Дифференциальное представление показателя стагнации Текст научной статьи по специальности «Экономика и бизнес»

математические и инструментальные методы экономики

УДК 330.4

С.Б. КУЗНЕЦОВ, кандидат физико-математических наук, доцент

Сибирская академия государственной службы, г. Новосибирск

дифференциальное представление показателя стагнации

Предложен показатель стагнации, позволяющий определять начальные проявления стагнации экономики. Проведен анализ работы показателя на статистических данных ряда развитых стран. Определена скорость инвестирования в экономику с целью предотвращения стагнации.

Рассмотрим экономические показатели Р (г, t) = = (р (г, t), РК (г, t), РН (г, t)) и ф(г, t), которые являются функцией времени t, трудовых ресурсов 1, физического и человеческого капитала К и Н, то есть зависят от вектора г = (1,К, Н).

Будем анализировать некоторый элементарный объем факторов производства w. Выберем в пространстве факторов производства й некоторую точку с координатами г = (1,К,Н). Величина Лг

— = V (г, 0 представляет собой скорость обновле-

Л

ния факторов производства. Построим семейство линий, касательные к которым в каждой точке пространства й будут совпадать в данный момент

времени с направлением V (г, t) в этой точке, то есть определим пространство состояний экономики. Эти линии для поля скоростей являются линиями развития факторов [1].

Выберем в пространстве й замкнутый контур С, в котором будем брать начальные условия для экономических объектов и построим линию развития факторов производства для этих экономических объектов (рис. 1).

Получим некоторый коридор от поверхности ^ до S2, который назовем коридором развития экономики. Очевидно, коридор развития имеет то

свойство, что через его боковую границу линии развития не проходят [1].

Утверждение 1. Для скалярной функции ф(г, t), описывающей поведение некоторого экономического показателя, выделим в области развития ограниченный изменяющийся во времени объем факторов производства w. Предположим, что

функция ф(г, t) дифференцируема в выделенном объеме и на его границах. Будем считать, что объем w возникает из объема w0 = w(t0), где ^ - начальный момент времени, путем непрерывных изменений элементов w0 вдоль линий, определяемых вектором скорости обновления факторов производства V . Исходя из этого, имеет место тождество:

Рис. 1. Коридор развития экономики в пространстве факторов производства

д

- Jф(г" t)dV = J

дф(г, t) д t

+ DIV (ф v)

dV,

(1)

д_ dt

J ф(г, t )dV = lim-

J Am-O

J ф(г, t + At)dV - J ф(г, t)dV

At

J [ (r,t + At)-Ф(г,t)]dV + Jф (r,t)dV

= lim-

ДМ0

At

j^m dv+Jq>(f, t )v. ds.

=J

(

dFL dFr dF,

н_ + f + Xk. F + ХН. F dL дК дН V2 dt V2 dt V2 dt

+ -

К

+ -

d v

= q(r, t) =

dW

д¥_ ~öt

дq(r, t) дг

+ DIV (qv )

d V = 0.

(2)

— — V дР где DIV (Р) = ё^р) + —---.

VI дt

Доказательство. Вычислим производную по подвижному объему в нашем пространстве:

Преобразуем произведение под знаком дивергенции:

DIV ( qV (г, t ))= + qDIV (V )+ (V • gradq )= ^ + qDIV (V ). дt d t

Равенство (2) имеет место для любого объема факторов производства, и поэтому на основании последнего тождества получим:

2^ + qDIV(v) - (v . gradq) = 0. d t

(3)

w dt г

Объем w - w0 всегда можно разбить на бесконечно малые объемы и для каждого написать полученное равенство. Если предположить,

что объемы так малы, что в них |v| = const, то dV = v ■ dSAt.

Просуммировав по всем объемам и взяв предел при числе разбиений, стремящихся к бесконечности, с объемами, стремящимися к нулю и при At ^ 0, поверхность Г и поверхность w - w0 начинают совпадать, а функция ф(Г, t + At) ^ ф(Г, t).

