CC BY
14
- 1 -
Чен Т.
Доцент, кандидат физико-математических наук, Московский государственный университет тонких химических технологий им.
М.В .Ломоносова
ПРОСТРАНСТВЕННО-ВРЕМЕННАЯ ДИФРАКЦИЯ ФЕМТОСЕКУНДНЫХ РЕНТГЕНОВСКИХ ИМПУЛЬСОВ СОВЕРШЕННЫМИ ИЗОГНУТЫМИ КРИСТАЛЛАМИ
Аннотация
Развита динамическая теория брэгговской пространственно-временной дифракции фемтосекундных рентгеновских импульсов совершенными изогнутыми кристаллами. Рассмотрен случай упругого изгиба кристалла по параболическому цилиндру. На основе рентгено-оптического принципа Гюйгенса-Френеля получено выражение для амплитуды дифрагированного импульса в вакууме.
Ключевые слова и фразы, динамическая теория дифракции, упруго изогнутый кристалл, фемтосекундный импульс, рентгено-оптический принцип Гюйгенса-Френеля, пространственно-временная дифракция.
Key words: dynamical theory of diffraction, an elastically bent crystal, a femtosecond pulse, X-ray optical Hyugens-Fresnel principle, spatial-temporal diffraction.
В последние годы интенсивно идут работы по созданию рентгеновского лазера на свободных электронах, излучающего в жестком рентгеновском диапазоне (1 ~ 1А). В связи с этим актуальность приобретает разработка
- 2 -
методов управления характеристиками излучения лазера. Одну из
возможностей управления рентгеновскими фемтосекундными импульсами предоставляет явление динамической дифракции рентгеновского излучения в совершенных кристаллах. Динамическая теория зависящей от времени дифракции по Брэггу в совершенных плоских кристаллах была развита на основе формализма функций Грина в статье [1].
Динамическая теория дифракции излучения рентгеновского лазера совершенными кристаллами рассматривалась также в [2-4].
В работах [5, 6] получила развитие общая теория динамической дифракции рентгеновского импульса с произвольной пространственновременной структурой поля падающего импульса в кристаллах с произвольной толщиной в геометриях Брэгга и Лауэ. Одним из важных результатов этой теории явилась возможность временной компрессии фемтосекундных импульсов [7].
В данной статье развита динамическая теория пространственно-временной брэгговской дифракции рентгеновского импульса в толстом упруго изогнутом кристалле.
Амплитуду поля падающего импульса на входной поверхности кристалла представим в виде
(
Einc (x, z = 0, t ) = E(x ) F
ct -
x
\ ag о;
где c - скорость света, a = tg j 0 - tg j h ,
g0 = cos j 0 , j 0, h - направляющие косинусы для падающей и отраженной волн соответственно.
Ниже для определенности рассмотрим совершенный кристалл, подвергнутый механическому изгибу по параболическому цилиндру. Изгиб будем считать «слабым», что позволяет нам аппроксимировать функцию
- 3 -
Г рина изогнутого кристалла выражением для неизогнутого идеального кристалла.
Декартовы и косоугольные координаты связаны следующим образом: z = s -sh, X = tanФ0s0 +1tan jh\sh .
Г раничные условия для случая Брэгг-геометрии имеют вид
Ео (х, z,T )| г=о = Етс (х,0,Т),
Eh(хz,T ) z®¥= 0.
Разлагая функцию F (t) в фурье-интеграл F (t) = (2p)-1 j dw F (w ) exp(-i w t),
где фурье-трансформанта F (w ) равна F (w)= j dTF (T )exp(iwT),
получим амплитуду дифрагированного импульса на поверхности слабоизогнутого кристалла
Eh (х, z = 0, t ) =
i Chpp
Му hi
expfij jdx expj-i^(х')2}e(x)F
V
1R
/Л
ct -V аУ0
х {х - х'}
а у
X
h\
2 J
^2о{х - х}
X
а
У
2о{х - х'}
а
exp
к% 0(х - х)
al
1 1
— + 1—
V У0 |уhi у
0(х - х')
(1)
Здесь P - поляризационный фактор, %h,o - фурье-компоненты рентгеновской поляризуемости кристалла, R x - радиус изгиба кристалла, о = p/Л, Л - экстинкционная длина, J1 (х) - функция Бесселя первого порядка, 0( х) - ступенчатая функция Хевисайда.
В случае, если длительность импульса много меньше характерного времени t0 = Л/2рс динамической дифракции, падающий импульс можно аппроксимировать как 5 - функцию
- 4 -
г
F
ct -V ago
x {x - x'}
a\g
= d
h\ j
ct
x {x - x'}
(2)
aio agh\ j
Аппроксимация (2) справедлива для очень узких импульсов. Например, при отражении (220) от кристалла кремния импульса с 1 = 0,154 нм время t0 @ 3,6 фс.
