CC BY
34
УДК 517.958
И. Е. Плещинская, Н. Б. Плещинский, И. В. Сабиров
ДИФРАКЦИЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЙ ВОЛНЫ НА ЭКРАНИРОВАННОЙ ДВОЯКОПЕРИОДИЧЕСКОЙ РЕШЕТКЕ
Ключевые слова: электромагнитная волна, дифракция, двоякопериодическая решетка.
Задача дифракции электромагнитной волны на двоякопериодической экранированной решетке из тонких проводящих пластин сведена к бесконечной системе линейных алгебраических уравнений методом интегрально-сумматорных тождеств. Вычислительный эксперимент показал сходимость метода усечения при решении бесконечной системы уравнений. Представлены некоторые результаты вычислительного эксперимента.
Keywords: electromagnetic wave, diffraction, bi-periodical grating.
The electromagnetic wave diffraction problem on the shielded, bi-periodical set of thin conducting screens is equivalent to infinite set of linear algebraic equations. Method of integral-summatorial identities is used. Numerical experiment demonstrates the convergence of reduction method by solving the infinite set of equations. Some results of numerical experiment are presented.
Введение
Слой диэлектрика между параллельными проводящими плоскостями образует волноводную структуру (плоский волновод). Для возбуждения волн в волноводах внешним электромагнитным полем часто используются решетчатые узлы. В данной работе в качестве устройства ввода излучения в плоский волновод рассматривается бесконечная двоякопериодическая система тонких идеально проводящих экранов (решетка), расположенная на границе слоя. В [1] показано, что при наличии периодической решетки компоненты возбужденного поля могут быть только квазипериодическими функциями. Поэтому задача определения дифрагированного поля может быть сведена к системе уравнений для коэффициентов разложения поля по гармоникам Флоке. Для этого удобно использовать универсальный подход к решению задач дифракции волн на периодических системах неоднородностей ("три правила") [2].
Ранее [3] был рассмотрен двумерный случай задачи дифракции электромагнитной волны на периодической решетке из бесконечно тонких идеально проводящих лент, в том числе задача нахождения параметров дифракционной решетки, при которых поток энергии через поперечное сечение волновода становится максимальным.
Задачи дифракции электромагнитных и упругих волн на периодических системах неоднородностей близкими методами исследовались в работах [4] и [5]. Возможность распараллеливания расчетных алгоритмов при решении задач дифракции волн на периодических структурах обсуждалась в работе [6].
Некоторые результаты данной работы были представлены на международной конференции «Days on Diffraction 2014» [7].
Постановка задачи
Пусть однородный изотропный слой диэлектрика 0 < z < h (в декартовых координатах)
ограничен снизу (ъ = 0) идеально проводящей плоскостью. Двоякопериодическая система бесконечно тонких идеально проводящих экранов расположена на верхней границе слоя (ъ = И). Пусть /х, 1у - периоды этой системы вдоль осей х и у соответственно (Рис. 1).
У /
/ N /
м т Р> м //
///// М4 wf
0 ' 1Х х
Рис. 1 - Фрагмент волноводной структуры
Пусть плоская электромагнитная волна падает на периодическую структуру сверху. Направление распространения волны (в котором переносится энергия) определяется углами 0 и ф, отсчитываемыми от оси ъ к осям х и у. Необходимо найти электромагнитное поле, возникающее в процессе дифракции.
Обозначим полупространство ъ > И и слой 0 < символами I и II соответственно. Будем
искать решения системы уравнений Максвелла, удовлетворяющие в областях I и II граничным условиям и условиям сопряжения, а в области I также и условию излучения. Касательные составляющие вектора напряженности
электрического поля Е должны обращаться в нуль на экране ъ = 0 и пластинах дифракционной решетки ъ = И. Касательные составляющие векторов напряженности магнитного Н и электрического Е поля должны быть непрерывны на границе раздела сред, свободной от металлического экрана.
Предположим, что электромагнитное поле гармонически зависит от времени (выберем зависимость в виде е ), и перейдем к системе уравнений Максвелла для комплексных амплитуд.
Будем искать решения в виде квазипериодических функций (волн Флоке)
A(x,y,z) = EEAmn(z)e'PmX
m n
2п 2п
Pm = —m + a, qn = — n + p,
'x 'y
где a и p - искомые параметры Флоке. Здесь и далее суммирование производится по всем слагаемым с индексами от — да до + да .
Из системы уравнений Максвелла получим систему дифференциальных уравнений для зависящих только от переменной z коэффициентов Флоке компонентов электромагнитного поля Exmn,
Ey,mn Ez,mm Hx,mn Hy,mn Hz,mn.
Обозначим ET = (Ex, Ey) и HT = (Hx, Hy) касательные составляющие векторов E и H (по отношению к плоскостям z = const). Таким образом, уравнения для коэффициентов Флоке имеют
ET (z) = —— RmnH (z),
h; (z) =
здесь
R =
we 0 e i
we e 0
Pmqn
RmnEт (z),
k2 p2 A
k — pm
q2 — k2 — Pmqn
2 2
- постоянная матрица, k = w ^0^e0e - волновое
число.