Применив к последнему равенству формулу [1]:

i F ■ dS =

Уравнение показывает поведение предельной производительности экономики в зависимости от скорости обновления факторов производства при условии, что в экономике наблюдается стагнация, но факторы производства могут изменяться.

Введем понятие показателя стагнации экономики:

Z = 2 ^ + DIV (V) -q d t

_ gradq

v.—--

q

Л

(4)

с Р(г, t) = ф(г, t)у , получим равенство (1).

Полученное тождество является следствием утверждения 1 [1] и своеобразным обобщением известной формулы векторного анализа [2].

Рассмотрим в качестве функции ф(г, Г) = ёУ

предельную производительность

экономики [3]. Пусть имеем дело с постоянным

объемом валового продукта Y(r, t) = const, то есть наблюдается стагнация в экономике, тогда равенство (1) принимает вид:

Показатель рассчитывается для некоторого временного интервала. Приближение к нулю показателя указывает на вступление экономики в процесс стагнации.

Проявление кризисов не является хаотическим процессом. В силу целостности экономики экономические системы долго «помнят» произошедшие события и «чувствуют» их на больших расстояниях от места, где произошел экономический кризис. Математически это отражается степенным убыванием временных и пространственных корреляций, которые для некритических экономических систем обычно убывают экспоненциально [4].

В качестве примера можно рассмотреть кучу песка [5]. Состояние этой кучи определяется локальным наклоном поверхности. Крутые участки более склонны к участию в обвалах, а пологие - менее. Для возникновения большого обвала необходим некоторый избыток песка. Излишки песка не могут сосредоточиться в одном месте, не нарушив устойчивости. Причем потеря устойчивости произойдет за долго до возникновения большой лавины. Следовательно, значительная часть кучи должна иметь большой наклон. Не-

И'

обходимое количество песка может оказаться на пологих участках в виде мелких обвалов, среди которых могут быть и значительные.

Таким образом, крупное событие должно иметь предвестников в виде предшествующих событий меньшего размера. Этот вывод справедлив и для экономических систем.

Рассмотрим известное уравнение для валовых d г

= I гттз / - I , , ,

[К' 'Я,

d t d t

= J ,

(5)

yp dq _ ■ > 2 — — + vv ■

gradq

+ DIV (VpV), (6)

d v dv

p — p i „ p i ,, p i „ p

öv„

-++vK

- + v„

= Jp.

d(q vp) ^p

да

= а—- + ур,

дг дг р дг

в которое подставим подынтегральное выражение (2) и последнее равенство:

д(аур) ( дур дур дур ,

4 р/ = я\}в - у,-^ - - уа\- ув1¥(\у)

дг \р 1 д1 к дК а да 1 р 4

Раскрывая оператор динамической дивергенции, получим для р^

d(q vl )=qi д( vl) d(q vlvk ) d(q vlva)-

dt

= qji

dL

dK

da

vi

_12

v

d(q vl ) - vlvk_ d(q vk ) - vlva_ d(qv a)

dt

i_|2 v

dt

i_|2 v

dt

инвестиций = I, где I = (1К, 1Ь, - объем

Принимая во внимание равенство:

д(а уь ) = у1_ д(а уЬ ) + уК_ д(а уЬ )+^А

dt

|_|2 v

dt

■ +

d(q v l )

i_|2 v

dt

_|2

v

dt

чистых инвестиций в физический капитал, трудовые ресурсы и человеческий капитал в течение наблюдаемого срока. Дифференцируя обе части уравнения получим:

d V d I

где ] - скорость изменения чистых инвестиций.

Утверждение 2. Для вывода экономики из состояния стагнации необходимо, чтобы скорость инвестирования в факторы производства удовлетворяла неравенству

d Г

окончательно получим:

уь + шг (а уЬ у ) = а ¿1.

дг

Подобные равенства получим для остальных факторов производства.

