Моделирование обновления факторов производства Текст научной статьи по специальности «Экономика и бизнес»

УДК. 330.42

МОДЕЛИРОВАНИЕ ОБНОВЛЕНИЯ ФАКТОРОВ ПРОИЗВОДСТВА

С. Б. КУЗНЕЦОВ,

кандидат физико-математических наук,

доцент кафедры государственногорегулирования экономики Е-таИ:8Ък@Щ8.ги Сибирская академия государственной службы

Факторы производства являются важнейшими функциональными составляющими экономики, успешное взаимодействие которых приводит к росту благосостояния государства. Получено уравнение моделирования скорости развития факторов производства с учетом влияния экономической среды. Определяется экономическое число, являющееся характеристикой уровня развития национальной экономики.

Ключевые слова: факторы производства, инвестиции, влияние экономической среды, экономическое число.

На уровне национальной экономики экономическая среда оказывает влияние на развитие факторов производства, изменение уровня налогов, антимонопольное законодательство, конкуренцию, возможности кредитования, регистрацию и ликвидацию предприятий, доступность трудовых ресурсов, постановления правительства, направленные на сдерживание или развитие факторов производства, например в борьбе с циклическими проявлениями в экономике. На межнациональном уровне это влияние определяется таможенным законодательством, миграционной политикой государств, уровнем международной торговли, ограничениями в привлечении иностранных капиталов, рабочей силы, различными видами эмбарго и т. п.

В пространстве с четырьмя степенями свободы (временем ^ трудовыми ресурсами Ь, физическим капиталом Ки человеческим капиталом Н) рассмотрим непрерывный экономический показатель (например скорость обновления факторов производства) Р = (Ь, К, Н, ?), ^ (Ц К, Н, ?), ^ (Ц К, Н, ?)).

В этом пространстве О. будем анализировать некоторый объем факторов производства и обоз-

начим его через м>. Выберем в О некоторую точку с координатами 7 = (Ь,К,Н), тогда величина сТ

— = V(Т, ?) представляет собой скорость обновле-&

ния факторов производства в этой точке.

Рассмотрим в пространстве О. замкнутый контур С, стягивающий поверхность на которой будем брать начальные условия для экономических объектов и построим линию развития факторов производства для этих экономических объектов за время ¿до поверхности Б2 (рис. 1) [1].

Получим некоторый коридор объемом м и поверхностью Г, который назовем коридором развития экономики. Свойством коридора развития является то, что через его боковую границу линии развития не проходят.

Выпишем уравнение чистых валовых инвестиций в неоклассической модели роста:

^ = 7 (г). &

(1)

Рис. 1. Коридор развития экономики в пространстве факторов производства

В реальной экономике освоение инвестиций всегда происходит с запаздыванием. Инвестиции, сделанные в момент т в объеме / (г) = (1К, , 1Н), далее осваиваются постепенно. Предположим, что плотность распределения освоения инвестиций подчиняется закону /(г - т) = ре~р('~т) с некоторой константой р, тогда:

г

и (г) = р |ре~р('-т)7(т)Ст.

В результате прямого дифференцирования последнее равенство можно записать:

Си (г) Сг

= р[ ] (г) -и (г)],

(

-Г

ЗК дРг Ж

дЬ

' к дК

_н_

дН

Ж

ук дРк

ун дРн

\

Ы2 Зг |у|2 Зг |у|2 Зг

¿V =

= ¡ыг {р)ау.

Второе. Пусть имеется скалярная функция ф(г, г), описывающая поведение некоторого экономического показателя. Выделим в области развития ограниченный изменяющийся во времени объем факторов производства ж Предположим, что функция ф(г, г) дифференцируема в выделенном объеме и на его границах. Будем считать, что объем м возникает из объема = (¿0), где ^ — начальный момент времени, путем непрерывных изменений, которые обусловлены изменением элементов вдоль линий, определяемых вектором скорости обновления факторов производства У :

си(г) .

где -— = и (г) — скорость освоения инвестиции;

Сг

СГ (г) -..

—— = ] (г) — скорость инвестирования. Сг

Дифференцируя обе части (1), рассмотренного с учетом освоения инвестиций, получим уравнение, которое назовем уравнением «идеальной» экономики:

СУ (г) ч —— = и (г). Сг

Введем новую величину представляющую собой отношение прироста скорости изменения валового продукта к приросту произведения освоенных инвестиций, повлиявших на это изменение:

Х= ^ > где у7 = ^ ; И = ики¡ин . СИ Сг

Предлагаемая величина характеризует относительную скорость изменения валового продукта и представляет собой производную предельной производительности экономики, которая меняется в интервале (— да, да). Отрицательные значения указывают на то, что экономика находится в состоянии регрессии, азначения, близкиекнулю, определяют стагнацию экономики.

