CC BY
35
Машиностроение U компьютерные технологии
Сетевое научное издание
http://www.technomagelpub.ru ISSN 2587-9278 УДК 519.2
Диффузионные процессы в курсах теории вероятностей и уравнений математической физики
Облакова T.B.1'* 'obltviginboxju
1МГТУ им. Н.Э. Баумана, Москва, Россия
В работе обобщается опыт параллельного изучения явления диффузии в курсах случайных процессов и уравнений математической физики. Автор детально анализирует методические параллели, обнаруженные в процессе изложения материала. Установлена связь между решением уравнения Колмогорова в предположении конечности второго момента и фундаментальным решением оператора диффузии. Выявлен вероятностный смысл физических характеристик броуновского движения.
Также вероятностная аналогия распространена на стационарный режим диффузии, предложена вероятностная трактовка фундаментального решения оператора Лапласа.
Ключевые слова: диффузионные процессы, условные плотности, фундаментальное решение оператора диффузии, стационарный режим диффузии
Введение
Опыт параллельного чтения курсов случайных процессов и уравнений математической физики неизбежно наводит на мысль прояснить связь между некоторыми аспектами этих курсов. При изучении уравнения диффузии (теплопроводности) бросается в глаза совершенно вероятностный вид фундаментального решения соответствующего оператора [2]. В то же время уравнения Колмогорова для условных плотностей диффузионных процессов естественным образом сводятся к уравнениям в частных производных. Поскольку объектом изучения и в той, и в другой науке является броуновское движение частиц, эта похожесть не вызывает удивления [1], но побуждает проанализировать связи между физическими и математическими характеристиками явления диффузии.
1. Диффузионные процессы в теории вероятностей
Пусть х, 5, у) - условная плотность диффузионного процесса ^. то есть
Ссылка на статью:
// Машиностроение и компьютерные технологии. 2018. № 09. С. 48-55.
Представлена в редакцию: 16.08.2018 © НП «НЭИКОН»
piг f (x,y)
p(t,x,s,y) = pfs(y| ft = x) =-% ч ■
где p ft(x) - плотность сечения %t,
p^ ^ (x,y) - плотность совместного распределения сечений % t и % S,t,s Е R,х,у Е R3.
Математическая формализация идеи о том, что будущее движение не зависит от прошлого, приводит к уравнению Колмогорова-Чепмена:
p (t,x,s,y) = jR3p (t,x,T,z) p (r,z,s,y) dz, (1)
где т Е (t; s) - произвольный промежуточный момент времени.
По сути, уравнение (1) есть непрерывный аналог формулы полной вероятности. В самом деле, в предположении марковости, то есть равенства условных плотностей
Р&(УI (т = z,(t =х) = p?s(y| (т = z),s > т > t, получаем очевидную цепочку, приводящую к уравнению (1)
ре е (х,у) 1 Г p(t,x,s,y)=---= —— щ f f {x,z,y)dz =
r3
f r 1С с чР^Д1'2), = = x,fT = z) dz =
J pft(x)
= J PfsCylfr = z)PfT№t = x)dz = J р(т, z,s,y)p(t,x, r, z)dz,
r3 r3
Если определены
a(x, t) = lim-
т ->t+ T — t
- вектор сноса (столбец) и
b(х t) - lim M
b (x,L) — 1 iI I Ii- с+
матрица диффузий, то условная плотность удовлетворяет, в частности, второму уравнению Колмогорова [3]
ra ¿,( а (y,s ) р (t,x,s,y) i, j^ri b (y,t) p (t,x,s,y) ) — 0, (2)
В предположении, что а (х , t) - нулевой вектор, а матрица диффузий имеет диагональный вид
/2D О 0 \ b (x,t) — lo 2 D 0 ) , V О 0 2DJ
уравнение (2) перепишется следующим образом
9 р (t,x,s,y) — D А vp (t,x,s ,y), (3)
ds
где Ay - оператор Лапласа по переменной у Е R3.
При фиксированных значениях и в области с естественным гранич-
ным условием х, 5,у) |5=: = <5 (у — х) , где <5(х) -дельта-функция Дирака, уравнение (3) решается операционным методом с применением преобразования Лапласа по переменной 5 и трехмерного преобразования Фурье по переменной у ( [4]). Найденная таким образом функция
2
9(s — t) _ 1у-*1 % (2 JnD(s-t))
где 0(s — t) — функция Хевисайда, представляет собой фундаментальное решение
0(t)
Е(х, t) =-je 4Dt
(2л/тгШ)
оператора диффузии — — D Ду от аргументов у — х и s — t
p(t,x,s,y) = Е(у — x, s — t).
Таким образом, единственным решением уравнения (2) в однородном и симметричном трехмерном пространстве, имеющим конечный второй момент, является семейство функций
р ( t, х, s , у) = ( ) , е ^ d(S- о,
[2^ ж D(s-t)J
зависящее от параметра D.
