Замена переменной при решении смешанных задач для уравнений математической физики с неоднородными краевыми условиями Текст научной статьи по специальности «Математика»

Математика й Математическое

моделирование

Ссылка на статью: // Математика и Математическое моделирование. МГТУ им. Н.Э. Баумана. Электрон. журн. 2017. № 01. С. 1-10.

Б01: 10.24108/шаШш.0117.0000061

Представлена в редакцию: Исправлена:

© МГТУ им. Н.Э. Баумана

10.01.2017 24.01.2017

УДК 517.9

Замена переменной при решении смешанных задач для уравнений математической физики с неоднородными краевыми условиями

Облакова Т.В.

1,*

оЪкуйтЬохли 1МГТУ им. Н.Э. Баумана, Москва, Россия

Предложена универсальная замена переменной, позволяющая сводить задачу с неоднородными краевыми условиями любого типа к задаче с однородными краевыми условиями и приводящая к существенному структурному упрощению получаемых решений. Продемонстрирована продуктивность предлагаемого подхода при аналитическом решении смешанных начально -краевых задач для различных уравнений с наиболее общим типом краевых условий. Изучены вопросы существования такой замены, на примерах показаны ее преимущества в сравнении с традиционной линейной заменой при анализе структуры решения, полученного методом Фурье, при наличии стационарного режима.

Ключевые слова: уравнение в частных производных, метод Фурье, собственные функции, неоднородные краевые условия

Введение

Рассмотрим в области ; > 0, х £ С = ( 0 ;/) смешанную задачу для уравнения параболического типа

ди д ( ди\ , т-,,

^ = + (1)

где и = и (х,;) - неизвестная функция, коэффициенты

р = р(х) > 0, р = р(х) > 0, д = ц(х) > 0 отражают свойства среды, характеризующие диффузионный процесс; F (х,;) -характеризует интенсивность источников (стоков) частиц за счет внешних воздействий.

На границах области заданы начальные условия при

и|с=о = ио(Х), (2)

неоднородные краевые условия наиболее общего третьего типа

^ > О, Н > О, к1к2 > О, Н1Н2 > О, (4)

Уравнения вида (1) в случае однородных краевых условий

(5)

рассматриваются в курсах уравнений математической физики и решаются методом Фурье, суть которого, как известно, состоит в представлении искомого решения и(х, ^ в виде ряда Фурье по собственным функциям Хк (х) оператора

I- а йх

й-

Р(х)тх\

+ ч(х),

действующего на пространстве функций X, удовлетворяющих краевым условиям

(/11Х-/12Г)|х=0 = 0,

ш±х + Н2Х')\Х=1 = 0, логично вытекающим из (5) (см. [2]-[5]).

При распространении этого метода на задачи с неоднородными граничными условиями (3) производят замену переменной вида

и(х, 0 = р(х, 0 + иДх, О, (6)

где функция и^ (х, 0 подбирается таким образом, чтобы в новой задаче для функции р(х, 0 граничные условия стали однородными. Функцию и^(х, ^ в выражении (6) естественно подбирать наиболее простого вида. В частном случае первой краевой задачи в общей постановке, когда на концах заданы значения функции

и|х=о = М1(0,и|х=г = Д2(0, (7)

в учебной и справочной литературе (см. [1]-[4]) в качестве и^ рекомендуется линейная по переменной х функция

иДх,0=М1(0+^Ь^х. (8)

Вторая, а тем более третья краевая задача в общей постановке, как правило, остаются за рамками изложения.

Замена переменной

Между тем, во многих случаях можно добиться существенного упрощения структуры решения задачи, если искать и^(х, 0 как решение обыкновенного дифференциального уравнения

д ( ди^{х,Ь)\ , .

^ дх \г дх

параметрически зависящее от времени ; и удовлетворяющее граничным условиям:

(Л1и„ - = ЛЛО-^и. + = №(0- (10)

При этом уравнение (1) после замены приобретет вид:

др д ( др\

оV о ( ор\

где Р ( х, ;) = F ( х, ;) — Неизвестная функция V ( х, О удовлетворяет однородным

граничным условиям (5) и начальному условию:

= м0(х) -иДх, 0).