Рассмотрим некоторый объем изменяющихся факторов производства под действием сил сопротивления экономической среды. В работе [1] были доказаны три утверждения.

Первое. Для любого непрерывного и имеющего первые непрерывные производные внутри и на границах коридора развития векторного экономического показателя, зависящего от факторов производства, имеет место: ГЁ ■ с® =

д_ дг

|Ф(7, г )СУ =\

С ф(Г , г) Сг

+ ШУ (фУ)

СУ.

Из этого утверждения имеем равенство для любого фактора производства^:

I к (Г.г ¥у =1

с ТУр (г,г) ПТТ., —р-—+ту (уУрУ)

сг

СУ.

Изменение факторов производства обусловлено скоростью освоения инвестиций в каждый момент времени, т. е. внутри всего изменяющегося объема факторов и сопротивлением экономической среды, с которым, в первую очередь, сталкиваются вновь появляющиеся факторы, «расположенные» на границе изменяющегося объема. Математически это можно представить в виде:

дг

где а р = (а

— ¡УУр (г, = \хир +

а р • СБ,

рК ' ®рЬ,

рН

) — противодействия развитию факторов производства со стороны

экономической среды.

Сопротивление экономической среды приводит к изменению темпа развития факторов производства. Изменение скорости развития происходит для всех факторов, поэтому противодействие необходимо описывать в виде тензора ар!, тд,ер, I — некоторые факторы производства.

Из первого утверждения получим равенство: С уУп (Г, г)

Сг + ту {гурУ) = гир + ту (а р).

Тензор ар1 назовем тензором сопротивления экономической среды. Он должен зависеть от скорости факторов производства и показывать темп изменения, например выражаться через

дУ,

производные —- или %у„у1 , размерность которых

др

и соответствует этому темпу.

Если градиенты скорости обновления факторов производства не очень велики, то можем для описания тензора взять только первые производные от скорости. Это предположение является ес-

тественным ограничением для всех экономических объектов, нельзя достичь большой скорости развития при малом изменении факторов производства.

Сама зависимость а , от производных считается р др линейной, так как всегда можно разложить любую функцию в ряд Тейлора и отбросить малые величины. Факторы производства у нас равноправные, среди них нельзя выделить главные и второстепенные, т. е. вид тензора должен быть симметричным

относительно производных

dp

от значении

avL dp

члены должны отсутствовать в

° p, =Л

dv, dVp + -

+ lvpv,,

d 1Vp (r,t ) _ DIV dt

= Xu„

(2)

dv„

-dir

—12 V

■ grad

dt

ifb

up.(3)

du .— _. — = P(j ~u), dt

где Av =(AvL, Av^, AvH

д v д v д v

ц

дК дН'

— оператор Лапласа;

В предположении постоянной скорости от времени v = const, но зависящей от факторов производства, тензор представляет собой диагональную матрицу, зависящую от скорости развития факторов производства, и поэтому не зависящие

тензоре арГ В целом такой линейной комбинацией, удовлетворяющей перечисленным требованиям, может быть выражение, составленное из слагаемых

ду, дУр

—'-, —уу V, снекоторымиконстантамиперед

др д1 р

каждым слагаемым. Остановимся на случае, когда противодействие развитию экономики можно представить как линейную комбинацию этих величин:

dp dl

где -q — коэффициент ведения бизнеса, отражающий связь развития факторов производства с инвестициями, не зависящий от скорости и не имеющий размерность.

Распишем динамическую дивергенцию DIV(ap) и окончательно получим: dv

^— + ^grad (vp) dp

Уравнение (2) представляет собой наиболее общий вид одного из векторных уравнений, которое описывает развитие экономики с учетом сопротивления экономической среды. Если коэффициент ведения бизнеса -q маленький или относительная скорость изменения валового продукта высокая, то приходим к системе уравнений, описывающей «идеальную» экономику.

Предположим, что коэффициент -q = const и х не зависит от времени, тогда уравнение (4) с учетом уравнения освоения инвестиций запишем в виде системы:

И = — — коэффициент экономического состоя-

X

ния среды.

Коэффициент экономического состояния среды изменяется в диапазоне (—да, <»). Отрицательные значения ^ указывают на то, что экономика находится в состоянии регрессии, очень большие значения определяют стагнацию экономики.