2 2 2 2 2 Так как Rmn = - k (k - Pm - qn) I, где I -
единичная матрица, то HT (z) =
i
2 2 2 Е'т (2).
Ш|^(к "Рт-Чп)
2 2 2 2 Обозначим к - Рт - Ч п _ Утп и условимся
выбирать значения утп таким образом, чтобы Ре
утп >0 либо 1т утп>0 (случай утп=0 не
рассматривается).
Будем говорить, что волна положительно
ориентирована (относительно оси 2), если она
переносит энергию в направлении оси 2 или
затухает в этом направлении. Таким образом, для
положительно ориентированной волны в области I
(2-Ь)еФтХ + ЧпУ
E+(x,y,z) = XZc+m neiYmn(z—h)e
В слое диэлектрика компоненты поля E — (x,y,z) = CmnSin(Y'^nz)eiPmx+iqny,
H— (x,y,z) =
W|J 0M
SS
^R—,c—,cos<Y —nz)eiP—X
II ■ 1т^тп
У тп
Парное сумматорное функциональное уравнение
Так как волноводная структура является периодической, то в плоскости 2 = И достаточно рассматривать граничные условия и условия сопряжения только в прямоугольнике [0, 1х]х[0, 1у]. Обозначим через М часть этого прямоугольника, занятую экраном (экранами), и через N - остальную его часть.
Условие ЕТ + ЕТ = ЕТ должно выполняться как на М, так и на N отсюда
стп + Стп = ^п^^^тт^ т,п = 0, ± ^ • • Из граничных условий
SS
+ ^—Х+ЧПУ _
= SS c-'
^-Х+ЧПУ
на M.
т п
Вторая часть парного уравнения выводится из условия сопряжения Н^ + НТ = НТ на N1
у у 1 Р1 с0 е'Ртх+'ЧпУ _ I ^тп^тп"3 т п Y тп
УУ 1 р! с + е'Ртх+'ЧпУ _ I ^тп^тп"3 _
т п Ymп
_ ЕЕ-^Р'тпСтпСсз^Ип^+1ЧпУ.
т п Y тп
Из условий сопряжения и граничных условий следует, что параметры Флоке аир у падающей волны и у волны, возникшей в процессе дифракции, должны быть одинаковы. Разделим обе
„¡ах+1Ву
части парного уравнения на е и исключим
неизвестные коэффициенты стп. Тогда получим
ZZ
Cm ne
2п ,2п I—mx+i—ny 'x ly =
= SScmne
0 ^ 'x mn
2п ,2п mx+i—ny
'у y
тогда
H+ (X,y,z) = w_!_ S^-TLRmnc+m neiYmn(z—h)eiPmX+iqny
WM0M m n Y
,2n ,2n hj—mx+hj—ny
SSSmncmne X У
на M,
Если волна отрицательно ориентирована, тогда знак перед числом Ylmп нужно изменить на противоположный. Будем считать, что волна, падающая на двоякопериодическую решетку, задана как волна Флоке
Е0(х,у, и) _ ЕЕстпе-^п(2_И)е 1Ртх+1чпу.
т п
В случае плоской волны в этой сумме содержится только одно слагаемое.
где
SSTmncmne
2п ,2п i—mx+i—ny
= 0 на N,
1 1
Smn =-^R|™ + й R—nicot(Y-nh),
Tm
1 1
"1 r—П —^RL^y mmn h).
mn
Y
Y
mn
mn
Y
Y
mn
mn
Введем новые искомые коэффициенты стп так, чтобы
о с + _ Т с0 _ о с °тп°тп 'т^тп ит^тп'
и получим окончательно парное сумматорное
функциональное уравнение
SS
cmne
,2п ,2п i—mx+i—ny 'x 'y =
~S S (I + St—nTmn)c—ne
,2n ,2n i—mx+i—ny
0 „ 'x 'y
на M, (1)
SSs—
,2n ,2n i—mx+i—ny
nc—ne 'x 'y = 0 на N. (2)
Бесконечная система линейных алгебраических уравнений
Транспонируем уравнения (1), (2) и
получим
SS
cmne
,2п ,2п i—mx+i—ny 'x 'y =
= SSc-n(I + SmnTmn) e — n
(3)
2n . 2n i-—X +i—ny
на M,
. 2n . 2n i——x+i—ny
SSc—nS—ne
y = 0 на N, (4) — n
здесь cmn - искомые векторы-строки, состоящие из двух элементов.
Имеет место интегрально-сумматорное тождество
,2п ,2п i—mx+i—ny
SSc—ne 'x 'y =
' jjSSc—nrmne
,2n , ,2n , ■ —mx +i—ny
'x 'y ,
'x'y m n
<SSr
i2nr(x-x')+i2n s(y-y')
-1e 'x '
'У
dx'dy',
(5)
которое (если сходятся ряды) справедливо для любых
векторов стп и матриц Гтп при всех х из [0, 1х] и у из
[0, 1у].
