CC BY
28
Следует отметить, что при изготовлении компенсатора пришлось преодолеть ряд технологических затруднений, связанных с последовательностью выполнения целого ряда операций.
Предлагаемую конструкцию устройства для ком-
пенсации перемещения при кручении можно использовать на трубопроводах, используемых для передачи энергоносителей, газовых и жидких сред.
Статья поступила 22.09.2014 г.
Библиографический список
1. Орлов М.А. Основы классической ТРИЗ. Вводный курс высокоэффективного инновационного мышления. 3-е изд. М.: СОЛОН-ПРЕСС, 2010. 432 с.
2. Петров В. Базовый курс по теории решения изобретательских задач. Тель-Авив, 2002. 75 с.
3. Шпаковский Н.А. ТРИЗ. Практика целевого изобретательства: учеб. пособие. М.: ФОРУМ, 2011. 336 с.
4. Петров В. Структурный вещественно-полевой анализ. М.: TRIZ, 2002. 75 с.
5. Альтшуллер Г. Найти идею: введение в ТРИЗ - теорию решения изобретательских задач. М.: Альпина паблишерз,
2011. 400 с.
6. Глаголев С.Н. Ресурсосберегающие модули для комплексной утилизации техногенных материалов // Вестник БГТУ им. В.Г. Шухова. 2013. № 6. С. 102-106.
7. Афанасьев А.А. Физические основы измерений: учебник. М.: ИЦ «Академия», 2010. 240 с.
8. Орлов М.А. Первичные инструменты ТРИЗ: справочник практика. М.: СОЛОН-ПРЕСС, 2010. 128 с.
9. Шимукович П.Н. ТРИЗ - противоречия в инновационных решениях. PN-метод. М.: Книжный дом «Либроком», 2013. 216 с.
УДК 621 . 757
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО-ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ ПОДХОД ДЛЯ АНАЛИЗА ТРЕХМЕРНЫХ РАЗМЕРНЫХ ЦЕПЕЙ
© М.А. Гаер1, Д.А. Журавлёв2, Л.Ф. Хващевская3
Иркутский государственный технический университет, 664074, Россия, г. Иркутск, ул. Лермонтова, 83.
Предложен дифференциально-геометрический подход для исследуемых трехмерных размерных цепей: рассматриваются линейные, плоские и пространственные размерные цепи с точки зрения дифференциальной геометрии. Выведена функциональная зависимость между номинальными длинами отрезков и их допустимыми пространственными отклонениями, разработан алгоритм расчета замыкающего звена анализируемых цепей. Ил. 8. Библиогр. 3 назв.
Ключевые слова: пространственные допуски деталей и сборок; сборка с учетом трехмерных отклонений; анализ сборок с учетом допусков; размерные цепи.
DIFFERENTIAL AND GEOMETRIC APPROACH TO ANALYZE THREE-DIMENSIONAL CHAINS M.A. Gaer, D.A. Zhuravlev, L.F. Khvashchevskaya
Irkutsk State Technical University, 83 Lermontov St., Irkutsk, 664074, Russia.
The article proposes a differential and geometric approach for the three-dimensional chains under investigation. Consideration is given to the linear, flat and spatial dimensional chains from the point of view of differential geometry. The authors derive a functional relationship between the nominal lengths of segments and their admissible spatial deviations. The algorithm for calculating the master link of the analyzed chains is developed as well. 8 figures. 3 sources.
Key words: spatial tolerances of parts and assemblies; assembly with regard to dimensional variations; tolerance analysis of assemblies; dimensional chains.
При проектировании технологических процессов изготовления изделий в современном производстве значительную и все возрастающую роль играют размерные расчеты выходных параметров и оценка точ-
ности технологического процесса в целом. Вместе с тем, как показывает практика, проектные технологические процессы всегда требуют доработок в больших объемах, а значит, и дополнительных расходов.
1Гаер Максим Александрович, кандидат технических наук, доцент кафедры технологии машиностроения Института авиамашиностроения и транспорта, тел.: 89021709580, e-mail: magaer38@gmail.com
Gaer Maxim, Candidate of technical sciences, Associate Professor of the Department of Machine-Building Technology of the Institute of Aircraft Construction and Transport, tel.: 89021709580, e-mail: magaer38@gmail.com
2Журавлёв Диомид Алексеевич, доктор технических наук, профессор кафедры технологии машиностроения Института авиамашиностроения и транспорта.
