Дифференциально-геометрический подход к описанию допусков искажения метрики Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 621.757

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО-ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ ПОДХОД К ОПИСАНИЮ ДОПУСКОВ ИСКАЖЕНИЯ МЕТРИКИ

© М.А. Гаер1, А.В. Шабалин2, А.А. Валов3

Иркутский национальный исследовательский технический университет, 664074, Россия, г. Иркутск, ул. Лермонтова, 83.

Описывается модель для представления конфигурационных пространств допусков искажения метрики с использованием аппарата дифференциальной геометрии и топологии. Такие допуски характеризуются изменением коэффициентов первой квадратичной формы данной поверхности при сохранении неизменной ее второй квадратичной формы. Для этих коэффициентов найдены конфигурационные пространства, позволяющие в контексте системы автоматизированного размерного анализа представлять указанные виды допусков в виде параметрической модели.

Ключевые слова: допуски; конфигурационное пространство; квадратичные формы поверхности; искажение метрики.

DIFFERENTIAL GEOMETRIC APPROACH TO METRIC DISTORTION TOLERANCE DESCRIPTION M.A. Gaer, A.V. Shabalin, A.A. Valov

Irkutsk National Research Technical University, 83 Lermontov St., Irkutsk, 664074, Russia.

A model for the representation of metric distortion tolerance configuration spaces using the apparatus of differential geometry and topology is described. Such tolerances are characterized by the change in the coefficients of the first quadratic form of the given surface whereas its second quadratic form remains unchanged. Configuration spaces allowing to represent the specified types of tolerances in the form of a parameter-oriented model within the system of automated dimensional analysis are found for these coefficients.

Keywords: tolerances; configuration space; surface quadratic forms; metric distortion.

Важной задачей при конструировании нового изделия является назначение и анализ точностных характеристик отдельных деталей и оценка их влияния на сборку в целом. Особый интерес представляет назначение допусков на отклонения от заданного профиля и формы произвольных поверхностей.

Большинство современных CAT-систем используют для размерного анализа математическую модель, которая никак не привязана к реальной геометрии. Этот факт не позволяет корректно учитывать все виды пространственных отклонений в размерном анализе.

В настоящей статье описывается новый универсальный подход представления этих отклонений, основанный на знаниях дифференциальной геометрии и топологии.

Итак, пусть некоторая поверхность S задана регулярной векторнозначной функцией г = f(u,v), то есть ее частные производные:

дг _ _ дг _ _

1ы = Ги, ~^ = Гу

- неколлинеарны. При этом плоскость, задаваемая векторами fej^}, является касательной к поверхности в

[rTt.fy]

данной точке, а вектор п = _ _ - единичным вектором нормали в этой точке.

1 [ru,rv]1

Запишем уравнения первой и второй квадратичных форм поверхности [3, 4]:

I = Edu2 +2Fdudv + Gdv2,

II = Ldu2 + 2Mdudv + Ndv2,

где E(u,v), F(u,v), G(u,v), L(u,v), M(u,v), N(u,v) - коэффициенты квадратичных форм данной поверхности.

1Гаер Максим Александрович, кандидат технических наук, доцент кафедры технологии машиностроения, тел.: 89021709580, e-mail: magaer38@gmail.com

Gaer Maxim, Candidate of technical sciences, Associate Professor of the Department of Mechanical Engineering Technology, tel.: 89021709580, e-mail: magaer38@gmail.com

2Шабалин Антон Владимирович, кандидат технических наук, доцент кафедры технологии машиностроения, тел.: 89148800312, e-mail: freeman@istu.edu

Shabalin Anton, Candidate of technical sciences, Associate Professor of the Department of Mechanical Engineering Technology, tel.: 89148800312, e-mail: freeman@istu.edu

3Валов Александр Александрович, аспирант, тел.: 89086461139, e-mail: aleksandrvalov@gmail.com Valov Alexander, Postgraduate, tel.: 89086461139, e-mail: aleksan-drvalov@gmail.com

Рассмотрим геометрический смысл коэффициентов E, F, G первой квадратичной формы поверхности и коэффициентов L, M, N второй квадратичной формы поверхности с точки зрения теории векторных евклидовых пространств.

