CC BY
6Э.В. Онищенко
Дифракция Френеля ультразвука на зонной пластинке
На основании принципа Гюйгенса - Френеля проводится анализ дифракции Френеля в условиях, когда углы дифракции нельзя считать предельно малыми, что характерно для экспериментов с ультразвуком. Построение спирали Френеля выполняется именно в этих условиях.
Ключевые слова: дифракция; принцип Гюйгенса - Френеля; зонная пластинка; ультразвук.
Классическая схема наблюдения дифракции Френеля (рис. 1) включает в себя источник волн £, дифрагирующий элемент (например, зонную пластинку) Е, приемник Р, регистрирующий интенсивность этих волн. В настоящее время существует оборудование (например, выпускаемое фирмой РИУЖЕ), которое позволяет экспериментировать с ультразвуковыми волнами. Все эти элементы располагают на оптической скамье длиной порядка одного метра, так что расстояние а между источником ультразвуковых волн, так же как и расстояние Ь от дифрагирующего элемента до приемника, превышают размер зонной пластинки в разы, но не на порядки, как это бывает в оптических экспериментах. Результаты эксперимента обнаруживают явные отличия от аналогичных результатов в оптике, особенно это относится к наблюдаемой интенсивности в точке фокусировки: ее величина в несколько раз (если не на порядок) меньше, чем та, которая ожидается из анализа классической спирали Френеля [1]. В данной работе анализируется дифракция Френеля от круглого отверстия в условиях эксперимента с ультразвуком и предлагается способ построения спирали, позволяющей оценивать регистрируемую интенсивность.
Обычно для анализа такой дифракции применяют уравнения, которые следуют из представлений, применяемых в геометрической оптике [2]: два параллельных луча, один из которых проходит через край отверстия, открывающего п зон Френеля (луч 1 на рисунке 1), а второй — вдоль оси установки (луч £Р), имеют разность хода, равную произведению п X / 2, где X — длина волны, причем оба после прохождения преграды собираются в точке, отстоящей от пластинки на расстоянии /, которая называется фокусом зонной пластинки (точка Р на рисунке 1). Отсюда получаем для радиуса п-й зоны:
Рис. 1. Схема расположения источника излучения 5. приемника Р и экрана Е с отверстием радиуса г.
где фокусное расстояниеf связывает параметры а и Ь, луча, вышедшего из точки 5 (луч 2 на рисунке 1) формулой тонкой линзы:
1 1 -1 а+ь ~ / ■
(2)
В оптике, где длина волны значительно меньше характерных размеров установки, второе слагаемое в выражении (1) просто опускают.
Для оценки применимости уравнений (1) и (2) вычислим разность хода А двух лучей, идущих в точку наблюдения Р, один из которых (луч 2) проходит через край отверстия радиуса г, а второй — прямо вдоль оси установки:
- а +VЬ2 + г2 - Ь.
Д-V а2 + г2
(3)
Это уравнение позволяет найти связь между квадратом радиуса отверстия г2 и разностью хода А, вместо которой удобно использовать безразмерную переменную й = г, где/— введенное ранее фо^сное расстояние, равное, как это сле-
дует из (2), отношению аЬ(а + Ь)' Разрешая (3) относительно г2 , найдем:
[1
г2 - 2/2 • й
1./!_ 2 аЬ
1./!_ 2 аЬ
1 1
( аЬ):
/2
(1 +1 * й )2 аЬ
(4)
Радиус зоны с номером п получим, полагая й равным п X / (2/), причем результат будет совпадать с приближенным результатом (1), если опустить в (4) все слагаемые, содержащие параметр /2 / а Ь. Для зонной пластинки