Zhuravlev Diomid, Doctor of technical sciences, Professor of the Department of Machine-Building Technology of the Institute of Aircraft Construction and Transport.
3Хващевская Любовь Федоровна, магистрант. Khvashchevskaya Lyubov, Master's Degree student.
Существенно снизить затраты позволяет система раннего, на стадии проектирования, прогнозирования характеристик технологических процессов на основе широкого применения их размерного анализа. В первую очередь речь идет о расчете размерных цепей, что приводит к значительной экономии материальных затрат на производство и улучшению качества проектируемых технологических процессов и изделия в целом.
Сложность заключается в том, что проблема не может быть всеобъемлюще решена в общем случае евклидовой геометрии. Однако предлагаемые нами в данной работе дифференциально-геометрические подходы существенно расширяют возможности применения пространственных размерных цепей для размерного анализа собираемости изделий с учетом трехмерных допустимых отклонений [1]:
1. Определитель Кэли-Менгера и законы, лежащие в основании геометрии евклидовой прямой, геометрии евклидовой плоскости и геометрии трехмерного евклидова пространства.
1.1. Евклидова прямая (одномерный случай).
Возьмем две произвольные точки А и В, лежащие на прямой, и измерим расстояние 11 между ними. Это расстояние ничем не ограничено и может меняться от нуля до бесконечности (рис. 1,а).
а)
£
I,
I:
б)
Рис. 1. Евклидова прямая
Однако, если мы возьмем три точки А, В и С на прямой и измерим три расстояния 11, 12 и 13 между ними, то мы столкнемся с качественно другой ситуацией (рис. 1,б). Три точки на прямой можно рассматривать как вершины «сплюснутого» (вырожденного) треугольника, площадь которого равна нулю при любом расположении точек. Но, с другой стороны, площадь треугольника зависит от длин трех его сторон (формула Герона). Следовательно, между тремя расстояниями существует определенная связь, которая и есть простейший закон одномерной евклидовой геометрии (см. формулы (3), (5) или (8)).
Итак, если полупериметр треугольника
(1)
Р =-,
Г 2
то его площадь находится по формуле Герона:
5 = 7Р(Р-11)(Р-12)(р-1з). (2) Поскольку площадь нашего треугольника равна нулю, то ее квадрат, умноженный на (-16), также равен нулю:
(11 - 12 - 1з)(11 + 12 - 1з)(11 - 12 + 1з)(11 +12 +
1з) = 0. (3)
Равенство (3) означает, что одно из трех расстояний равно сумме двух других. Например, в случае рис. 1,б:
1з=11 + 12. (4)
Если раскрыть скобки в (3), то получим следующее соотношение:
14 +14 +14 - 21212 - 21212 - 21212 = 0.
(5)
Далее обратимся еще к одному известному факту. Формулу Герона можно записать с помощью определителя в виде:
1652
0 I2 121
12 о I2 1
13 12 01
1 1 10
(6)
Это частный случай определителя Кэли-Менгера для вычисления гиперобъема симплекса [2]:
(-1)"
2п(п!)2
0 ¿2 "•01 ¿02 ¿2 ...
"10 0 ... и.1„
4> 0 ... и,2„ 11
¿2 "п0 ¿2 "п1 "п2 ... 0 1
1 1 1 11 0
(7)
где = - - расстояние между /-й и у-й вершинами; п - размерность пространства.
Таким образом, соотношение (5) может быть представлено и в следующем виде:
0
12 1§1
12 0 I2 1
13 12 о 1 1 1 10
= 0.
(8)
Столь непростой вывод простейшего закона одномерной евклидовой геометрии будет оправдан в дальнейшем при его обобщении на двумерный и, главное, трехмерный случаи.
1.2. Евклидова плоскость (двумерный случай).
Рассмотрим теперь три точки А, В и С на евклидовой плоскости и измерим три расстояния 12 и 13 между ними (рис. 2,а). В этом случае площадь треугольника может меняться от нуля до бесконечности, и, следовательно, между тремя расстояниями на плоскости нет никакой связи.