Обозначим через ф угол между векторами ги и rv, а через ф1, ф2, фз углы между векторами нормали п к поверхности в данной точке и векторами ц^, , ц^ 4 соответственно. Тогда коэффициенты первой и второй квадратичных форм поверхности могут быть представлены в следующем виде:

Е = (^tu) = Ш2;

F = (ru,rv) = Ш • ШсоБ(р = Щ = Щ •Pri^ (1)

G = (fv,rv) = Ш2;

L = ^.п) = И • Ы •cosf! = И •cosf! = Prrb _

М = (f^,n) = И • ^ •cos(p1 = ^ •cos(p1 = Prr^^; (2)

i.

UU\n '

N = (rvv,n) = \rvv\ • \п\ • coscp! = \rvv\ • coscp! = Pïrv

1

Таким образом, коэффициенты E и G - это квадраты длин векторов ^ и rv соответственно, коэффициент F - их скалярное произведение, а коэффициенты L, M, N являются ортогональными проекциями векторов ц^, , ц^ соответственно на ось с направляющим вектором п.

Далее, принимая во внимание рассуждения, изложенные выше, рассмотрим допуски формы, которые характеризуются изменением коэффициентов первой квадратичной формы данной поверхности при сохранении неизменной ее второй квадратичной формы. Будем называть эти допуски допусками искажения метрики. Опишем модель для представления конфигурационных пространств этих видов допусков.

Напомню, что конфигурационное пространство - это некоторое абстрактное пространство, представляющее собой совокупность m переменных, задающих расположение в пространстве некоторой (механической) системы и ее частей как относительно друг друга, так и относительно известной системы отсчета. Каждая совокупность этих переменных рассматривается как m декартовых координат в m-мерном пространстве, называемых обобщенными координатами, которые определяют в каждый момент времени конфигурацию данной системы, т.е. положение самой системы и взаимное расположение ее частей по отношению к данной системе отсчета [ 2].

Будем рассматривать две такие конфигурации системы и считать их различными, если при переходе от одной из них к другой (от старой к новой) меняется хотя бы одна из функций E(u,v), F(u,v) или G(u,v), а функции L(u,v), M(u,v) и N(u,v) остаются неизменными.

Сначала рассмотрим такие конфигурации системы, в которых изменения касаются только коэффициента E. Пусть тогда при переходе от одной такой конфигурации к другой коэффициент E° (в старой системе) изменился на EH (в новой системе). Конфигурационное пространство в таком случае назовем конфигурационным пространством вариаций коэффициента E или просто конфигурационным пространством коэффициента E. Определим требования, накладываемые на производные функций r(u,v) 5.

Так как согласно формулам, представленным в работе [1], Е = \ги\2, то функции E(u,v), L(u,v), M(u,v), N(u,v) изменятся, если изменить длину вектора ги. При этом вектор rv будем оставлять неизменным для того, чтобы коэффициент G = \fÇ\2 оставался прежним. Следовательно, не изменятся векторы и r^v= ц^. Тогда вектор-функция f(u,v) может быть изменена на вектор, зависящий только от параметра u, то есть гин = гис + р(и).

По требованию неизменности коэффициента L согласно формулам (2), получаем Prl^Hl^ = Prr^cl^. Это значит, что р(и) 1 п, то есть р(и) коллинеарен плоскости fej^}. Или, что то же самое, р(и) e fej^}.

В общем случае, когда хотя бы один из векторов , ц^ не нулевой, сохранение коэффициентов M и N возможно лишь, если вектор п также не изменился. В частных же случаях при всех прочих вышеописанных условиях сохранение коэффициентов M и N возможно лишь при повороте вектора п вокруг вектора rv.

Еще одно условие для новой конфигурации системы - неизменность коэффициента F = \îî\ •Prr^ , из которого следует, что РгК р также не должна изменяться.

\rv

Таким образом, геометрический смысл изменения лишь коэффициента E заключается в изменении вектора ги, конец которого характеризуется точкой прямой, ортогональной вектору rv и проходящей через конец вектора гис (рис. 1).

Итак, новый вектор т^" = гис + р(и), где р(и) =NP = XMN. То есть р(и) = X (гис - 1Ги ) = 1 (f^c --f^).

\ Ы ! V СУ

Правая часть последнего равенства не должна зависеть от параметра v, т.е. ее производная по v должна быть

4 ruu, ruv, rvv - векторы системы уравнений в частных производных, называемых деривационными формулами поверхности

F

^г^^Ки^^^ектор-функция^пис^

равна нулю, при том, что, если А не константа, то от v все равно не зависит

dv A('uv dv(Gj v g'vv)-

(3)

О

Рис. 1

Далее, если домножить обе части равенства (3) скалярно на вектор п, то получим следующее условие для коэффициентов квадратичных форм, при котором возможна рассматриваемая вариация:

Е •Ы М-——=0

или

GM-FN = 0.

