CC BY
17
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ
УДК 548.732
ДИФРАКЦИЯ РЕНТГЕНОВСКИХ ЛУЧЕЙ В КРИСТАЛЛЕ ТРАПЕЦЕИДАЛЬНОГО СЕЧЕНИЯ
В.И. ПУНЕГОВ, С.И. КОЛОСОВ
Отдел математики, Коми НЦ УрО РАН, г. Сыктывкар [email protected], [email protected]
В рамках рекуррентных соотношений рассмотрена динамическая дифракция рентгеновских лучей в латеральном кристалле трапецеидального сечения. На основе полученного решения проведено численное моделирование углового распределения интенсивности рентгеновского рассеяния. Выполнен сравнительный анализ результатов динамической дифракции и кинематического приближения. Показано, что для кристаллов малых размеров результаты динамической и кинематической дифракции совпадают. Для кристаллов больших размеров имеется заметное различие в угловом распределении интенсивностей рассеяния.
Ключевые слова: динамическая дифракция рентгеновских лучей, латеральный кристалл с трапецеидальным сечением, кинематическое приближение, кривая дифракционного отражения, карта распределения интенсивности рассеяния в обратном пространстве
V.I. PUNEGOV, S.I. KOLOSOV. X-RAY DIFFRACTION IN A CRYSTAL WITH TRAPEZOIDAL CROSS SECTION
Within the framework of recurrence relations the dynamical X-ray diffraction in the lateral crystal with trapezoidal cross section is considered. The boundary conditions of the considered problem are described in detail. It is shown that in the recurrence relations, when the crystalline media is absent, we are also to take into account the phase change in transmitted and reflected X-ray waves. Using the obtained solution, we performed a numerical simulation of the angular distribution of the X-ray scattering intensity. Rocking curves and reciprocal space maps (RSMs) from trapezoidal crystals of different lateral width were calculated. The relative analysis of dynamical and kinematical diffraction was made. It is shown that for the trapezoidal crystals with small lateral sizes the results of kinematical and dynamical diffraction are the same. The contours of equal intensity on RSMs become narrower with increasing of lateral crystal width. The directions of the inclined stripes on kinematical and dynamical RSMs are associated with the tilt angles of the trapezoidal crystal sides relative to the lower base of the trapezoid. For large lateral size crystals the rocking curve profile matches with the shape of the reflection Darwin curve.
Keywords: dynamical X-ray diffraction, lateral crystal with trapezoidal cross-section, kinematical approximation, rocking curve, reciprocal space map
Введение
Достижения методов литографии и селективного эпитаксиального роста кристаллов позволяют создавать разнообразные по форме латерально ограниченные структуры. Такие кристаллические системы используются для сверхбыстрых транзисторов, полупроводниковых лазеров и детекторов. Известно, что в планарных кристаллических слоях возникают упругие деформации в стыкующихся материалах, которые часто сопровождаются генерацией дислокаций, изгибом пластин и трещинами. Совсем недавно появились новые уникальные возможно-
сти создания латеральных структур. В работах [1,2] предложено устранить эти недостатки быстрой, низкотемпературной эпитаксией кристаллов германия и SiGe с использованием микронных по высоте колонн, выгравированных на Si (001) подложках. Такой метод 3D гетероэпитаксии позволяет заменить непрерывные пленки латерально ограниченными бездефектными кристаллами микронных размеров.
Как и в случае планарных систем, структурное совершенство 3D кристаллов может быть исследовано методом высокоразрешающей рентгеновской дифракции. Таким образом, в настоящее время становятся весьма актуальными расчеты рентгенов-
ской дифракции от латерально ограниченных кристаллических структур. В кинематическом приближении теории дифракции в кристаллах трапецеидального сечения со структурными дефектами и упругими деформациями разработаны в [3-6]. В работе [7] предложен алгоритм расчета дифракции рентгеновских лучей от многослойных латеральных кристаллических структур произвольного композиционного состава и формы.