Следовательно, Е (у — х, s — t) имеет смысл плотности вероятности, то есть вероятность того, что частица, выходящая из точки х в момент t будет в момент s находиться в области П равна интегралу от плотности по области:
Р ( е П I = х) = /п Е (у — x,s — t) dy. Допустим теперь, что в момент времени t из точки х начинают движение n частиц. Каждая будет участвовать в броуновском движении, и тогда в момент s в объеме dy, окружающем точку , число частиц приближенно равно (ошибка имеет
порядок
4П).
Следовательно, отношение
Е(у — х, s — t)dy
п---= п Е(у — x,s — t)
dy
имеет смысл концентрации.
2. Уравнение диффузии как уравнение в частных производных
С другой стороны, в курсе уравнений математической физики [5] рассматривается уравнение диффузии
DAyu = F (y,s), (4)
в котором имеет смысл концентрации частиц диффундирующего в некоторой сре-
де вещества в точке у в момент времени s, F (у, s ) - удельная мощность источников диф-
фундирующего вещества в той же точке, не зависящая от концентрации и, Б - коэффициент диффузии в физическом смысле (количество вещества в массовых единицах, протекающее в единицу времени через участок единичной площади). Обобщенным решением уравнения (4) является свертка его правой части Р (у, 5 ) с фундаментальным решением
в (б)
Я (у, 5) =-——з е
(2л[тШ)
9
оператора теплопроводности — — Б Ду:
и (у,5) = (Р * Е) (у,5) = /д3 Р (2,т) <*тЖ?. (5)
Если взять Р (у, 5 ) = п 5 (у — х) 5 ( 5 — 0 , что соответствует вбросу п частиц диффундирующего вещества в момент времени t в точке х, то согласно (5) находим
Г Г 0(s- т) _ ly-zl2
u(y,s) = --3-е 4D(s~^nö(z - x)ö(t-t)drdz
j- J (2^JnD(s — t))
0(s - t) _ 1у~х12% = n- v 7 3e 4D(s-t)_
(2y/nD(s — t))
Таким образом, решения уравнений (4) и (2) полностью идентичны (при условии
/2Б О 0 \
существования постоянного второго момента Ь (х, t) = I 0 2 D О I ). В принципе по-
V О О 2Б/
следнее замечание достаточно естественно, если вспомнить, что первоосновой и в той, и в другой науке является броуновское движение частиц. Коэффициент диффузии в вероятностном изложении в два раза больше физического в силу того, что в определении последнего учитывается не только интенсивность, но и направление движения частиц.
3. Диффузия в стационарном режиме
Перейдем теперь к рассмотрению стационарного режима диффузии (концентрация в области установилась и не меняется с течением времени). Тогда уравнение параболического типа (4) перейдет в эллиптическое
Дуи = f (у, s) , (6)
где
f (y,s) = -^.
Как известно, фундаментальным решением оператора Лапласа в трехмерном пространстве является трехмерный потенциал
Е(у) = '
4я|у|'
и вероятностная интерпретация уже не очевидна. Тем не менее, диффузия частиц, очевидно, происходит и в этом режиме, и, следовательно, вероятностная аналогия должна иметь продолжение.
Пусть П - некоторое подмножество И3. Обозначим через Тц - случайную величину, равную суммарному времени, проведенному частицей в области П, если ^ = х.
Тогда ее можно представить в виде интеграла Т ц = / I ц( %5) йб , где I ц(у) - индикатор множества П, то есть 1ц(у) = \У л п . При этом (условное) математическое ожидали, у £ II
ние МТц есть среднее время нахождения частицы в области П.
Тогда МТц можно вычислить:
00 00 00 00
мта = М/= /= / т.ЕПК, = = //*<*-«-С)ау* =
С С С СП
00 00 Г Г 1 - 1у-*1:, г Г 1 1у-*12
= --,-е ю^-с) йу = -зе 40т йу й т
{ I (27^(5-0) £ й (2л/Ж)
Далее меняем местами порядок интегрирования и вычисляем сходящийся внутренний интеграл (метод спуска по переменной
J I ' I 4йт " • 4Dz2 - 2Cz3
О |у — х|2 . . ч 00
Г Г 2D 3 (4^)2z Г Г 1 Г 1
= " i J (2v^)V*|3 = j j ^ = i
П оо
Следовательно, М Тц = —/ Е (у — х) йу и, если объем области П мал, то
Таким образом, | Е(у — х) \ с точностью до коэффициента диффузии имеет смысл среднего времени пребывания частицы, стартовавшей из точки х, в малой области, содержащей у, отнесенному к объему этой области:
\ Е (у — х) 1-0^.
С другой стороны, если в качестве правой части в уравнении (6) взять
! (у) = —^ (у — х) ,
то его решение
11 1 \Е(у~х)\
[11
и(у) = (Е * f)(y) = J ô(y-z- x)dz =
R3
Таким образом, функция
4nD [у — х] D
R3
\Е(у-х)\_ 1 D 4Dn\y-x\
также имеет смысл концентрации вещества в точке , если в точке обеспечена интенсивность поступления диффундирующего вещества Р (у) = 5 (у — х) .