Перейдем к вектору гин = (1 + Л)гис -А-г„. Найдем:

(4)

Значит,

|2 = (1 +1)2| гис12 - 21(1 + Ä)^(ruc,rv) + А2£ Щ2.

Ен = (1+Х)2Ес -(21 +А2)-.

(5)

Последнюю формулу можно записать в следующем виде:

Е

Н - (EC-F2)(1+1)2+F2

(6)

Из равенства (5), изменяя значения параметра X (функционально зависимого от и), мы будем получать различные конфигурации рассматриваемой системы из шести функций: E(u, v), F(u, v), G(u, v), L(u, v), M(u, v), N(u, v), являющихся коэффициентами квадратичных форм данной поверхности, при изменении лишь коэффициента E. При этом А=0 означает номинальное положение: Ен = Ес.

Таким образом, конфигурационным пространством коэффициента Е будет вся вещественная прямая с выколотой точкой X Ф -1. Однако нас интересуют лишь малые изменения этого коэффициента, поэтому удобно ограничиться нужным отрезком, обозначим его &Е = [а,Ь].

Построение конфигурационного пространства коэффициента G проводится аналогичными рассуждениями с точностью до взаимной замены E на G и ги на ц,.

То есть изменения здесь касаются лишь функции коэффициента G и вектор-функции ц, по следующим формулам:

gH _ (EGc-F2)(I+V)2+F2

rvH = (1 + 11\с - ll-ru.

(7)

(8)

Обозначим также по аналогии с предыдущим случаем конфигурационное пространство коэффициента G через &с = [с,й].

Перейдем теперь к конфигурационному пространству коэффициента F. Так как в этом случае E и G мы оставляем без изменения, то 1^1 и 1^,1 также должны оставаться без изменения, а значит вариацию коэффициента Е = 1^1 • 1^,1 • соБф будем осуществлять только за счет изменения угла ф между векторами т^и . При этом для определенности будем поворачивать вектор ги относительно вектора ^ (рис. 2) и не будем выходить за рамки касательной плоскости

Тем самым обеспечим неизменность вектора нормали п и, следовательно, коэффициентов второй квадратичной формы Ц M и N.

с

Рис. 2

Итак, в данном случае множество всех возможных состояний рассматриваемой системы Е(и, V), Р(и, V), в(и, V), Ци, V), М(и, V), М(и, V) при изменении лишь коэффициента Р описывается положением вектора ^, конец которого, в свою очередь, описывает окружность на касательной плоскости [гис, и каждой точке этой окружности соответствует единственное состояние системы.

Таким образом, конфигурационное пространство коэффициента F есть окружность Б1 (рис. 2), которую можно иначе рассматривать как прямолинейный отрезок, концы которого абстрактно склеены друг с другом: Дф е [0,2л:]. Окружность является одномерным многообразием, аналогичным двумерному тору; каждая точка этого многообразия отождествляется с единственным состоянием рассматриваемой системы.

Получается, что в общем случае конфигурационное пространство первой квадратичной формы есть трехмерное многообразие:

ДБх Дсх 51.

Если соответствующие значения отложить на трех взаимно перпендикулярных осях, то любое возможное состояние нашей системы можно изобразить точкой прямоугольного параллелепипеда (рис. 3, а). В частных случаях, когда наложенные допуски на поверхность изменяют только пару коэффициентов - Е и Р либо в и Р, конфигурационными многообразиями будут двухмерные цилиндры (рис. 3, б).

д|

G

aF

аЕ

aF б

Рис. 3

др

aG в

Продемонстрируем далее полученные результаты на примерах. Рассмотрим кусок плоскости, ограниченный параллелограммом (прямоугольником) (рис. 3, е):

и е [0,10], v е [0,10];

r(u, v) = (и sin ф, и cos ф + v, 0) (ф = — в случае прямоугольника).

Коэффициенты второй квадратичной формы L, M и N тождественно равны нулю, так как все вторые производные вектор-функции f(u,p) будут нулевыми. Найдем коэффициенты первой квадратичной формы:

Е = 1;F = cos0;C = 1.

При изменении коэффициента E по вышеописанным формулам получим = (1 +А)2. Нетрудно убедиться, что такой конфигурации нашей системы соответствует вектор-функция:

гн(м,р) = ((1 + A)u sin ф, (1 + A) u cos ф + р,0).