Из (5) с учетом (2) следует
SSc
,2п ,2п i—mx+i—ny
Л 'у =
' ' SSc-nr-n х ^Z^Zr-sI—-r,n-:
,2п ,2п i-rx+i—sy
lx 'y
'x'y - n
, (6)
здесь Г-n.— Smn,
Im—r,n—s = JJ e
i-2^ (m-r)x'+i-22n (n-s)y'
'x 'y dx 'dy'.
Перейдем к коэффициентам Флоке и получим для всех j,k = 0, ±1,...
'x'ycjk = —SS c—n(I + SmnTmn) Im—j,n—k +
m n vT
77" SS
c—nS—n SS(S rs ) I——r,n—sJr—j,s—k
'x'y - n
(7)
где
i-2^- (—- r)x'+i-2^- (n-s)y'
J-—r,n—s = 11 e 'x 'y dx 'dy'.
и<
N
Результаты численных экспериментов
Если М - прямоугольник [0, ^]х[0, то интегралы ^г,^ и ит-г,п-5 вычисляются явно. Численные эксперименты показали, что зависимость энергетических характеристик электромагнитного поля от параметров волноводной структуры имеет резонансную форму.
о г0
Рис. 2 - Вещественная часть Ex (x, y, h)
Рис. 3 - Мнимая часть Ех (х, у, И)
При расчетах были приняты следующие предположения: направление падающей плоской волны единичной амплитуды определяют углы 0 = п/6, ф = п/3. Выбраны безразмерные величины И = 0,5, 1х = 0,7, 1у = 0,8, с1х = 0,3, с1у = 0,4. Установлено, что значение параметра усечения БСЛАУ может быть 15 или больше, т.е. должны учитываться все коэффициенты Флоке с индексами т и п от -15 до +15 или в большем диапазоне.
Значения вещественной и мнимой частей компоненты Ех на верхней границе слоя представлены на Рис. 2 и Рис. 3.
Величина потока энергии, переносимой вдоль оси х через поперечное сечение х = 0 элементарного параллелепипеда (см. Рис. 1) представлена на Рис. 4.
X
У
M
Рис. 4 - Энергия вдоль оси х через сечение х = 0
Зависимость энергетических характеристик от направления распространения падающей волны (от углов 0 и ф) также имеет резонансный характер.
Работа выполнена при поддержке РФФИ и АН РТ, грант 12-01-97012-р-поволжье-а, а также частично за счет средств субсидии, выделенной Казанскому федеральному университету для
выполнения государственного задания в сфере научной деятельности.
Литература
1 N.B. Pleshchinskii, Proceedings of PIERS 2013 in Stockholm, 416-420 (2013);
2 I.L. Aleksandrova, E.A. Osipov, N.B. Pleshchinskii, P.A. Rogozhin, Proceedings of PIERS 2012 in Moscow, Moscow, 435-439 (2012);
3 И.Е. Плещинская, Н.Б. Плещинский, И.В. Сабиров, Вестник Казанск. технол. ун-та, 16, 19, 46-48 (2013);
4 И.Л. Александрова, И.Е. Плещинская, Н.Б. Плещинский, Вестник Казанск. гос. технол. ун-та, 7, 37-39 (2012);
5 И.Е. Плещинская, Н.Б. Плещинский, Е.А. Осипов, Вестник Казанск. гос. технол. ун-та, 3, 82-85 (2012);
6 И.Е. Плещинская, Н.Б. Плещинский, Вестник Казанск. гос. технол. ун-та, 16, 17, 38-41 (2013);
7 N.B. Pleshchinskii, I.V. Sabirov, Days on diffraction 2014 (St. Petersburg, Russia, May 26-30, 2014). Abstracts, St. Petersburg, 2014, P. 71-72.
© И. Е. Плещинская - канд. физ.-мат. наук, доцент каф. информатики и прикладной математики, КНИТУ, plant_tlower@mail.ru; Н. Б. Плещинский - д-р физ.-мат. наук, профессор, зав. кафедрой прикладной математики; Казанский (Приволжский) федеральный университет, pnb@kpfu.ru; И. В. Сабиров - аспирант, Казанский (Приволжский) федеральный университет, Ilfat.Sabirov@kpfu.ru.
© I. E. Pleshchinskaya - Сand. of physical and mathematical sciences, Associate Professor of Department of Informatics and Applied Mathematics; KNRTU, plant_flower@mail.ru; N. B. Pleshchinskii - Doct. of physical and mathematical sciences, Professor, Head of Department of applied mathematics, Kazan (Volga region) Federal University, pnb@kpfu.ru; I. V. Sabirov - PhD student, Kazan (Volga region) Federal University, Ilfat.Sabirov@kpfu.ru.
