CC BY
86
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ. Машиностроение
УДК 621.01: 621.7.01: 67.02
В.Е. Лелюхин, О.В. Колесникова
ЛЕЛЮХИН ВЛАДИМИР ЕГОРОВИЧ - кандидат технических наук, доцент кафедры технологий промышленного производства Инженерной школы (Дальневосточный федеральный университет, Владивосток). Суханова ул., 8, Владивосток, 690950. Е-mail: [email protected] ; заместитель генерального директора по производству ООО «Технологическое оборудование». Пр. 100-летия Владивосток, 159Е, Владивосток
КОЛЕСНИКОВА ОЛЬГА ВАЛЕРЬЕВНА - старший преподаватель кафедры технологии промышленного производства Инженерной школы (Дальневосточный федеральный университет, Владивосток). Суханова ул., 8, Владивосток, 690950. E-mail: [email protected]; директор ООО «Дальневосточный центр инновационных технологий». Калинина ул., 42, Владивосток
Анализ и расчет размерных цепей на основе графов размерных связей
Рассматривается вопрос расчета размерных цепей. Отмечается, что при существующей трактовке размерной цепи и правил расчета параметров замыкающего звена не удается избежать ошибок, которые приводят к появлению проблем при сборке узлов и изделий.
Для минимизации ошибок, связанных с выбором и расчетом параметров замыкающего звена, авторы предлагают выполнять расчеты всех возможных замыкающих звеньев размерной цепи. Так как размерные связи в любом из координатных направлений удобно отображаются связным ациклическим неориентированным графом, в качестве формальной основы для расчета номинальных размеров и допусков авторы считают целесообразным использовать математический аппарат и алгоритмы работы с остовными деревьями.
Полученная информация обеспечивает полный анализ размерных параметров детали или изделия, что минимизирует ошибки при конструировании и позволяет формализовать элементы технологического проектирования.
Ключевые слова: взаимное расположение поверхностей, размерные связи, размерные цепи, составляющие звенья, замыкающие звенья, граф размерных связей.
Машиностроительное изделие представляет собой конструкцию, состоящую из некоторого количества деталей, узлов, сборочных единиц. Выполнение сборки изделия возможно только в том случае, если конфигурация и размеры детале-сборочных единиц (ДСЕ) согласованы между собой. В России и за рубежом эффективным и распространённым инструментом для этих целей являются размерные цепи [3-5].
Размерная цепь — совокупность размеров, непосредственно участвующих в решении поставленной задачи и образующих замкнутый контур [6]. Исходя из определения, состав звеньев размерной цепи определяется конструктором или технологом в соответствии с поставленной зада-
© Лелюхин В.Е., Колесникова О.В., 2015
чей или рассматриваемым функциональным назначением изделия либо детали. При этом как в функциональном назначении, так и в постановке задач существует множество вариантов. Поэтому в каждом конкретном случае приходится решать вопрос о выборе того или иного варианта, что является неформализованной задачей. Существенную роль играет и человеческий фактор (компетентность и опыт конструктора или технолога, понимание функционального назначения изделия, внимательность, а также индивидуальные привычки, восприятие, логика отдельно взятого человека). Размерная цепь — совокупность размеров, непосредственно участвующих в решении поставленной задачи и образующих замкнутый контур [6]. Состав звеньев размерной цепи определяется конструктором или технологом в соответствии с функциональным назначением изделия, сборочной единицы или детали. На текущий момент эта многовариантная и недостаточно формализованная задача представляет значительную сложность в машиностроительной практике.
Отметим также, что на практике воспроизвести заданную конструктором конфигурацию можно только с некоторым приближением. В машиностроении эти приближения регламентируются полями допусков геометрических размеров. В зависимости от вида рассматриваемой размерной цепи ее звенья могут быть увеличивающими или уменьшающими, а допуски могут задаваться как симметричные, так и несимметричные. Кроме того, величина и расположение поля допуска также зависят от функционального назначения детали или изделия. В результате задание и расчет размерных цепей усложняется. В то же время неверно рассчитанные и заданные размеры и допуски замыкающих звеньев, а также нерассчитанные или попросту неопределенные замыкающие звенья приводят в операциях сборки к необходимости пригонки или даже переделки деталей.
При расчете размерных цепей авторами статьи предлагается использовать представление всех размеров детали в любом координатном направлении в виде графа дерева (для сборочных единиц - в виде леса). Кроме снижения ошибок при оформлении чертежей это обеспечивает информационную определенность для формализованной разработки технологии изготовления.
