CC BY
29
УДК 621.313.3
А.А. Черно, А.П. Гуров, А.С. Минчула, Д.Л. Безверхний
ДИНАМИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ЭЛЕКТРОМЕХАНИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ В ЭЛЕКТРОМАГНИТНОМ ВИБРАТОРЕ С РЕАКТИВНЫМИ МАССАМИ
Розроблено динамічну модель електромеханічних процесів у електромагнітному вібраторі з двома симетрично розташованими реактивними масами. В моделі враховуються поворотні рухиякорів електромагнітів, локальні насичення сталі та потоки розсіювання. Запропонована модель може використовуватись для розрахунків динаміки електромагнітних вібраторів з метою раціонального вибору їх параметрів при проектуванні, а також для розв’язання задач аналізу та синтезу систем автоматичного керування електромагнітними вібраторами.
Разработана динамическая модель электромеханических процессов в электромагнитном вибраторе с двумя симметрично расположенными реактивными массами. В модели учитываются поворотные движения якорей электромагнитов, локальные насыщения стали и потоки рассеяния. Предложенная модель может использоваться длярасчетов динамики электромагнитных вибраторов с целью рационального выбора их параметров при проектировании, а также длярешения задач анализа и синтеза систем автоматическогоуправления электромагнитными вибраторами.
ВВЕДЕНИЕ Электромагнитные вибраторы применяются в вибрационных установках для транспортировки сыпучих веществ, уплотнения бетонных смесей, ориентации деталей, сепарации и многих других технологических процессов [2]. По сравнению с центробежными вибраторами они обладают рядом преимуществ: значительно меньшее энергопотребление при работе в резонансном или околорезонансном режиме; возможность создавать вибрации с частотой более 100 Гц; возможность управлять амплитудой вибрации независимо от частоты; значительно больший рабочий ресурс; более высокая надежность [1, 2]. Поэтому моделирование электромеханических процессов в электромагнитных вибраторах с целью усовершенствования их конструкции, рационального выбора параметров, синтеза систем автоматического управления амплитудой и частотой, является актуальной задачей.
АНАЛИЗ ПРЕДЫДУЩИХ ИССЛЕДОВАНИЙ В работе [1] предложена конструкция электромагнитного вибратора с двумя симметрично расположенными реактивными массами, в которой за счет эффекта рычага обеспечивается большая амплитуда колебаний реактивных масс при малой амплитуде якорей электромагнитов. Преимуществом такого вибратора является высокий КПД благодаря малой величине воздушного зазора. Для описания электромеханических процессов в работе [1] используются аналитические зависимости, составленные на основании метода вероятных путей замыкания потока, аппроксимации кривой намагничивания стали, законов Кирхгоффа для магнитных цепей и формулы Максвелла для вычисления электромагнитной силы. При этом не учитываются угловые перемещения якорей электромагнитов, потоки рассеяния и локальные насыщения стали. Это не позволяет обеспечить достаточную точность расчета при моделировании.
ЦЕЛЬ РАБОТЫ Целью данной работы является создание динамической модели, обеспечивающей высокую точность расчета электромеханических процессов в электромагнитном вибраторе с двумя симметрично расположенными реактивными массами.
