Дифференциальные уравнения для функций типа Бесселя Текст научной статьи по специальности «Математика»

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

П. Н. ДАВЫДОВ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

__ _ К» _ _ __ _ __ _ -I

ДЛЯ ФУНКЦИИ ТИПА БЕССЕЛЯ1

Установлена взаимосвязь между аналитическими функциями специального вида и обыкновенными линейными дифференциальными уравнениями с переменными коэффициентами, решениями которых эти функции являются. Полученный результат использован при нахождении уравнений, соответствующих функциям, обобщающим функции Бесселя и используемым при доказательстве обобщенной формулы Филлипса обратного преобразования Лапласа.

Ключевые слова: функция Бесселя, уравнение Бесселя, аналитическая функция.

Введение

Преобразование Лапласа является эффективным инструментом при исследовании различных задач анализа. В частности, резольвента инфинитезимально-го генератора А полугруппы операторов и (£) при некоторых условиях равна преобразованию Лапласа от полугруппы. Следовательно, обратное преобразование Лапласа позволяет по заданному оператору найти порождаемую им полугруппу, если таковая существует. Поэтому в теории полугрупп ограниченных операторов большую роль играют различные формулы обращения преобразования Лапласа.

Наиболее известна формула, дающая выражение оригинала д через значения преобразования Лапласа Ьд на вертикальных прямых в его области сходимости. Есть приемы обращения преобразования Лапласа, использующие значения преобразования Лапласа в целых положительных точках и т. п. Р. Филлипсом [1] была получена формула обращения преобразования Лапласа, позволяющая находить функцию д по значениям ее преобразования Лапласа Ьд и по значениям всех его производных при больших значениях параметра:

т М-+ОС ^ к\(к +1)! •

При доказательстве этой формулы используется асимптотика очевидным образом связанной с данным рядом функции Бесселя 1-го порядка мнимого аргумента

ад [2].

В последние 15 — 20 лет интенсивно развивается теория вырожденных полугрупп операторов, используемая для исследования разрешимости и получения решений операторных дифференциальных уравнений вида Ьй(£) = Ыи(1) с вырожденным оператором Ь при производной [3; 4]. Известно, что единица разрешающей полугруппы такого уравнения является нетривиальным проектором. Ее ядро

1Работа поддержана грантом РФФИ (код проекта 07-01-96030-р_урал_а).

в общем случае содержит не только собственные, но и М-присоединенные векторы оператора Ь. В монографии [4], например, исследуются полугруппы, вырождающиеся на М-присоединенных векторах высоты не больше р £ N0 = {0} и N.

При распространении результатов [5] на случай вырожденных локально равностепенно непрерывных полугрупп в локально выпуклых пространствах [6] возникает необходимость в формуле

^+оо цр-я (к +1)! \р + I/ (к(р + 1) + д)!

р £ N0, д € {0,1,... ,р}, дающей формулу Филлипса (1) прир = 0. Заметим, что с помощью этой формулы мы восстанавливаем оригинал по изображению Лапласа, используя не все его производные, а лишь производные порядков, кратных р + 1.

Строгое доказательство формулы (2) получено в [6] и существенным образом использует функцию

~ г(р+2)(к+1)

^"<') = и (к+1)Цк(р+ 1) +?)!'

Эта функция является обобщением функции Бесселя первого порядка мнимого аргумента (совпадает с ней с точностью до степенного множителя при р = 0). Известно, что функция Бесселя ^-го порядка, V £ К, тесно связана с дифференциальным уравнением Бесселя, решением которого она является [7; 8]. Основная цель данной работы — нахождение дифференциального уравнения, связанного с функцией Грд, а также установление общего метода для решения подобного рода задач.

1. Взаимосвязь дифференциальных уравнений и аналитических функций специального вида

Пусть а £ М, Ь £ Е, ак £ С \ {0} для всех к £ N0, < сю.

к^ж

Рассмотрим функцию

Ж Ж

и(г) = ^ акгак+ь = ^ а— гак+ь-а, к=0 к=1

определенную в круге = {г £ С : \г\ < К}, где Д-1 = Ит \ак\ак+ъ, либо в

к^ж

П = П\{0} при Ь < 0. В случае нецелых Ь выбираем главную ветвь аналитической

Ж

функции гь ^ акгак. Обозначим через А(П) (А(П)) множество всех функций, к=0

аналитических на множестве П (Л).

ттт-тл^ттл- глттотч а

' с1г >

Введём в рассмотрение формальный оператор В = тогда для произ-

вольного многочлена Р (ж) степени п £ N выполняется

Ж

[Р(Б)и](г) = ^ акР(ак + Ь)гак+ь, (3)

к=0

ж

гаи(г) = ^ ак-1гак+ь- (4)

к=1

Поскольку при дифференцировании степенного ряда по параметру его радиус сходимости не меняется, то можно утверждать, что Б : А(П) ^ А(П) (или Б : А(П) ^ А(П) в случаях а0 = 0, Ь < 0 и а0 = 0, Ь < -а).

