CC BY
54
ДИФРАКЦИЯ СВЕТА НА СПИРАЛЬНОИ ФАЗОВОЙ ПЛАСТИНКЕ С КУСОЧНО-НЕПРЕРЫВНЫМ МИКРОРЕЛЬЕФОМ
Ковалёв А А. , Котляр В.В. , Стафеев С.С. , Сойфер В.А. , 1 Институт систем обработки изображений РАН, 2 Самарский государственный аэрокосмический университет имени академика С.П. Королёва (национальный исследовательский университет)
Аннотация
С помощью принципа Гюйгенса-Френеля и FDTD метода показана асимметрия оптического вихря, сформированного рефракционной спиральной пластинкой со скачком рельефа. Нарушение кольцевой симметрии в сечении оптического вихря наблюдается не только в ближней зоне, но и в средней зоне дифракции, на расстоянии нескольких длин Френеля. Для спиральной пластинки с топологическим зарядом 3 асимметрия оптического вихря доказана экспериментально.
Ключевые слова: рефракционная спиральная фазовая пластинка, оптический вихрь, скачок микрорельефа, принцип Гюйгенса-Френеля.
Введение
Исследованию вихревых лазерных пучков посвящено много статей. Вихревые пучки обладают круговой симметрией и имеют хорошо известную форму в виде «пончика» (doughnut). Как правило, такие пучки формируются с помощью спиральной фазовой пластинки (СФП). Впервые СФП исследовалась в [1]. Вихревые пучки обладают орбитальным угловым моментом, как пучки Лагерра-Гаусса [2]. Параксиальная дифракция гауссова пучка на СФП исследовалась в [3]. Также рассматривалась параксиальная дифракция на СФП неограниченной [4, 5] и ограниченной плоской волны [6, 7]. В этих работах СФП рассматривается в приближении бесконечно тонкого транспаранта, и для анализа дифракции на СФП используются интегральные преобразования Фурье, Френеля или Кирхгофа. При использовании этой теории получается, что в случае освещения СФП m-го порядка радиально-симметричным пучком света с амплитудой в полярных координатах E(r, j, 0) = A(r) на расстоянии z формируется световой пучок также с радиальной симметрией, но со спиральной фазой:
E (р, 8, z) = (-i )m+1 k exp z
ik р2 2 z
Л
+ im8 + ikz
J A (r) exp
rikr2 ^
V 2 z ,
JJkpr
(1)
rdr,
где (р, 0) - полярные координаты в плоскости, поперечной оптической оси, к = 2л/1 - волновое число света, 1 - длина волны света в вакууме, ]ш(х) -функция Бесселя.
В данной работе СФП рассматривается без использования приближения тонкого транспаранта. Тремя способами (лучевой оптикой, скалярной волновой теорией и ГБТБ методом) показано, что в ближней (г< гр - число Френеля) и средней (г> гр) зонах дифракции рефракционная спиральная пластинка с топологическим зарядом ш = 1 и со скачком рельефа формирует асимметричный оптический вихрь (сломанный пончик). Для ш = 3 нарушение
симметрии ментально.
оптического вихря показано экспери-
1. Ход лучей после спиральной фазовой пластинки
Рассмотрим СФП с единичным топологическим зарядом в геометрооптическом приближении. Она представляет собой элемент, глубина микрорельефа которого в полярных координатах описывается выражением Л(г, ф) = 1ф / [2р(п- 1)]. Для стеклянной СФП (п = 1,5 - показатель преломления) глубина равна:
1ф
h(r,<p)=^, фе [0,2p). p
т. е. максимальная (рис. 1).
толщина пластинки равна
(2)
21
Рис. 1. СФП первого порядка с глубиной рельефа (2)
Пусть световой луч распространяется в вакууме параллельно оптической оси и падает на оптический элемент в точке с декартовыми координатами х = (х, у). Внутри СФП с показателем преломления п его волновой вектор равен к1 = (0, 0, кп). Пусть, преломившись на второй (выходной) поверхности элемента, луч распространяется в вакууме в направлении единичного вектора $ с декартовыми координатами (бх, Бу, б). Тогда его волновой вектор равен к2 = к$, а его координаты находятся из закона преломления:
к1 х N = к2 х N , (3)
где N - вектор, задающий направление нормали к выходной поверхности элемента, который имеет декартовы составляющие (—ЭЛ/Эх, — ЭЛ/ду,1).
