Динамическая балансировка вращающихся валов как форма динамического гашения колебаний механических систем Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 621.534; 833; 886.6 Хоменко Андрей Павлович,

д. т. н., профессор, ректор ИрГУПС, тел./факс: 8(3952)63-83-11

Елисеев Сергей Викторович,

д. т. н., профессор, директор Научно-образовательного центра современных технологий, системного анализа и моделирования, тел./факс: 8(3952) 59-84-28, e-mail: eliseev_s@inbox.ru

ДИНАМИЧЕСКАЯ БАЛАНСИРОВКА ВРАЩАЮЩИХСЯ ВАЛОВ КАК ФОРМА ДИНАМИЧЕСКОГО ГАШЕНИЯ КОЛЕБАНИЙ МЕХАНИЧЕСКИХ СИСТЕМ

A.P. Khomenko, S.V. Eliseev

DYNAMICAL BALANSIREING OF ROTATIONAL AXIS AS AN FORM OF DYNAMICAL ABSORBTION OF OSCILLATIONS IN MECHANICAL SYSTEMS

Аннотация. Показано, что задача уменьшения динамической неуравновешенности может быть сведена к задаче динамического гашения колебаний. Предлагается технология построения математических моделей. Нетрадиционный подход предполагает возможности новых конструктивно-технических решений в области вибрационной защиты.

Ключевые слова: динамическое гашение колебаний, динамическая неуравновешенность, вибрационная защита, структурная теория виброзащитных систем.

Abstract. Elimination of dynamical balance as task of dynamical absorbtion of oscillations are shown. Technology of mathematical models creating are offered. Possibilities of non-traditional approaches in new constaction-technical decisions are discussed.

Keywords: dynamical absorbtion of oscillations, dynamical disbalance, vibration defense, structural theory of vibration isolation.

Введение

Динамика вращающих технических систем в последние годы получила достаточно широкое распространение благодаря большому вниманию к вопросам балансировки машин, агрегатов и механизмов [1-4]. Исследования в этом направлении показали, что в динамике связанных систем существует много интересных особенностей, учет которых позволяет более детализированно представить свойства систем и специфику взаимодействия составных элементов. В этом плане пока еще мало изучены возможности структурных представлений математических моделей и оценки эффектов от введения дополнительных связей, в том числе и

расширения состава типовых элементарных звеньев [5].

1.Общие положения. Постановка задачи

Рассматривается вращающийся длинный ротор, установленный в подшипниках по концам на стойках, допускающих движение вала ротора по горизонтали (рис. 1). Предполагается, что ротор статически уравновешен, но имеет динамическую неуравновешенность, которая может быть представлена двумя равными малыми массами m, лежащими в общей плоскости, проходящей через ось вращения ротора, но по разные стороны от нее. Обе массы находятся на равных расстояниях а от оси вращения; плоскости вращения масс находятся на равных расстояниях Ь от центра тяжести ротора. Полагаем, что угловая амплитуда колебаний вала в горизонтальной плоскости остается малой. Радиус инерции ротора относительно вертикальной оси, проходящей через его центр тяжести, равен И . Жесткость опор и коэффициенты вязкого трения обозначены на рис. 1 соответственно через к,к2,ЬХ и Ь2.

-I, '{' 4-

кЛ : Ь

I с г

-1

°m

У 2

m

г. bJT

Рис. 1. Принципиальная схема динамически неуравновешенного вала на упруго-диссипативных опорах

Задача заключается в построении математической модели, в которой могли бы найти отраже-

с = —— = const, dt

(2)

то проекции относительном скорости на подвижные оси могут быть найдены в виде: £ = 0; V = -r sin рр = —а>£;

£ = r cos pp = coj. Положение подвижной системы относительно неподвижной системы координат определяется

двумя координатами точки C :

Ус

(zc = 0 = const) и углом в между плоскостями (xz) и (££). Таким образом, абсолютные и относительные координаты любой точки ротора связаны соотношениями

x = xc + £ cos в- r sin в;

y = yc + £ sin в + r cos в; (4)

z = £.

ние не только особенности вращающегося твердого тела, но и колебания системы по схемам вынужденных движений виброзащитных систем при наличии силовых или кинематических внешних воздействий.