из установки фирмы PHYWE f = 10,3 см, так что величина этого параметра порядка 10-1. Кроме того, при длине волны ультразвука X = 0,88 см переменная dn = n X / (2 f) не превосходит этой же величины для нескольких первых зон. Это означает, что «оптическое» приближение (1)-(2) становится некорректным для вычисления радиусов зон Френеля. Лучшим приближением будет такое, в котором в выражении (4) опущены все слагаемые, содержащие d в степени, выше второй. Если теперь определить фазовое запаздывание дифрагированного луча соотношением ф = 2 п А / X, то упрощенная связь, которой мы и будем пользоваться для построения спирали Френеля, между радиусом отверстия r и фазовым запаздыванием луча, проходящего через его край, приобретает вид:
Г2 = 2/-А-[1 + 2(1 -З^Н^)]. (5)
2 nf 2 ab 2nf
К сожалению, это соотношение потеряло свойство универсальности: оно включает в себя не только параметр f, характеризующий зонную пластинку, но и расстояния а и b порознь. Это означает, в частности, что радиусы зон зависят теперь от этих расстояний, а вид спирали Френеля зависит не только от параметра f характеризующего зонную пластинку, но также и от величин a, b. Можно, однако, надеяться, что эта зависимость довольно слаба при перечисленных выше условиях. Таблица 1 подтверждает это обстоятельство. В нее занесены: rn — радиусы, вычисленные по (1), то есть те, с которыми зонная пластинка изготовлена при выбранном фокусном расстоянии f = 10,26 см, r^l) и r^2) — вычисленные по (4) и упрощенному соотношению (5). В последнюю строку таблицы внесена относительная погрешность ё вычисления разности хода (3), обусловленная заменой сферического фронта волновой поверхности, изображенной на рисунке 1 пунктиром, на плоский. Эта погрешность равна разности длин лучей 2 и 3, идущих в точку наблюдения P от соответствующих точек сферической и плоской волновых поверхностей:
—-— + —b-----a -J (a • cos a-a - b)2 + (a • sin P)2 ,
cos a cos в
где a и P — углы, указанные на рисунке 1, определяемые радиусом r отверстия.
Расстояния a и b в таблице 1 те, которые рекомендуют авторы описания [2] рассматриваемой экспериментальной установки. Из данных таблицы можно сделать два основных вывода. Во-первых, ясно, что погрешность, обусловленная заменой сферического волнового фронта на плоский, незначительна. Во-вторых, не имеет смысла делать зонную пластинку с пятью открытыми четными зонами, радиусы которых вычисляются по «оптическому» приближению (2), поскольку ширина десятой зоны сравнима с погрешностью ее радиуса. Интереснее было бы изготовить раздвижную диафрагму и измерять такой ее радиус, при котором измеряемая интенсивность при выбранных расстояниях a, b достигает максимума, а затем минимума. Это означает, что диафрагма открывает одну или две зоны Френеля. Такие интенсивности можно
Таблица 1
Радиусы зон для двух пар расстояний а, Ь и относительная погрешность вычисления длины хода луча, проходящего через край зоны
n І 2 3 4 5 б т 8 9 10
r, см З,04 4,ЗЗ 5,З7 6,26 7,07 7,82 8,5З 9,І9 9,84 І0,46
a = 95,0 см b = ІІ,5 см r (І), см n З,0З 4,ЗІ 5,З2 6,І9 6,96 7,68 8,З5 8,99 9,59 І0,І8
r (2), см З,04 4,З0 5,ЗІ 6,І8 6,95 7,67 8,З4 8,98 9,59 І0,І7
a = З0,0 см b =І5,6 см r (І), см n З,02 4,28 5,26 6,09 6,8З 7,5І 8,І4 8,7І 9,29 9,82
r (2), см n З,02 4,ЗІ 5,З2 6,І9 6,97 7,70 8,З4 9,02 9,64 І0,24
5, І0З, а = З0; b = І5,6 см 0,І6 0,56 І,2 2,0 З,0 4,2 5,6 7,І 8,5 І0,6
сравнить с полученными из спирали Френеля, которую легко построить, если использовать упрощенную связь (5) между квадратом радиуса отверстия и фазовым запаздыванием ф. Для этого мы будем использовать принцип Гюйгенса - Френеля, согласно которому комплексная амплитуда излучения, приходящего в точку наблюдения P от элементарной площадки величиной 2 п r d r, пропорциональна ее величине, содержит экспоненциальный фазовый множитель ехр(/ф), а также косинус угла между нормалью к элементарной площадке и направлением на точку наблюдения, то есть cos в, если считать волновой фронт плоским, и cos (a + в), если он сферический. Этот множитель является существенным, поскольку он определяет затухание комплексной амплитуды при удалении элементарной площадки от осевой линии SP, поэтому мы предпочтем второй вариант. Кроме того, следует учесть зависимость амплитуды от обратного расстояния до точки наблюдения, характерную для сферической