Из (3) получим уравнение для вектора
х
0
e„
ЭА Эх 0
7
ЭА
dy 0
kn
ex
dh Эх
ks.
-7
-- -dh !
" Э7
ks ks
(4)
где ех, еу, ег - орты трёхмерного пространства. Из (4) следует система уравнений
dh dh
-n =-sz + sx,
Эх Эх
dh dh
— ■n =3- sz + S7,
dy 7
d7
dh
^ =
(5)
dh dys
которая является линейно зависимой. С помощью третьего уравнения и с учётом того, что |$| = 1, выразим (дМдХ^Бг через бх Также выразим (дЫдХ^Б^ через с помощью первого уравнения. Тогда получим:
'ЗА 1
.Эх )
'dh 1 .ЭХ J
s 2 =
s 2 =
dh
дхП - Sx
эа Y+(dh
Эх J + V Эу
(6)
Приравняв правые части, решив полученное квадратное уравнение относительно и аналогичное уравнение для бу, найдём координаты вектора
s„. = -
V± h
1+(V± h)
= ,/1 - s2 - s2,
V ( dh dh где h = l эх' ЗА
n1 -(n2 -l)(V±h)2
(V А )2 = (tj + (эу
(7)
Знак «минус» перед корнем выбран потому, что при п = 1 луч не должен изменить направление, а потому должно выполняться равенство = зу = 0.
Случай, когда подкоренное выражение оказывается отрицательным, соответствует полному внутреннему отражению луча от выходной поверхности элемента.
а)
С помощью (7) можно получить декартовы координаты и точки пересечения луча с произвольной плоскостью, поперечной оптической оси и отстоящей на расстояние I от входной плоскости элемента:
u = x +
?-h (x)
'O
v sy )
(8)
Для СФП с микрорельефом (2) вектор нормали
равен N = (lsinф/(яг),-1cosф/(яг),l), где (г, ф) -
полярные координаты в плоскости СФП. Тогда (7) примет вид:
s„ = -
я1г sin ф
sy =
(яг) + 1 plrcosф
^ 1 -(n2 -1)1 p:
1
яг
(яг )2 + 12
41 -(-1) (£
(9)
4
s = , 1 - s2 - s2
Из (9) видно, что при прохождении через СФП чем луч ближе к оптической оси, тем сильнее он отклоняется, причём при г< (1/я) (л2 - 1)1/2 возникает полное внутреннее отражение от выходной поверхности. Из (9) также видно, что лучи, попадающие на левую (j = я) и правую (j = 0) области СФП, отклоняются, соответственно, вниз (sx = 0, sy < 0) или вверх (sx = 0, sy> 0), а лучи, попадающие на верхнюю (j = я/2) и нижнюю (j = 3я/2) области СФП, отклоняются, соответственно, влево (sx < 0, sy = 0) и вправо (5Х > 0, Sy = 0).
Если бы при j = 0 не было скачка рельефа СФП, то все лучи освещающего кольцевого пучка света (г = const, j е [0, 2я)) отклонялись бы на одинаковый угол. Но из-за наличия скачка освещающий кольцевой пучок теряет свою кольцевую форму и приобретает вид спирали. На рис. 2а показана такая спираль. Она рассчитана по формулам (8) и (9) для следующих параметров: длина волны 1 = 532 нм, топологический заряд СФП m = 1, материал СФП - стекло (л = 1,5), расстояние z = 2,51, расстояние падающих
У, У,
5 4 5 2 •
• 6 • 2 3 •
• • 4 . 12
1 • 11 9 W
7 X • *
ф 5 •
8 ' 12 • 6 • • 9
>' ,0 • 1 и т 7 оо
Рис. 2. Точки пересечения лучей, прошедших через СФП, с поперечной плоскостью на расстоянии I = 2,51 (а), распределение лучей в исходном (б) и в сформированном пучке (в)
e
s
2
2
х
2
2
2
2
2
s
2
2
s
2
лучей от оптической оси г = 0,351. На рис. 2б и 2в показано соответствие лучей падающего кольцевого пучка и сформированной спирали.
2. Скалярная теория дифракции на рельефе СФП
Асимметрия, вызванная наличием микрорельефа, может быть объяснена и с помощью скалярной волновой теории света. Применим принцип Гюйгенса-Френеля. Рассмотрим два разных способа записи дифракционного интеграла. Первый способ состоит в расчёте оптического пути лучей, которые параллельно оптической оси проходят через оптический элемент, начинаются на поперечной плоскости до элемента и заканчиваются на поперечной плоскости после элемента г = гтах (рис. 3а).