Найдем описанную замену в случае постоянных коэффициентов, когда уравнение (9) может быть переписано в виде

— и^х, 0 - - иДх, 0 = 0, Общее решение (11) при с/ > 0, как известно, имеет вид

(11)

ии(х, 0 = Л(0 сЬ —х + 5(0зЬ —х.

Вычислив производную д

дх

д

— иДх, О = Л(0 )—бЬ Х + 5(0 )—СЬ )—х

Р Р Р Р

и подставив ее в (10), получаем систему для определения неизвестных функций Л ( ;) и В ( ;) :

лаж-ясо н2 = мо

н, (л (0 сЬ ^ / + в со 8Ь ^ /) + я2| (л (О 8Ь ^ / + 5(0 сЬ ^ /) = д2 (0

Определитель системы (12)

- (12)

Д=

К

а а а а а а

ЯхсЬ -/ + Я2 -вЬ --I Н^Ь -Ч + Я2 — сЬ -I Р Р Р Р Р Р

= (ьъ + к2Н2зЬ ^ I + (лхя2 + /12ЯХ сЬ ^ I

отличен от нуля при любом наборе постоянных, удовлетворяющих (4), что означает существование решения краевой задачи (11)-(10).

В частности для краевых условий 1-го типа ( Л х = = 1, Л2 = Я2 = 0 ) система (12) приобретет вид:

откуда находим

= МО

А(ОсЬ I+ В ( 05 Ь I^ = /2(0 '

р

л (0 = МО

5Ь &

Таким образом,

IТ?

ии(х, 0 = |М0 сЪ -х +

^ ' ' • ^ ' зЬ 1Е1

/^2(0-/^1 (Ось г- ц2{ОбЬ О

" 1 — зЬ -х =-^ ^

•м ч

5Ь Й

или

и(х, 0 = т;(х, 0 +

/^(овь |-х-/11(с)5ь -(х-1)

5Ь Ь

Решение в частном случае

Продемонстрируем преимущество предлагаемой замены в сравнении с линейной заменой на примере уравнения теплопроводности

ди о д2и п л л

— = а2 —- — //и, г > 0,0 < х <

дг дх2

(13)

с краевыми условиями первого типа (7). Тогда в любом случае функция и^ должна удовлетворять условиям:

и

= \х=1 = //2(0-

(14)

Для упрощения выкладок рассмотрим нулевое начальное условие и|с=о = 0, положим в (14) д1( 0 = 0 , а также будем также считать, что

02(0) = 0 , (15)

/4 (о—>0. (16)

Физически ограничения (16) можно интерпретировать как наличие стационарности в краевом условии, в то время как (15) гарантирует согласованность граничных условий. В рассматриваемом случае линейная замена с добавком в виде (8) приобретет вид:

и (х, 0 = V (х, 0 + и(1 )(х, 0 = V (х, 0 + у/2( 0 . (17)

Найдем параллельно альтернативную замену переменных:

и (х, 0 = V (х, 0 + А ( 0 с Ь-^х + В( 0 5 Ь^х.

Подставляем краевые условия и находим функции А ( и В ( 0 :

и|х=о = 0 - А(0 = 0,

и\х=1 = Д2(0 -> 5(0 ц2М -> 5(0 = ^

а

После некоторых упрощений получаем:

(2) ЧМх)

или

и (х,;) = V (х,;) + и( (х,;) = V (х,;) + ( л2( 0 . (18)

Ча1)

Пересчитываем производные, подставляем в уравнение и получаем задачу для определения функции

^ = а2— Д V + F; > 0,0 < х < I, (19)

дЬ дх2-

где в случае замены (17) считаем / = 1 ,

F ( 1 )(х,;) = —о — Дул* ( 0 = — у04( О + ДЛ2 ( 0 ) ,

а в случае замены (18) для / = 2

F (2)(х,;) = —^^ ( 0 .

Начальные и граничные условия в уравнении (19) в обоих случаях однородные

v|í:=о = и|(:=о — и,|£=о = 0, v|у=о = 0, V|у=г = 0. Поскольку в рассматриваемом примере краевые условия относятся к первому типу, то собственные функции соответствующей задачи Штурма-Лиувилля - это

и /■ , тскх

(х) = 5 1 П —

то есть функцию нужно искать в виде:

пкх

I

Как обычно, задача сводится к решению обыкновенного дифференциального уравнения

п ( 0 + й> Л ( о = /®( о ,

где

" / = а 2^ +Д,7/ ( 0 ) = 0 ,/( 0 ( 0 ( * )( х,;)5 1 П^ х.

