CC BY
27
УДК 621.86.067
Чан Минь Тхай, асп., 89034214419, [email protected] (Россия, Тула, ТулГУ)
ХАРАКТЕР АМПЛИТУДНО-ЧАСТОТНЫХ КРИВЫХ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ВИБРАТОРА, РАБОТАЮЩЕГО ОТ ИСТОЧНИКА ПУЛЬСИРУЮЩЕГО ТОКА
Целью статьи является приближенной изучение общего характера амплитудно-частотных кривых однотактного спаренного электромагнитного вибратора с подмагничиванием в диапазоне околорезонансных режимов.
Ключевые слова: пульсирующий ток, амплитуда, частота.
Рассмотрим однотактный вибрационный привод со спаренными электромагнитами (рис. 1).
При некоторых допущениях усилие, приложенное к каждому якорю электромагнитных вибраторов, определяется известной формулой
Lo -8 i2
рэ =--(1)
(5-x)2 8'
где 5 — приведенная длина воздушного зазора между электромагнитом и якорем; x — текущее значение смещения якоря, измеряемое от положения статического равновесия; Lq — индуктивность обмотки электромагнита при x = 0.
Если по обмотке электромагнита протекает пульсирующий ток
i = io [l + п cos(a>t + /)]. (2)
то движение якоря будет описываться следующим нелинейным дифференциальным уравнением
уф + Ьф + спф = Rk ■ F3 . (3)
Рис.1. Однотактный вибрационный привод со спаренными
электромагнитами
153
Подставляя (1) в (3), получаем
/ • 5
/Ф + Щ + сп ф = Rk
L0 -5 i
(5- х )2 8
или
[1+ П cos(юí + у)12 УФ + 6ф + спФ= Мо -1-!-У 2 ^ , (4)
(■ —I)
— . ¡2
где Мо = Rk ■ —--момент, который развивать электромагниты при
8 8
х = 0, если по его обмотке будет протекать постоянный ток ¡о; Ц — коэффициент, равный отношению амплитуды гармонической составляющей тока к величине постоянной составляющей тока 0 <ц< 1.
Точное решение уравнения (4) неизвестно. Попытки отыскать приближенные решения предпринимались неоднократно. В большинстве из-
х
вестных работ решения строятся в предположении
5
<1. Тогда
max
2
1 . - х ' ~ х
1 + 2- + 3
' х 5
1 х
v
х
v5y
+...
(5)
5
Но так как вибраторы обычно эксплуатируются при значениях = 0,5...0,7 с целью наибольшего возможного использования зазора
max
(по соображениям уменьшения габаритов и веса вибраторов и экономии электроэнергии), то становится очевидным, что результаты, полученные на основе (5), не охватывают случаи, имеющие наибольшее практическое значение.
В работе [2] к уравнению (4) применен метод прямой линеаризации [3] без использования разложения (5). Однако большие математические трудности, возникающие при исследовании уравнения (4), этим методом в широком диапазоне частот, вынудили автора [2] ограничиться приближенным рассмотрением только трех частных случаев: у = 0 (далеко до резо-п
нанса); у = (резонанс); у = п (далеко за резонансом);
Этого, конечно, недостаточно для суждения об амплитудно-частотных характеристиках электромагнитного вибратора, поскольку, например, большинство вибротранспортирующих машин с электромагнитным возбуждением колебаний настраиваются на околорезонансный режим. Последние, как известно, способствует уменьшению влияния нестабильно-
сти коэффициента Ь на амплитуду колебания и в то же время позволяет обеспечить требуемый размах вибрации якоря при сравнительно небольшой величине возмущающей силы. Обозначим через
х = <Р'кк =у9 £п=^ МоЯк = 3 2 8 3
Ь со
В согласии с известной гипотезой Бокка примем — = /?о — и при-
3 со
дадим уравнению (4) более удобную формулу
1
У +
70
'У + У = Ус
[1+ Г|С08(СО/ +у)]^
(6)
соб (1 - у)1
Приближенное периодическое решение этого уравнения будем искать в виде
у - а0 -\-acoscot , (7)
где а0 - безразмерное смещение средней линии колебания, возникающее вследствие "несимметричной" нелинейности и наличия постоянной слагающего возмущающего усилия; а - безразмерная амплитуда основного тона колебания якоря.