Из (1) с учетом (2) получаем амплитуду дифрагированного импульса на выходной поверхности кристалла
Eh (x, z = 0, t )= i exp
Mg h
[i Kg hx2Л
V
1R
exp
j
0
1R
x
a g h\ct
f
1 +
gh
x E
x
' r [ x ^
2 jJ 2sl g hi >
a g \ct V ag 0 j
N > r ( 2
1 + g h < 2S| g h| x ct
V g 0. j V ag0 jj
exp
0
V
f
g
1
0 j
x
x
\
ct -
V ag 0 j
f
1 +
g h
V
g
0 j
x
X0
x
ct------
V ag0 j
(3)
Амплитуду дифрагированного импульса в вакууме на расстоянии Lh от кристалла найдем, используя рентгено-оптический принцип Г юйгенса-Френеля, вычислив свертку поля (3) с функцией точечного источника в вакууме G0 (r) по когерентно отражающей поверхности кристалла:
Eh (rP )exp[i 21pkhrP
^Kg jdrhEh (xh, z = 0, T)exP
V
2k r r
i—k,r,
1 hh
\
j
G0 (rp - rh ),
f
Go (Г ):
exp
2k
i — r
1
V___
4pr
2
- 5 -
Пусть поле падающего импульса на поверхности кристалла имеет фазу, квадратичную по x (параболическое приближение для фазы падающей сферической волны):
E (x ) @ exp(ixL0 )exp(i^g2 x /2L 0)/ L 0 , а также для функции точечного источника ограничимся параболическим приближением в разложении фазы.
Тогда поле отраженного импульса на расстоянии Lh от кристалла в точке с поперечной координатой X p в момент времени t имеет следующий вид
Eh (rP, t )exp(ik/p) = ,.С Р == exp
LW (a 0 +a h )1
- i
PC 0
f
x exp
. 2p r
i—L,
l h
\
f(x p , t )J dk Gh(k )exP|- i —(
AXa2 g2 (a о +a h)
k2 « .
АЛ x
( l„, |V
1 +
g h
V go У
>x
a0 +a h )
x exp{ikF(X P, t)},
F(x p , t ) =
a g h\cta 0
(
1 +
V »0 у
- a g0 ct
x P g h
+
C 0
(a 0 +a h )
Lh (a0 +ah ) 2(a0 +ah )ag0
(4)
f |g 19 1 + \—
V g0 У
f (X P, t ) = exp
2 I 12 2 2 2 2 I 12 2 2
Pa0agJct • PaоagAct , .PC0Ct
i-----! ! --i—:-----Er1-------+ i
(
x exp<!- i
PX P g h
i +
gh
V »0 у
g0
f
1 +
gh
V '0 у
g0
(a0 +a h )
( |g 19
1
V g0 у
>X
1Lh(a 0 +a h X
В формуле (4) kh = k0 + h, kh,0 - волновые векторы дифрагированной и падающей волн соответственно, h - вектор обратной решетки идеального кристалла, Gh (k) - фурье-компонента функции Г рина для идеального
h
- 6 -
кристалла, a0 = g2 /L0 - g0/Rx , ah = gh /Lh + gh /Rx , L0 - расстояние от источника рентгеновских импульсов до кристалла. Здесь рассматривается случай, когда
a0 Ф - ah.
Интеграл в (4) можно приближенно вычислить аналитически с помощью метода стационарной фазы. Интенсивность отраженного импульса в вакууме в момент времени t равна
2 С P V
Ei &, t \
Lll
\Gh stat )|
где
kstat ^(a0 + ah )F( Xp , t).
Пространственный размер отраженного импульса зависит от времени t. Однако, как видно из (4), при aogo + ah (go + |gh |) = 0 функция F( Xp , t) = F( Xp). В этом случае пространственная ширина отраженного импульса в направлении, поперечном к kh, оказывается не зависящей от деформации и определяется длиной экстинкции и геометрическими параметрами дифракции:
DXp = 2lLh /aL|gh |. (5)
При симметричном отражении (220) от кристалла кремния импульса с l = 0,154 нм на расстоянии Lh = 1 м от кристалла ширина импульса DXp» 25 мкм.
Из (4) следует, что при a0 = - ah для падающего импульса с квадратичной по координате фазой возможна пространственная компрессия отраженного импульса. Для устранения бесконечно большой амплитуды при a0 = - ah в (4) необходимо учитывать уже кубические члены разложения фазы функции Грина в вакууме. Данный вопрос будет рассмотрен в следующей
статье.
- 7 -
Список литературы
1. Chukhovskii F.N., Forster E. Time-Dependent X-ray Bragg Diffraction //Acta Cryst.(A). - 1995. - Vol.51. - P.668-672.
2. Graeff W. Tailoring the time response of a Bragg reflection to short x-ray pulses// J.Synchr.Rad. - 2004. - Vol.11, part 3. - P.261-265.
3. Malgrange C., Graeff W. Diffraction of short X-ray pulses in the general asymmetric Laue case-an analytic treatment // J.Synchr.Rad. - 2003. -Vol.10, part 3. - P.248-254.
4. Shastri S.D., Zambianchi P., Mills D.M. Dynamical diffraction of ultrashort x- ray free-electron laser pulses //J.Synchr.Rad. - 2001. - Vol.8, part 5. -P.1131-1135.
5. Бушуев В. А. Дифракция фемтосекундных импульсов излучения рентгеновского лазера на свободных электронах // Материалы Симпозиума «Нанофизика и наноэлектроника-2005». - 2005. -Нижний Новгород. - С.279.
6. Бушуев В. А. Дифракционное отражение от кристалла фемтосекундных импульсов рентгеновского лазера на свободных электронах
//Изв. РАН, сер.физ. - 2005. - Т.69, № 12. - С.1710-1715.
7. Бушуев В. А. О возможности временной компрессии фемтосекундных импульсов излучения рентгеновского лазера на свободных электронах при брэгговском отражении от кристалла //Материалы Симпозиума «Нанофизика и наноэлектроника-2006». - 2006. - Нижний Новгород. -С.368.