Примем во внимание, что движения ротора происходят одновременно в двух системах координат: подвижной (£, ij, £) и неподвижной

(x, y, z). Ось £ направлена по оси ротора, ось ij — перпендикулярно к ней в плоскости ее колебаний, т. е. в горизонтальной плоскости, а ось £ направлена вертикально вверх. За начало подвижных осей принята точка С (центр тяжести ротора), совпадающая с центром тяжести добавочных грузов. За начало неподвижных осей (точку О) и за их направления x, y, z принимаются положение точки С и направления осей £, i, £ , которые они занимают в случае статического равновесия оси ротора [1]. Движение ротора относительно осей (£, ij, £) рассматривается в дальнейшем как относительное движение ротора, а движение осей (£, ij, £) относительно осей (x, y, z) - как его переносное движение. Первое

движение представляет собой равномерное вращение с постоянной угловой скоростью с вокруг оси £, а потому относительные координаты любой точки ротора определятся

£ = const, rl = rcosp, £ = rsin р, (1) где r — расстояние этой точки до оси £, ар -угол, образованный направлением r с плоскостью (£rj). Так как по условию задачи dp

Проекции абсолютной скорости на неподвижные оси имеют вид:

vx = Х = xC - (^sin в + r cosв)в + ^cosв - r sin в,

vy = У = Ус + (£cose - r sin в)в + £sin в + r cose, (5)

V = z = £, а с учетом (4) и (3) соответственно:

Vx = Хс - (y - Ус )в + ю£ sin в,

vy = Ус + (x — xC )в — с£ cos в,

(6)

Проекции абсолютной скорости на подвижные оси могут быть найдены по формулам: V4 = Vx cos(x,£) + Vy cos(y,£) + vz cos(z,£),

Vv = vx cos( x,^) + Vy cos(y,^) + vz cos(z, r), (7)

v£ = Vx cos(x,£) + Vy cos(y,£) + Vz cos(z,£).

Так как ось £ составляет с осями x, y

а п а п и z углы, соответственно равные в, и —,

то

V£ = vx cos в + vy sin в.

(7')

Ось j ж

составляет с теми же осями углы,

ж

(7'')

равные — + в,в и — , поэтому

v„ = —v sin в + v cos в.

1j x y

Так как ось £ параллельна оси z и перпендикулярна двум другим осям, то

V£=vz. (7''')

Подставляя в эти формулы выражения для

v ,v

x> y

и vz из (6)? получим:

L>£ = хс cos в + ус sin в - ггв, vv = —хс sin в + ус cos в + £в - а>£, Vz = cij,

(8)

где члены, содержащие хс, ус и и , означают проекции переносной скорости, а содержащие о - проекции относительной скорости на подвижные оси координат.

2.Построение математической модели Воспользуемся для построения системы дифференциальных уравнений движения теоремой об изменении момента количества движения системы в дифференциальной форме [6].

Найдем выражения для проекций момента количества движения ротора на подвижные оси координат. Так, проекции момента вектора абсолютной скорости какой-либо одной точки ротора относительно его центра тяжести на подвижные оси определятся

vz =cri.

x

и

с

m

\v) = v(^-vvC = a(r2 + ¿2) -

- хс ¿ sin в- yc ¿ cos в -%ф,

m

■ (v) = v%¿-v¿% = -cr%

+

+ xC¿cose + yC¿sin в-ц^в,

(9)

m

(10)

m -

(11)

■(v)=vr%-v%r = yc (x - xc) -

- Xc (У - Ус) + (%2 +Ц2)в-<#.

Проекции вектора количества движения и вектора момента количества движения ротора на оси координат составят

he Yjm~

-ÓJ^ (mv) + со sin (m£),

Z (mvy ) = Ус

+#Z (ж) - CO COS вZ

(пп?У>

Z (mv,) = хс cos вZ от + +ус sin é'Z m - ¿J^ (mtj), Z (mvi;) = -xc sin вZ m + yc eos '

Z( mv¿) = cZ( mr);

а также:

Z m% (m v ) = -Xc sin в^ (m¿) -

- yccos вХ (m¿) - вХ (m%¿)+c Z(m r2)

Z mn(mu) = -Xc cos eZ (m¿) +

+ycsin eZ (m¿) - ^Z(m re)- c Z(m %

Zmc{mv) = ycZm(x -xc) -

- Xc Z m( У - Ус) + ^Z m(%2 + Г )-®Z(m¿^)

Суммы, входящие в эти выражения, имеют следующий смысл и значения.

