Дифракция цилиндрических звуковых волн на неоднородном полом цилиндре в вязкой жидкости Текст научной статьи по специальности «Физика»

Известия Тульского государственного университета

Естественные науки 2008. Выпуск 2. С. 151-160

= ИНФОРМАТИКА =

УДК 534.26

Л.А. Толоконников, А.Г. Романов

Тульский государственный университет

ДИФРАКЦИЯ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ЗВУКОВЫХ ВОЛН НА НЕОДНОРОДНОМ ПОЛОМ ЦИЛИНДРЕ

в вязкой жидкости

Аннотация. Получено аналитическое решение задачи дифракции цилиндрических звуковых волн на неоднородном упругом полом цилиндре в вязкой жидкости.

Дифракция звуковых волн на неоднородных упругих телах цилиндрической формы, помещённых в идеальную жидкость, исследовалась в работах [1 — 10]. Задача о дифракции плоской акустической волны на неоднородном цилиндре сведена к системе интегро-дифференциальных уравнений в

[1]. В работе [2] с помощью импедансного метода определены виброакусти-ческие характеристики радиально-сплошных упругих цилиндрических тел. В [3] методом тензорных импедансов решена задача дифракции плоских звуковых волн на радиально-сплошном упругом цилиндре. Рассеяние плоских звуковых волн неоднородным по толщине трансверсально-изотропным цилиндрическим слоем изучено в [4]. Задача о дифракции плоской волны на неоднородном полом цилиндре в общем случае анизотропии решена в [5]. В работе [6] рассмотрена задача дифракции цилиндрических волн на неоднородной трансверсально-изотропной цилиндрической оболочке. Теория резонансного рассеяния звука на упругих телах обобщена на случай трансверсально-изотропных толстостенных цилиндрических оболочек в [7]. Исследованию дифракции плоских и цилиндрических волн на неоднородном полом термоупругом цилиндре посвящены работы [8,9]. Учёт анизотропии материала неоднородного термоупругого полого цилиндра при дифракции цилиндрических волн осуществлён в [10]. Рассеяние плоской звуковой волны неоднородной анизотропной термоупругой цилиндрической оболочкой в вязкой теплопроводной среде изучено в [11].

В настоящей работе рассматриваются задачи о дифракции цилиндрических звуковых волн на неоднородном изотропном полом цилиндре в вязкой жидкости (рисунок).

Рассмотрим бесконечный радиально-неоднородный изотропный полый упругий цилиндр с внешним радиусом г\ и внутренним радиусом г?- Цилиндрическую систему координат г, г. выберем так, чтобы ось ^ совпадала с осью цилиндра. Полагаем, что модули упругости Л, /1 и плотность р материала цилиндра описывается дифференцируемыми функциями цилиндрической координаты г: А = Л (г); /1 = /л(г); р = р(г).

Будем считать, что окружающая цилиндр и находящаяся в его полости жидкость являются вязкими и однородными; плотности, скорости звука и кинематические коэффициенты вязкости (первый и второй) которых соответственно равны Р1, С*1, ^1,^1 и Р2, С2, ^2? ^2-

Пусть из внешнего пространства на цилиндр падает волна, излучаемая бесконечно длинным цилиндрическим источником, на поверхности которого возбуждена одна из мод и ось которого параллельна оси упругого цилиндра. В выбранной цилиндрической системе координат, связанной с рассеивателем, ось источника имеет координаты (г*,^).

Введём дополнительную цилиндрическую систему координат Я, в, г, связанную с источником так, чтобы полярные оси основной и дополнительной системы координат были одинаково ориентированы.

К задаче о рассеянии цилиндрических звуковых волн на неоднородном полом цилиндре в вязкой жидкости

Тогда потенциал скоростей гармонической звуковой волны, излучаемой цилиндрическим источником порядка п. может быть представлен в виде [12]:

Ф* = А{Нп(к[Л11) ехр[г(пв — о;£)], где Л г - амплитуда падающей волны; Нп - цилиндрическая функция Хан-

7 С1)

келя первого рода порядка щ и - круговая частота; к\ ! - волновое число продольных звуковых волн во внешней среде;

К = [г2 + Г? — 2ГГг СОБ((^7 — <Р{)\ 2 .