Но, если мы добавим четвертую точку О и измерим шесть расстояний 12, 13, 14, 15 и 16 между всеми парами этих четырех точек (рис. 2,б), то мы столкнемся с ситуацией, подобной той, которая наблюдалась на прямой. А именно: четыре точки на плоскости можно рассматривать как вершины «сплюснутого» (вырожденного) тетраэдра, объем которого равен нулю при любом расположении точек. Но, с другой стороны, объем тетраэдра зависит от длин его шести ребер
2
V
(формула Герона-Тарталья). Следовательно, между шестью расстояниями между четырьмя точками, произвольно расположенными на плоскости, имеет место вполне определенная связь, которая и есть простейший закон двумерной евклидовой геометрии (см. формулы (11), (12)).
а)
б)
Рис. 2. Евклидова плоскость
Формула, позволяющая вычислять объем тетраэдра через длины его ребер, является обобщением формулы Герона для площади треугольника, носит имя Тарталья (или Герона-Тарталья), и выглядит следующим образом:
144 к2 = (12 +12+12 +12 -12 -12) + 1216 (12 +12+12 +15 -12 -12) +1212 (12 +12+15 +
02 02 о2\ 02 02 02 О2о2о2 02 02 02 й«Ь2
(9)
Последняя зависимость может быть получена также из формулы Кэли-Менгера (7) при п = 3:
1 288
0 12 I2 0
12 14
13 1( 11
12 13 14 12
15 1
15 1 01 10
(10)
Поскольку мы рассматриваем здесь вырожденный тетраэдр, объем которого равен нулю, то из формул (9) и (10) получаем искомую зависимость между шестью расстояниями на плоскости:
1215 (12 +12+12 +1( -12 -15) + ^ (12 + 12+12 +15 -12 -1()+1314 (12 +12+12 +12 -12 -
45
12) -121214 -121215 - ¿М - ^^ = о, (11)
2( 222 ь21315
34 22 Ч131(
2
2
4г51(
или
0 12 12 13 1
12 0 14 12 1
12 14 0 15 1
13 1( 15 0 1
1 1 1 1 0
= 0.
(12)
1.3. Евклидово трехмерное пространство.
Далее перейдем из плоскости в трехмерное евклидово пространство. Сначала рассмотрим в нем произвольные четыре точки A, B, Си О и измерим шесть расстояний между ними (рис. 3,а). В этом случае объем тетраэдра может меняться от нуля до бесконечности и, следовательно, между шестью расстояниями нет никакой связи.
б)
Рис. 3. Евклидово трехмерное пространство
По аналогии с предыдущими случаями, если мы добавим к этим четырем точкам в пространстве еще одну, пятую, точку Е, и измерим получившиеся десять расстояний ..., 110 между ними, то мы обнаружим существование вполне определенной связи между десятью расстояниями (см. рис. 2,б). Эта связь и есть простейший закон трехмерной евклидовой геометрии (см. формулу (13)).
Явный вид связи десяти расстояний в пространстве может быть получен из формулы Кэли-Менгера (7) при п = 4. Геометрически это означает равенство нулю гиперобъема симплекса в четырехмерном пространстве:
0 12 12 13 14
12 0 17 12 15
12 17 0 18 2 110
13 12 18 0 12
14 15 120 12 0
1 1 1 1 1
= 0.
(13)
0
2. Функциональная зависимость между номинальными длинами отрезков и их допустимыми отклонениями.
Согласно вышеописанным законам евклидовой геометрии, в п-мерном евклидовом пространстве существует жесткая связь между расстояниями, связывающими (п+2) точки. Хотя это утверждение справедливо для любого п, мы ограничимся значениями п = 1, 2, 3, так как данный факт нас интересует в применении к моделированию деталей и сборок в машиностроении.
