DIFFERENTSIAL TENGLAMAGA QO‘YILGAN KOSHI MASALASINING ANIQ VA TAQRIBIY YECHIMLARINI MathCad TIZIMIDA TAQQOSLASH Текст научной статьи по специальности «Математика»

'Talqin va tadqiqotlar" ilmiy-usiubiy jurnali №12

DIFFERENTSIAL TENGLAMAGA QO'YILGAN KOSHI MASALASINING ANIQ VA TAQRIBIY YECHIMLARINI MathCad TIZIMIDA

TAQQOSLASH

Allamuratov Sharapatdin Ziuatdinovich

Toshkent axborot texnologiyalari universiteti Nukus filiali Fizika matematika fanlari nomzodi, dotsent Djoldasbaeva Aqsuliw Bagitovna Toshkent axborot texnologiyalari universiteti Nukus filiali assistent o'qituvchisi Ziuatdinov Islambek Sharapatdinovich Sankt-Peterburg informatsia texnologiyalari mexanika va optika universiteti

magistranti https://doi.org/10.5281/zenodo.7311626

Annotatsiya: Ushbu maqolada differentsial tenglamalarga qo'yilgan koshi masalasining aniq va taqribiy yechimlarini topish usuli keltirilgan va misol tariqasida differentsial tenglama matcad tizimida taqqoslangan.

Kalit so'zlar: Koshi masalasi, iteratsiya, Pikar usuli.

Faraz qilaylik, bizga quyidagi Koshi masalasi berilgan bo'lsin [1].

y' = f (x, y), (1)

y( xo) = yo. (2)

Bu masalani echish uchun differentsial tenglamalar kursidan malum bo'lgan ketma-ket yaqinlashish usulini

x

yn (x) = yo + J f (t,y„_i(t))dt (3)

x0

yo(t) = yo> n = 1,2v

qo'llab yoki yechimni xo nuqta atrofida qatorga (odatda Teylor qatoriga) yoyish usulini qo'llab, yechimni taqribiy analitik ko'rinishini topishadi

y( x) - yn (x) = ±y(i )(xo)(x^x°^-. (4)

Bu ikkala sodda usullar ma'lum kamchiliklarga ega, xususan birinchisida har bir yangi yaqinlashishda integral hisoblanishi lozim bo'lsa, ikkinchisida

esa |x — x01

kichik bo'lmasa (4) qator yaqinlashmasligi mumkin yoki juda sust yaqinlashuvchi bo'ladi. Shu bois ham (1) - (2) masalani boshqa usullar bilan yechishni o'rganamiz. Mayli quydagi differentsial tenglama

"Talqin va tadqiqotlar" ilmiy-uslubiy jurnali

dx

— = f (x, u, t), x g Rn, u g Rm, t g [О, t], dt

№12

(5)

x(0)=x0

boshlang'ich shartta berilgan bo'lsin. Koshi masalasi echimining bor bo'lishi haqidagi teorema quydagi iteratsion jarayonning yaqinlashuvchiligiga asoslangan, u (5) tenglamani integrallash asosida olingan.

t

x(t)k+i = х(О) + Jf(x(r)k,u(r))dr, х(О) = x0, k = О,!,....

(6)

Bu jarayon yuqoridagi shartlarda yaqinlashuvchi bwladi va oddiy differentsial tenglamani integrallash usuli Pikar usuli dep ataladi [2,3].

Quydagi chiziqli tenglamaga qoyilgan Koshi masalasini aniq va taqribiy yechamiz.

dx о о

— = t - x2, dt

x^) = О.

Echimi: Tenglamaning aniq yechimi erikli doimiyni variyatsiyalash yoki

dx 2

Lagranj usulidan foydalanib yechiladi. Uning uchun dastlab —+x = О, birjinsli

, 4 -Íp(t)dt

tenglama yechimi topiladi. Birjinsli tenglama yechimi x = c(t)e J , ko'rinishda qidiriladi, bunda s(t) -topish kerak bwlgan t-ning uzluksiz funktsiyasi va

p(t) = 1, q(t) = t2.

Umumiy yechim x = e

x = e-t ( C + J12etdt ) =

= e~l ( C +1¥ - 2j tetdt ) =

-j p (t ) dt

C + J q(t )e

j p (t )dt

dt

, formulasidan foydalansak

u = t du = 2tdt dv = etdt v = et

u = t du = dt dv = e'dt v = e1

= e-t ( C +1 ¥ - 2tet + 2et ) = Ce- +12 - 2t + 2, x(0)=0; 0=C+2 ^ C= -2.

Aniq yechim x = -2e 1 +12 - 2t + 2, ko'rinishida bo'ladi. MathCad tizimidagi dasturi quydagicha. Bu yerda aniq yechim bilan taqribiy yechimlar taqqoslangan [4].

О

Talqin va tadqiqotlar" ilmiy-uslubiy jurnali

№12

22

xn:= 0 f(x.t) := t2 - x2

x0:= 0

x1(t) := xn +

1 ,3

f(x0. т) di ^ 1 -t'

x2(t) := xn +

11 f(x1(t),т) dw 1 -t---1

З9

x3(t) := xn +

f(x2(t) .т) dw It3 - It7 + A-t11 - 1-t15 3 9 27 81

x4(t) := xn +

J0

W ™ Ь 1 +3 1 7 2 11 5 15 2 19 2 23 4 27 1 +3

f(x3t) .т) di ^ - - t---t +— - t---t +— t---t +--t---t

3 9 27 81 81 243 2187 6561

t := 0.0.05.. 1

x4(t)

x3(t)

-1 2 -2e ' + t2 - 2t + 2

t

0

t

xJ

0

t

J

0

t

0

4.16710 -5

э.эээю -4

1.12510 -3 2.665 10 -3 5.202 10 -3 3.976-10 -3 0.014 0.021 0.03 0.041 0.054 0.069 0.087 0.106 0.128

0

4.16710 -5

¡.эээю -4

.12510 -3 '.665 10 -3 >.202 10 -3 ¡.976 10 -3 0.014 0.021 0.03 0.041 0.054 0.069 0.087 0.107 0.129

0

4.11510 -5 5.252 10 -4 1.084 10 -3 2.5э810 -3 4.898 10 -3 3.э6410 -3 0.013 0.019 0.027 0.037 0.049 0.062 0.078 0.097 0.118

Bunda x3(t), x4(t) taqгibiy yechimlaг, aniq yechim x = -2e 1 +12 - 2t + 2,

"Talqin va tadqiqotlar" ilmiy-uslubiy jurnali №12

Foydalanilgan adabiyotlat:

1. Matveev N.M. DifferentsiaTnie uгavneniya. M. «Prasveshenie» 1988.255s.

2. ísгoilov.M.M. Hisoblash usullaгi. I-qism.Toshkent «O'qituvchi» 1988y.

3. Baxvalov N. S., Jidkov N. P., Kobelkov G. M. Chislennie metodi. - M.: Laboгatoгiya bazovix znaniy, 2002. - 600 s.

4. Alekseev E.R., Chesnokova O.V. Reshenie zadach vichislitelnoy matematiki v paketax mathcad 12,matlab 7, maple 7. -NT press.2006.-496 s.