Временной множитель е~ги}1 в дальнейшем будем опускать.

Определим отражённые от цилиндра и возбуждённые в его полости волны, а также найдём поле смещений в упругом цилиндрическом слое.

Вектор скорости частиц жидкости во внешней среде (] = 1) и в полости цилиндра (,/ = 2) представим в виде

^и) = ёгааФ(^ + тЬФи). (1)

Тоща волновые поля в жидкостях, граничащих с поверхностями полого

цилиндра, описываются уравнениями Гельмгольца:

Дф (з) + ¿С*)2фШ = 0; (2)

ДФ^ + = 0; ^' = 1,2, (3)

где Ф^, Ф(-;) - потенциалы скоростей продольных и вязких волн соответственно во внешней (,/ = 1) и внутренней (,/ = 2) средах ; к^\ к^ - волновые

числа продольных звуковых и вязких волн в ] й среде соответственно;

2 / \ 1/2

ф« = ф< + ф„; к[1)2 =-------------—; № = (-£-) (1 + г).

+ У 3>

Акустическое давление в ] й жидкости определено по формуле

Лз) 2

Р.) =

Учитывая, что

к)Л Л 4 з1

1 + + оиЗ

фШ. (4)

ф(з) =ф(з)^фх у = 1,2), (5)

где ег - орт цилиндрической оси векторное уравнение (3) приводится к одному скалярному уравнению Гельмгольца относительно функции Ф(-;)ф)\

ДФ(^ + =0 у = 1,2). (6)

Таким образом, распространение продольных и поперечных (вязких) волн в _/ й жидкости описывается решениями уравнений (2) и (6).

С учётом (1) и (5) компоненты вектора скорости частиц ] й определены формулами

Лз) _ д^и) , 1 дфи) иг Г <У(р

и) _ 1 дф№ (7)

v

(Р <г\ Ч

г о^р иг

# = о.

Воспользовавшись теоремой сложения для цилиндрических функций Бесселя [13] представим потенциал скоростей падающей волны в основной системе координат следующими разложениями:

ОО

,(1),

Фг

^nmJm(kir) exp [im(<p - ^¿)], Г < Г j;

——ОО ОО

X vlmHrnik^r) ехр[гт(^ - ^¡)], г >

(8)

m=— оо

где

Цпт = -4г(-1)П+т^п-т(^11)Гг)ехр(гп^);

7¿т = Ai(—l)n+m Jn^m(k^ri) exp(impi);

Jm - цилиндрическая функция Бесселя порядка т.

Поскольку возбуждающее поле не зависит от координаты z, а неоднородность материала проявляется лишь в радиальном направлении, то от координаты z не должны зависеть ни отражённые от цилиндра, ни возбуждённые в его полости волны, а также поле смещений в упругом слое.

С учётом условий излучения на бесконечности для функций Ф.ч. Ф(1) и условия ограниченности Ф(-2). Ф(-2) решения уравнений (2) и (6) будем искать в виде

ОО

,(1),

= X А^Нт(к\ V) ехр[гт(¥> -

т= — оо оо

ф(1) = вт г) ех^[гт(^р - <^)];

т=— оо оо

Ф(2)= Е А^Нт(к^г)е^[гт^-^)];

т= — ОО ОО

Л2)е

^гп

т=— оо

(9)

ф(2> = Е В<?)Ят(42)г)ехр[г:т(¥)-^)].

т=— ОО

где Ат\Вт\ (j = 1,2) — неизвестные коэффициенты, подлежащие определению.

