CC BY
22
УДК 517.98
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО-ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ СТРУКТУРА КОМПЛЕКСНОГО ПАРА-ЭРМИТОВА ПРОСТРАНСТВА РАНГА ОДИН
Ключевые слова: однородные пространства; метрики; операторы Лапласа-Бельтрами; скобки Пуассона.
Для комплексного симметрического пространства БЬ(п, С)/СЬ(п — 1, С) найдены метрики, внешние формы, операторы Лапласа-Бельтрами, скобки Пуассона, инвариантные относительно группы БЬ(п,С).
В настоящей работе мы обобщаем на произвольное п наши результаты работы [1], посвященной случаю п = 2 .
Мы рассматриваем однородное пространство X = С/Н, где С = ЯЬ(п, С) , И = СЬ(п — 1, С) . Возьмем разбиение п = (п — 1) + 1 числа п и запишем матрицы из С и И в блочной форме соответственно этому разбиению:
Пространство X - симметрическое, оно является комплексным пара-эрмитовым пространством (или пара-эрмитовым симметрическим пространством второй категории в смысле Канеюки). Оно имеет комплексную размерность 2п—2 и вещественную размерность 4п—4 . Его комплексный ранг равен 1, вещественный равен 2.
Пусть х0 - блочная матрица
Орбита группы С точки х0 в пространстве матриц Ма1(п, С) относительно действия
© О.В. Бетина
ёе! д = 1, ёе! Н = 1.
х м д-1 хд как раз и есть X. Подгруппа Н является стационарной подгруппой точки х0 . Многообразие X образовано матрицами, ранг и след которых равны 1.
Касательное пространство Ь к X в точке х0 состоит из матриц
где и - строка, V - столбец из Сп 1 . Элемент Н € Н действует на Ь следующим образом:
(1)
Образуем из векторов и и V столбец ад = (и'^) из С2п 2 . Тогда (1) есть действие ад м Ль'ш , где
а 0 0 6а-1
1699
— матрица порядка 2п — 2 , штрих означает транспонирование (комплексных матриц).
Рассмотрим X и Ь как вещественные многообразие и пространство, имеющие вещественную размерность 4п — 4 . Чтобы подчеркнуть это, будем вместо Ь писать Ьк .
Найдем билинейные формы на Ьк , инвариантные относительно Н . Билинейная форма задается вещественной матрицей В порядка 4п — 4 . Введем две матрицы О и К второго порядка:
Через Ет мы обозначаем единичную матрицу т -ого порядка. Для матрицы С порядка г мы обозначаем через С ® Ет блочно диагональную матрицу порядка гт , у которой каждый блок по диагонали есть С .
Теорема 1. Пространство билинейных форм на Ь, инвариантных относительно И, имеет размерность 4, базисом являются билинейные формы со следующими матрицами:
Матрицы В1 и В2 - симметрические, матрицы В3 и В4 - кососимметрические.
Доказательство. Пусть В - матрица билинейной формы в Ьк , она имеет порядок 4п — 4 . Будем записывать комплексные матрицы А порядка 2п — 2 как вещественные матрицы порядка 4п — 4 , заменяя каждый матричный элемент, например а = р + гд (комплексное число), вещественным блоком второго порядка:
Транспонирование вещественных матриц обозначим верхним индексом Т.
Запишем матрицу В билинейной формы в блочном виде - с четырьмя блоками порядка
Инвариантность относительно И означает, что матрица В удовлетворяет условию
Сначала возьмем матрицу Н € Н такую, что а = сЕп-1 , где с € М, с = 0. Тогда 5 = с-п+1 , так что матрица А^ (вещественная порядка 4п — 4) есть матрица
Из инвариантности (2) следует, что Р = 5 = 0. Для оставшихся блоков Q и Я инвариантность дает уравнения
0 Б ® Е„_і Б ® Е„_і 0
0 К ® Е„_і К ® Е„_і 0
2п 2 :
ЛІВ Лк = В , или
ВЛН = (Л-1)ТВ, Н Є И.
(2)
6Яа-1 = (6а/-1)т Я, 6_1Ка' = (6-1а)т К.
(3)
(4)
1700
Возьмем в качестве а диагональную матрицу й1а§{Л1,..., Ап-1} , л' € С . Тогда уравнения (3) и (4) дают, что
Q = 2 ® Еп-1, Я = W ® Еп-1, где 2 и W - блоки второго порядка:
я = ( х У ) , W = ( г 8
\ у — х ) \ в —г
Следовательно, матрица В есть линейная комбинация матриц В1 , В2 , В3 и В4 .
С другой стороны, нетрудно проверить, что каждая из матриц В1 , В2 , В3 и В4 удовлетворяет условию (2) с любой матрицей А^ . □
Снабдим пространство Сп-1 билинейной формой
(г, ад) = 2:1^1 + ... + ^п-1^п-1.
Введем на X орисферические координаты £, п € Сп-1 :
х = N1 ( "? 7 ) ■ N = 1 — (С.п).
В этих координатах матрицам В1 и В2 соответствуют две инвариантные метрики
Q1 =2Ке N2 {(С,^п)(^С,п) + N (^,ад,
Q2 = 21т N.|(е,^п)(^е,п) + N(^^п)}, с двумя операторами Лапласа-Бельтрами:
А1 = 2(Д + Д), А2 = 2г(А — А), где 2 2
д=N ^- „*)^ д=„ Е№, _ ^)^.
Матрицам В3 и В4 соответствуют две инвариантные внешние формы
1
N
^ = 2 К-е ^^(5ІJ + )dCi Л ^3 ,
Q4 = 2 1т N ^(5г? + Л dпj
N
i,J
с двумя скобками Пуассона:
(/■д), = 2{ N £ №, — 6* )( / | — | Ц) +
* * Е«.— «^11 — 11) )■
(/.д), - Л»Е», —/ — |© —
— N Е(5з—)
',з
д/ дд д/ дд
г,] \ ■“ ^3 д^3
3 ' д{7- д{7- дп
1701
ЛИТЕРАТУРА
1. Бетина О.В. Комплексный гиперболоид: инвариантная дифференциально-геометрическая структура // Вестник Тамбовского университета. Серия Естественные и технические науки. Тамбов, 2010. Т. 15. Вып. 1. С. 361-363.
БЛАГОДАРНОСТИ: Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант № 0901-00325); АВЦП «Развитие научного потенциала высшей школы (2009-2010 годы)» (проект № 1.1.2/1474); ФЦП «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России на 2009-2013 годы» (государственный контракт № 14.740.11.0349); темплана 1.5.07.
Поступила в редакцию 25 августа 2010 г.
Betina O. V. Differential geometric structure of a complex para-Hermitian space of rank one.
For the space G/H where G = SL(n, C), H = GL(n — 1, C) , metrics, exterior forms, Laplace-Beltrami operators, Poisson brackets invariant with respect to the group SL(n, C) are determined.
Key words: homogeneous spaces; metrics; Laplace-Beltrami operators; Poisson brackets.
1702