Его решением является свертка правой части /( 1 )( 0 с фундаментальным решением

а

линейного дифференциального оператора - — + (л) /(см [6], [7]):

^)( о = /0Ч(° (*)^ (: = (/® (о *^ ( о.

Сравнительный анализ решений

Выпишем, сравним и проанализируем решения

00

и(х, 0 = 0 + и^\х, 0 = ^ ^С°(0 + ^

к=1

уравнения (13) в двух рассматриваемых случаях.

В случае линейной замены (17)

т 2 С1 пкх 2 С1 х , ч пкх

//С СО = у] Г^Озт —= у(^(0+^2(0)зт —йх

2(—1)Л = пк О2 + №2).

и (х,0 =|/2 (0 + 2 22=(/2(0+ ///2 . (20)

В случае замены (18)

зь(^х)

т 2 Г1 ,,, пкх 2 С1 \ а пкх 2лк(-1)к

ДС)(0=Т /^(х, О БШ—— = — у/¿2 (0 ; ч/8Ш — ^Х= ' 7

и (х,0 = ( 0 + 22 2= 1^(-179(/2( 0 * е- - * о 5 1 п^. (21)

1 I-í I =5 1"7Г К

В силу допущения (16) наличие свертки (/2 * е ^ О ( О в формуле (21) означает, что с течением времени вклад ряда в общую сумму нивелируется и

и(х, 00) = -——— Д2(°°)-

Решение (20) как естественно ожидать совпадает с (21), однако, чтобы увидеть предельное распределение, формулу (20) необходимо преобразовать, например, с использованием очевидного свойства свертки:

04(0 * = [ /400 =

¿о

= - <ок [ ¿12(т) е-^'^йт = д2(0 - ^С"2(0 *

Графики решения (21) для

/2(0 = з 0 0 ( 1 — е^), а = 1,1 = 1 0и, // = 0 . 0 1

приведены на рисунке в моменты времени t = 0,0 . 5,1 0 и t = 5 0. Самый верхний график демонстрирует предельное при распределение температуры вдоль стержня, совпа-

дающее с

иДх, со) = 300

зЬ^х

а

'

Рис. Графики решения

Выводы

Описанный подход позволяет получить решение с четко выделенной стационарной компонентой в случае, если стационарность имеет место.

Этот эффект распространяется не только на уравнения параболического типа (1), но также наблюдается и в уравнениях, описывающих колебательные процессы при наличии затухания.

Предложенная замена переменной (18) универсальна и нечувствительна к типу краевых условий.

В частном случае уравнения с постоянными коэффициентами при д = 0 общее решение уравнения (11) имеет линейный вид и тогда замена становится необходимо линейной.

Список литературы

1. Полянин А.Д. Справочник по линейным уравнениям математической физики. М.: Физматлит, 2001. 576 с.

2. Мартинсон Л.К., Малов Ю.И. Дифференциальные уравнения математической физики. М.: Изд-во МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2002. 367 с.

3. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. 6-е изд. М.: Изд-во МГУ, 1999. 798 с.

4. Владимиров В.С., Жаринов В.В. Уравнения математической физики. М.: Физматлит, 2000. 398 с.

5. Лошкарев А.И., Облакова Т.В. Смешанные задачи для уравнений математической физики. Метод Фурье. М.: Изд-во МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2017.

6. Лошкарев А.И., Облакова Т.В. Фундаментальное решение линейного дифференциального оператора и задача Коши: Метод. указания к выполнению домашнего задания. М.: Изд-во МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2007. 68 с.

7. Облакова Т.В. Метод фундаментального решения в курсах «Дифференциальные уравнения» и «Уравнения математической физики» // Инженерный вестник. 2015. № 4. С. 1001-1005. Режим доступа: http://engbul.bmstu.ru/doc/730377.html (дата обращения 17.05.2017).