Согласно РД 50-635-87, построение размерной цепи начинается с определения замыкающего звена. Звено определяется в зависимости от рассматриваемой задачи [6]. Несмотря на то что в РД 50-635-87 не конкретизируется даже тип или вид задач, следует заметить: в соответствии с этим документом в размерной цепи может быть только одно замыкающее звено. В реальной практике даже для несложных конфигураций деталей или сборочных узлов для каждого координатного направления приходится рассматривать несколько замыкающих звеньев, присутствующих в связанных (параллельных, последовательных или комбинированных) размерных цепях. Особую сложность вызывает неопределенность, обусловленная наличием общего замыкающего звена в параллельных цепях.
На рис. 1 показан трехступенчатый валик, цилиндрические поверхности которого ограничиваются четырьмя плоскостями (1, 2, 3 и 4). Для заданной на рис. 1, а размерной цепи составляющие размеры обозначены А1, А2 и А3. Очевидно, что замыкающим в этой цепи является звено А1 д (рис. 1, б). Однако в рассматриваемой размерной цепи можно выделить ещё два замыкающих звена: А2д (рис. 1, в) и А3д (рис. 1, г).
Нам могут указать на недопустимость рассмотрения звеньев А2д и А3д в составе цепи (рис. 1, а), поскольку (в соответствии с РД 50-635-87 и устоявшими отечественными традициями) эти размеры являются замыкающими в других цепях. Так, А2д является замыкающим звеном цепи, ограниченной плоскостями 1, 2 и 3, составляющими размерами которой являются размеры А1, А2 (рис. 1, в), а Ад - замыкающим звеном цепи, ограниченной плоскостями 1, 2 и 4, составляющими размерами которой являются размеры А1, А3 (рис. 1 , в).
в) г)
Рис. 1. Наличие множества замыкающих звеньев в размерной цепи
Для контроля нескольких замыкающих размеров требуется выделять соответствующее количество размерных цепей и выполнять расчеты в каждой из них. Здесь возникает неопределенность, сколько и каких размерных цепей рассматривать и какие размеры выбрать в качестве замыкающих звеньев.
Ответить на вопрос, какой размер является замыкающим, довольно сложно, ответ зависит от личности конструктора, его понимания задачи и опыта работы, поскольку в руководящем документе по стандартизации РД 50-635-87 указано: «Замыкающее звено - звено размерной цепи, являющееся исходным при постановке задачи или получающееся последним в результате ее решения» [4].
При рассмотрении размерной цепи, связывающей более трех поверхностей, существует множество (более одного) замыкающих звеньев, например, на рис. 1 этих звеньев три. С целью предотвращения некорректных конструкторских решений, повышения технологичности и минимизации дополнительных технологических расчетов предлагается рассматривать все возможные варианты замыкающих звеньев в каждом координатном направлении.
Для визуализации возможных вариантов схем размерных цепей, удобства проверки связности и простоты выявления всех возможных замыкающих звеньев, а также для определения целого ряда их свойств имеет смысл использовать инструменты теории графов.
Математически граф представляет собой совокупность множества вершин и множества ребер: G (V Е), где V- конечное множество вершин графа ¥: = {у1, у2, ..., у„], а Е - некоторое множество пар вершин или дуг Е: = {е1, е2, ..., ет}. В качестве вершин можно принять плоскости, ограничивающие размеры на чертеже. Например, на рис. 1 такие плоскости обозначены цифрами 1, 2, 3, 4. Дуга в таком случае будет существовать, если задан размер.
В качестве примера рассмотрим граф размерных связей в направлении оси X. На рис. 2, а в виде графа показана цепь составляющих размеров для конфигурации детали, изображенной на рис. 1, а.
Представленный на рис. 2, а граф является ациклическим связным графом, т.е. деревом. Стоит подчеркнуть, что построенный таким образом граф является остовным деревом, т.е. ациклическим связным графом, в который входят все вершины. Интересно, что все остальные ребра, дополняющие граф до полного, будут являться замыкающими звеньями. На рис. 2, б замыкающие звенья показаны пунктирными линиями.
Рис. 2. Представление размерной цепи в виде графа
Используя различные сочетания ребер графа, можно получить все существующие варианты задания размерных цепей для данной детали в выбранном направлении. Поскольку каждый такой граф является остовным деревом, для расчета количества возможных вариантов задания размерных цепей предлагается воспользоваться теоремой расчета количества остовных деревьев А. Кэли. Согласно формуле А. Кэли, количество остовных деревьев в полном графе на п вершинах равно Я1'2 [2]. Таким образом, количество размерных цепей для детали, изображенной на рис. 1, будет составлять 4 =16.
