материала матрицы.
Для характеризации вязкоупругих свойств полимерных материалов часто используют динамический комплексный модуль сдвига О* = О+ О". Эта величина определяет напряженное состояние материала при гармоническом сдвиговом деформировании. Действительная О и мнимая О" компоненты комплексного модуля сдвига являются функциями частоты ю сдвигового деформирования. При использовании физических уравнений (10) для функций О'(ю) и О"(ю) можно записать
G' (ю) = G
о—
1 -
5_
2 2 1 + ю хт
G (ю) =
5 х
——
(11)
1 + ю2т^
Для описания реологических свойств композита использует упруго-вязкоупругую аналогию. При этом первоначально обе компоненты считаются упругими, и составляются аналитические соотношения для эффективного модуля сдвига Ок и эффективного объемного модуля Кк. Затем в данных соотношениях модуль сдвига материала матрицы заменяется комплексной функцией От*(ю), и устанавливаются частотные зависимости эффективных комплексных модулей Ок*(ю), Кк*(ю). Используя для рассматриваемого композита модель Мори - Танаги [9], в результате выполнения описанных действий получим:
О* 1 I _ 5ф(О/ - °т Кт
О* 5 О* + 2(1 — ф)(О^ — О*
С + 2(1 -9)(G/ - G*m lKm + 2G*m )'
K
k *
= 1 +
epKf - Km R
(12)
K
A mKm
+ Km (1 -p)Kf - Km )'
Здесь ф - объемная доля наполнителя. В равенствах (12) введено обозначение
С (ю) = Km + 4 Gm (ю) •
х
т
v
Механика
Зная функции G¿*(ю) и Кк*(ю), можно определить для композита эффективные динамические модуль Юнга ЕДю) и коэффициент Пуассона уДю):
* 9KkGk * n^3K*—2G
Ек - TTTi-ЗТ, V k -
k
3K * + G*
3K * + G*
(13)
^к ^ Ок 3Кк ^ Ок Для реализации описанной выше расчетной методики (7)-(9) необходимо привести зависимость Ек*(ю) к виду аналогичному (11):
= E
1 -
S
i+ю2 х2;
, E!¿ (ю) - Ею
8х
1 + ю2х2
(14)
Параметры E, х, 5 в выражениях (14) являются эффективными характеристиками материала стержня (рис. 1) и совпадают с соответствующими величинами в функции (1). Для определения этих параметров предлагается следующая методика.
1. По формулам (12), (13) устанавливается частотная зависимость эффективного комплексного динамического модуля Юнга Ek*(o).
2. Определяются максимальное EVax и минимальное E'mm значения действительной части данного модуля
Emax = Ek (да)>
■Emin - Ek(0)-
3. В результате решения уравнения
- 0
dE)k (ю)
йю
(15)
(16)
определяется частота ю максимума мнимой части комплексного модуля Юнга композита.
4 Искомые вязкоупругие характеристики композита Е, х, 5 вычисляются по формулам
Е - Е,
Е' ■
5- 1 — - mn
Е'
х = —. (17)
Таким образом, соотношения (12)—(17) позволяют установить зависимость характеристик материала стержня Е, х, 5 от объемной доли ф.
При анализе колебаний потребуется также знать плотность материала стержня р, которая является функцией объемной доли наполнителя
Р = Рт(1 "Ф) + Р/Ф. (18)
Определение уровня звукового давления
В качестве расчетного примера определим уровень звукового давления для рассматриваемой динамической модели (рис. 1) при следующих значениях исходных параметров: L = 0,5 м; S = 0,01 м2; m = 1 кг; Po = 1 Н. Материал стержня -угленаполненный политетрафторэтилен. Значения
механических характеристик компонент композита заимствованы из работы [10]: р/ = 2900 кг/м3; О/ = 91,2 ГПа; К = 152 ГПа (или Ег = 228 ГПа; V/ = 0,25); рт = 2130 кг/м3; Оот = 94,5 МПа; Кт = 4,7 ГПа; 5т = 0,16; хт = 0,08 с. Значения характеристик полимерной матрицы соответствуют температуре 20 оС.
На рис. 2 представлены расчетные спектры уровня звукового давления для различных значений объемной доли наполнителя. Сосредоточенная масса т устанавливалась в середине стержня (I = 0,5Е). Можно отметить, что однозначный вывод о возрастании уровня В по мере увеличения доли ф, сделанный в работе [3], для рассматриваемой динамической модели неправомерен. В данном случае рост доли наполнителя приводит к смещению максимумов спектра В(ю) в область больших частот.
