Функция Грина для одной задачи кинематической теории дифракции Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 548.732

ФУНКЦИЯ ГРИНА ДЛЯ ОДНОЙ ЗАДАЧИ КИНЕМАТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ДИФРАКЦИИ

С.И. КОЛОСОВ

Физико-математический институт Коми НЦ УрО РАН, г. Сыктывкар kolos@dm.komisc.ru

Предлагается метод расчета кинематической дифракции рентгеновских лучей на кристаллической пластине, на которую падает плоская волна, промодули-рованная по амплитуде заданной функцией. Метод основан на использовании функции Грина, найденной для данной задачи.

Ключевые слова: динамическая дифракция рентгеновских лучей, кинематическое приближение, кривая дифракционного отражения, карта распределения интенсивности рассеяния в обратном пространстве

S.I. KOLOSOV. THE GREEN'S FUNCTION FOR ONE PROBLEM OF THE KINEMATIC X-RAY DIFFRACTION

A method is proposed for calculating the kinematic diffraction of x-rays on a crystal plate, on which a plane wave falls, modulated by the amplitude of a given function. The method is based on the use of Green's function, found for this problem. It is shown that this method makes it possible to efficiently calculate the field of the passing and diffracted waves inside the crystal cross-section. The use of the method is demonstrated on a number of model problems, in particular, the following calculation of diffraction for crystal-incident radiation in the form of a plane wave modulated by the function N pulses. Previously, such problems were solved by decomposition of the desired function into the Fourier integral.

Keywords: dynamical X-ray diffraction, lateral crystal with trapezoidal cross-section, kinematic approximation, rocking curve, reciprocal space map

Введение

В настоящее время в задачах рентгеновской дифракции нередко возникает ситуация, когда на поверхность кристалла падает рентгеновское излучение, состоящее из когерентных пучков. Эти пучки могут быть сформированы путем пропускания плоской рентгеновской волны через систему диафрагм или путем напыления на кристалл решетки из металлических полос [1]. В этом случае падающее на кристалл излучение можно представить как плоскую рентгеновскую волну, промодулированную по амплитуде вдоль входной поверхности кристалла.

Для примера рассмотрим кристалл (рис.1), на который падают два пучка одинаковой ширины.

промодулирована функцией с двумя прямоугольными импульсами, показанной на рис. 2.

d

0 l x Рис. 2. Функция, модулирующая плоскую волну. Fig 2. A function that modulates a plane wave.

В случае N падающих пучков модулирующая функция будет иметь N прямоугольных импульсов. Более того, мы рассмотрим задачу для достаточно произвольной модулирующей функции f (x).

i

Рис. 1. Два рентгеновских пучка падают на плоскопараллельную кристаллическую пластинку. Fig 1. Two x-ray beams fall on a plane-parallel crystal plate.

Излучение рентгеновских пучков будем аппроксимировать плоской волной, амплитуда которой

1. Функция Грина для данной задачи

Пусть на плоскопараллельную кристаллическую пластину в точке х = х0 падает бесконечно узкий луч, т. е. модулирующая функция /(х) имеет вид /(х) = 6(х — х0). Здесь 5(х) — дельта-функция Дирака. В итоге возникнут отраженные лучи, и картина будет выглядеть так, как это схематично изображено на рис. 3.

x

d

L

z

xo + 1 xo + 2

Рис. 3. Падающий на кристалл луч порождает отраженное излучение.

Fig 3. Falling on the crystal generates a beam of reflected radiation.

Запишем уравнения Такаги для данной задачи (в кинематическом приближении)

380 380

+ = a1So(x,z), ox dz (1)

- = b2So(x, z) + a2Sh(x, z), dx dz

граничные условия

E0(x, z = 0) = S(x — x0), Eh(x, z = 1) = 0.