Все варианты остовных деревьев графа, отображающих все реально возможные размерные цепи для рассматриваемой детали (рис. 1), показаны на рис. 3.
Рассмотренные примеры не являются обобщающими для всевозможных вариантов конфигурации размерных цепей, поэтому нужны дальнейшие исследования в этом направлении. Однако они показывают, что для любого множества вариантов размерных цепей самой сложной геометрической конфигурации детали всегда существует взаимосвязанное строго определенное конечное множество вариантов технологических решений [3].
При использовании графов размерных связей для каждого из трех координатных направлений X, У, Z можно рассматривать соответствующие линейные размерные цепи. В таком случае с помощью графа размерных связей удобно производить расчет номинальных размеров замыкающих звеньев. Для выполнения этой процедуры необходимо построить граф размерных связей, исходя из следующих условий:
- плоскости, ограничивающие размеры, на чертеже нумеруются последовательно в одном направлении в порядке возрастания, например слева направо;
- в построенном графе размерных связей задается направление дуг от меньшего номера вершины к большему.
Тогда номинальный размер замыкающего звена может быть определен как длина пути из начальной вершины замыкающего звена в конечную с учетом направления дуг. При этом путь определяется только по дугам остовного дерева.
ВЕСТНИК ИНЖЕНЕРНОЙ ШКОЛЫ ДВФУ. 2015. № 4 (25)
Рис. 3. Возможные варианты размерных цепей детали в виде графов
Для формализации приведенных рассуждений необходимо ввести обозначения: е° - дуга остовного дерева графа размерных связей; е/ - дуга замыкающего звена. В качестве весов дуг остовного дерева можно рассматривать заданные размеры. В соответствии с введенными обозначениями формула расчета номинального размера замыкающего звена будет выглядеть следующим образом:
< =
где аI = 1, если направление пути совпадает с направлением дуги;
а1 = -1, если направление пути не совпадает с направлением дуги; т - количество дуг пути.
С учетом введенных направлений изображенный на рис. 2 граф примет вид, показанный на
рис. 4.
Рис. 4. Представление размерной цепи в виде графа
Для этого графа расчет номинальных размеров замыкающих звеньев будет выглядеть следующим образом:
Al,3 = |Ai,2 + А2,З|
А2,4 = |AI,2 - AI,4|
АЗ,4 = |AI,2 + А2,З - AI,4|.
На практике воспроизвести указанную геометрию (конфигурацию) можно только с некоторым приближением. В машиностроении эти приближения регламентируются полями допусков геометрических размеров. Допуск размера определяется как разность между наибольшим и наименьшим допустимыми предельными значениями геометрического параметра. Например, запись размера А j = 20 ± 1,0 мм означает, что колебания размера Aj от 19 мм до 21 мм являются допустимыми.
Согласно РД 50-635-87, допуск замыкающего звена по способу максимума-минимума рассчитывается в соответствии со следующей формулой:
ш-1 1=1
где ¡¿i - передаточное отношение i-го звена размерной цепи, Ti - допуск i-го звена размерной цепи.
Использование графа размерных связей также позволяет производить расчет допусков замыкающих звеньев. Рассмотрим граф размерных связей в направлении X, изображенный на рис. 4, а. Для расчета допусков замыкающих звеньев введем для каждой из дуг веса равные величины допуска звена размерной цепи. Тогда расчет величины допуска замыкающего звена может быть выполнен как расчет длины пути из одной вершины замыкающего звена в другую по дугам остовного дерева.
Согласно ГОСТ 3.1109-82, под сборкой понимается образование соединений составных частей изделия [1]. Исходя из приведенных выше рассуждений, любая деталь в каждом координатном направлении может быть описана остовным деревом, ребрами которого являются составляющие звенья размерных цепей. Тогда весь комплекс замыкающих звеньев определяется в виде подграфа, получаемого в результате достраивания остовного графа до полного.
Таким образом, группа деталей, подлежащих сборке, с этой точки зрения может быть представлена в виде совокупности графов размерных связей. Если рассматривать только составляющие звенья размерных цепей, получается лес, состоящий из остовных деревьев. Соединение деревьев в единый граф позволит получить граф размерных связей сборочной единицы. При этом принципы построения замыкающих звеньев нового графа остаются прежними.