0,8 и, кГц
Рис. 2. Частотные зависимости уровня звукового давления для стержневой динамической модели: кривая 1 — объемная доля наполнителя ф = 0,2; кривая 2 — ф = 0,6 Характер влияния на уровень звукового давления вязкости материалов различен при разных значениях частоты нагружения (рис. 3). Так, в диапазоне низких частот (менее 3 Гц) оценки уровня В, полученные при учете вязкости матрицы, оказываются несколько выше соответствующих значений, определяемых для линейно упругих компонент (рис. 3, а). Для всего диапазона ю > 3 Гц вязкость матрицы оказывает существенное влияние на уровень В только вблизи собственных частот рассматриваемой системы (рис. 3, б). Зависимости на рис. 3 построены при объемной доле наполнителя ф = 0,2 и I = 0,5£. При построении кривых 2 рассматривался «умозрительный» материал матрицы, имеющий те же значения характеристик, что и ПТФЭ, кроме параметра 5т. Для умозрительного материала выбрано 5 т = 0,33.
Регулирование уровня шума может осуществляться как выбором материала детали, так и оптимизацией геометрических параметров механизма. На рис. 4 приведены спектры уровня звуко-
90
50
ю-ю
r
вого давления при различном расположении точечной массы в динамической модели. Анализ данных зависимостей позволяет сделать вывод о том, что увеличение расстояния I от точки крепления стержня до точки установки массы т приводит к снижению амплитудных значений уровня В и уменьшению значений собственных частот системы (кроме первой собственной частоты).
а)
ДБ
70
65 60 55 50 45
б)
Рис. 3. Частотные зависимости уровня звукового давления для диапазона малых частот (а) и в окрестности первой собственной частоты (б). Кривые 1 - при 5т = 0,16; кривые 2 - при 5т = 0,33; кривые 3 - без учета вязкости матрицы (5т = 0)
га, кГц
Рис. 4. Частотные зависимости уровня звукового давления при различном расположении точечной массы: кривая 1 - при отсутствии точечной массы; кривая 2 - I = 0,5Ь; кривая 3 - I = Ь
Выводы
В результате анализа расчетных зависимостей установлено, что возрастание объемной доли наполнителя в композитном материале стержня сопровождается увеличением значений собственных частот динамической модели. При этом амплитудные значения уровня звукового давления существенно не изменяются. Вязкость полимерной матрицы в композитном материале стержня модели обуславливает сглаживание амплитудных значений уровня звукового давления и незначительное повышение этого уровня при малых (менее 3 Гц) частотах нагружения.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИМ СПИСОК
1.
2.
3.
4.
5.
Белый В.А., Старжинский В.Е., Щербаков С.В. Ме-таллополимерные зубчатые передачи. Минск : Наука и техника, 1981. 352 с.
Ferry J. D. Viscoelastic Properties of Polymers. New York-London, 1961. 530 p.
Шилько С.В., Старжинский В.Е., Черноус Д.А., Петроковец Е.М. Двухуровневый метод расчета трибосопряжений из дисперсно-армированных композитов. Ч. 1 // Трение и износ. 2013. Т. 34, № 1. С. 82-86.
Шилько С.В., Старжинский В.Е., Черноус Д.А., Петроковец Е.М. Двухуровневый метод расчета трибосопряжений из дисперсно-армированных композитов. Ч. 2 // Трение и износ. 2014. Т. 35, № 1. С. 52-61.
Черноус Д. А., Шимановский А.О. Особенности расчета уровня шума для полимерных деталей машин // Новые технологии и материалы, автоматизация производства : материалы междунар. науч.-техн. конф. (Брест, 29-30 окт. 2014 г.). С. 76-79. Ишин Н.Н. Динамика и вибромониторинг зубчатых передач. Минск : Беларус. навука, 2013. 432 с. Киселев В.А. Строительная механика. М. : Мир, 1980. 548 с.
Сергиенко В.П., Бухаров С.Н. Вибрация и шум в нестационарных процессах трения. Минск : Беларус. навука, 2012. 346 с.
Mori T.? Tanaka K. Average Stress in the Matrix and Average Elastic Energy of Materials with Misfitting Inclusions // Acta Metallogr. 1973. Vol. 21. P. 571-574. 10. Черноус Д. А. Шилько С.В. Модифицированная модель Таканаяги деформирования дисперсно -наполненных композитов. Определение термовязко-упругих параметров полимерной матрицы. Ч. 3. // Механика композиционных материалов и конструкций. 2014. Т. 20, № 1. С. 124-131.
6.
7.
9.
27
28
29
30
31
110
90
70
50
30
0
0,2
0,4
0,6
0,8