Полученную систему назовем системой уравнений развития экономики с тензором сопротивления экономической среды. Это векторное уравнение является разновидностью уравнения Навье-Стокса и отличается дополнительными членами.

Для полученных систем нужно определить граничные условия. В моменты возникновения нового сопротивления экономической среды развитие экономических объектов как бы останавливается и идет по «инерции», изучая новые условия хозяйствования. В эти моменты можно считать, что скорость изменения факторов производства нулевая, т. е. v = 0. После анализа изменившейся экономической ситуации начинается коррекция вектора скорости с учетом новых условий хозяйствования. На границах коридора развития нормальная составляющая от вектора скорости нулевая.

При моделировании экономической ситуации одним из возможных вариантов определения показателя легкости ведения бизнеса могут быть процентили, или относительные значения рейтин-гаведения бизнеса (Doing Business) [4].

Коэффициент ведения бизнеса -q должен быть возрастающей функцией от показателя легкости ведения бизнеса (или просто совпадать), так как с более низким местом в рейтинге сопротивление экономической среды увеличивается [1].

Рассмотрим метод подобия и размерности, смысл которого состоит в том, чтобы измерять все величины в единицах, являющихся характерными параметрами конкретной задачи.

Подобными экономиками назовем такие экономические объекты, которые могут быть получены друг из друга изменением всех параметров в одинаковое число раз. Параметрами, характеризующими экономику, являются трудовые ресурсы L, физический капитал К, человеческий капитал Н, экономическое состояние среды, которое характе-

Таблица 1

Коэффициент ведения бизнеса в развитых странах за 2006-2008 гг.

Рейтинг легкости Коэффициент

Страна ведения бизнеса ведения бизнеса ^

2006 2007 2008 2006 2007 2008

Чешская 52 56 74 0,3 0,31 0,4

Республика

Дания 7 5 6 0,04 0,03 0,03

Германия 21 20 25 0,12 0,11 0,14

Италия 82 53 78 0,47 0,3 0,43

Нидерланды 22 21 30 0,13 0,12 0,16

Австрия 30 25 28 0,17 0,14 0,15

Португалия 40 37 48 0,23 0,21 0,26

Словения 61 55 53 0,35 0,31 0,29

Финляндия 14 13 16 0,08 0,07 0,09

Швеция 13 14 18 0,07 0,08 0,1

Великобритания 6 6 5 0,03 0,03 0,03

США 3 3 4 0,02 0,02 0,02

Япония 11 12 15 0,06 0,07 0,08

Россия 96 106 120 0,55 0,6 0,66

ризуют коэффициент экономического состояния среды ^ и модуль скорости развития факторов производствамировой экономики ум = |у,,|.

Для однообразия измерения объем трудовых ресурсов будем оценивать через объем заработной платы и человеческий капитал, также выраженный в денежных единицах. Одного и того же объема производства можно добиться при разном сочетании факторов производства, поэтому для оценки размеров факторов производства будем рассматривать некоторый усредненный фактор экономики у:

у = ^ЪКН

или у = ¿)2 + (К )2 + (Н )2.

чем меньше сопротивление экономической среды ^ или, чем больше скорость изменения факторов производства и/или усредненный фактор экономики, тем меньше Е0. Следовательно, для более развитых экономик мы должны ожидать появления малых значений Е0.

Будем измерять текущие факторы производства национальной экономики г = (Ь, К, Н) в единицах у, а скорости изменения факторов производства — в единицах уы, т. е. введем безразмерные величины Г У

— и —. Поскольку единственным безразмерным V ум

параметром для национальной экономики является экономическое число Е{), то ясно, что получающееся в результате решения экономического уравнения (3) распределение скоростей изменения факторов производства определяется функциями

вида у = у/

г —

— Е

5-"-О

, где / — некоторая функция.

Каждый экономический объект, развивающийся в экономической среде, можно определить тремя параметрами: у, ум, й- Эти величины обладают размерностями:

[у] = денежная единица (ден. ед.); [ум] = ден. ед. /г.; [ц] = (ден. ед.) 2/г.

Из этих величин можно составить всего одну независимую безразмерную комбинацию (остальные функции от нее), которую назовем экономическим числом:

Е

^о •

ум V

Отрицательные значения Е0 указывают на то, что экономика находится в состоянии регрессии, а очень малые значения определяют «идеальное» состояние. Очень большие значения Е0 возникают при неустойчивом состоянии экономики.