Уравнения (1) записаны в приведенной системе единиц, в которой единицы длины безразмерны x ^

X tg вв, z ^ , а параметры ab a2, b2 имеют вид z

inLz

inLz

ai

—7¡~Xo, a2 — T—:—2Г" Л sin 6B Л sin 6B

inLz b2 — Л . „ Xg ■

(Xo - a),

(2)

Л sin 6B Решение задачи (1) есть

E0(x, z) — eaizS(x — x0 — z)

b2 ____ ( ai + a2

~2

b2 (ai + a2, , , ai — a2 \ Eh(x, z) — — exp ^—2—(x — xo) + —2— z)

2

х [и(х — х0 — z) — и(х — х0 + г — 2)].

(3)

и(£) — функция Хевисайда, равная нулю при £ < 0 и равная единице при £ > 0. Тогда для произвольной модулирующей функции / (х) для дифрагированной волны имеем решение

/^о

Eh(x — i,z)f (i) di,

- СО

(4)

где

Eh(x — i,z) —

b2 (ai + a2, , ai — a2 \

exp ( —-—(x — i) + —2— zj x (5)

2

2

х [и(х — £ — г) — и(х — £ + г — 2)]

играет роль функции Грина для данной задачи.

Рассмотрим следующий пример. Пусть модулирующая функция / (х) есть гауссова функция

f (x) —

1

л/2па2

exp

V 2а2)

Расчет по формуле (4) даёт

Eh(x,z) — -j exp

(ai + a2)2a2

8

+

ai + a2 ai — a2 ■ +--^— x +---— z

2

x < erf

(ai + a2) a2 + 2(x — z)

(6)

— erf

2л/2 a

(ai + a2) a2 +2(x + z — 2)

2^2

a

Здесь функция erf z определена как —п /0 e * dt.

Оказывается, можно ещё более упростить выражение (4). Подставим функцию (5) в интеграл (4) и проинтегрируем по частям, получим

b2 ( ai + a2 ai — a2 Eh(x, z) — — exp ^—2— x +--2— z ) x

0

+

x{ U (x — i — z)$(i)

TO

+ У Ф(0 S(x — i — z) di —

— TO

— U (x — i + z — 2)Ф(0

TO

— J $(i) S(x — i + z — 2) di).

(7)

Здесь введено обозначение

Ф(£) = ехр( — ^£') /(£') <£'.

Нижний предел в этом интеграле произволен, нам удобно взять его таким. В выражении (7) слагаемые с функцией Хевисайда зануляются. В итоге получим

b2 ( ai + a2 ai — a2 Eh(x, z) — — exp ^—2— x +--2— z | x

exp

—TO X+z —2

exp

o

i)f (i) di

ai + a2

2 ' (8)

ai + a2

2

[i)f (i) di}.

Это выражение более удобно для расчетов дифрагированной волны внутри и на поверхности кристалла.

2. Расчет интенсивности дифрагированной волны

Как пример использования формулы (8) приведем расчет интенсивности дифрагированной волны для случая, когда на поверхность кристалла падает рентгеновская волна, промодулированная функцией /(х) в виде N прямоугольных импульсов.

х

x — z

X

f (x)

Рис. 4. Модулирующая функция в виде N прямоугольных импульсов.

Fig 4. Modulating function in the form of N rectangular pulses.

Для начала найдем интенсивность дифрагированной волны для более простого случая: N = 2 (см. рис. 1 и 2). Рассчитаем амплитуду дифрагированной волны, используя формулу (8), подставив в нее f (x) в виде двух прямоугольных импульсов. В результате интегрирований получим следующее выражение:

Eh(x,z) =

b2

a1 + a2

alz Гe(al+a2)(x—z)/2

- z) ealz [e(al

- 4 +

+ U (x + z - 2) x

x eal+a2(1 — z) — e(al+a2 )(x+z — 2)/2j +

+ U(x - z - l) ealz [l - e(al+a2)(x—z—l)/2] + + U (x + z - l - 2) x

x eal+a2(1 — z) ^(al +a2)(x+z — l — 2)/2 - ]_J +

+ U(x - z - l - d) ealz [e(al+a2)(x—z—l—d)/2 - l] + + U (x + z - l - d - 2) eal+a2(1—z) x

l-

(al+a2)(x+z — l — d—2

)/2 +

+ U(x - z - 2l - d)

e

4z - e(al+a2)(x — z — 2l — d)/2j +

+ U (x + z - 2l - d - 2) eal+a2(1—z)

e

(al+a2)(x+z — 2l — d—2)/2

-l].