Распространение упругих волн в неоднородном цилиндрическом слое описывается общими уравнениями движения упругой среды [14], которые в цилиндрической системе координат в случае гармонических колебаний имеют вид

0(7 ff 1 d(Jffn (7 ff (У in in о

л І--------л І----------0 — риг\

дг г дір 2 /1Г)ч

д(7ГЧ) , 1 да^ ( 2 2 і10)

—^-----1-----~-----h -crrtp = -и ри ~.

аг r cf(f г

ще ur,uip — компоненты вектора смещений u.

Компоненты тензора напряжений связаны с компонентами тензора деформаций £{j соотношениями обощённого закона Гука:

а гг = Adivu + 2//£гг:

Оуу = Adivu + 2/іє^: (11)

Я zip — 2 ¡1ЄГ(р.

При этом

ди

Sff -

дг

1/1 диг ди<р Uip

&г<р = 77 I п Н

2 \г д<р дг г J (12)

_ 1 / ди^ .

г'^ ~ г (ч“г + д? ) ’

= £гг + £^.

Компоненты вектора смещений будем искать в виде рядов Фурье:

ОО

и

(r,<p)= ^1тМехр[Ц^-^)]|

771 = — ОО /1 о\

оо

Uip(r,(p)= U2m(r) exp[im((p - ifi%

m=— oo

где U\nl. U2m —неизвестные фуНКЦИИ.

Подставляя разложения (13) в уравнения (10) и учитывая выражения

(11) и (12), получим систему двух линейных обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка относительно функций U\,n(r) и

AmU" + вт и'т + стит = О, (14)

где Um = (Ulm, U2m)T; Л1П, Bm. Cm — матрицы второго порядка:

В

т

< А' + 2/ + А + 2М

гт-

\

гт-

А + /i

г

г

г

/

а

т

/А' А + (2 + т2)и 2 v -^-+ш2р

г

г

\

— (А'

г \ г J

р! га2 А + (2га2 + 1)р, 2

----------------------«-----------------h ш р

ry* yiZi

/

Штрихи означают дифференцирование по г.

Функции,определяемые разложениями (9) и (13), должны удовлетворять граничным условиям на поверхностях полого цилиндра. Граничные условия заключаются в непрерывности скоростей частиц упругой среды, нормальных и касательных напряжений на внешней и внутренней поверхностях цилиндра. При г = Г). ] = 1, 2

-гшиг = v^;

-ILÚU

ч>

V

U).

а

ГГ

(7

U).

ГГ 1

<7-

<т.

U)

пр :

(15)

О) ...

где — компоненты тензора напряжении ,/ он вязкой жидкости.

При этом [15]

<7

U)

kl

Pj$kl +

(7

U)

Ы >

где — компоненты тензора напряжений вязкой жидкости вне (j внутри (j = 2) цилиндра; Ski — символ Кронекера.

В цилиндрической системе координат будем иметь:

1)

и

-Рз + Рз

2 \ 0 д«<г) -Vj\dwVj + 2Vj —

(7

Сз)

г<р

Pjl/j

1 dvr^

+

dv,

(i)

¥>

V

r dtp д(р

(i)

¥>

Г

(16)

Таким образом, из восьми граничных условий (15) следует найти четыре коэффициента разложений (9) и четыре краевых условия для нахождения частного решения системы дифференциальных уравнений (14).

Из условий непрерывности скорости при г = г\ находим коэффициенты Ат\Вт\ выраженные через величины и\,п(г\). и 2))}. (/' 1 ) • а из тех же условий при г = /-2 определяем коэффициенты /1*2), В\‘п , выраженные через величины С/1т(г2), и2т{г2)-

Будем иметь

д(з) _ гшгг г Аз)тт („,\ Аз)

*-т

д^у[-42^1т(г,) + ^и2тЫ + ^^[гт^^т(х[з)) - (1$х[з)Ут(х[з))]6^:

(17)

(з)

,и>

1,2,

где

д(і) _ Аз) Аз) _ Аз) Аз).