Если обозначить собственную массу ротора (без добавочных грузов) через M, а массу каждого из грузов (они равны по условию) через m , то

Zm =M + 2т. (13)

Так как хс, yc, zc означают координаты центра тяжести ротора, то

Z mx = (M + 2m) хс,

Z my = (M + 2m) Ус, (14)

Z mz = (M + 2m) zc.

Одновременно центр тяжести служит началом подвижной системы координат, поэтому

Z m£ = Z m^ = Z m¿ = 0. (15)

(12)

(17)

шшт

Момент инерции ротора относительно оси %

равен

Z m(%2 + r2) = Z mr2 = J% + 2ma 2, (16) где J % означает момент инерции собственно ротора, а ma2 - момент инерции каждого из грузов. Момент инерции ротора относительно оси ¿ равен

Z m (%2 + Г )=Z m (%2 + r2 cos2 p)=

= J ¿ + 2m(b2 + a2 cos2 p).

Здесь J¿ момент инерции собственно ротора, а m(b2 + a2 cos2 p) - момент инерции каждого из грузов. Произведения инерции относительно плоскостей (%r¡), (r¿) и (¿%) равны:

Z m%r = Z m%r cos p = 2mabcos p,

Zm¿r = Zmrcospr sin p = ma2 sin 2p, (18)

Z m¿% = Z mr sin p% = 2mabsin p.

Отметим, что произведения инерции собственно ротора как тела, симметричного относительно плоскостей (%r) и (%¿), равны нулю [6].

Подстановка результатов (13)-(18) в формулы (10)-(12) дает:

Z mvx = (M + 2m)Xc,

Z mvy = (M + 2m)Ус,

Z mvz =0;

Z mv = (M + 2m)(Xc cos в + Ус sin в),

Z mvr = (M + 2m)(-Xc sin в + Ус cos в),

Z mv¿ = 0; а также

Zm (mv) = -é2mabsin p + aC¡J + 2ma2),

(19)

(20)

Zm (mv) = -éma2 sin 2p- co2mabcosp,

Z m¿(mv ) =в|^+ 2m(b

2 2 2 - + a cos p

fl-

an

(m v) -в J í - co2mabsin p.

Проекции вектора момента количества движения на неподвижные координатные оси определятся

Zmx(mv) - Zm^(mv)cose-Zm^(mv)sin в, Z my (m v) =Z m^ (m v) sin в + Z mv (m v) cos в, (22)

Z mz (mv) =Z (mv) + (M + 2m)¡n2 (v2).

Подставив в (22) выражения для проекций вектора момента количества движения на подвижные оси из (21), получим:

2 mx (mv) = —в

+ Ю

2 my (mv) = — в

+ Ю

2mabsin pcos в — — ma2 sin 2psin в (j£ + 2ma2 )cosв + + 2mabcospsin в 2mabsin psin в + + ma2 sin 2pcosв (j£ + 2ma2 )sin в — — 2mab cospcosв

+

+

—2 —2

_ dvy

m —- = — (M + 2m) yc

m ■

dt

dvz dt

= 0;

2mabsin pcosв — — ma2 sin 2psin в

+

— 2 my (mdd) = <

+ i

+ at

'' [2mab si

2mab sin psin в + + ma2 sin 2pcos в

+

sin pcos в — ma sin

— (J £ + 2ma2) cos в +

in 2psin в]+

+ 2ma2 cos 2pcos в

— a2 2mab sin pcos в,

— 2 mz ) = —(M + 2m)( yc ^ dt

)]+ (25'')

— 2m£ (mdv) = —

(23)

dt

—2 mi(mdv)=—

m„I mdv IcosO + dt )

+ 2 m„ ( mdv I sin в

2 yI dt I

2 mz (mv £ + 2m(b2 + a2 cos2 p)]-

- c2mabsin p + (M + 2m)(ycxc - xcyc).