2
V
0
Зависимость длин отрезков на прямой, на плоскости и в пространстве обозначим соответственно:
г1 (АЛЛ) = 0; ^(АЛЛЛЛЛ) = 0;
^3(11,12,13,14,15,16,17,18,19,11о) = 0,
где
^(АЛЛ) =
0 I2 12 1
12 0 I2 1
13 12 0 1
1 1 10
(16)
(17)
(18)
(19)
(А., ^2, ^З, ^4, ^5,1б) =
^ЛЛЛЛЛЛЛЛЛЛо^) =
0 12 12 13 1
12 0 14 16 1
12 14 0 15 1
13 16 15 0 1
1 1 1 1 0
(20)
0 12 12 13 14
12 0 17 16 15
12 17 0 18 120
13 16 2 18 0 12
14 15 2 110 12 0
1 1 1 1 1
(21)
0
Дифференцирование равенств (16), (17) и (18) приводит нас к функциональной зависимости между номинальными размерами и допусками. В общем виде это можно записать так:
¿Я (1;) = 0, у = 1,2,3, (22)
то есть
Й^А = 0,) = 1,2,3, к! = ЗА = 6А = 10. (23)
Тогда, если считать I номинальным расстоянием между двумя соответствующими точками, то Д1; « - допустимое отклонение данного размера, а равенство (26) становится той связью, которая позволяет по всем данным номинальным размерам I (1 = 1Д;) и всем данным, кроме одного Д1т (т = 1V 2 V ... V допустимым отклонениям Д1 этих размеров, вычислять Д1т:
= 0,) = 1,2,3Л = 3,^2 = 6,^3 = 10. (24)
3. Расчет замыкающего звена линейной, плоской и пространственной размерных цепей.
Дифференциально-геометрический подход к технологическим размерным цепям, вылившийся в равенство (24), позволяет алгоритмизовать и/или автоматизировать расчет замыкающего звена цепи любой размерности.
Таким образом, равенство (24) представляет собой линейную (] = 1), плоскую ( = 2) или пространственную ( = 3) размерную цепь, в которой соответственно три, шесть или десять звеньев. Любое из этих звеньев можно взять в качестве замыкающего.
Прежде чем перейти к описанию алгоритма, сделаем два очевидных, но важных замечания.
Замечание 1. В случае плоской размерной цепи, никакой из шести номинальных размеров не должен равняться сумме каких-либо двух других. По-другому: никакие три точки из данных четырех не должны лежать на одной прямой.
Замечание 2. В случае пространственной размерной цепи, никакие четыре точки не должны лежать в одной плоскости. В противном случае жесткая связь F3 десяти размеров теряется и формулы (23) и (24) утрачивают силу.
Итак, вернемся к алгоритму расчета замыкающего звена линейной, плоской или пространственной технологической размерной цепи, который сводится к выполнению следующих действий:
1. Выбираем размерность цепи - линейную ( = 1), плоскую Ц = 2) или пространственную ( = 3).
2. В качестве функции Р(1г) принимаем соответственно одну из формул (19)-(21), считая I переменными величинами, 1 = 1,/с;.
3. Вычисляем частные производные
91;
этой
функции по каждой переменной I.
4. Назначаем замыкающее звено, пусть это будет звено под номером т.
5. Из равенства (27) выражаем Д1т:
6.
Д1т =
у*'
¿¡=1 81;Д1
-,] = 1,2,3, = 3Д2 = 6Д3 = 10. (25)
Очевидно, что правая часть равенства (25) является линейной относительно Д1; (1 = 1 , /с;, 1 Ф т). Это позволяет рассматривать Д1т как линейную функцию, которая легко поддается исследованиям на максимум-минимум средствами линейного программирования.
7. Доопределяем Д1т как целевую функцию, подставив в выражение (25) значения номинальных размеров I (1 = 1ДД
8. Решаем задачу линейного программирования с целевой функцией Д1т и ограничениями на переменные Д1; (1 = 1 , /с;, 1 Ф т), диктуемые назначенными допусками на номинальные размеры I (1 = 1 , /с;, 1 Ф т).
В результате получаем максимальное и минимальное значение допуска Д1т, а также значения Д1 (1 = 1, /с;, 1 Ф т), при которых эти максимальное и минимальное значения достигаются.
Рассмотрим вышеописанный алгоритм на некоторых примерах.
Пример 1. Пусть ] = 1, то есть размерная цепь будет линейной. Тогда:
^(АЛЛ) = 14 +12 +14 - 21212 - 21213 - 2124
При выполнении алгоритма напишем небольшую программу в СКМ1 «МаШетайса 7.0» (рис. 4).