В силу того, что 3D-кристаллы могут иметь микронные размеры, как правило, превышающие длину первичной экстинкции, то возникают сомнения о правомочности применения кинематического приближения. На основе уравнений Такаги разработаны методы расчета динамической дифракции от кристалла прямоугольного сечения [8]. Показано, что для узкого кристалла толщиной, существенно превышающей длину экстинкции, кривые дифракционного отражения (КДО), рассчитанные по формулам динамической дифракции, практически совпадают с КДО кинематического приближения. Позже для описания динамической рентгеновской дифракции в ла-терально ограниченном кристалле разработан подход, базирующийся на рекуррентных соотношениях [9,10]. В отличие от хорошо известных одномерных рекуррентных формул Дарвина [11], новые рекуррентные соотношения [9,10] относятся к задачам двумерной рентгеновской дифракции и позволяют рассчитывать карты распределения интенсивности рассеяния вблизи узла обратной решетки.
Цель данной работы — рассмотрение динамической дифракции рентгеновских лучей в кристалле трапецеидального сечения на основе рекуррентных соотношений [9,10], а также в сравнении полученных результатов с кинематическим приближением [3-6].
Динамическая дифракция в кристалле трапецеидального сечения
Сначала сделаем несколько предварительных замечаний. Пусть d — межплоскостное расстояние отражающих атомных плоскостей, для которых выполняется известный закон 2dsin9B = А, где 9B — угол Брэгга, А — длина волны падающего рентгеновского излучения. В работе [9,10] для описания дифракции на кристалле прямоугольного сечения использована модель Дарвина [11] с коэффициентами отражения и пропускания одной атомной плоскостью, бесконечной в латеральном направлении, поэтому такая модель для латерально ограниченных структур в какой-то степени является приближенной.
Дифракция рентгеновских лучей в континуальной среде зависит от Фурье-коэффициентов поляризуемости Xg = -ToA2Fg/(nVc), где Fg — структурный фактор, А — длина волны падающего излучения, Vc — объем элементарной ячейки, r0 = e2/(mc2) — классический радиус электрона, e, m — заряд и масса электрона. Динамические коэффициенты a0-h = nx0,h/(A sin 9B) в уравнениях Такаги характеризуют взаимодействие рентгеновских полей в латераль-но бесконечном кристалле единичной толщины, при этом амплитуды пропускания (рассеяния вперед) r0 и отражения rh от одной атомной плоскости в мо-
дели Дарвина связаны с этими коэффициентами как Т0,н = а0,ъ,Л- Это означает, что в модели Дарвина вся электронная плотность континуальной среды, заключенная между соседними атомными плоскостями, сосредоточена в бесконечно тонкой атомной плоскости.
Рис. 1. Схематическое изображение кристалла трапецеидального сечения.
Fig. 1 Schematic representation of a trapezoidal cross-section crystal.
Рассмотрим для простоты симметричную дифракцию ст-поляризованного излучения на совершенном кристалле трапецеидального сечения (КТС) толщиной lz, верхним основанием b, нижним основанием a + b + c (рис. 1). При определенных изменениях параметров трапеция трансформируется в сечение прямоугольной (a = c = 0) или треугольной (b = 0) формы, а также в сечение в виде параллелограмма (a = -c). Пусть Nz — число атомных плоскостей в кристалле, вдоль a укладывается ma разбиений Ax, вдоль b — mb и вдоль c — mc таких разбиений. Полное число разбиений вдоль оси x равно Mx = ma+mb+mc. Пусть T^1 — значение амплитуды проходящей волны непосредственно перед узлом (m; n), Sm — соответствующее значение амплитуды отраженной волны. С учетом динамического рассеяния для отраженных S и проходящих T волн можно записать следующие рекуррентные соотношения [9]:
rpm _ j-rpm — 1
Tn+1=1Tn
om _ T Qm— 1
Sn = 1 Sn+1
+ t sm
m-1
n
+rTm+11
(1)
где t = t = (l + ro) exp(i^d), r = r- exp(ipd), r = rh exp(i^d), rg к -iXgnd/(А sin 9 b) (g = 0,h,h), <^d = i2nd/(A sin 9B).
Рекуррентные соотношения (1) определяют структуру динамического взаимодействия проходящих и отраженных рентгеновских волн. Для описания дифракции в кристалле заданной формы необходимо исходить из граничных условий.