волны, то есть добавить в качестве множителя комбинацию cos ^ • В оптических экспериментах угол в предельно мал, и cos в полагают равным единице, чего в рассматриваемом случае делать нельзя. В результате получим:
dA = C[ — d(r ) •cosP-cos(a + P)]•ехр(/ф)•dф . (6)
b d ф
Здесь С — стандартный нормировочный множитель, связанный с интенсивностью волны, падающей на преграду. Параметрическое уравнение спирали получим, вычисляя действительную (х) и мнимую (у) части комплексной
амплитуды:
ф ф
у (ф) = jd ф •F (ф) •sin^; у (ф) = jd ф •F (ф) •sin^, (7)
где под F (ф) понимается функция, заключенная в квадратные скобки формулы (6). Если использовать точную зависимость r2 (ф) (4), то можно прийти к довольно громоздким выражениям, поэтому в процессе построения спирали
мы будем использовать упрощенную связь (5), а косинусы в функции F (ф) заменим их разложением:
r 2 r 2 1 1
cos в = 1----2, cos(a + в) = 1----(— + — )2,
а в окончательном виде этой функции оставим аргумент ф в степени не выше второй. В результате найдем:
^ (ф) = Х/ • {1 -(—)•[ / 2(— + — + —)-1]. ф-2л/ а Ь аЬ
2 (8)
.А, ч2^3/2 1 2 2
-(----) • -(1 ——)• [-Т +—т + — ]• Ф }.
2 %/ 2 аЬ а Ь аЬ
На рисунке 2 приведена спираль, построенная для а = 30 см, Ь = 15,5 см и соответственно для /=10,26 см. Пользоваться ею следует традиционно: 1) угол между касательной к ней и горизонтальной осью равен углу фазового запаздывания ф, так что точка спирали, соответствующая концу первой зоны, находится на ее вершине; 2) амплитудный вектор, квадрат которого определяет интенсивность излучения в точке наблюдения, соединяет начальную точку и ту точку спирали, которая соответствует определенному числу открытых зон, так что интенсивность при отсутствии преграды (при полностью открытом фронте) определяется вектором, проведенным из начала спирали в ее фокус.
Рис. 2. Спираль Френеля для а = З0 см, b = 15,5 см.
Итак, в эксперименте с раздвижной диафрагмой для заданных расстояний а и Ь можно было бы измерить первую максимальную интенсивность излучения, затем первую минимальную, затем интенсивность при полностью
открытом фронте, и сравнить полученные результаты с теми, которые следуют из формы спирали, построенной по уравнениям (7) - (8).
В заключение отметим, что площади зон Френеля даже в «оптическом» приближении (1) - (2) неодинаковы, хотя в [2] утверждается обратное. Однако это обстоятельство никак не влияет на возможность использования спирали, приведенной на рисунке 2.
Литература
1. Калитиевский Н.И. Волновая оптика. СПб.: Лань, 2008. 511 c.
2. Diffraction of ultrasound at a Fresnel zone plate. PHYWE series of publication. LEP 1.5.18-00. URL: http://www.science.com.tw/catelog/images/Phywe/Lep.pfd (последнее обращение: 26.0З.2011 г.).
Literatura
1. KalitievskijN.I. Volnovaya optika. SPb.: Lan’, 2008. 511 s.
2. Diffraction of ultrasound at a Fresnel zone plate. PHYWE series of publication. LEP 1.5.18-00. URL: http://www.science.com.tw/catelog/images/Phywe/Lep.pfd (poslednee ob-rashhenie: 26.03.2011 g.).
E.V. Onishchenko
Fresnel Ultrasonic Diffraction on the Zone Plate
The paper analyzes the Fresnel diffraction on the basis of Huygens-Fresnel principle, when diffraction angles aren’t extra-small as inherent in ultrasonic experiments. The Fres-nel spiral is modeled exactly under suchlike conditions.
Key-words: diffraction; Huygens-Fresnel principle; zone plate; ultrasound.