Это выражение довольно громоздкое, но структура его достаточно проста. Каждая функция Хевисайда и(£) задает внутри сечения кристалла границу, правее которой (т. е. вдоль оси х, см. рис. 1) начинает действовать выражение, на которое умножается соответствующая функция Хевисайда (левее этой границы этот множитель дает нулевой вклад).

Теперь найдем суммарную амплитуду дифрагированной волны (с учетом фазы) на верхней поверхности кристалла по формуле

/2Ь+а+2

Ен(х,г = 0) в-^х (1х.

-ж

Здесь верхний предел взят равным 21 + й + 2, поскольку при х > 21 + й + 2 поле в кристалле (в кинематическом приближении) равно нулю.

В результате интегрирования получим

ехр(й1 + а2 — 21дх) — 1

S (Ях, Яг) = Ъъ——-:-0. ч X

%Ях (а1 + а2 — 2гЯх)

Теперь найдем интенсивность как функцию qx и qz

I ((x ,(Z ) = \S ((X,(Z )\2 =

= \b2eia\212

sin а - (qx + qz)/2

а - ((x + qz)/2

sin2 qxl/2 2

qxl/2

2 cos q

l+d lqx—)

где а = (nLz )/(X sin вв )Хо- В обычной (неприве-денной) системе единиц это выражение примет вид

I(Qx,Qz) = \b2eia\2 (l tg вв/Lz)2 x

sin [a - (qx ctg вв + Qz)Lz/2] 2

а - (qx ctg вв + (z)Lz/2

sin

qxl/2

l+d \qx—)

cos q.

Ы/2) 1

Наконец, если f (x) имеет вид функции с N прямоугольными импульсами, то суммарная амплитуда дифрагированной волны на верхней поверхности кристалла есть

exp(ai + a2 - 2iqx) - 1 S(qx, qz) = b2-—-x

x

a1 + a2 - 2iqx

l _ e—iqxl l — e—iqx(l+d)N

гдх 1 — е-гЧх{1+а) '

а интенсивность отражения дифрагированной волны определяется следующим выражением

I (qx,qz )

sin (а - ((x + qz)/2)

а - (((x + qz)/2 sin2 (qx 2 - sin2 ( qxl+ N

((x 2

sin

Заключение

Мы показали, что использование функции Грина в задачах кинематической теории дифракции значительно упрощает расчет поля дифрагированной волны внутри сечения кристалла в виде плоскопараллельной пластины, на поверхность которой падает рентгеновская волна с амплитудой, меняющейся произвольным образом вдоль латерального направления.

Литература

1. Иржак Д.В.// Нанофизика и наноэлектрони-ка. Н. Новгород: ИФМ РАН, 2011. Т.2. C. 602.

2. Пунегов В.И., Иржак Д.В., Рощупкин Д.В.// Рентген. оптика. Черноголовка: ИПТМ РАН. 2012. C. 96-97.

References

1. Irzhak D.V.// Nanofizika i nanojelektronika [Nanophysics & nanoelectronics]. N. Novgorod: Inst. of physics of microstructures, RAS. 2011. Vol.2. P. 602.

2. Punegov V.I., Irzhak D.V., Roshchupkin D.V.// Rentgen. optika. Chernogolovka: Inst. of microelectronics technol. problems, RAS. 2012. P. 96.

Статья поступила в редакцию 12.03.2018.

i

2

о

x

x

X

X

X

2

r^J

X

X

2