CC BY
31
Известия Тульского государственного университета Естественные науки. 2011. Вып. 2. С. 110-116 Механика
УДК 539.3
Дифракция звука на цилиндре с коаксиальным включением в вязкой среде
В. В. Аверина, В. И. Желтков
Аннотация. Работа посвящена решению прикладной задачи о дифракции упругих волн, распространяющихся в вязкой сжимаемой жидкости на поверхности упругого деформируемого цилиндра с коаксиальным абсолютно жестким включением. Приведены соотношения для давления в вязкой среде как в падающей, так и в отраженных волнах. Получено аналитическое решение.
Ключевые слова: дифракция упругих волн, уравнение
Гельмгольца, волновое уравнение, коаксиальное включение, гармоническая волна, скалярный потенциал, векторный потенциал.
Пусть на бесконечно длинный упругий цилиндр радиусом г = а, который помещен в неограниченную вязкую среду, воздействует плоская гармоническая волна единичной амплитуды, фронт которой перпендикулярен оси ог цилиндра
щ = е1к1Хе-шЬ = гк1Г с°8 в е-шЬ, (1)
где г, в — цилиндрические координаты; и — круговая частота; Ь — время.
В дальнейшем экспоненциальный множитель в-гш* будем опускать. Предположим, что внутренняя полость цилиндра с радиусом г = Ь заполнена абсолютно жесткой и недеформируемой средой.
Задача определения дифракционной картины в данном случае приводит к решению уравнений Гельмгольца [1]
д2ф 1 дф 1 д2ф к 2 I
дг2 + г дг + Г дв2 + ф = 0
(2)
д2Ф 1 дФ 1 д2Ф 2 Ф = 0
дг2 + г ~дт + г2 дв2 + Ф = 0
где ф и Ф — соответственно скалярные потенциалы продольных и поперечных волн в упругом цилиндре; кз = к\, к4 = кт — волновые числа продольных и поперечных волн в материале цилиндра.
На поверхности цилиндра при т = а должны выполняться граничные условия:
Ртт = - &ттч Ртв @тв1 (3)
К = -шит, Ув = -шив. (3)
Здесь ит, Ив — радиальное и окружное смещения упругого цилиндра; ртт, ртв — радиальная и касательная компоненты тензора напряжений в жидкости; атт, атв — нормальная и касательная компоненты тензора напряжений в цилиндре; Ут, Ув — радиальная и касательная составляющие скорости частиц жидкости, определяемые соотношениями
др 1 д Ф
Vr = — +---------------------,
дг г дв
V 1 дV дФ
в г дв дг ,
(4)
где ф = фг + ф8 — скалярный потенциал продольных волн в жидкости, складывающийся из потенциала фг продольных падающих волн и потенциала ф8 продольных отраженных волн; Ф — скалярный потенциал поперечных (сдвиговых) волн в жидкости.
Кроме того, необходимо удовлетворить условиям на внутренней т = Ь поверхности цилиндра:
ит = Ив = 0. (5)
Решение задачи ищем в форме рядов. Потенциал поля скоростей фг падающей волны представим в виде
ф. = ^С08в = ^ Зп (кгг)егпв, (6)
где Jn (x) — цилиндрическая функция Бесселя порядка n [3].
Скалярные потенциалы отраженных продольных ф3 и поперечных Ф волн в вязкой среде представим следующим образом:
V = £ АпИЩ) (к\г) en (7)
п=—оо
Ф= £ БпИП1) (к2т)егпв, (8)
п=-ж
где Нп (х) — цилиндрическая функция Ханкеля первого рода порядка п [3]; кь к2 — волновые числа продольных и поперечных волн соответственно в вязкой жидкости.
п= — оо
и
Решения уравнений (2) для потенциалов продольных ф и поперечных Ф смещений в упругом цилиндре имеют вид
ф = Е СпН{п) (кзт) + ЕпНп1 (кзт)
п=—о L
Ф = Е ОпН() (к^т) + ЕпН!?2 (к^т)
г(2)
Лпв
Лпв
(9)
Так как
дф 1 д Ф
Ит = ~ТГ~ +-------------тттт'
И 1 дф д Ф в = тдв - ~дт’
дт т дв
то перемещения упругого цилиндра можно определить по формулам
т
(10)
Ит = Е
ив = Е
к3СпН(1) (кзт) + -ОпН^ (к4т) + + кзЕпН^ (кзт) + 'ПРпН® (к4т)
е
г в
-СпНР (кзт) - к^пН,^ (к4т) +
(11)
г в
+ -ЕпН(2) (кзт) - к4ЕпН® (к4т)
Радиальная и тангенциальная компоненты тензора напряжений будут определяться в соответствии с соотношениями [2]
2ц
X + 2Цк2, 1 дф 1 д2ф 1 д2Ф 1 д Ф
2ц 3 + т дв + т2 дв2 т дтдв + т2 дв 1
1 д2ф 1 дф 1 дФ 1 д2Ф
2ц
2ц
т2 дв2 т дт т2 дв т дтдв
(12)
Отв
2ц
1 д Ф
т дт + т2 дв2
1 д2Ф 1 дф 1 д2ф
О г-л л +
т2 дв т дтдв
откуда
2Ц ё (Х Н(1) (к3т) + У Н(1) (к3т) - П Н(1) (к3т)) Спегпв -
— со ' ^ '
2ц^ (г~Пк4Н(1) (к4т) - ПН(1) (к4тЛ Опегпв-
—о
2ц Е (~+цццк3Нп^ (кзт) + к-Н(2) (кзт) - П2НР (кзт)] Епегпв-
—о
+о / . . \
2ц^, ( ^Н® (к4т) - ™Н^ (к4т)) Гпегпв,
О
+о
п= —оо
п= —оо
п= — оо
Отв = 2ц ё (у Н(1 (к4т) + уН(1) (к4т) - ПН(1 (к4тЛ В,пегпв-
—о
+о / . . \
-2цТ. ( г5 Н(1] (кзт) - укзНР (кзт)) Спегпв -
—о
+ 0 / . . \
-2цТ. ( тпН(2) (кзт) - г-ПкзНк2) (кзт)) Е,пегпв+
—о
+2ц ё (МН™ (к4т) + тНР (к4т) - ^Н^ (к4т)\ Г,епв.