Из вида экономического числа следует, что

Из этого уравнения видно, что для двух различу

ных экономик скорости — являются одинаковыми

ум

функциями отношения — , если только экономические числа этих экономик одинаковы.

Экономики, которые могут быть получены друг из друга простым изменением масштаба факторов производства и скоростей их изменения, назовем подобными. Таким образом, экономики с одинаковым экономическим числом подобны. Это заключение назовем правилом подобия экономик.

V

Время будем измерять в единицах—, объем

ум

инвестиций — в единицах ум, скорость изменения

У2

инвестиции — в единицах — , тогда безразмерные

величины (обозначим их буквами с тильдами) будут

связаны со старыми, размерными величинами:

У„ ~ гу^ _ р ~ I _ иш— 2 ~ „ ^ =—; г р = ; / =—; и = -2- Д = у2А; У = уУ.

V Ш Ш V V

м т т м м

Подставляя эти соотношения в равенство (3), сократим подобные множители и опустим знак тильды, получим:

Су _

Еп

—Т~ = ир + Е0 Аур + —V • grad

Ж

ду

+ Е0ЫУ

др

(4)

Величина Ег, показывает, насколько сильно

влияние сопротивления экономической среды. При малых значениях Е{) изменение факторов производства можно моделировать уравнением для «идеальной» экономики.

Третье. Пусть -q=const и тензор ст^не зависит от

времени, тогда экономику можно описать системой (3) с первым уравнением:

^ 1 Г

—^ | + Б1Г

&

1

V

v ■ grad

dv dp

(5)

если выполняется неравенство |£"0| >> 1, и уравнением «идеальной» экономики с учетом освоения инвестиций, если|£01 << 1.

Доказательство. В системе (3) член — имеет

порядок — , а Av, DIV

^ dv dp

и

_|2 v

dt

об-

ладают порядком —у. Тогда отношение последних величин к первой имеет порядок экономического

числа. Следовательно, если |£01 >> 1, то членом —

1 01 &

можно пренебречь, так как отношение полной

Б7Г

/ dv

производной к любой из величин

1 _

v ■

v

dVp dt

дает отношение -

2 2 ¥ vM

Vvm

dp

И

или

Поэтому, если £0 >> 1, наше уравнение примет вид (5).

С другой стороны, на основании равенства (4) в случае |£01 << 1 имеем уравнение «идеальной» экономики с учетом освоения инвестиций.

Замечание. Уравнение (5) можно записать в виде:

DIV

dv dp

+ grad (vp )

В случае, когда экономика определяется п факторами, экономическое число примет вид

Е .

0 „-2

Скорость обновления факторов производства можно измерять не только в единицах мировой экономики, но, например, в единицах модуля скорости факторов США или непосредственно самой национальной экономики.

В естественных науках применяется метод анализа размерностей, выраженный в виде я-теоремы. Достоинством метода является то, что при его применении достаточно знать основные переменные величины, характеризующие данный процесс. Математическое уравнение, описывающее этот процесс, может быть неизвестно.

Любое уравнение, описывающее экономический процесс, обязательно должно быть однородным по размерности. В экономике в качестве основных экономических величин можно взять денежную единицу (R) и время (Т) или использовать любые другие независимые величины, например усредненный фактор экономики у и сопротивление экономической среды ц.

Согласно я-теореме, если п переменных xv х2, х3,... хп, участвующих в каком-либо процессе, выразить через выделенные основные переменные, то их можно сгруппировать в n—m безразмерных я-членов:

^, п2, п3 ,...п„_т) = 0, (6)

где каждое ni представляет собой безразмерное произведение нескольких х. Причем каждый я-член будет содержать т + 1 переменную величину. В наших предположениях число таких величин, входящих в я-члены, равно трем. Две из них определяющие: усредненный фактор и сопротивление изучаемой экономической среды. Третья величина заменяется различными изучаемыми переменными.

Для удобства исследования последние величины берутся в степени —1. Показатели степени определяющих величин неизвестны.

Выражаем входящие в я-члены переменные через основные независимые переменные, так как эти члены безразмерные во всех полученных для них выражениях, то показатели степени каждой из основных размерностей должны быть равны нулю.

Известно, что объем валовой продукции Y зависит от факторов производства (усредненный фактор у), скорости обновления факторов v, объема инвестиций I (модуль вектора инвестиций) и сопротивления экономической среды

Общая зависимость может быть представлена ввиде ф(7, у, v, I, ц) = 0.

Система уравнений должна состоять из трех я-членов:

я1 л ц21 v"1, п2 = у* Ц221_1, П3 = уЦ23 Y-1.