Проекции результирующего вектора сил инерции и результирующего момента сил инерции ротора на неподвижные координатные оси имеют вид:

-2 m~V = -(M + 2m) x c,

dt

—2 m£(mdv)=—

—2

dv

mr | m-I sin O +

dt )

+ 2 m„ I mdv | cos в

2 y I dt I

(26)

dt

dv dt

— (M + 2m)m ' dv<C

dt

Подставляя в эти формулы выражения (25), можно получить:

- 2 m (m~~) = в2mabsin p - в2ma2 sin 2p,

dt

— 2m(m^d^) = @ma2 sin 2p + O22mabsin p -+ oOj + Ama2 sin2 p)— co22mabsin,

(24)

£

dv

— 2m£(m—v) = —o\j£ + 2m(b2 + a2 cos2 p]

dt

2 2 2 ' a cos p] +

— 2 m (m——) = o 2 x dt

+ в2 [— 2mabsin psin в — ma2 sin 2pcose]+ (25) + юв[(J£ + 2ma2)sin в — 2ma2 cos2psin в]+ + a22mabsin psin O,

(27)

(25')

— xcyc ) — d\j£ + 2m(b2 + a2 cos2 p)]+

+ coO2ma2 sin 2p + a 2 2mab cos p. В свою очередь, проекции результирующего момента сил инерции на подвижные оси определятся

+ coO2ma2 sin 2p + co22mabcosp.

Отметим, что члены, содержащие в, выражают проекции момента тангенциальных, а содержащие в2 — нормальных сил инерции переносного движения. Члены, содержащие со2, выражают проекции момента нормальных сил инерции относительного движения. Наконец, члены, содержащие св, выражают проекции момента дополнительных, или так называемых кориолисо-вых, сил инерции ротора. Члены, выражающие проекции момента тангенциальных сил инерции относительного движения, отсутствуют, так как относительное движение происходит со скоростью с = const.

3. Определение внешних сил и построение математической модели

На ротор действуют следующие внешние

силы.

1. Вес ротора М (с добавочными грузами m), равный (M + 2m)g (приложенный к точке С). Его проекции на неподвижные оси имеют вид:

Хс = 0, Ус = 0, Zc = —(M + 2m)g. (28)

2. Реакция первой опоры, которая в проекциях на оси координат определяется:

X = —к, (x — ¡í) — B x,, Y = —к, y, — B1y1, Zi = 0.

(29)

m i m

3. Реакция второй опоры аналогично может быть найдена:

X2 = —K 2 (x2 + l2) — B2 x2 , Y2 = —K 2 y2 — B2 У2,

Z 2 = 0,

(30)

так как начальные координаты точек 1 и 2 равны соответственно (Д ,0,0) и (- /2 ,0,0).

Пользуясь принципом Даламбера, можно составить шесть уравнений движения ротора, которые должны выражать условия равновесия приложенных сил и сил инерции ротора, а также моментов приложенных сил и сил инерции.

При этом целесообразно составить условия равновесия сил в виде уравнений их проекций на неподвижные оси, а условия равновесия моментов - в виде уравнений их проекций на подвижные оси. При составлении этих уравнений можно предварительно определить: X=хс + X! + Х2 =-*,(*, - А) -- вх хх - К 2(х2 + 12 ) - В2 х2 ' ¥ = ¥с + ¥ + ¥2 = -Ку! - Вгу - К2у2 - В2у2, 2 = 2С + 2Х + 22 = -(М + 2щ) g + 2Х + 22;

m = 0,

mj = —Zlll + Z 2l2,

m£ = m =2(Yx — Xy )— xc 2 Y + Ус 2 X =

= —(K y + Bi y,)( x — xc) — — (K2 y2 + B2 y2 )(x2 — xc ) +

+ [K,(x, — lj) + B, x ](y¡ — Ус ) + + [К2 (x2 + 12) + B2 x2 ](У2 — Ус ).