Mathematics I Mathematical Modelling

Mathematics and Mathematical Madelling of the Bauman MSTU, 2017, no. 01, pp. 1-10.

DOI: 10.24108/mathm.0117.0000061

Received: Revised:

10.01.2017 24.01.2017

© Bauman Moscow State Technical Unversity

Function Substitution in Partial Differential Equations: Nonhomogeneous Boundary Conditions

T.V. Oblakova

1,*

obltv@inboxju

:Bauman Moscow State Technical University, Moscow, Russia

Keywords: partial differential equations , Fourier method, eigenfunctions, nonhomogeneous

boundary conditions

The paper considers a mixed initial-boundary value problem for a parabolic equation with nonhomogeneous boundary conditions. The classical approach to search for analytical solution of such problems in the first phase involves variable substitution, leading to a problem with homogeneous boundary conditions. Reference materials [1] give, as a rule, the simplest types of variable substitutions where new and old unknown functions differ by a term, linear in the spatial variable. The form of this additive term depends on the type of the boundary conditions, but is in no way related to the equation under consideration. Moreover, in the case of the second boundary-value problem, it is necessary to use a quadratic additive, since a linear substitution for this type of conditions may be unavailable. The courseware [2] - [4], usually, ends only with the first boundary-value problem generally formulated.

The paper considers a substitution that takes into account, in principle, the form of a linear differential operator. Namely, as an additive term, it is proposed to use the parametrically time-dependent solution of the boundary value problem for an ordinary differential equation obtained from the original partial differential equation by the method of separation of the Fourier variables.

The existence of the proposed substitution for boundary conditions of any type is proved by the example of a non-stationary heat-transfer equation with the heat exchange available with the surrounding medium. In this case, the additive term is a linear combination of hyperbolic functions. It is shown that, in addition to the "insensitivity" to the type of boundary conditions, the advantages of a new substitution in comparison with the traditional linear (or quadratic) one include a much simpler structure of the solution obtained. Just the described approach allows us to obtain a solution with a clearly distinguished stationary component, in case a stationarity occurs, for values of the time variable that exceeds relaxation time.

This effect extends not only to parabolic equations, but is also observed in equations describing oscillatory processes with damping. It is also shown that in the simplest particular case

of an equation with constant coefficients without heat exchange with the surrounding medium, the proposed substitution becomes appropriately linear and coincides with the classical one.

The use of the proposed approach allows students majoring in engineering to expand a range of educational and research tasks while learning a course in partial differential equations.

References

1. Poliyanin A.D. Spravochnikpo linejnym uravneniiam matematicheskoj fiziki [Handbook of linear equations of mathematical physics]. Moscow: Fizmatlit Publ., 2001. 576 p. (in Russian).

2. Martinson L.K., Malov Yu.I. Differentsial'nye uravneniia matematicheskoj fiziki [Differential equations of mathematical physics]. Moscow: Bauman MSTU Publ., 2002. 367 p. (in Russian).

3. Tikhonov A.N., Samarskij A.A. Uravneniia matematicheskoj fiziki [Equations of mathematical physics]. 6th ed. Moscow: MSU Publ., 1999. 798 p. (in Russian).

4. Vladimirov V.S., Zharinov V.V. Uravneniia matematicheskoj fiziki [Equations of mathematical physics]. Moscow: Fizmatlit Publ., 2000. 398 p. (in Russian).

5. Loshkarev A.I., Oblakova ^V. Smeshannye zadachi dlia uravnenij matematicheskoj fiziki. Metod Fur'e [Mixed problems for equations of mathematical physics. Fourier method]. Moscow: Bauman MSTU Publ., 2017 (in Russian).

6. Loshkarev A.I., Oblakova ^V. Fundamental'noe reshenie linejnogo differentsial'nogo operatora i zadacha Koshi [Fundamental solution of a linear differential operator and the Cauchy problem: Guidelines for homework] . Moscow: Bauman MSTU Publ., 2007. 68 p. (in Russian).

7. Oblakova ^V. The method of the fundamental solution in the courses "Differential Equations" and "Equations of Mathematical Physics". Inzhenernyj vestnik [Engineering Bulletin]. Available at: http://engbul.bmstu.ru/doc/730377.html, accessed 17.05.2017 (in Russian).