— (Хц и22 1*12 а21 5

Аз) _ Лз) гу!{з)(Лз)\. Аз) _ ¿ГГ17.^)(т^}'

(Хц — Х1 ¿1 т ^1 ), и 12 — ),

Аз) _ — —т^7Л^(т^}'

а12 1П1^т ^Х1 /5 а22 х2 ^ т \х2 />

Х\

А

т •

Лз) _ Аз) Аз) _ Аз)г.. 7(1) _ и . сК2)

а — О’ — ^2 О’ - лт)

Штрихи означают дифференцирование по аргументу.

Из оставшихся неиспользованными граничных условий находим краевые условия, которым должно удовлетворять решение системы дифференциальных уравнений (14).

Получаем

(А,„и'т + я«ит) (Ат + ^і2)ит)

Г = Г 1 ”

Г=Г2

а

т ч

0;

(18)

(19)

где

_еШ

-^т

Лз) -а

Лз)

'12

Лз) '21

Лз) '22

(з) (з)

е11 12

Аз) Аз) I ’

а

($і,$2)Т;

тп

-21

"22

гшру / и) Аз) Лз)Аз) дШ Vі 22 72 21

г

г

г

г

1

г

шА +

Ш/І +

а^_ Л 0‘)

Л (Я

7«4>

Лз) Аз) 7 4 а22

Лз) Аз)

II а12

Лз) Аз) 75 21

51

/^1 | (1) . (1)

І2 і 73 + 7І

г

да)

¿ШС(^ Лп^Р) — ^22'>Ж11^т(Ж11'1)

+

+72

(1)

да)

<4і ¿Шб?!!'1 7т(жР)

9 2

Р 1^1 1 (1) (1) Т]пт

-------- 1 76 + 74 --------

г\

Д С1)

ІГПСІ12 — <^22Х^ ^т{Х^)

+

+75

(1) Пп

т

Д(!)

ІГПСІ^і ^(х^)

7і

(і)

-іи + х^ (& +

т

Сі

-”з

г^+

т 1

+ (- з^'

ж

Iі/1

2imvj

Т(з) 'у и У (г(з)\ _ у (г(з)\

х2 т \х2 ) т\Х2 )

(1)

7з

ШОГ-х

X

(1)2

Сі + 77^1 ] +т2 (- \ух

Сі

|г/Л Х{Р Jlm(x{i)) - (^1 + ^і)

7ІЯ

№

2іт х^(х^) — 2^(ж^)

-т27^(г^) 4- г^)/^)'— г^)2/^)"

НІ \Х2 } І- Х2 \Х2 } Х2 Zіт \Х2 ),

7^Х) = 2Іт[х^) Лтіх^) - ^(х^^ГІтп-Таким образом, для нахождения поля смещений в упругом цилиндре необходимо решить краевую задачу (14), (18), (19). Эта задача может быть решена различными методами, например, [16]. Используя найденные значения и V 2п>. {>’.))■ и = 1,2), по формуле (17) определяем коэффициенты

Ат\ВтК В результате получаем аналитическое описание (9) акустических полей вне и внутри полого цилиндра.

(1)

Рассмотрим дальнюю зону акустического поля к] V >> 1. Следует отметить, что вязкие волны являются быстрозатухающими и существенны только вблизи границы жидкость-твёрдое тело. Действительно, рассматривая выражение для потенциалов скоростей вязких волн (9), нетрудно показать, что уже на расстояниях, равных сравнительно небольшому кратному

(ш V172

толщины вязкого пограничного слоя -— , вязкие волны практически

V 2^' /

отсутствуют и акустическое поле является потенциальным.

Используя асимптотическую формулу при х » 1 [17]

Нт(х) « ,/Хе.(-^-1);

V 7ГХ

из выражений (9) для потенциала скоростей рассеянных продольных волн Ф.ч находим

Ф.