Таким образом, использование инструментов теории графов позволяет формализовать задачу построения и расчета размерных цепей, определить все возможные замыкающие звенья, что позволит конструктору получить полную информацию о конструктиве разрабатываемой детали или изделия. Такая информация позволит уменьшить количество ошибок и нестыковок при разработке конструктива детали и выполнении операций сборки. Кроме того, формализация задачи расчета размерных цепей позволит разработать механизм в виде компьютерной информационной системы, позволяющей выполнять расчет и контроль размерных цепей.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. ГОСТ 3.1109-82 ЕСТД. Термины и определения основных понятий. М.: Стандартинформ, 2012.
2. Кристофидес Н. Теория графов. Алгоритмический подход. М.: Мир, 1978. 432 с.
3. Лелюхин В.Е., Кузьминова Т.А., Колесникова О.В. Влияние геометрической конфигурации детали на технологию ее изготовления // Современные научные исследования и инновации. 2015. № 7. [Электронный ресурс]. URL: http://web.snauka.ru/issues/2015/07/56318 (дата обращения: 10.07.2015).
4. РД 50-635-87. Методические указания. Цепи размерные. Основные понятия. Методы расчета линейных и угловых цепей. М.: Изд-во стандартов, 1987. 31 с.
5. Narayana K.L., Kannaiah P., Venkata R.K. Machine drawing. (Third edition). New Age International Publishers, 2008, 474 p.
6. Reddy K. Venkata. Textbook of engineering drawing. (Second edition). BS Publications, 2009, 377 р. THIS ARTICLE IN ENGLISH SEE NEXT PAGE
Mechanical Engineering
Lelyukhin V., Kolesnikova O.
VLADIMIR LELYUKHIN, Ph.D. (Technics), Associate Professor, School of Engineering, Far Eastern Federal University. Vladivostok. 8 Sukhanova St., Vladivostok, Russia, 690950, e-mail: [email protected]
OLGA KOLESNIKOVA, Senior Lecturer, School of Engineering, Far Eastern Federal University. Vladivostok. 8 Sukhanova St., Vladivostok, Russia, 690950, e-mail: [email protected]
Analysis and calculation of dimensional chains based on dimensional bond graphs
The article deals with the calculation of dimensional chains. It is pointed out that the existing interpretation of the dimensional chain and the rules of calculating the parametres of the master link cause errors, which result in problems when assembling units and devices. To reduce the errors the authors suggest that calculations of all eventual master links of the dimensional chain should be performed. Dimensional links in any coordinate direction being conveniently represented by the acyclic undirected graph, the authors consider the body of mathematics and the algorithms of working with spanning trees to be the formal base to calculate nominal sizes and tolerances. The obtained information provides a complete analysis of dimensional parameters of a unit or a device which reduces errors when constructing and enables one to formalise the elements of the technological design process.
Key words: relative position of surfaces, dimensional chain, size connection, closing dimension, graph of dimensional relations.
REFERENCES
1. GOST 3.1109-82 USTD. Terms and definitions of main concepts. M., Standartinform, 2012. (in Russ.). [GOST 3.1109-82 ESTD. Terminy i opredelenija osnovnyh ponjatij. M.: Standartinform, 2012].
2. Kristofides N. Graph theory. Algorithmic approach. M., Mir, 1978, 432 p. (in Russ.). [Kristofides N. Teorija grafov. Algoritmicheskij podhod. M.: Mir, 1978. 432 s.].
3. Lelyukhin V.E., Kuzminova T.A., Kolesnikova O.V. Influence of geometrical configuration details on the technology of its manufacture. Modern scientific researches and innovations. 2015;7. URL: http://web.snauka.ru/issues/2015/07/56318. (in Russ.). [Leljuhin V.E., Kuz'minova T.A., Kolesnikova O.V. Vlijanie geometricheskoj konfiguracii detali na tehnologiju ejo izgotovlenija // Sovremennye nauchnye issledovanija i innovacii. 2015. N 7 [Jelektronnyj resurs]. URL: http://web.snauka.ru/issues/2015/07/56318 (data obrashhenija: 10.07.2015)].
4. RD 50-635-87. Methodical directives: dimensional chain. Basic concepts. Methods for calculating the linear and angular chains. M., Standards Publishing, 1987, 31 p. (in Russ.). [RD 50-635-87. Metodicheskie ukazanija. Cepi razmernye. Osnovnye ponjatija. Metody rascheta linejnyh i uglovyh cepej. M.: Izd-vo standartov, 1987. 31 s.].
5. Narayana K.L., Kannaiah P., Reddy K. Venkata. Machine drawing. (Third edition). New Age International Publishers, 2008, 474 p.
6. Reddy K. Venkata. Textbook of engineering drawing. (Second edition). BS Publications, 2009, 377 p.