Пусть на кристалл падает рентгеновский пучок под углом 9i = 9B + A9i к отражающим атомным плоскостям. При прохождении рентгеновских лучей, как в вакууме, так и в объеме кристалла происходит изменение фаз рентгеновских волн. За начало отсчета фазовых изменений выберем начало системы координат (x = 0; z = 0, рис. 1.). В этой точке амплитуда падающей волны Т0° равна единице. Для рент-
геновских волн, фронт которых ограничен вертикальной осью z, разность хода растет с ростом n по закону nd sin в1, а разность фаз вдоль вертикального направления изменяется как фПп = (2n/A)ndsinв1. Поэтому граничное условие сверху вниз вдоль оси z имеет вид TП = exp(^"in), где n = 0,1, 2,..., Nz. Для верхнего фронта рентгеновских волн, начинающегося от начала координат и распространяющегося вдоль оси х, разность хода растет с ростом номера узла m как шДх cos в1, а разность фаз вдоль горизонтального направления изменяется по закону ф^т = (2п/А)тДхcos в1. Граничное условие на этом участке задается выражением T0™ = exp(^m¿n), где т = 0,1, 2,..., Mx. При выше заданных граничных условиях распространение рентгеновских волн как в вакууме, так и в объеме кристалла может быть описано уравнениями (1) с учетом того, что в вакууме rg = 0. Поэтапно реализуя процедуру рекуррентных вычислений, изложенную в работе [9], необходимо ввести ограничения, связанные с границами раздела вакуум-кристалл. Так, например, рентгеновская волна, распространялась в вакууме до узла (n, mi), имеет фазовые изменения, при этом амплитуды отраженных рентгеновских волн от атомных плоскостей как вперед, так и в направлении дифракции равны нулю (рис.1). При этом вычисления производятся с использованием формулы ТЩ+1 = Tnm-1 ехр(гфл). Как только эта волна достигает границы кристалла, то с ростом n и m начинает полноценно «работать» рекуррентная процедура (1). Это продолжается до тех пор, пока, например, не будет достигнут узел (n, m2), после чего в соотношениях (1) необходимо снова принять условие rg = 0 (рис.1). Таким образом, вычисления проводятся по всем узлам прямоугольной решетки Mx х Nz с использованием границ раздела вакуум-кристалл. Подробный алгоритм вычислений изложен в работе [9].
В рассматриваемом случае кристалла трапецеидального сечения граничная задача сводится к следующей процедуре: если для всех m = 0, 1, 2, . . . , Mx выполняется условие
ma
Nz ctg в в
n < m < ma + mb + mj 1 - n ),
\ Nz ctg в в '
тогда вычисления реализуются по рекуррентной процедуре (1), в противном случае в этих соотношениях следует принять rg = 0.
Для фиксированного угла падения рентгеновского пучка на кристалл под углом в1 в трех-осевой дифракционной схеме регистрируются выходящие (дифракционные и проходящие) пучки под разными углами, например, в2. В этом случае возникают дополнительные фазовые изменения рентгеновских волн в вертикальной фП S = (2n/A)[nd sin в2 — МхДх cos в2] и горизонтальной ф^ = —(2п/A)mДxcos в2 плоскостях для отраженной волны S. Процедура расчетов должна быть дополнена граничными условиями для выходящих из кристалла рентгеновских волн: Sn = 0, Sm = 0. Интенсивность отражения рентгеновской волны на-
ходится из соотношения
Ih(Qx,Qz) = \S (Qx,Qz )|2 =
Mx
Nz
= I Y, Sm exp^s) + £ SMx exp(^n,s)
(2)
где амплитуды дифракционных рентгеновских волн Sn и SMx вычи отношений (1).