Потребуем, чтобы (6) удовлетворялось, решением (7), по крайней
мере, в те моменты времени, когда ? = ;—;...Тогда, подставив (7) в
2со со
(6) и опустив в знаменателе правой части величину а0, незначительную по сравнению с единицей, получим систему уравнений для определения а и
яо
-п2
при t = 0 \ + а ■
Г Л2 со
V
Ус
1±Л-
1
( а ^
V ат У
(1 -а?
(8)
при I
я
со
а0-а
< (оЛ
со0
V ~и
Ус
1- ( а ] 2
V ат
(1 + а)2
(9)
где а
т
к
о
Полученная система легко решается графически. Для этого в координатах х-г (рис.2) строится вспомогательный контур, образуемый кри-
выми ^(х) и г2(х) согласно уравнениям
= Ус
1 + ть1-
V атп у
(1 -хУ
(10)
г2 = Ус
1-Л1
Г \2 X
V а1 II J
(1-хУ
(11)
где х может принимать как положительные, так и отрицательные значения — ат < х< ат. Нетрудно показать, что кривые ^(х) и плавно сопря-
гаются друг с другом в точках с абсциссами х = ±ат (рис. 2).
Теперь, задаваясь каким-либо значением амплитуды колебания а<ат (кроме того а< 1), найдем точки пересечения построенного контура с ординатами х - а и х--а. Далее, через полученные точки 1, 2, 2', Г проводим прямые 1-2 и Г-2', угловые коэффициенты которых, как это
ясно из (8) и (9), равны 1
ч^О у
Таким образом, по угловым коэффици-
ентам построенных прямых определяются два значения заданной амплитуде колебания а.
со
, отвечающих
со0
Рис. 2. Вспомогательный контур
156
Отрезки на оси ординат, ограниченные с одной стороны началом координат, а с другой стороны точками пересечения прямых 1-2 и Г-2' с осью ординат, равны (в масштабе чертежа) смещениям я0 для заданной амплитуды колебания, отвечающим найденным только что двум значенной
ям —. со0
Следуя изложенной методике, нетрудно наметить процедуру чис-
со
ленного определения величин — и я0, отвечающих заданной амплитуде
со0
колебания а. Она состоит в следующем. Подставив в (10) и (11) значения х = ±а, найдем значения Zi(-a)u - Далее> те отноше-
ния частот, при которых может иметь место заданная амплитуда, определяются формулой
со _ 11Tzl(±a)-z2(+a) ^ (п)
coq V 2 а
где сначала надо взять верхние знаки, а потом нижние.
Приближенные значения а0 соответственно равны:
а0 ----, {13)
причем так же, как и в предыдущем случае, сначала надо взять верхние знаки, а потом нижние.
На рис 3. показаны амплитудно-частотные характеристики электромагнитного вибратора, построенные описанным приближенным способом при — = 0,05; /7 = 0,7; ус = 0,01; ус= 0,015; ^с=0,02. г со
Рис. 3. Амплитудно-частотные кривые электромагнитного
вибратора
Как видим, с увеличением возмущающего усилия происходит не только смещение максимумов амплитудных кривых влево, что находится в согласии с работой [2], но при этом существенно изменяется и сама формула амплитудных кривых. Если при небольших вынуждающих усилиях они имеют практически такой же вид , как и в обычной линейной системе, то при достаточно сильных возмущениях левая ветвь амплитудной кривой приобретает вид, характерный для нелинейной системы с мягкой характеристикой пружины, тогда как форма правой ее ветви в пределах физически реализуемого участка близка к линейной системе. В связи с этим в дорезо-нансной области могут иметь место неустойчивые режимы.
Список литературы
1. Жариков Е.У. К вопросу расчета механической части однотрубных вибротранспортеров с электромагнитным и механическим возбудителями // Труды Новочеркасского политехнического института. Т. 108. Новочеркасск, 1960. С. 154-160.
2. Мозникер Р.А. Исследование вибрационных испытательных установок с электромагнитными возбудителями. Киев: Изд-во АН УССР, 1960. 16 с.
3. Пановко Я.Г. Основы прикладной теории упругих колебаний. М.: Машгиз, 1957. 316 с.
Tran Minh Thai
THE CHARACTER OF AMPLITUDE-FREQUENCY CURVES OF ELECTROMAGNETIC VIBRATOR, POWERED BY PULSALTING CURRENT SOURCE
The purpose of this article is to approximately study the general character of the amplitude-frequency curves of a single-phase pair of electromagnetic vibrator. with the magnetization in the range of near-resonant regimes.
Key word: pulsating current, amplitude, frequency.
Получено 24.08.12