Предложение 1. Функция и (г) является решением дифференциального уравнения

га и (г) = [Р (Б)и](г), г £ П, (5)

тогда и только тогда, когда выполняются равенства

Р (Ь) = 0, (6)

Р(ак + Ь) = —, кеЕ. (7)

ак

Доказательство. Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях в выражениях (3) и (4), получим требуемое. □

2. Пример

Для функции Бесселя v-го порядка, V £ К,

Ж

условия (6), (7) примут вид

Р (V) = 0,

(-1)*

Е>/07 I \ {к—\)\Т{к-\-и)2^^1' 2 Л1 (1 \ \

Р(2к + и) =----------------------^-= -Щк + и).

к\Г(к+и+1)22к+1'

Сделаем замену 2к + и = х, к = тогда Р{х) = ту2 — х2, а уравнение (5) имеет

вид

(г2 - v2)U(г) = -Б2,1„(г) = -фи'(г))', г2 и ''(г) + ги' (г) + (г2 - v2)U (г) = 0.

Получено уравнение Бесселя, решением которого является функция (г).

3. Дифференциальные уравнения для обобщений функций Бесселя

Для V £ К, р £ N0, д £ {0,1,... ,р} рассмотрим функцию

_Ж, г(р+2)(к+1)

(г) =

к=0 (к(р +1) + д)!Г(к + V +1):

совпадающую с упомянутой во введении функцией Грд при V =1. Для нее условия (6), (7) имеют вид

Р (р +2) = 0,

Р ((р + 2)(к + 1)) = (к + v)(k(p + 1) + д - р)(к(р +1)+ д - р +1) •••х х ... к(р +1)... (к(р + 1) + д), к £ N.

С помощью замены {к + 1)(р + 2) = х, к = — 1 получим

'■■■(тгг*«-'-1)-

(р + 1)р+1, / (р +1)(2р +1 - д) \

;(х + (и-1)(р + 2))[х-^---^ •••х

(p + 2)p+2 " \ p +2

ijp+ 1 ){jp+ 1 - q)' p + 2

x ... x —

Таким образом, функция Гирд(г) в силу предложения 1 является решением дифференциального уравнения (р + 2)-го порядка

(Р + 1 (* + (м _ 1)(р + 2Л ( Л - (р+ЦРр+Д-^ ... х

(p + 2)p+2 у dz J \ dz p +2

x-K-(P+1i,(P++21"g))^ = ^)-

В частности, при v = 1, p = 0 это будет уравнение

(zU'(z))' - 2U'(z) = 4zU(z)

или

zU”(z) - U'(z) - 4zU(z) = 0.

В случае v = p = q = 1 получим дифференциальное уравнение

4zU'''(z) + 2(2 - 7z)U''(z) + 4U'(z) - 27z2U(z) = 0.

Автор благодарит проф. В. Е. Федорова и проф. С. М. Воронина за полезные обсуждения работы.

References

1. Phillips, R. S. An inversion formula for Laplace transforms and semi-groups of linear operators / R. S. Phillips // Ann. of Math.— 1954.— Vol. 59.— P. 325—356.

2. Хилле, Э. Функциональный анализ и полугруппы / Э. Хилле, Р. Филлипс.— М. : Иностр. лит., 1962.

3. Favini, A. Degenerate Differential Equations in Banach Spaces / A. Favini, A. Yagi.— New York ; Basel ; Hong Kong : Marcel Dekker, 1999.

4. Sviridyuk, G. A. Linear Sobolev Type Equations and Degenerate Semigroups of Operators / G. A. Sviridyuk, V. E. Fedorov.— Utrecht ; Boston : VSP, 2003.

5. Федоров, В. Е. Обобщение теоремы Хилле — Иосиды на случай вырожденных полугрупп в локально выпуклых пространствах / В. Е. Федоров // Сиб. мат. журн.— 2005.— Т. 46, № 2.— С.426—448.

6. Федоров, В. Е. Об одном обобщении формулы Филлипса / В. Е. Федоров // Математика. Механика. Информатика : материалы Всерос. науч. конф.— Челябинск : Челяб. гос. ун-т, 2007.— С. 211—219.

7. Ватсон, Г. Н. Теория бесселевых функций / Г. Н. Ватсон.— М. : Иностр. лит., 1949.

8. Олвер, Ф. Асимптотика и специальные функции / Ф. Олвер.— М. : Наука, 1990.