МАТЕРИАЛ И РЕЗУЛЬТАТЫ ИССЛЕДОВАНИЙ Для описания механических процессов в колебательной системе с электромагнитным вибратором
примем следующие допущения:
- колебательная система симметрична, поэтому можно рассматривать только ее половину: один электромагнит, одну реактивную массу и половину массы рабочего органа (рис. 1);
- угол поворота якоря а принимает настолько малые значения, что
tg(a) и зш(а) «а . (1)
т2
С2 Ь2
1
Рис. 1. Схема колебательной системы с электромагнитным вибратором
Динамика колебательной системы может быть описана следующими дифференциальными уравнениями:
0 А0-2° + А0 —77 + С А0 _ 1)Х° ^) +
—і2 —
т0 А
—2 х
+ т1А1 —- Ь0 А0 —72 - (С0 А0 - 1)х2 (і) = А1р (*)
; (2)
-Шла—2 - ь0 А0
—і2 —
Х0 . —70 / \ . — Х“
0 А2-2“ + Ь0 А2~7~ + С0 А2 х0 (0 + т1 А3-2“ _
—і2 —і —і2
тпА'
— Х0
—Х0
— 2 Х]
- Х1 (0 - ь0 а2 - (С0 А2 - “)Х2 (*) = АзР (/);
—і
(3)
С Хо
Ж 2
+ ш
С 2 Х1 1
1 сг2
н— ш
С х2 1 ёх>
2 2 Ж2
н— Ьо
&
(4)
+ ^ с2 Х2 (0“ 0,
где да0 - реактивная масса; ^ - масса якоря электромагнита с креплениями; т2 - масса рабочего органа с обрабатываемым материалом; с0 и Ь0 - соответственно жесткость и коэффициент потерь подвеса реактивной массы; с2 и Ь2 - соответственно жесткость и коэффициент потерь подвеса рабочего органа; х0, хь х2 -координаты перемещения реактивной массы, якоря и рабочего органа соответственно; К - сила, создаваемая электромагнитом; А0, А\, А2, А3 - коэффициенты, характеризующие упругие свойства системы "рычаг -упругая пластина".
Коэффициенты А0, А1, А2, А3 рассчитываются следующим образом:
/3 ~(/1 +12 У . А = к • (112 ~ 3(12 +13 ))+ 2(13 ~ 12 ).
А0 --
А0 =-
, А1 3Е3
/'2 '(3/1 + 2/2 ) .
вы
6Е/
Аз =-■
/3
3Е/
при /3 < /1;
А2 - А1 ; А3 -
_(13 - /1 )3 - /23
3Е/
при /3 > /1.
где /1 - расстояние ме^ду центрами тяжести реактивной массы и якоря; /2 - расстояние между центром тяжести якоря и точкой крепления упругой пластины к стойке; /3 - расстояние между центром тяжести реактивной массы и точкой крепления рычага к упругой пластине (рис. 1); Е - модуль упругости; 3 - момент инерции сечения пластины.
Преобразовав уравнения (2) - (4) по Лапласу и решив их совместно относительно х0, Х1, х2, получим следующие соотношения:
Х0 (р )=^х0 (р )р (р ); (5)
Х1 (р)=^х1 (р)к (р ); (6)
Х2 (р ) = ^Х 2 (р)К (р ), (7)
где Wxо(p); Жх1(р) И Wx2(p) - передаточные функции,
описывающие связь мевду приложенной силой и координатами перемещения. Для рассматриваемой динамической схемы данные функции имеют следующий вид:
Wx0 (р) =
Wxl(p) =
Wx2 (р) =
__________^0,3р3 + ^0,2 р2 + ^0,1р + ^0,0______________.
А6р6 + А5р5 + А4р4 + А3р3 + А2р2 + А1р + А0
^1,4 р4 + N1,3 р3 + Ж1,2 р2 + ^1,1р + ^1,0
А6р6 + А5р5 + А4р4 + А3р3 + А2р2 + Ар + А0 Ж2,4р4 + Ж2,3р3 + Ж2,2р2 А6р6 + А5р5 + А4р4 + А3р3 + А2р2 + А1р + А0
где