Sn и SMx вычисляются с помощью рекуррентных со-
Кинематическая дифракция в кристалле трапецеидального сечения
В кинематическом приближении в уравнениях (1) следует принять г = 0 и £ = ехр(гфД поскольку отсутствует процесс многократного рассеяния рентгеновских лучей из проходящей волны в дифракционный пучок и обратно (отсутствует первичная экс-тинкция) и интенсивность проходящего пучка остается неизменной. Здесь следует учесть весьма важное обстоятельство, связанное с тем, что в «кинематических» рекуррентных соотношениях учитываются преломление и поглощение проходящего рентгеновского пучка. В общепринятом понимании кинематического приближения эффектами поглощения и преломления, как правило, пренебрегают
Амплитуда отраженной рентгеновской волны от трапецеидального кристалла в кинематическом приближении вблизи узла обратной решетки без учета поглощения и преломления проходящего рентгеновского пучка запишется в виде
г I* гО 2(2)
Ек(дх,дг ) = гак йге*'2 . (3)
Jo Jn1(z)
Пределы интегрирования в (3) для трапеции с верхним основанием Ь, нижним основанием а+Ь+с и высотой (рис. 1) для произвольной координаты г запишутся как: Пх(г) = (12-г) а и П2(г) = а+Ь+ с г. Последовательно вычисляя интегралы в выражении (3), получаем аналитическое решение для амплитуды рентгеновского отражения от кристалла трапецеидального сечения в кинематическом приближении [5]:
Eh(qx,qz) =
rhNz
2
sinc
+ sinc
+b)
^qz lz — qxc j
lz + qxC j
+
(4)
где sincx = sinx/x, толщина кристалла представлена как lz = Nzd и rh = ahd. Интенсивность рассеяния рентгеновских лучей может быть вычислена по стандартной формуле
IhÍQx, Qz) = \Eh(qx,qz)|2. (5)
Численное моделирование. Сравнение динамической и кинематической дифракции
Численное моделирование рентгеновской дифракции в кристалле кремния с трапецеидальным
2
x(
щ
e
q
x
сечением выполнено для (111) отражения а-поляризованного CuKa излучения. Толщина кристалла во всех расчетах составляла 3 цт, которая в два раза превышала длину первичной экстинкции (lext = 1,5 цт). Вычисления динамической дифракции проводились с использованием решения (2), кинематического приближения по формулам (4) и (5).
Рис. 2. Расчетные qz-сечения (a) и RSM динамической (b) и кинематической (c) дифракции от КТС. lz = 3 ¡m; a =
b = c = 0,5 ¡m.
Fig. 2. Calculated qz-section (a) and RSM of dynamical (b) and kinematical (c) diffraction from a trapézoïdal cross-section crystal. lz = 3 ¡m; a = b = c = 0,5 ¡m.
На рис.2 приведены результаты динамической и кинематической дифракции в «узком» КТС (a = b = c = 0,5 ¡m), нижнее основание которого в два раза меньше толщины кристалла. Нетрудно видеть, что как кривые дифракционного отражения (КДО, рис. 2a), так и карты распределения интенсивности рассеяния в обратном пространстве (reciprocal space map (RSM)) динамической (рис. 2b) и кинематической (рис. 2c) дифракции практически совпадают. Здесь и на последующих картах контуры равной интенсивности представлены в логарифмическом масштабе, отношение интенсивностей соседних линий равно 0,273. Таким образом, для «узкого», хотя и толстого КТС, справедливо кинематическое приближение.
В последующих вычислениях кристаллы трапецеидального сечения также имели толщину 3 цш, а отрезки нижнего основания трапеции составляли а = с = 3 цш. В численном моделировании изменялась длина верхнего основания трапеции Ь, при этом углы наклона сторон трапеции к нижнему основанию составляли а = в = 45 угл. градуса (рис. 1).
Рис. 3. Расчетные qz-сечения (a) и RSM динамической (b) и кинематической (c) дифракции от КТС. lz = 3 ¡m; a =
c = 3 ¡m; b = 0 ¡m.
Fig. 3. Calculated qz-section (a) and RSM of dynamical (b) and kinematical (c) diffraction from a trapezoidal cross-section crystal. lz =3 ¡m; a = c = 3 ¡m; b = 0 ¡m.
Рис. 3 демонстрирует КДО (qz-сечения) и RSM от кристалла треугольного сечения (верхнее основание b = 0) с нижним основанием 6 ¡m. В данном случае уже имеются отличия в расчетах динамической и кинематической дифракции. На профиле КДО, рассчитанным с использованием решения (2), появился «наплыв», характерный переходу от кинематического приближения к динамической дифракции (рис. 3a). Отличаются также динамическая и кинематическая карты RSM (рис. 3b,c). Направление наклонных полос на картах связано с углом наклона сторон КТС относительно нижнего основания трапеции. Отметим, что в отличие от динамической дифракционной картины распределение интенсивности на RSM в кинематическом случае имеет симметричный вид вдоль вертикального направления.
-20 -10 О 10 20
qx(^m"1) 6 "6 q>m"1) 6
Рис. 4. Расчетные qz-сечения (a) и RSM динамической (b) и кинематической (с) дифракции от КТС. lz = 3 ¡m; a =
c = 3 ¡m; b = 6 ¡m.
Fig. 4. Calculated qz-section (a) and RSM of dynamical (b) and kinematical (c) diffraction from a trapézoïdal cross-section crystal. lz =3 ¡m; a = c = 3 ¡¡m; b = 6 ¡m.