Заключение
Ценность фундаментального инженерного образования по мнению автора в первую очередь заключается в его синтетичности, способности рассматривать одно и то же явление с позиций разных наук, находить параллели, интерпретировать теоретические факты, и, наоборот, формулировать практические задачи на языке физики и математики.
Преподавателям полезно рассказывать, а студентам интересно узнавать о междисциплинарных связях на примере самых разных задач. Автор выражает надежду, что данная работа вносит свою лепту в решение этой задачи.
Список литературы
1. Кац М. Несколько вероятностных задач физики и математики. -М.: Меркурий-ПРЕСС, 2000. - 176с.
2. Облакова Т.В. Вероятностный смысл функции источника в уравнениях параболического и эллиптического типов. Современные естественно-научные и гуманитарные проблемы. Сборник трудов научно-методической конференции, посвященной 40-летию НУК ФН. -М.: «Логос», 2005.-с.684-688.
3. Волков И.К., Зуев С.М., Цветкова Г.М. Случайные процессы. -М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2000.-448с.(Сер. Математика в техническом университете; Вып. XVIII).
4. Лошкарев А.И., Облакова Т.В. Фундаментальное решение линейного дифференциального оператора и задача Коши. Методические указания к выполнению домашнего задания. -М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2007.-70с.
5. Мартинсон, Л.К., Малов Ю.И. Дифференциальные уравнения математической физики. -М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2002. -368с.(Сер. Математика в техническом университете; Вып. XII).
Mechanical Engineering & Computer Science
Electronic journal
http://www.technomagelpub.ru ISSN 2587-9278
Mechanical Engineering and Computer Science, 2018, no. 09, pp. 48-55.
Received: 16.08.2018
© NP "NEICON"
Diffusion Processes in the Courses of Probability Theory and Equations of Mathematical Physics
T.V. Oblakova1'* "obitv;amboxju
:Bauman Moscow State Technical University, Moscow, Russia
Keywords: diffusion processes, conditional densities, fundamental solution of the diffusion operator,
stationary diffusion mode
The paper summarizes the experience of a parallel study of the phenomenon of diffusion in courses of random processes and equations of mathematical physics. The approaches and results presented in these courses are analyzed from the standpoint of another discipline, and links are established between the physical and mathematical characteristics of diffusion processes.
It is shown that, assuming the existence of a second moment, the conditional density of the diffusion process, considered as a function of the parameters of the final state, satisfies the physical diffusion equation. Its solution with the natural boundary conditions dictated by the probabilistic nature of the problem leads to a fundamental solution of the diffusion operator. Thus, the conditional density can be interpreted as the physical concentration of the diffusing substance. The resulting solution describes the change in concentration in time and space.
In this case, the diffusion coefficient, defined in the theory of random processes as a derivative of the conditional expectation of the squared deviation, turns out to be clearly related to its physical definition — the amount of a substance in mass units flowing per unit time through a segment of a unit area.
In the course of mathematical physics equations the fundamental solution of the diffusion operator, as is well known, has the physical meaning of the concentration of a diffusing substance when a single unit of this substance is thrown at some point of space at the initial moment. It is shown that this function also allows probabilistic interpretation as the density of a normal (Gaussian) law, in which the dispersion is proportional to time.
The paper also considers the stationary diffusion mode described by the Laplace equation. The fundamental solution of the Laplace operator is a three-dimensional potential, which also allows probabilistic interpretation. It is shown that, up to a diffusion coefficient, the value of the potential at a point is equal to the average residence time (mathematical expectation) of a particle in a small region surrounding this point, divided by the volume of the region.
References
1. Katz M. Several probabilistic problems of physics and mathematics. -M.: Mercury-PRESS, 2000. - 176p. (in Russian)
2. Oblakova T.V. Probabilistic meaning of the source function in the equations of parabolic and elliptic types. Modern natural science and humanitarian problems. Collection of papers of the scientific and methodical conference dedicated to the 40th anniversary of NUK FN. -M .: "Logos", 2005.-p. 684-688. (in Russian)
3. Volkov I.K., Zuev S.M., Tsvetkova G.M. Random processes. -M .: Publishing House of Moscow State Technical University. N.E. Bauman, 2000.-448p. (Ser. Mathematics at a technical university; Issue XVIII). (in Russian)
4. Loshkarev AI, Oblakova T.V. The fundamental solution of a linear differential operator and the Cauchy problem. Guidelines for homework. -M .: Publishing House of Moscow State Technical University. N.E. Bauman, 2007.-70p. (in Russian)
5. Martinson, L.K., Malov Yu.I. Differential equations of mathematical physics. -M .: Publishing House of Moscow State Technical University. N.E. Bauman, 2002. -368p. (Ser. Mathematics at a technical university; Issue XII). (in Russian)