Ж 0,0 = _с2 А1 ; Ж 0,1 = ~Ь2 А1;
Ж0,2 = ш1 '(с0 '(А1А2 _А0А3)_А1 + А3)_ш2А1 ; N0,3 = ш1Ь0 • (А1А2 _ А0А3 ) ;
Ж1,0 = с0с2 • (А0А3 _ А1А2 ) _ с2А3 ;
Ж1,1 = (Ь0с2 + Ь2с0 )(Д) А3 _ А1А2 ) _ Ь2 А3 ; Ж1,2 = ш0 ' ((с0 + с2 )(А0А3 _ А1А2 ) + А1 _ А3 ) +
+ ш2 • (с0 • (А0А3 _ А1А2 )_ А3 ) + Ь0Ь2 ' (А0 А3 ~ А1А2 );
Ж1,3 = ш0 ' (Ь0 + Ь2 )(Д)А3 _ А1А2 ) +
+ ш2Ь0 • (А0А3 _ А1А2 ) ; Ж1,4 = ш2ш0 ' (А0А3 _ А1А2 ); Ж2,2 = ш1с0 '(А1А2 _ А0А3 ) + ш0А1 + ш1А3 ;
Ж2,3 = ш1Ь0 ' (А1А2 _ А0А3 ) ;
N2,4 = ш0ш1 • (А1А2 _ А0А3 );
А0 = с2 'I1 _ с0 А0 ) ; А1 = Ь2 _ А0 ' (Ь0с2 + Ь2с0 );
А2 = ш1 'I1 _ с0 А) ~ с2 А3 + с0с2 ' (А0 А3 _ А1А2 )) +
+ ш0 •(1 - А0 -(с0 + с2 )) + ш2 'I1 _ с0А )_ Ь0Ь2 А0 ;
А3 = “ш1 • (Ь0 • (А0 _ с2 ' (А0 А3 _ А1А2 )) +
+ Ь2 • (А3 - с0 • (Д)А3 _ А1А2))) _ ш0А0 ' (Ь0 + Ь2 ) _ ш2Ь0А0 ; А4 = ш1 ' (ш0 '(А1 + А2 _ А0 _ А3 )+(А0А3 _ А1А2 )х х (ш0 • (с0 + с2 ) + ш2с0 + Ь0Ь2 )- ш2А3 ) “ ш0ш2А0 ;
А5 = ш1 ' (ш2Ь0 + ш0 ' (Ь0 + Ь2 ))(А0А3 _ А1А2 ) ;
А6 = ш0ш1ш2 • (А0А3 - А1А2 ) .
Для определения угла поворота якоря а, согласно приведенной в [4] методике составим уравнение изогнутой линии упругой пластины:
х(2 )=Р Кр0 Кр1~3
У 7 6Е3
К - К
Р1 1Х22 -
6Е3 2Е3
(К - Кр1 )(/2 - /1)-Кр0 •(/1 + /2 )(,
-------------------------------------\'1 + / 2 )2 ^
2 Е3 м 2/
(К _ Кр1 )(2/2 _ /1)_ 2Кр0 ' (/1 + /2 )
6 Е3
'(/1 + /2 )2
где Кр0 и Кр1 - силы реакции соответственно реактивной массы и массы якоря. Учитывая (1), найдем а как частную производную дх!д1 при г = /3:
дх дг
а!
г=/3
:(К - кр1 )■
/2 _ 2/1/3 + /2 _ /'2
2Ы
+ К
р0
(11 + /2 )2 ~ /3
(8)
2Е3
Мгновенные значения сил реакции определяются следующими уравнениями:
кр0 (^)=ш0 С^2°+Ь0 (“Х1 _ ^Х2 ^+с0 ^Х0 ® ~ Х2 ; (9)
КР1 )=)
С 2 Х1
ж2
(10)
Преобразуем (9) и (10) по Лапласу и подставим (5) - (6) в полученные уравнения:
Кр0 (р) = Wpо {р)К(р); (11)
Кр1 (р ) = Wpl (р )К (р), (12)
где
^р0 (р) =
N34 р + N33 р + N32 р ^ N31Р + N30 А6р6 + А5р5 + А4р4 + А3р3 + А2р2 + Ар + А0 ^р1(р)=Wxl(p)m^.p2;
N3,0 = с0N0,0 ; N3,1 = Ь0N0,0 + c0N0,1 ;
N3,2 = ш0N0,0 + Ь0N0,1 + с0 '(^0,2 _ 2,2);
^3,3 = ш0N0,1 + Ь0 '(^0,2 _N2,2)+ с0 '(^"0,3 _2,3); 3,4 = ш00,2 + Ь0 •(N0,3 _ N2,3)_ с02,4 .
ш
0
Уравнения (5) - (8), (11) и (12) описывают динамическую зависимость координат перемещения подвижных масс х0, хь х2 и угла поворота якоря а от электромагнитной силы F. Последняя, в свою очередь, зависит от трех переменных величин: МДС обмотки IW, величины воздушного зазора 5 и угла наклона якоря а. МДС обмотки:
IW w=R (U (,)-£) • <13)
где R и W - активное сопротивление и число витков обмотки; U - входное напряжение; у = W<&cp - пото-косцепление; Фф - средний магнитный поток, прохо-дящийчерез обмотку [5]. Величинавоздушного зазора: S(t) =5о + Х1(/) - xo(t), (14)
где 50 - величина зазора в положении равновесия.