Рис. 3. Расчёт поля в приближении тонкого элемента (а) и с учётом преломления на рельефе (б)
В этом случае, согласно принципу Гюйгенса-Френеля, амплитуда поля будет вычисляться с помощью следующего интеграла:
Е(и) = ]] Ео (х)ехр[й(п-1) А(х)]Е^Е^Ё!Ах , (Ш) а И
где х и и - декартовы координаты в передней плоскости элемента и в плоскости наблюдения, а - область элемента, Е0 (х) - амплитуда освещающего из-
лучения, R = |и - х|2 +(z- zmax)
1/2
Второй способ
состоит в расчёте оптического пути лучей, которые параллельно оптической оси проходят через оптический элемент, начинаются на поперечной плоскости до элемента и заканчиваются на поверхности самого элемента (рис. 3б). В этом случае вместо (10) дифракционный интеграл примет вид:
E(u) = j| E0 (х) exp[iknh(х)] exp((ikR) dx ,
R
(11)
Г 2 г -,^12
где R = { |и - х| +1 z- h(х)] } .
Для простоты анализа пусть СФП первого порядка освещается кольцевым пучком, т.е.
Eq (x, 7) = s(VT77 - г);
(12)
где 8(х) - дельта-функция Дирака. Тогда, согласно (11), поле в поперечной плоскости будет иметь вид:
2p
E (р, 8, z) = j exp (3ij)
exp (ikR)
где R =
0
р2 + г2 - 2рг cos (j-8) + ( z-1j/p)2
R
dj,
(13)
12
Перепишем выражение для И приближённо (при г>> (го , р)):
) -2гф-2ргсоб(ф-9)
И » ---, (14)
2В
где В = (р2 + г2 + ^)1/2 С учётом (14), получим из (13):
p
E (р, 8, z ) = exP (ikD) x
D
x j exp [iAj+ iBj2 - iC cos (j-8)] dj,
(15)
где
„ о 2 z
A = 3--,
D
B = A,
pD
(16)
C =
kpr
~D '
Если это поле имеет осевую симметрию, то его угловой момент равен нулю:
2p
j E(р,8,z)d8 = 0. (17)
0
Подставив (15) в (17), получим:
exp(ikD) 2pjQ (с) j exp(iAj + iBj2)dj = 0 . (18) D 0
Из (16) видно, что
lim A = 1,
lim B = 0, (19)
lim C = 0.
Согласно (19) интеграл в (18) стремится к нулю при больших z. Но на малых расстояниях z (меньше нескольких длин Френеля), даже если пренебречь
W
0
2
коэффициентом В в подынтегральном выражении, коэффициент А не равен целому числу, а потому центр тяжести оказывается смещённым от оптической оси, то есть интеграл (18) не равен нулю.
С использованием (10) и (11) были рассчитаны два поля, формирующиеся при прохождении кольцевого пучка (12) с радиусом г= 1,21 через СФП первого порядка (рис. 1). Параметры расчёта те же, что и на рис. 2. Интенсивность и фаза поля, рассчитанного по формуле (10), показаны на рис. 4а, б, а по формуле (11) - на рис. 4в, г. Из рис. 4 видно, что асимметрия возникает именно в случае учёта ступеньки рельефа СФП. Видно также, что картина на рис. 4в имеет вид незаконченной цифры 6, как и на рис. 2.
а)
в)
г)\
Рис. 4. Интенсивности (а, в) и фазы (б, г) светового поля, сформированного при прохождении кольцевого пучка через
СФП и на расстоянии 2=2,5Х от неё, полученные в приближении тонкого элемента и преобразования (10) (а, б) и с учётом преломления лучей на микрорельефе (11) (в, г) (а, в - негативное изображение)
Рис. 4в был получен для кольцевого пучка. Если СФП осветить гауссовым пучком, то при использовании интегрального преобразования (11) было получено распределение интенсивности, показанное на рис. 5. Для расчёта использовался гауссов пучок с радиусом перетяжки ш = 21. Из рис. 5 видно, что и в случае гауссова пучка нарушается симметрия дифракционной картины.