На рис. 4 показаны результаты численного моделирования рентгеновской дифракции от КТС с верхним основанием b = 6 ¡m, соответственно нижнее основание трапеции составляет 12 ¡m. Из-за преломления рентгеновских лучей КДО динамического рассеяния сдвигается влево, при этом «наплыв» интенсивности увеличивается.
В случае широкого кристалла (b = 25 ¡m) профиль КДО, рассчитанный по рекуррентным соотношениям, уже имеет контуры дарвиновской кривой отражения (рис. 5а). Динамическая карта RSM характеризуется не только сдвигом максимума интенсивности вдоль qz направления, но и из-за первичной экстинкции, т. е. более сильного взаимодействия рентгеновских квантов со средой, становится и более широкой в вертикальном направлении (рис. 5b,c).
Заключение
Принципиальной особенностью разработанного подхода является возможность расчетов кривых дифракционного отражения и карт RSM от латеральных кристаллов с трапецеидальным сечением в рамках более общей динамической дифракции. Следует также подчеркнуть, что изложенный в работе метод позволяет рассматривать динамическую дифракцию рентгеновских лучей от кристаллов с произвольной формой поперечного сечения. Это является весьма
qx(|im'1) 6 "6 qx(nm"1)
Рис. 5. Расчетные qz-сечения (а) и RSM динамической (b) и кинематической (с) дифракции от КТС. lz = 3 ¡m; a =
c = 3 цт\ b = 25 ¡im.
Fig. 5. Calculated qz-section (a) and RSM of dynamical (b) and kinematical (c) diffraction from a trapezoidal cross-section crystal. lz = 3 ¡m; a = c = 3 ¡m; b = 25 ¡m
важным аспектом, поскольку в современных технологических условиях методами литографии и селективного роста создаются рельефные структуры различного вида. Следующим шагом будет развитие теории динамической дифракции в латерально ограниченных кристаллах с упругими деформациями кристаллической решетки, а также с учетом статистически распределенных структурных дефектов. Изложенный метод рекуррентных соотношений будет весьма полезен не только в задачах рентгеновской или нейтронной оптики, но и в оптике фотонных и жидких кристаллов.
Работа выполнена при частичной финансовой поддержке Программы фундаментальных исследований УрО РАН (проект 15-9-1-13) и РФФИ (проекты №17-02-00090 и № 16-43-110350).
Литература
1. Scaling Hetero-Epitaxy from Layersto Three-Dimensional Crystals / C.V. Falub, H. von Känel, F. Isa, R. Bergamaschini, A. Marzegalli, D. Chrastina, G. Isella, E. Müller, P. Niedermann, L. Miglio // Science. 2012. Vol. 335. P. 1330-1334.
2. 3D heteroepitaxy of mismatched semiconductors on silicon / C.V. Falub, T. Kreiliger, F. Isa, A.G. Taboada, M. Meduna, F. Pezzoli, R.
Bergamaschini, A. Marzegalli, E. Müller, D. Chrastina, G. Isella, A. Neels, P. Niedermann, A. Dommann, L. Miglio, H. von Känel // Thin Solid Films. 2014. Vol. 557. P. 42-49.
3. Пунегов В.И., Канев В.В. Кинематическая теория рентгеновской дифракции на неидеальной латерально ограниченной эпитаксиаль-ной структуре // Поверхность. Рентгеновские, синхротронные и нейтронные исследования. 2004. № 1. С. 15-17.
4. Пунегов В.И., Колосов С.И., Павлов К.М. К теории дифракции рентгеновских лучей на латеральном кристалле с упруго изогнутыми атомными плоскостями // Письма в ЖТФ. 2006. Т. 32. Вып. 18. C. 65-72.
5. Пунегов В.И., Колосов С.И. Теория дифракции рентгеновских лучей на неидеальном кристалле трапецеидального сечения // Кристаллография. 2007. Т.52. № 2. С. 215-222.
6. Пунегов В.И. Теория рассеяния рентгеновских лучей на латеральных структурах. Сыктывкар: СыктГУ, 2007. 220 с.
7. Пунегов В.И., Максимов А.И., Колосов С.И., Павлов К.М. К расчету дифракции рентгеновских лучей от многослойных латеральных кристаллических структур произвольных композиционного состава и формы // Письма в ЖТФ. 2007. Т. 33. Вып. 3. C. 64-71.