Средний магнитный поток Фср также зависит от IW, 5 и а. Для решения уравнений динамики колебаний необходимо, чтобы функции F(IW, 5, а) и Ф^^, 5, а) были заданы аналитическими зависимостями. В то же время, для точного определения F и Фср необходим численный расчет магнитного поля. В подобных случаях обычно применяется следующий подход [3]: задается ряд значений варьируемых параметров (в данном случае IW, 5 и а), для каждой комбинации которых в статике с помощью одного из численных методов рассчитываются значения F и Фср; затем полученные массивы значений интерполируются и используются при расчете динамики. Использование такого подхода позволит создать динамическую модель, наиболее точно описывающую электромеханические процессы в электромагнитном вибраторе.
Для расчета магнитного поля будем использовать метод конечных элементов, реализованный в программе "Maxwell". Расчетная модель электромагнита приведена на рис. 2.
°cp = -.
П
i = 1
На основании полученных массивов значений Ocp(IW, 5, а) и F(IW, 5, а), а также уравнений (5) - (8), (11) - (14) была создана динамическая модель электромагнитного вибратора в программе "Simulink" (рис. 3). Интерполяция функций ®cp(IW, 5, а) и F(IW, 5, а) в данной модели осуществляется с помощью кубических сплайнов в блоках "Magnetic flux" и "Magnetic force".
Рис. 2. Модель для расчета магнитного поля в программе "Maxwell": 1 - сердечник электромагнита; 2 - якорь;
3 - двухсекционная обмотка; 4 - контуры для расчета среднего магнитного потока
С помощью данной программы при варьировании величинами IW, 5 и а были определены значения силы F и магнитных потоков Фь Ф2, ... , Фя, проходящих через контуры среднего витка обмотки на разных уровнях (рис. 2), где п - число контуров. Поток Фср определялся как среднее арифметическое потоков Ф;:
Рис. 3. Динамическая модель электромагнитного вибратора в программе "БтиПпк"
На рис. 4 приведены временные диаграммы, полученные с помощью разработанной динамической модели. Входным сигналом является синусоидальное напряжение амплитудой 280 В и частотой 25 Гц, которое подается на обмотки электромагнитного вибратора. Сравнительный анализ результатов расчета, полученных с помощью разработанной модели, и результатов, полученных с помощью приближенных методов расчета [1], показал существенное отличие: от 5 % до 40 % для разных значений параметров вибратора.
Следует также отметить, что несмотря на малые значения угла поворота якоря (а < 1,5°), данная величина оказывает существенное влияние на электромеханические процессы, что было обнаружено при сравнении результатов расчетов с помощью разработанной динамической модели и модели, не учитывающей поворотные движения якоря электромагнита. Расхождение результатов при определенных значениях параметров достигает 20 %.
F, H
0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 t,c б)
x2, мм і----------------1----------1-----------1----------1-----------1----------1-----------1----------1-----------1----------
0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 t, с B)
8, мм I ! | | | | | ! | |
0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 t, с г)
0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 t, с
Рис. 4. Временные диаграммы: а - ток; б - электромагнитная сила; в - перемещение рабочего органа; г - величина воздушного зазора; д - угол поворота якоря
ВЫВОДЫ
При моделировании электромеханических процессов в электромагнитном вибраторе с двумя симметрично расположенными реактивными массами необходимо учитывать локальные насыщения стали, потоки рассеяния, а также поворотные колебания якорей электромагнитов.
Разработанная динамическая модель учитывает данные явления и поэтому обеспечивает высокую точность расчетов электромеханических процессов в электромагнитном вибраторе.