Рис. 5. Интенсивность светового поля, сформированного
при прохождении гауссова пучка через СФП и на расстоянии х=2,5Х от неё, рассчитанная с помощью преобразования (11) (негативное изображение)
3. Строгое моделирование с помощью уравнений Максвелла
Полученная асимметричная картина дифракции подтверждается численным моделированием строгим конечно-разностным (finite-difference time-domain method, FDTD) методом. На рис. 6а, в показаны усреднённые по времени интенсивности в плоскостях, поперечных оптической оси и отстоящих от передней плоскости СФП, соответственно, на расстояния z = 2,51 и z = 151. Остальные параметры моделирования те же: 1 = 532 нм, n = 1,5. В качестве освещающего излучения использовался линейно поляризованный гауссов пучок, сфокусированный на СФП диаметром 81 и имеющий радиус перетяжки w= 21. Интенсивность получена методом FDTD с шагом по пространственным координатам 1/16 для z= 2,51 и 1/10 для z= 151, а по времени - соответственно, 1/(32c) и 1/(20c), где c -скорость света в вакууме. Область моделирования: | x| < 81, 0 < z< 201. Время моделирования: 201/c. На рис. 6б, г показаны мгновенные амплитуды составляющей Ex в этих же плоскостях. Из рис. 6г видно, что на расстоянии z = 151 фаза становится спиральной, как у стандартных оптических вихрей, а распределение интенсивности гораздо больше похоже на кольцевое (хотя асимметрия в виде цифры 6 сохраняется).
а)
в)
г)\
Рис. 6. Картина дифракции линейно поляризованного гауссова пучка на СФП (рис. 1), полученная с помощью метода ГОТО: усреднённая по времени интенсивность (а, в) и мгновенная составляющая Ех в момент времени ? = 201/с (б, г) в плоскостях 2 = 2,51 (а, б) и 2= 151 (в, г) (а, в - негативное изображение)
Расчёт картины дифракции на больших расстояниях ГБТБ методом вычислительно трудоёмок, поэтому в данной работе был использован менее точный, но более быстрый метод распространения пучка (ВРМ метод). На рис. 7 показана амплитуда на расстоянии 2= 501. Заметим, что длина Френеля в нашем случае равна 2р = 4я1 Из рис. 7 видно, что асимметрия оптического вихря сохраняется на расстояниях от СФП, равных нескольким длинам Френеля.
Рис. 7. Амплитуда гауссова пучка после прохождения через СФП на расстоянии z = 501, полученная с помощью метода ВРМ (негативное изображение)
4. Эксперимент
На рис. 8а показано увеличенное оптическое изображение центральной части СФП на резисте с топологическим зарядом т = 3, которая использовалась в эксперименте. На рис. 8б показан профиль этого же участка рельефа СФП, которая была рассчитана для длины волны 1 = 633 нм.
Рис. 8. Вид сверху центральной части (90х90мкм) СФП
с т = 3 для длины волны 1 = 633 нм в оптическом микроскопе (а) и рельеф (в псевдоцветах) этого участка поверхности, полученный с помощью микроинтерферометра (б). Величина скачка рельефа (область чёрного) равна 21
Спиральная пластинка (рис. 8) освещалась линейно поляризованным гауссовым пучком, и интенсивность прошедшего через неё излучения с длиной волны 1 = 633 нм измерялась на разных расстояниях с помощью микроскопа ближнего поля с кантилеве-ром, имеющим отверстие диаметром 100 нм. На рис. 9 показаны распределения интенсивности за СФП (рис. 8) на расстояниях z = 100 мкм (а) и z = 300 мкм (в). Для сравнения на рис. 9б, г показаны интенсивности на соответствующих расстояниях, рассчитанные с помощью метода ВРМ. Из рис. 9 видно, во-первых, что экспериментальная картина интенсивности оптического вихря ещё не успела обрести кольцевую форму и концентрация интенсивности имеет место вблизи линий скачков рельефа СФП (рис. 8), а, во-вторых, расчётные картины дифракции соответствуют экспериментальным данным.
На рис. 9а можно видеть интересную особенность картины дифракции: возникновение локальных субволновых фокусов в местах, где линия скачка рельефа образует углы (ломаная линия на рис. 8а). Авторы планируют подробнее исследовать этот эффект.