8. Колосов С.И., Пунегов В.И. Методы численного интегрирования уравнений Такаги-Топена для кристалла прямоугольного сечения // Кристаллография. 2005. Т. 50. С. 401-406.
9. Punegov V.I. Kolosov S.I., Pavlov K.M. Darwin's approach to X-ray diffraction on lateral crystalline structures // Acta Cryst. A. 2014. Vol. 70. P. 64-71.
10. Punegov V.l., Kolosov S.I., Pavlov K.M. Bragg-Laue X-ray dynamical diffraction on perfect and deformed lateral crystalline structures //J. Appl. Cryst. 2016. Vol. 49. P. 1190-1202.
11. Darwin C.G. The Theory of X-Ray Reflexion. Part II // Philos. Mag. 1914. Vol. 27. P. 675691.
References
1. Scaling Hetero-Epitaxy from Layersto Three-Dimensional Crystals / C.V. Falub, H. von Känel, F. Isa, R. Bergamaschini, A. Marzegalli, D. Chrastina, G. Isella, E. Müller, P. Niedermann, L. Miglio // Science. 2012. Vol. 335. P. 13301334.
2. 3D heteroepitaxy of mismatched semiconductors on silicon / C.V. Falub, T. Kreiliger, F. Isa, A.G. Taboada, M. Meduna, F. Pezzoli, R. Bergamaschini, A. Marzegalli, E. Müller, D. Chrastina, G. Isella, A. Neels, P. Niedermann, A. Dommann,
L. Miglio, H. von Kanel // Thin Solid Films. 2014. Vol. 557. P. 42-49.
3. Punegov V.I, Kanev V.V. Kinematicheskaja teorija rentgenovskoj difrakcii na neideal'noj lateral'no ogranichennoj jepitaksial'noj struk-ture // Poverhnost'. Rentgenovskie, sinhrotron-nye i nejtronnye issledovanija. [Kinematic theory of x-ray diffraction on nonideal laterally limited epitaxial structure // Surface. X-ray, synchrotron and neutron studies]. 2004. No 1. P. 15-17.
4. Punegov V.I, Kolosov S.I., Pavlov K.M. K teorii difrakcii rentgenovskih luchej na lateral'nom kristalle s uprugo izognutymi atomnymi ploskostjami [To the theory of diffraction of x-rays on the lateral crystal with elastically curved atomic planes] // Pis'ma v ZhTF. 2006. Vol. 32. No. 18. P. 65-72.
5. Punegov V.I, Kolosov S.I. Teorija difrakcii rentgenovskih luchej na neideal'nom kristalle trapeceidal'nogo sechenija [Theory of x-ray diffraction on nonideal crystal of trapezoidal cross-section // Crystallography] // Kristallo-grafija. 2007. Vol. 52. No. 2. P. 215-222.
6. Punegov V.I. Teorija rassejanija rentgenovskih luchej na lateral'nyh strukturah. [The theory of scattering of x-rays on the lateral structures] Syktyvkar: SyktGU, 2007. 220 p.
7. Punegov V.I, Maksimov A.I., Kolosov S.I., Pavlov K.M. K raschetu difrakcii rentgenovskih luchej ot mnogoslojnyh lateral'nyh kristallicheskih struktur proizvol'nyh kompozicionnogo sostava i formy [To the calculation of the diffraction of x-rays from multilayer lateral crystalline structures of arbitrary composition and shape] // Pis'ma v ZhTF. 2007. Vol. 33. No. 3. P. 6471.
8. Kolosov S.I., Punegov V.I. Metody chislennogo integrirovanija uravnenij Takagi-Topena dlja kristalla prjamougol'nogo sechenija [Methods for the numerical integration of Takagi-Topen equations for the crystal of rectangular cross-section] // Kristallografija. 2005. Vol. 50. P. 401-406.
9. Punegov V.I. Kolosov S.I., Pavlov K.M. Darwin's approach to X-ray diffraction on lateral crystalline structures // Acta Cryst. A. 2014. Vol. 70. P. 64-71.
10. Punegov V.I., Kolosov S.I., Pavlov K.M. Bragg-Laue X-ray dynamical diffraction on perfect and deformed lateral crystalline structures //J. Appl. Cryst. 2016. Vol. 49. P. 1190-1202.
11. Darwin C.G. The Theory of X-Ray Reflexion. Part II // Philos. Mag. 1914. Vol. 27. P. 675691.
Статья поступила в редакцию 26.01.2017.