Предложенная динамическая модель будет использована при проектировании электромагнитных вибраторов с реактивными массами, а также в дальнейших научных исследованиях, направленных на решение задачи оптимизации параметров электромагнитных вибраторов и задач анализа и синтеза систем автоматического управления частотой и амплитудой создаваемой вибрации.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Гуров А.П., Черно А.А. Энергосберегающий вибрационный привод на основе электромагнитного вибратора с реактивными массами // Вісник Кременчуцького державного університету ім. М. Остроградського. - 2010. - Вип. З, ч.2. - С. В6-В9.
2. Ланець О.С. Високоефективні міжрезонансні вібраційні машини з електромагнітним приводом (Теоретичні основи та практика створення): Монографія. - Львів: Видавництво Національного університету "Львівська політехніка", 200В. - 324 с.
3. Милых В.И., Ткаченко С.В. Математическое обеспечение численного анализа импульсного возбуждения линейного электродвигателя с двухпараметрической функцией магнитного потокосцепления // Вісник Кременчуцького державного університету ім. М. Остроградського. - 2010. -Вин. З, ч. 2. - С. 70-73.
4. Справочник по сопротивлению материалов / Писаренко Г.С., Яковлев А.П., Матвеев В.В. - Киев: Наук. думка, 19ВВ.
- 736 с.
З. Черно А.А., Гуров А.П., Минчула А.С., Безверхний Д.Л. Моделирование электромеханических процессов в энергосберегающих электромагнитных приводах вибрационных установок // Электротехнические и компьютерные системы.
- 2011. - № 3 (79). - С. 397-399.
Bibliography (transliterated): 1. Gurov A.P., Cherno A.A.
'Energosberegayuschij vibracionnyj privod na osnove 'elektromagnit-nogo vibratora s reaktivnymi massami // Visnik Kremenchuc'kogo derzhavnogo universitetu im. M. Ostrograds'kogo. - 2010. - Vip. 3, ch.2.
- S. В6-В9. 2. Lanec' O.S. Visokoefektivni mizhrezonansni vibracijni mashini z elektromagnitnim privodom (Teoretichni osnovi ta praktika stvorennya): Monografiya. - L'viv: Vidavnictvo Nacional'nogo universitetu "L'vivska politehnika", 200В. - 324 s. 3. Milyh V.I., Tkachenko S.V. Matematicheskoe obespechenie chislennogo analiza impul'snogo vozbuzhdeniya linejnogo 'elektrodvigatelya s dvuhparametricheskoj funkciej magnitnogo potokoscepleniya // Visnik Kremenchuc'kogo derzhavnogo universitetu im. M. Ostrograds'kogo. - 2010. - Vip. 3, ch.2.
- S. 70-73. 4. Spravochnik po soprotivleniyu materialov / Pisarenko G.S., Yakovlev A.P., Matveev V.V. - Kiev: Nauk. dumka, 19ВВ. - 736 s.
5. Cherno A.A., Gurov A.P., Minchula A.S., Bezverhnij D.L. Modelirovanie 'elektromehanicheskih processov v 'energosberegayus-chih 'elektromagnitnyh privodah vibracionnyh ustanovok // 'Elektrotehnicheskie i komp'yuternye sistemy. - 2011. - № 3 (79). - S. 397-399.
Поступила 23.09.2011
Черно Александр Александрович, к.т.н., доц.
Гуров Анатолий Петрович, к.т.н., проф.
Минчула Александр Сергеевич Безверхний Дмитрий Леонидович Национальный университет кораблестроения им. Адмирала Макарова
кафедра компьютеризованных систем управления З402З, Николаев, просп. Героев Сталинграда 9 тел. (06В) 267-34-2В, e-mail: [email protected]
Tcherno A.A., Gurov A.P., Minchu/a A.S., Bezverhniy D.L.
A dynamic model of electromechanical processes in an electromagnetic vibrator with reactive masses.
A dynamic model of electromechanical processes in an electromagnetic vibrator with two symmetrically located reactive masses has been worked out. The model takes into account rotary motion of the electromagnet armatures, local saturation of the steel, and leakage fluxes. The model introduced can be used for computation of electromagnetic vibrators dynamics with the purpose of a rational choice of their parameters at designing and also for analysis and synthesis of electromagnetic vibrator automatic control systems.
Key words - dynamic model, electromechanical processes, electromagnetic vibrator.