Рис. 9. Полученные с помощью микроскопа ближнего поля
асимметричные оптические вихри (9Ox9O мкм), сформированные СФП (рис. S) на расстоянии z= 1OO мкм (а) и z = 3OOмкм (в), и аналогичные картины дифракции, рассчитанные методом BPM (б, г)
Заключение
Таким образом, в данной работе тремя расчётными способами показана асимметрия светового вихревого пучка, сформированного спиральной рефракционной пластинкой со скачком рельефа поверхности. Получен дифракционный интеграл, описывающий принцип Гюйгенса-Френеля и учитывающий особенности рельефа рефракционного оптического элемента. С помощью этого интеграла рассчитана картина дифракции на СФП, которая имеет почти тот же вид, что и картина дифракции, полученная строгим FDTD методом. Отсутствие в ближней зоне кольцевого распределения интенсивности у оптического вихря с топологическим зарядом З, сформированного СФП с тремя скачками рельефа, доказано экспериментально с помощью микроскопа ближнего поля.
Благодарности
Работа выполнена при поддержке ФЦП «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» (госконтракт № 14.740.11.001б), грантов Президента РФ поддержки ведущих научных школ (НШ-4128.2012.9) и молодого кандидата наук (МК-З912.2012.2), а также гранта РФФИ № 12-07-002б9.
Литература (References)
1. Khonina, S.N. The Phase Rotor Filter / S.N. Khonina, V.V. Kotlyar, M.V. Shinkaryev, V.A. Soifer, G.V. Usple-niev // Journal of Modern Optics. - 1992. - Vol. З9(5). -P. 1147-1154.
2. Allen, L. Orbital angular momentum of light and the transformation of Laguerre-Gaussian modes / L. Allen, M.W. Beijersbergen, R.J.C. Spreeuw, J.P. Woerdman // Phys. Rev. A. - 1992. - Vol. 45. - P. S1S5-S1S9.
3. Sacks, Z. Holographic formation of optical-vortex filaments / Z. Sacks, D. Rozas, G. Swartzlander, Jr. // J. Opt. Soc Am B - 199S - Vol 15 - P 222б-22З4
4. Nye, J.F. Dislocations in wave trains / J.F. Nye, M.V. Berry // Proceedings of the Royal Society of London, Series A. - 1974. - Vol. 336. - P. 1605.
5. Kotlyar, V.V. Generation of phase singularity through diffracting a plane or Gaussian beam by a spiral phase plate / V.V. Kotlyar, A.A. Almazov, S.N. Khonina, V.A. Sofier, H. Elfstrom, J. Turunen // J. Opt. Soc. Am. A. - 2005. - Vol. 22. - P. 849-861.
6. Kotlyar, V.V. Diffraction of a plane, finite-radius wave by a spiral phase plate / V.V. Kotlyar, S.N. Khonina, A.A. Kovalev, V.A. Soifer, H. Elfstrom, J. Turunen // Opt. Lett. - 2006. - Vol. 31. - P. 1597-1599.
7. Garcia-Gracia, H. Diffraction of plane waves by finite-radius spiral phase plates of integer and fractional topological charge / H. Garcia-Gracia, J. Gutiérrez-Vega // J. Opt. Soc. Am. A. - 2009. - Vol. 26. - P. 794-803.
DIFFRACTION OF LIGHT BY A SPIRAL PHASE PLATE WITH PIECEWISE-CONTINUOUS MICRORELIEF
A.A. Kovalev1, V.V. Kotlyar1, S.S. Stafeev2, V.A. Soifer12 1 Image Processing Systems Institute of the RAS, 2 S.P. Korolyov Samara State Aerospace University (National Research University)
Abstract
Using a Huygens-Fresnel principle and the FDTD method we show that an optical vortex generated by a refractive spiral plate with a relief step has an asymmetric profile. The annular diffraction pattern in the optical vortex beam cross-section is found to be disturbed not only for the near-field diffraction but also for the middle-field diffraction, at a distance of several Fresnel lengths. For spiral phase plate with topological charge m = 3 asymmetry of optical vortex has been shown experimentally.
Key words: refractive spiral phase plate, optical vortex, thin element, transmittance function, microrelief, Huygens-Fresnel's principle.
Сведения об авторах Ковалёв Алексей Андреевич, Стафеев Сергей Сергеевич - см. стр. 188-189 этого номера. Сведения об авторе Котляр Виктор Викторович - см. стр. 164 этого номера. Сведения об авторе Сойфер Виктор Александрович - см. стр. 150 этого номера.
Поступила в редакцию 09 апреля 2012 г.