И

2 г

ехр

ПЧ>):

где

2 00

F((f) = / ч (-г)тАт ехР- Vi)]-

\J7гк[ Гг m=-oo

С помощью выражения для амплитуды рассеяния в дальней зоне поля |f’(v)l строится диаграмма направленности рассеянного поля.

Библиографический список

1. Коваленко Г. П. К задаче о дифракции акустической волны на неоднородном твёрдом теле / Г.П. Коваленко // Акустический журнал. -1987. -Т.ЗЗ. -Вып.б. -С.1060-1063.

2. Тютекин В. В. Импедансный метод расчёта характеристик упругих неоднородных радиально-слоистых цилиндрических тел / В.В. Тютекин // Акустический журнал. -1983. -Т.29. -Вып.4. (’.529-536.

3. Безруков A.B. Рассеяние звуковых волн упругими радиально-слоистыми цилиндрическими телами / A.B. Безруков, В.Ю. Приходько, В.В. Тютекин // Акустический журнал. -1986. -Т.32. -Вып. 3. -С. 762-766.

4. Скобельцын С.А. Рассеяние звуковых волн трансверсально-изотропным неоднородным цилиндрическим слоем / С.А. Скобельцин, Л.А. Толоконников // Акустический журнал. -1995. -Т.41. -Вып.1. -С.762-766.

5. Толоконников Л.А. Дифракция звуковых волн на неоднородном анизотропном полом цилиндре / Л.А. Толоконников // Оборонная техника. -1998. -JV® 4-5. -С.11.14.

6. Толоконников Л. А. Дифракция цилиндрических волн на неоднородной трансверсально-изотропной цилиндрической оболочке / Л.А. Толоконников // Оборонная техника. -1998. -JV® 4-5. -С.9-1.

7. Толоконников Л.А. Резонансное рассеяние звука трансверсально-изотропной неоднородной цилиндрической оболочкой / Л.А. Толоконников // Известия ТулГУ. Сер. Геодинамика, физика, математика, термодинамика, геоэкология. -2006. -Вып.З. -С.106-113.

8. Ларин Н.В. Дифракция плоской звуковой волны на неоднородном термоупругом цилиндрическом слое / Н.В. Ларин // Известия ТулГУ. Сер. Математика. Механика. Информатика. -2001. -Т.7. -Вып. 11. -С.97-103.

9. Ларин Н.В. Дифракция цилиндрических волн на неоднородной термоупругой цилиндрической оболочке / Н.В. Ларин, Л.А. Толоконников // Дифференциальные уравнения и прикладные задачи. -Тула: Изд-во ТулГУ, 2001. -С.78-85.

10. Ларин Н.В. Дифракция цилиндрических звуковых волн на неоднородной трансверсально-изотропной термоупругой цилиндрической оболочке / Н.В. Ларин // Сер. Дифференциальные уравнения и прикладные задачи. -Тула: Изд-во ТулГУ, 2001. -С.58-64.

11. Толоконников Л.А. Рассеяние неоднородной анизотропной термоупругой цилиндрической оболочкой в вязкой теплопроводной среде / Л.А. Толоконников, А.Г. Романов. // Известия ТулГУ Сер. Математика. Механика. Информатика. -2006. -Т.12. -Вып.З. -С.212-218.

12. Скучик Е. Основы акустики. Т.2. / Е. Скучик. -М.: Мир, 1976.

13. Гузъ А.Н. Дифракция упругих волн в многосвязных телах / А.Н. Гузь, В.Т. Го-ловчан. -Киев: Наукова думка, 1972.

14. Новацкий В. Теория упругости / В. Новацкий. -М.: Мир, 1974.

15. Ландау Л.Д. Гидродинамика / Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц. -М.: Наука, 1988.

16. Толоконников Л.А. Рассеяние звука неоднородными термоупругими телами / Л.А. Толоконников, Н.В. Ларин. -Тула: Изд-во ТулГУ, 2008.

17. Справочник по специальным функциям / под ред. М. Абрамовича и Н. Стиган. -М.: Наука, 1979.

Поступило 02.07.2008