Уравнения движения ротора, таким образом принимают вид: (М + 2т) хс + Кххх + ВХ + К2х2 +

+ В2 Х2 = К\к + К 2 ^2 ,

(M + 2m) У с + Kxxx + Bxyx + K2y2 + = 0, Z + Z2 = (M + 2m) g; O2mabsin p — в2ma2 sin 2p = 0, Oma2 sin 2p + в2 2mabsin p + aO( J + + 4ma2 sin2 p) — co22mabsin p = Zxlx — Z2l2, — OJ^ + 2m(b2 + a2 cos2 p)] + + coO2ma2 sin 2p + co22mabcosp —

— [КЛ + Biyi ](xi — xc ) — [к2 У 2 + B2y 2] x

X (x2 — Xc ) + Ki (x, — li) + Bi x, ](У1 — Ус ) +

+ [K2(x2 + ¡2) + B2 x2 ](У 2 — Ус ) = 0.

ШШШ

ми, вытекающими из (4), если в них принять

£i = ^ £2 =—¡2, 1 = 1 =£i =£2 = 0, т. е. x = xc +1 cos в, y = yc +1 sin O, x2 = xc + l2 cos O, y2 = yc —12 sin O. С учетом (34) введем ряд соотношений:

(34)

cos в = ,sin в= -yi У2

l

l

(35)

где l = li +12, а

(31)

^2 Г1 + АХ2 ^2 у1 + А у2

хс =---, Ус =---• (36)

Если рассмотреть уравнение, не содержащее 2 и 2 , то можно определить движение хс = хс (?), ус = ус (?) и в = в(?), а после этого найти 2 и 22 по уравнениям (32) и (33).

Решение уравнений упрощается, если предположить, что повороты оси ротора в плоскости (ху) вокруг оси £ происходят в пределах малого угла, тогда из (34) и (35) следует, что

xi ' xc + li, x2 ' xc l2 , У: ~ Ус + ¡i0, У2 ~ Ус — 120,

yi — У 2

(37)

¡ x2 +1, в

l

В этом случае можно использовать соотно-

(31')

шения:

x " x', x^ " x', в ,

yi ■ yc + li0, y2 ' yc — l20, в

У i — У 2 l

(38)

(32)

(33)

В полученных шести уравнениях содержатся пять неизвестных величин: хс, ус, (^ = 0), в, 2Х и 22 ; при этом х, У\ и х2, у2 связаны уравнения-

Уравнение (32) с учетом упрощений принимает вид:

(M + 2m)xc + B + B2 + (^1 + ) = 0, (38') откуда следует, что

xc = CePlt + c2ep2t; ^ = pCePlt + p2C2eP2t, (38'') где p и p2 — корни характеристического уравнения

(M + 2m) p2 + (B + B2) p + K + K2 = 0. (38''') В силу того, что в начале процесса движения центр тяжести ротора находится в начале координат и находится в абсолютном покое, С = С , то xc = 0 = const, xc = 0 = const, x С = 0 = const. (39)

Подставив в уравнения (32) и (33) найденные по (37), (38) и (39) значения в,в,в,xc и xc, можно получить два уравнения относительно y и y и их производных:

(M + 2m)(l2 y ! + lYy 2) + B1ly1 + + Kilyi + B2ly 2 + K2 ly 2 = 0,

(40)

+ 2m(b2 + a2 cos2 Ф)\у1 - У2) -- co2ma2 sin 2p(y1 - y2) + + (B, y, + K, У! )//j + (B2 y 2 +

(41)

+ K2y2 )l) = ° 2mab cos p.

Эти уравнения могут быть приведены к симметричному виду, если первое из них умножить на /2 (или /) и прибавить к нему (или вычесть из него)втрое:

a2 cos2 p)]yj +

J + Ml¡ + 2m(l2 + b2 + a2 ~~~2

+ [Bjl2 - o)2ma2 sin

in2p]y!

+

+ Kil2 У1 -

J¿ -Mlxl2 + 2m(-lJ2 + + b2 + a2 cos2 p)

y 2 +

(42)

+ c2ma sin 2py2 =c 2mablcosp;

+ K 212 y 2 -

У1 +

22

mablco

T^ + Ml2 + 2m(l2 + b2 + a2 cos2 p)]y2 + \b21 2 - co2ma2 sin 2p]y2 +

~J¿- Mlxl2 + 2m(-ljl2 + b2 +1 (43) + a2 cos2 p)

+ co2ma2 sin 2py = c2 2mablcos p.

Введем ряд обозначений для сокращения записи этих двух уравнений:

J

h = J--радиус инерции собственно рото-

V M

ра (без добавочных грузов).