У полученной системы существует альтернативная запись:

2 i %+vrv ■ +DIV (v„v) = v q dt q

(7)

d г \ дг д

где р - один из факторов производства, DIV (Г) =

я- V дГ d У

= аМ Г) + —^--, а =-.

|у| дг 4 а V

Доказательство. Выпишем уравнение (5) для фактора производства р:

а г дг д1 дК дА В равенстве (2) объем интегрирования произвольный, поэтому подынтегральное выражение нулевое.

Рассмотрим равенство:

где р - один из факторов производства. Эти системы назовем системами стагнации экономики. Из системы (7) можно определить скорость инвестиций, которую необходимо достичь при вложении в факторы производства для выхода экономики из состояния стагнации.

Очевидно, что чем выше скорость изменения фактора производства и чем больше предельная производительность экономики, тем выше должна быть скорость инвестиций, вкладываемых в этот фактор, для оживления экономики. Неравенство (6) показывает, что для борьбы со стагнацией в экономике важны не столько объемы инвестирования сколько скорость реакции на потребности в инвестировании.

Полученный вывод подтверждается недавними проблемами возникшими, например, в автомобилестроении во всем мире. Дополнительное финансирование со стороны государства, которое требовалось в отрасль, систематически запаздывало. такой подход не решал проблемы, а только давал отсрочку, и это усугубляло положение автомобилестроителей.

Неравенство (6) совместно с индексом (4) дает инструмент для определения скорости инвестирования экономики, находящийся в условиях стагнации.

Были проведены расчеты по статистическим данным Франции, Японии, Германии и США в период с 1983 по 2009 гг. Данные вместе с прогнозом на 2010 г. взяты из официальной статистики и приведены к ценам 1983 г. [6]. Для получения наглядности изображения и сравнения прироста ВВП и показателя стагнации капитал, трудовые ресурсы и ВВП нормировались на соответствующую величину 1983 г.

В 1980-е гг. Франция очень пострадала от «кризиса задолженности» развивающихся стран и вынуждена была переориентировать значительную часть экспорта от традиционных партнеров в третьем мире в направлении развитых стран. Вначале 1980-х гг. в государственной экономической политике возобладали антирыночные меры. Основным результатом подобных действий явилось резкое сокращение инвестиционной активности во Франции и массовый вывоз капитала за рубеж, что, разумеется, очень неблагоприятно повлияло на динамику основных показателей внутреннего спроса и состояние платежного баланса.

После 1985 г. положение стало постепенно улучшаться: возрос мировой спрос; мировые цены на энергоносители снизились; к власти во Франции вернулись противники активного государственного регулирования. Предприятия начали постепенно ликвидировать задолженность, капиталовложения и экспорт пошли вверх. В экономике наметилось оживление, продолжавшееся до конца 80-х гг. Но в это время Франция столкнулась с новой проблемой - высокой зависимостью от колебаний валютных курсов. Неустойчивость

доллара, усиление валютной нестабильности в Европе после 1990 г. «привязали» французский франк, как и другие европейские валюты, к немецкой марке. Кризисы начала столетия и 2008 г также нашли свое отражение в расчетах.

На рис. 2 две шкалы на оси ординат: левая ось соответствует изменению показателя стагнации, правая — изменению прироста ВВП. Сплошная линия показывает изменение прироста валового продукта, прерывистая — показатель стагнации. Положение осей и обозначения графиков остаются для трех последующих рисунков.

На экономику Японии в рассматриваемый период вначале повлиял мировой циклический кризис 90-х гг. Об этом свидетельствует поведение кривой показателя стагнации: ее приближение к нулю с 1991 по 1994 гг. совпадало с началом рецессии в экономике Японии. Начинался постепенный спад прироста ВВП. Показатель стагнации указывал на временной участок проявления кризиса, который происходил в это время в Японии. также отчетливо отмечены кризисы начала века и 2008 г. (рис. 3).

После объединения западной и восточной частей страны в 1990 г. Германия стала крупнейшей по экономическому потенциалу страной Европы. На рис. 4 данному периоду соответствует локальный максимум прироста валового продукта. Однако далее из-за возникших в результате объединения трудностей произошло падание объемов.