Запишем размерности, входящие в систему переменных:

М = =

;[Y ] =

;[I ] =

;М =

T

Составим уравнения размерности для каждого из я-членов, имея в виду условие их обязательной однородности. Решая полученные системы, находим:

р _ р у _ р у уу У 7

2

1

2,5 2 1,5 1

0,5 О

1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 Рис. 2. Поведение экономического числа Е. для России за 1998—2008 гг.

от объема инвестиций с безразмерным коэффициентом, определяемым эко-

номическим числом У = -

I.

0,45 0,4 0,35 0,3 0,25 0,2 0,15 0,1 0,05 0

1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 _ Италия Франция — — Германия ......Великобритания — -

Рис. 3. Поведение сопротивлений в экономике стран Европы и США

за 1998-2008 гг.

Член я2 представляет собой критерий связи скорости обновления факторов производства и изменения объемов валового продукта.

Член п3 представляет собой критерий связи скорости обновления факторов производства, в зависимости от уровня инвестиций в национальную экономику.

Подставим я-члены в уравнение (6) и разрешим его относительно ¥.

У = -

Е0У

РI Е0 , Е0 "

Получили, что объем валового продукта национальной экономики зависит от экономического числа, скорости обновления усредненного фактора производства и объема инвестиций, вкладываемых в эти факторы.

В предельном случае, когда происходит мгновенное освоение инвестиций V = I, п3 =л1 = Е0 имеем линейную зависимость валового продукта

р Е)

Рассчитаем экономическое число для России. Данные по объемам человеческого капитала отсутствуют, поэтому рассмотрим экономическое число, полученное по двум факторам

Е0 = —. Исходные данные для России

представлены в долларах США и приведены в ценах 2006 г. (рис. 2) [2].

Экономическое число Е0 для России имеет порядок 0,12—2,62 ед. Так, в 2007г. оно равнялось 0,8, а в 2008 г. — 0,82. Рост экономического числа России начался задолго до кризиса в 2005 г. В это время многие европейские страны развивались стабильно (рис. 3). Согласно третьему утверждению экономику России нельзя описать ни уравнением (5), ни уравнением «идеальной» экономики.

Рассмотрим поведение экономического сопротивления для экономик европейских стран и США. Минимальное сопротивление имеет экономика США. Следующими в этом рейтинге являются экономики Великобритании, затем Дании, Японии, Финляндии, Швеции и т.д. Самым большим сопротивлением обладает экономика Италии (рис. 3) [2, 3].

При расчете индекса Е0 рассмотрены данные статистики, выраженные в денежных единицах, по паритету покупательной способности. Сравнительная картина поведения экономических чисел показана на рис. 4.

С точки зрения моделирования при малых значениях Е0 экономику Швеции до 2006 г. можно было моделировать, используя уравнение «идеальной» экономики и в некотором приближении экономику Чешской Республики. Для экономики Великобритании, Швеции и Чешской Республики рост экономического числа начался с 2007г., а на следующий год произошло его обрушение, которое указывало на кризис в экономике. Экономические числа Германии, Нидерландов, Австрии, Словении, Финляндии и Швеции начали свой рост только в момент начала кризиса. Экономические числа Италии, Австрии, Финляндии и Португалии в 2008 г.

2008

США

3

-2

-4

1 / / i \ \

/.. м \

м ."= ..»и — — я

ч ч ч > ^- Ч \

\

08

2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008

-Финляндия Словения ....... Португалия

— — Австрия — ™ Италия б

ix чисел стран Европы за 2000—2008гг.: тносительно большое Еп

показали ярко выраженный кризис национальных экономик.

Самое стабильное поведение у экономических чисел наблюдалось в Швеции, Чешской Республике, и Германии; самое нестабильное поведение — в Италии и Португалии. Минимальные значения показывали наибольший подъем в экономиках стран, максимальные — указывали на кризисные явления.

Результаты оценки возможностей ведения бизнеса в национальной экономике с помощью экономического числа показали устойчивость показателя, что свидетельствует о неслучайности и объективности индекса, возможности применять его для комплексной оценки такой сложной категории, как уровень экономического развития и конкурентоспособности экономики.

Список литературы

1. Кузнецов С. Б. Динамика обновления факторов производства. Новосибирск, ЦПИ: Сибпринт, 2010.

2. URL: http://www.euklems.net/eukdata.shtml/.

3. URL: http://www.eco.rug.nl/ggdc/index-dseries.html.

4. URL: http://www.russian.doingbusiness.org/.