1СКМ - система компьютерной математики, позволяющая
^роизводиты<ак^исленные,^а^
т
Рис. 4. Расчет линейной размерной цепи
Как видно на рис. 4, в качестве номинальных размеров 11,12,13 мы взяли лишь зависимость 13 = 11 + 12. Целевая функция здесь получилась ожидаемой для линейной размерной цепи и независимой от номинальных размеров:
Д13 = Д11 + Д12. (29)
Пример 2. Пусть ] = 2, то есть размерная цепь будет плоской. Исходные данные возьмем такие, чтобы ответ был очевиден при демонстрации решения. Рассмотрим квадрат со стороной 1 (рис. 5).
Рис. 5. Исходные данные для плоской размерной цепи
Значит, согласно расположению длин отрезков на рис. 2,б,
11 = 13 = 14 = 15 = 1;12 = 1( = ^2.
Пусть 11, 13, а значит и 1( константы, то есть Д11 = Д13 = Д1( = 0. Зададим изменение длин отрезков 14 и 15 в приделах от -0,01 до 0,01 и вычислим, какие максимальные и минимальные значения может при этом принимать допуск Д12 на номинальный размер 12 (рис. 6).
Пример 3. В случае пространственной размерной цепи ( = 3) также рассмотрим очевидный пример, чтобы продемонстрировать реальность алгоритма расчета замыкающего звена. Возьмем пять точек, лежащих в вершинах единичного куба так, чтобы никакие четыре из них не лежали в одной плоскости (рис. 7).
Согласно расположению длин отрезков на рис. 3,б и 7, они примут следующие значения:
11 = 72; 12 = 72; 13 = 73; 14 = 72; 15 = 72; 1( = 1; 17 =72; 18 = 1; 19 = 1; 110 = VI.
Пусть 11,12,14,15,1(,17,110 константы, то есть
Д11 = Д12 = Д14 = Д15 = Д1( = Д17 = Д110 = 0.
Зададим изменение длин отрезков 1( и 18 в приделах от -0,01 до 0,01, а длина отрезка 110 будет меняться от -0,0173 до 0,0173. То есть точки А, В, О, Е оставляем неподвижными, а двигаем только точку С. Вычислим, какие максимальные и минимальные значения может при этом принимать допуск Д12 на номинальный размер 13 (рис. 8).
Рис. 6. Расчет плоской размерной цепи
Рис. 7. Исходные данные для пространственной размерной цепи
!] - 11 = А/Т,- 12 = VI; 13 = V7; 14 = VT; 15 = VI; 16 = 1;
17 = л/Т,- 18 = 1; 19 = 1;
110 = VT ;
11 = dl3 =
1
(DF11 dll + DF12 d!2 + DF14 di4 + DF15 dl5 +
DF13
DF16 di 6 + DF17 dl7 + DF18 dlB + DF19 dl9 + DF110 dllO) ; ln[14]- dll = 0; dl2 = 0; dll = 0; dl5 = 0; di7 = 0; dllO = 0; 1|15]= Maximize[|dl3, dl6 t -0.01, dlS i 0.01, dl8 i -0.01, dlS s 0.01, dl9 i -0.01 VT, dl9 s VT O.OlJ,
{dl6, dl8, dl9)J
Oul[15]= {0.021547, {dl6-»0.01, dlS^O.Ol, dl9 ■+ 0.0173205]} ln[16]= Minimize||dl3, dl6 í -0.01, dlS s 0.01, dl8 £■ -0.01,
día s 0.01, dl9 t -0.01 VT, dl9 s VT O.OlJ, {dl6, dl8, dl9)J
0M[iq= {-0.021547, {dl6 -0.01, (118 -+ -0.01, dl9 ->-0.0173205}}
Рис. 8. Расчет пространственной размерной цепи
В результате работы алгоритма, как видно из рис. же рассчитаны и значения АС,, при которых эти мак-8, максимальное значение допуска АЛ получилось симальное и минимальное значения достигаются, равным +0,021547, а минимальное: -0,021547. Здесь Статья поступила 18.08.2014 г.
Библиографический список
1. Гаер М.А., Журавлёв Д.А. О возможности моделирования деталей и сборок с учетом допустимых отклонений в САПР // Вестник Иркутского государственного технического университета. 2011. № 4 (51). С. 24-26.
2. Д'Андреа К., Сомбра М. Определитель Кэли-Менгера
неприводим при n > 3 // Сибирский математический журнал. 2005. № 1, т. 46. С. 90-97.
3. Половко А.М. Mathematica для студента. СПб.: БХВ-Петербург, 2007. 368 с.