Начиная с 1990 г. показатель приближался к нулевым значениям, что свидетельствовало о мировом кризисе этого временного промежутка.

4000 2000 О

-2000 '

-4000

-6000

Л'

r\ jy \

л , у ГЛ/ \ / ■ \ / £>. л i-\ UV 1 \ ~ * "

-V 1 V V" > У ' \ /Г V*"' Г ' // / # if

■

0,06 0,04 0,02

0

-0,02 -0,04 -0,06

- индикатор......*— прирост

ввгП

Рис. 2. Поведение показателя стагнации и прироста ВВП для Франции

Рис. 3. Изменение показателя стагнации и прироста ВВП для Японии

Кроме того, произошел и спад прироста ВВП. Из-за жесткой налоговой политики государства наблюдались незаинтересованность иностранных инвесторов в создании высокотехнологичных производств на территории Германии, и страна постепенно подходила к технической слабости. Она уже не была мировым технологическим лидером и значительно потеряла позиции в экспорте. Проблема социально-рыночного хозяйства Германии усложнялась из-за консолидации восточных и западных земель.

Следует отметить, что показатель стагнации не улавливает локальное падение валового продукта в течение одного года, а затем его рост, как это было 1999 г. Падение прироста валового продукта в течение нескольких лет приводит показатель к значениям, близким к нулю, что и отмечалось с 2000 по 2003 гг. Последний кризис показал глубокое падение ВВП и показателя стагнации.

Для США рассматривался период с 1983 по 2009 гг. В эти годы было несколько различных кризисов, которые затронули экономическую деятельность государства. Можно выделить участки середины 1980-х и конца 1990-х гг., когда показатель становился отрицательным (рис. 5). Четко выделены участки когда проявились кризисы начала века и 2008 г.

Некоторые несоответствия, возникшие предложенной модели, могут быть объяснены тем, что при анализе не учтен человеческий капитал, играющий все более важную роль в экономиках развитых стран.

Анализ статистических данных позволяет сделать заключение о работоспособности нового показателя, который может быть дополнительным инструментом при изучении цикличных явлений экономики.

200 100

-100

к

-200 -300 -400 -500 -600

-700

» • * иичAI /\ А »л4* *

А-Л&'Лл/ л (л жДд л л lfW Д1 \ -о*

hi * i | !

i1 ' 1

1 ^

- индикатор

- прирост ВВП

),06 3.04 3.02

-0,02 -0,04

-0,1

Рис. 4. Поведение показателя и прироста ВВП для Германии

6 п

_21 а

* ♦

' % ,B ' * ■ I \ /V /

4,!' l'-^i-JA »4 ■ L Г \ A

W ian®J.' «mV -laaa V ei 1 *"* \ j; 1 inrn \ rmr g

■

т 0,1

- индикатор

■ прирост ВВП

0,04 0,02

-0,02 -0,04

L -01

Рис. 5. Изменение показателя и прироста ВВП для США

Список литературы

1. Кузнецов С.Б. Динамика обновления факторов производства. - Новосибирск: ЦПИ: Изд-во Сибпринт, 2010. - 312 с.

2. Кочин Н. Е. Векторное исчисление и начала тензорного исчисления: в 2 т. - М.: Наука, 1965. - Т. 1. - 219 с.

3. Кузнецов С.Б. Моделирование инвестиционного управления факторами производства экономики // Финансовое управление развитием экономических систем / под ред. С.С. Чернова. - Новосибирск: ЦРНС, 2009. - 285 с.

4. Новая реальность, новые проблемы, новое поколение / под ред. Г.Г. Малинецкого. - М.: Наука, 2007. - 383 с.

5. Бак П., Чен К. Самоорганизованная критичность // В мире науки. - 1991. - № 3. - С. 16-24.

6. Total Economy Growth Accounting Database, Other Database. - URL: http://www.eco.rug.nl/ggdc/index-dseries.html

в редакцию материал поступил 22.10.10

Ключевые слова: факторы производства, скорость обновления факторов производства, стагнация экономики, показатель стагнации.