—о
Удовлетворяя граничным условиям на внешней (3) и внутренней (5) поверхностях цилиндра, получим систему уравнений для определения произвольных постоянных Ап, Бп, Сп, Вп, Еп, Еп:
ак1Ап + ак2Бп + акзСп + ак4Вп + ак5Еп + ак6Еп = Ьку к = 1 2у 3> 64
(13)
где
а11 = к1аН(^ (к1а), а12 = гпН^ (к2а),
а1з = гшакзН^ (кза), а14 = -шпН^ (к4а),
а21 = гпН(1) (к1а), а22 = -к^Н^ (к2а),
а2з = -шпН^ (кза), а24 = -гиак4Н<(1') (к4а),
аз1 = (гшроа2 + 2ц0п2) Н^ (к1а) - 2ц0к1аН(1') (к1а),
аз2 = 2ц0 (гпк^аН^ (к2а) - гпН^ (к2а)^ =
= 2ц0гп(к2аН(1') (к2а) - Н^1 (к2а)^ ,
азз = 2ц ^ Х +ц2ц к^Н^р (кза) + кзаН^ (кза) - п2Н(1) (кза)^ , (14)
аз4 = -2цгп (^к4аН(1 (к4а) - Н^ (к4а)^ , а41 = 2ц0 (т^аН^ (к1а) - тН^ (к1а)) =
= 2ц0п^к1аН(1') (к1а) - Н,(1') (к1а)^ ,
( к2а2 . \
а42 = 2цо ( -2- Н(1') (к2а) - п2Н(^ (к2а) + к2аН(1') (к2а)\ ,
а4з = 2цгп [и(г) (кза) - кзаН(1'> (кза) ^ ,
( к2а2
а44 = - ц 4 — Н1) (к4а) + к4аН(1 (к4а) - п2Н(1') (к4а)
Ь1 = -к1 аЗп (к1а), Ь2 = -гпЗп (к1а),
Ьз = {гшр0а2 - 2ц0п2) ,1п (к1а) + 2ц0к1аХп (к1а),
Ь4 = 2ц0пг ^п (к1а) - к1аЗп (к1а)) , а15 = гшакзН,(2 (кза), а16 = -шпН(2) (к4а), а25 = -ипН(2) (кза), а26 = -гиак4Н(2') (к4а),
к‘^а2Н(2Л) (кза) + кзаН(2 (кза) - п2Н(2 (кза)
азб = -2ц [гпк4аН(2^) (к4а) - гпН (2'> (к4а)^ =
= -2цгп (к^Н^ (к4а) - И.(2') (к4а)^ ,
а45 = цгп (Нп^ (кза) - к^аН^ (кза)^ ,
( к2а2
а46 = -ц{ 42 Нп) (к4а) + к4аНП2) (к4а) - п2Н(2') (к4а)
аы = а52 = аб1 = аб2 = Ь§ = Ьб = 0.
Решение системы (13) позволяет определить давление в вязкой среде как суперпозицию давлений в падающей волне р. ив отраженной волне рз:
р = рг + Рз, (15)
откуда в соответствии с формулой р = (гшр0 - (Хо + 2ц0) к2) ф и
решениями (7) и (8) окончательно получим
аз5 = 2ц
X + 2ц 2ц
те
Pi = (шро - (Xo + 2цо) kj) ё Jn (kir) evnB, (16)
п=-те
Ps = (шро - (\o + 2цо) kj) ё AnHn1 (kir) eine. (17)
п=-те
Список литературы
1. Гузь А.Н., Кубенко В.Д., Черевко М.А. Дифракция упругих волн. Киев:
Наукова думка, 1978. 308 с.
2. Гузь А.Н. Упругие волны в телах с начальными напряжениями. Т. 2.
Закономерности распространения. Киев: Наукова думка, 1986. 536 с.
3. Двайт Г.Б. Таблицы интегралов и другие математические формулы. М.: Наука,
1977. 228 с.
Аверина Виктория Валериевна (vickochcka@gmail.com), аспирант, кафедра математического моделирования, Тульский государственный университет.
Желтков Владимир Иванович (glob@tula.net), д. ф.-м.н., профессор, кафедра математического моделирования, Тульский государственный университет.
Diffraction of elastic waves on the cylinder with a coaxial inclusion in a viscous medium
V. V. Averina, V. I. Zheltkov
Abstract. The investigation is devoted to study the diffraction of elastic waves propagating in a viscous fluid on the surface of an elastic deformable cylinder with a coaxial absolutely rigid inclusion. Describes the relation for the pressure in a viscous medium in the incident and reflected waves. The analytical solution is presented.
Keywords: diffraction of elastic waves, Helmholtz equation, wave equation, the inclusion of co-axial, harmonic wave, the scalar potential, vector potential.
Averina Victoria (vickochcka@gmail.com), post-graduate student, department of mathematical modeling, Tula State University.
Zheltkov Vladimir (glob@tula.net), professor, department of mathematical modeling, Tula State University.
Поступила 25.02.2011