а

Таким образом, конфигурационное пространство коэффициента Е здесь является конфигурационным пространством допуска на линейный размер параллелограмма вдоль стороны, отвечающей параметру и карты (рис. 4). Если Д - допустимое значение отклонения этого размера (I ± Д), то Х = ~.

Ес Ен

V V

г и и

Рис. 4

Точно так же конфигурационное пространство коэффициента в здесь является конфигурационным пространством допуска на линейный размер параллелограмма вдоль стороны, отвечающей параметру V карты поверхности, поскольку при изменении коэффициента в в этом случае получим = (1 + ^)2. И такой конфигурации нашей системы соответствует вектор-функция:

гн(и,у) = (и5тф,исоБф + (1 + Х)р, 0).

При изменении коэффициента Р в вектор-функции г(и,р) поменяется угол ф:

ГН(и,р) = (и Б1п(ф + Дф),иСОБ(ф + Дф) + У,0)

и соответственно изменится угол наклона рассматриваемого параллелограмма без изменения длин его сторон (рис. 5).

V

ф+дф

U

U

Рис. 5

В качестве другого примера рассмотрим цилиндрическую поверхность, заданную вектор-функцией:

г(и,р) = (асо8и,а8ти + рсовф ,р),

где а - радиус цилиндра, а ф - угол наклона оси цилиндра относительно плоскости его основания. В случае Ф = ^ имеем прямой цилиндр, который будем считать номинальным. Тогда при первоначальном состоянии системы коэффициенты квадратичных форм будут следующими:

Е = а2,¥ = 0,в = 1; I = -а,М = 0^ = 0.

Нетрудно убедиться, что изменение коэффициента E в этом случае приводит к изменению линейного размера радиуса цилиндра, поэтому конфигурационное пространство E будет конфигурационным пространством допуска на диаметр цилиндра (рис. 6, а). Так, если Д - некоторое допустимое значение отклонения диаметра цилиндра (D ± Д), то в новой конфигурации системы, соответствующей этому значению,

rH(u,v) = ((1 + A)acosu, (1 + Х)а sinu,p),

Ен

- 2ä где =

(1+Х)2а2,

D

GC GH

Н

D+ А

Н

Н+Д

Рис. 6

Конфигурационное пространство коэффициента G цилиндрической поверхности является конфигурационным пространством допуска на линейный размер высоты цилиндра (рис. 6, б). Действительно, в этом случае получаем, что = (1 + а

rH(u, v) = (a cos и, a sin и, (1 +

при этом, если А - допустимое значение отклонения высоты цилиндра (Я ± Д), то ^ = j.

Изменение же коэффициента F на новое значение FH = а • cos0 • cosu, очевидно, приводит к изменению угла наклона оси цилиндра относительно плоскости основания (этот угол становится равным ф, рис. 7). Однако отметим, что в таком случае коэффициент L не может остаться неизменным и становится равным:

L"

а • cos^

^cos2^-sm2u + sm2^

н

Рис. 7

н

Геометрический смысл вариации коэффициента L означает изменение кривизны координатной линии v=const. Здесь же изменились сами эти координатные линии (рис. 7, справа). Если их оставить без изменения, то речь будет идти о допуске перпендикулярности оси цилиндра, который является допуском расположения и не относится к допускам формы.

Описанный выше подход к описанию допусков искажения метрики реализован и применяется в системе «ГеПАРД», которая позволяет проводить пространственный размерный анализ сборок с учетом всех видов трехмерных допусков (как допусков расположения, так и допусков формы) в любом их сочетании.

Статья поступила 08.04.2015 г.

Библиографический список

1. Гаер М.А. Моделирование трехмерных допусков при автоматизированном проектировании сборок с помощью кватернионов // Вестник ИрГТУ. 2004. № 4 (20). С. 177.

2. Гаер М.А. Журавлев Д.А., Яценко О.В. Конфигурационные пространства поверхностей деталей и сборок // Вестник ИрГТУ. 2011. № 10 (57). С. 32-36.

3. Гаер М.А., Калашников А.С., Шабалин А.В. Квадратичные формы при моделировании сборок с допусками // Винеровские чтения: материалы регион. науч.-практ. конф. Иркутск: Изд-во ИрГТУ, 2005. С. 56-59.

4. Гаер М.А., Шабалин А.В., Плонский П.Л. Описание пространственных допустимых отклонений с помощью коэффициентов квадратичных форм. М.: Изд-во МГТУ «МАМИ», 2009. С. 138-144.

б

а