J + Ml2

h2 +l2

M, = ¿ . 2 = Mh 'l2

l2

приведенная к опоре 1.

l2

J¿+ Ml2 h2 +12 M 2 = -4—=M TT^

/2 /2 приведенная к опоре 2.

М12 = = м 2*1+41.

опор 1 и 2.

Введем также ряд соотношений:

масса ротора,

масса ротора,

„ l} + b2 + a2 cos2 p 2m—----

l22 + b2 + a

= 2m-

+

(44)

+ m —- cos 2p = mx + m0 cos 2p; l2

„ l,2 + b2 + a2 cos2 p „ 2m---= 2m

l2 +b2 +

+

(45)

+ m —— cos 2p = m2 + m0 cos 2p; l

2m

- lj2 + b2 + a2 cos2 p

T2

2a - ljl2 + b + —

= 2m-

(46)

u .

+ m — cos 2p = m12 + m0 cos 2p. В свою очередь, величины

m = 2m-

l22 + b2 + '

l2 + b2 +-

m = 2m-

m2 = 2m-

lxl2 - b -

2

l2

(47)

могут быть названы соответственно эффективными массами добавочных грузов, приведенными к опорам 1 и 2, и эффективной взаимной массой опор 1 и 2 для этих грузов. Можно принять во внимание, что среднее квадратичное расстояние

^ ,2 а2

каждого из грузов т до оси £ равно ЛЬ + — ,

так как оно колеблется от Vb

2 2 2 + a2

(при

ж 3

p = 0, ж, 2ж,...) до b (при p = ~,~ж...). Перемен-

ное слагаемое

m cos 2p = m—cos 2p

(48)

учитывает отклонение мгновенного значения радиуса инерции добавочных масс от его эффективного значения, в чем можно убедиться, если принять:

И20б = Ь2 + а2 соэ2 р, тогда ер[к2об] = Ь2 + -

2

hL -[hL 1 = b2 + a2 cos2 p

-,2 Л

b2 + —

(49)

- взаимная масса

= — (2cos2 p-1) = — cos 2p. 2 2

При этом принимается, что р = а>1. Для дальнейших выкладок введем обозначения:

жч

B0 sin 2(p + у) = -c2ma2 sin 2p =

жч

(50)

= co2ma sin 2(p + —)

и назовем эту величину гироскопическим коэффициентом. Таким образом, для определения положения оси ротора через координаты его опор в случае малых ее поворотов в плоскости колебаний можно получить два обыкновенных линейных дифференциальных уравнения второго порядка с переменными периодическими коэффициентами,

2

l

2

2

2

a

2

2

2

2

l

l

2

2

2

l

l

2

2

2

2

l

l

2

ИРКУТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ

(51)

(52)

(53)

частота которых вдвое больше частоты вынуждающей силы

F cos р = F cos at = с2 2mab cos р. Эти уравнения имеют вид:

(Mj + m + m0 cos2p)yj +

+ B + B0 sin( 2р + ic)]yi + Kiy1 —

— (M12 + m12 + m0 cos2p)y2 —

— B0 sin( 2р + я)y2 = F cos р,

— (M12 + m12 + m0 cos 2р)y1 —

— B0 sin( 2р + я)y1 + + (M2 + m2 + m cos2p)y 2 +

+ [b

2 + B0 + sin( 2р+ я)]y2 + K2y 2 = —F cos р или в более наглядном виде:

(M1 + m1 + M12 + m12) y1 + B1 y1 + K1 y1 + + (M12 + m12 + m0 cos2p)(y1 — y2) + + B0 sin( 2р + я)(y1 — y 2 ) = F cos р;

(M2 + m2 + M12 + m12) y 2 + B2y 2 + K2 y2 +

+ (M12 + m12 + m0 cos2p)(y 2 — yj) + + B0 sin( 2р + я)(y2 — y1) = — F cos р.

Полученные уравнения (52), (53) и (54), (55) отражают свойства механической системы (рис. 1) с вращающимися динамически неуравновешенным валом в координатах y и y , в отличие от используемых обычно систем координат в дина-

(54)

(55)

мике твердого тела.

4. Сравнительный анализ динамических свойств

Используя математическую модель системы в виде уравнений (52), (53), можно построить структурную схему (рис. 2) эквивалентной в динамическом отношении системы автоматического управления, как это используется в структурной теории виброзащитных систем [7]. Такая структурная модель позволяет рассмотреть задачу динамической балансировки как некоторую задачу вибрационной защиты в режимах динамического гашения колебаний. Структурной схеме на рис. 2 соответствует расчетная схема в символических обозначениях, характерных для теории виброзащитных систем.

Структурная схема позволяет найти передаточные функции, которые могут быть использованы в задачах динамического синтеза систем.

На рис. 3 приведена расчетная схема преобразованной исходной системы (рис. 1). Можно отметить, сравнивая рис. 1 и рис. 3, что выбор систем координат существенно изменяет представления о структуре системы и тех динамических особенностях, которые связаны с изменением постановки задачи.

Если полагать, что т ^ 0 (неуравновешенность очень мала), то принимая во внимание соотношения (44)-(48), можно оценить возможности

(—M12 — m12 + + m cos2р)p2 + + pB sin(2я + р)

1 \ (—M12— mX2 + 1

F cosp

+ p[Bj + B sin(2p + я)] + k

+ pB sin(2я + р)

(M2 + m2 + m0 cos2р)p + + p[B2 + B sin(2р + я)] + k2

y2

— F

Рис. 2. Структурная схема динамически неуравновешенного вращающегося твердого тела

Рис. 3. Расчетная схема динамически неуравновешенной системы

0

0

системы в нескольких направлениях. Имеет смысл отметить, что знак В0 — противоположен знакам Вх и В2, то есть В0 характеризует не диссипацию или рассеяние энергии, а другие свойства. В работе [6] такой коэффициент называется гироскопическим.

При малости т можно принять, что т12 = 0, щ = 0, т0 = 0. Что касается Е и В0, то вопрос должен решаться с учетом конкретных обстоятельств, поскольку Е и В0 зависят также и от о .

Рассмотрим несколько случаев. Пусть т = 0, тогда М Ф 0, М2 Ф 0, М12 Ф 0; щ = 0, т2 = 0, т = 0, щ = 0; Е = 0, В0 = 0. Получим структурную схему системы (рис. 1) в статическом состоянии, которая имеет вид, показанный на рис. 4.

При обозначенных условиях и ограничениях система вырождается в обычную систему в виде твердого тела на упругих опорах. При этом межпарциальные связи носят массоинерционный характер. Выпадает в этом случае и влияние гироскопических сил. Внешние силы при такой постановке задачи также отсутствуют. В данной системе координат ротор с валом представлены невесомым стержнем, на концах которого находятся материальные точки с массами Мх и М2. Через М12 учитываются динамические взаимодействия рычажной связи [8]. Свойства системы при конкретизации формы внешнего возмущения не будут отличаться от известных.

Более сложным представляется случай, ко-

гда принимается во внимание малость т (т ^ 0), но ряд параметров не принимает значения, равные нулю, например

Е = а22таЪ Ф 0, В = —

о2та2 12

Ф 0.

В этом случае структурная схема на рис. 3 изменится и примет вид, показанный на рис. 5.

По сравнению с предыдущей схемой система обладает большей сложностью из-за того, что параметры системы зависят от времени, то есть математическая модель представляет собой уравнения Матье.

Динамические свойства таких систем требуют отдельного изучения, поскольку уравнения Матье являются еще и неоднородными. Частота изменения параметров в два раза выше, чем частота внешнего воздействия.

Одновременно можно отметить и то обстоятельство, что от времени зависят параметры «отрицательного трения», создаваемого гироскопическими силами, что создает предпосылки для возникновения режимов неустойчивого движения.

Поскольку на линейные системы с периодическими коэффициентами распространяются правила преобразования для обычных линейных систем, то могут быть найдены передаточные функции системы по выходным координатам у и у2 .

В табл. 1 приведены коэффициенты уравнений для случаев, соответствующих т ^ 0 (рис. 5).

Отметим, что передаточные функции могут

Рис. 4. Структурная схема исходной системы по рис. 1 при т ^ 0

Е 008 ф

— Е 008ф

Рис. 5. Структурная схема системы (рис. 1) с учетом вращения вала

ИРКУТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ

быть найдены с учетом того, что внешнее воздействие представлено двумя силами одной частоты и амплитуды, но при различии фаз, равном нулю.

Ф = а22(2^2таЬ) - «12(2®2таЬ)

Г

а 22 ац а

2

у2 ап (2®2таЬ) - а12 (2®2таЬ)

(56)

(57)

= = _ 2 Г а 22 ап а12

ГГ'(р)=У1 + У2 = 2®2таЬ[а11 - а12 + а22 - а12 ] (58) Г а 22 а11 — а12 цггг^ = у1 -У2 = 2®2 таЬ\ап - а22 ]

Г Л

(59)

Из (56)-(59) могут быть определены режимы динамического гашения при условии, что параметрические колебания будут малыми. В противном случае необходимо специальное решение.

Заключение

Из анализа динамических свойств математической модели можно сделать ряд предварительных выводов, связанных с некоторой трансформацией исходных понятий.

1. Динамическая неуравновешенность в виде двух точечных масс, расположенных на расстояниях a, Ь от центра тяжести (рис. 1), трансформируется во внешние силы, действующие на систему. Эти силы носят гармонический характер. Частота силы соответствует ® и совпадает со скоростью вращения вала ротора; амплитуда колебаний равна ®22таЬ.

В этом «качестве» динамическая неуравновешенность трансформируется в систему силовых внешних гармонических возмущений. Последнее связано с воздействием одновременно на массы, приведенные к опорам 1 и 2. Силовые воздействия соответствуют инерционному возмущению, при этом силы располагаются по двум входам, они одинаковы по величине, но находятся в противо-фазе.

2. Наличие динамической неуравновешенности в системе приводит к появлению параметрических возмущений, которые связаны с перио-

дическими изменениями приведенных масс и приведенных сил вязкого сопротивления. Математическая модель динамически неуравновешенного ротора с упруго-вязкими опорами может рассматриваться в классе дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами.

3. Отметим, что линеаризованные системы с периодическими коэффициентами могут рассматриваться на основе структурных подходов; для этих систем справедливы правила структурных преобразований, принятых в теории автоматического управления для линейных систем.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Вибрации в технике : Справочник : в 6 т. / ред. совет: В.Н. Чаломей. Т. 3. Колебания машин, конструкций и их элементов / под ред. Ф. М. Диментберга, К. С. Колесникова. 1980. 544 с.

2. Левитский Н. И. Колебания механизмов / Н. И. Левитский. М. : Наука, 1988. 356 с.

3. Щепетильников В. А. Уравновешивание механизмов. М. : Машиностроение. 1982. 302 с.

4. Бабаков И. М. Теория колебаний / И. М. Бабаков. М. : Наука, 1968. 549 с.

5. Елисеев С. В., Резник Ю. Н., Хоменко А. П. Мехатронные подходы в динамике механических колебательных систем. Новосибирск : Наука, 2011. 394 с.

6. Бать М. И., Джанелидзе Г. Ю., Кельзон А. С. Теоретическая механика в примерах и задачах. М. : Наука. 1973. 488 с.

7. Елисеев С. В., Резник Ю. Н., Хоменко А. П., Засядко А. А. Динамический синтез в обобщенных задачах виброзащиты и виброизоляции технических объектов. Иркутск : Изд-во Ир-ГУПС. 2008. 523 с.

8. Елисеев С. В. Рычажные связи в задачах динамики механических колебательных систем. Теоретические аспекты / С. В. Елисеев, С. В. Белокобыльский, Р. Ю. Упырь, В. Е. Гозбенко. Иркутск : Изд-во ИрГУПС, 2009. 159 с. Деп. в ВИНИТИ 27.11.09. № 737-В 2009.

2

Т а б л и ц а 1

Коэффициенты уравнений движения упрощенной системы с периодическими движениями_

а11 а12

МАр2 + Вр - р2та2® 8т 2р + ^ - М12р2 + р2®та2 8т 2р

а21 а22

МХ2р2 + р2®та2 8т 2р М2р2 + В2р - рта2® 8т 2р

а &

2®2таЫт ®1 - 2®1таЬсо$,®1

Примечание: ср = ®1.