Диады в механических системах: особенности динамических свойств. Часть i Текст научной статьи по специальности «Физика»

Оригинальная статья / Original article

УДК: 531.3:007, 534.014, 621.752.2, 629, 62.752, 621:534.833; 888.6, 656.2 DOI: 10.21285/1814-3520-2017-7-26-38

ДИАДЫ В МЕХАНИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ: ОСОБЕННОСТИ ДИНАМИЧЕСКИХ СВОЙСТВ. ЧАСТЬ I

© А.В. Елисеев1

Иркутский государственный университет путей сообщения, Российская Федерация, 664074, г. Иркутск, ул. Чернышевского, 15.

РЕЗЮМЕ. ЦЕЛЬ. Формируется новый подход в задачах анализа и динамического синтеза механических колебательных систем с несколькими степенями свободы. Вводится понятие о механической диаде как о некотором структурном образовании, обладающем фундаментальными свойствами. ЦЕЛЬ исследования заключается в разработке научной гипотезы, определяющей физическую сущность понятий о связности колебаний по отдельным координатам, в том числе коэффициентов форм свободных колебаний. МЕТОДЫ. В рамках означенного подхода свойства обычных систем определяются свойствами диад и их связей с опорными поверхностями и возникающими отношениями при взаимодействиях с другими элементами систем. Используется аналитический аппарат теории линейных колебаний. РЕЗУЛЬТАТЫ. Определены динамические свойства механических колебательных систем, воспроизводство которых имеет значение при переходе к методам структурного математического моделирования. Статья состоит из двух частей. Во второй части вводится понятие о частотно-энергетической функции и ее связях с коэффициентами форм свободных движений. Особенности проявления динамических свойств рассмотрены в нескольких системах координат. ВЫВОДЫ. Показана возможность структурных математических моделей в оценке динамических свойств систем при одиночном и совместном действии гармонических внешних сил по каждой из координат. Предлагается графо-аналитический метод определения коэффициентов форм связи координат и частот собственных колебаний.

Ключевые слова: диада, коэффициент формы связи координат, передаточная функция, связность колебаний.

Формат цитирования: Елисеев А.В. Диады в механических системах: особенности динамических свойств. Часть I // Вестник Иркутского государственного технического университета. 2017. Т. 21. № 7. С. 26-38. DOI: 10.21285/1814-3520-2017-7-26-38

DYADS IN MECHANICAL SYSTEMS: FEATURES OF DYNAMIC PROPERTIES. PART I A.V. Eliseev

Irkutsk State Transport University,

15, Chernyshevsky St., Irkutsk, 664074, Russian Federation.

ABSTRACT. A new approach is developed to the problems of analysis and dynamic synthesis of mechanical oscillatory systems with several degrees of freedom. The concept of a mechanical dyad as a structural formation with fundamental properties is introduced. The PURPOSE of the study is development of a scientific hypothesis determining the physical essence of the concepts of oscillation coherence by individual coordinates including free mode coefficients. METHODS. According to the above approach, the properties of conventional systems are determined by the properties of dyads and their relationships with support surfaces and the relationships arising under the interactions with other system elements. The analytic apparatus of the theory of linear oscillations is used. RESULTS. Dynamic properties of mechanical oscillation systems whose reproduction is important under the transfer to the structural methods of mathematical modeling are determined. The article consists of two parts. The second part introduces the concept of a frequency-energy function and its relationships with free mode coefficients. The behavioral features of dynamic properties are considered in several coordinate systems. CONCLUSIONS. The possibility is shown to use structural mathematical models in the evaluation of dynamic properties of the systems under single and joint action of harmonic external forces on each of the coordinates. A grapho-analytical method is proposed to determine the coefficients of coordinate tie forms and eigen frequencies. Keywords: dyad, coefficient of coordinate tie form, transfer function, oscillation coherence

For citation: Eliseev A.V. Dyads in mechanical systems: features of dynamic properties. Part I. Proceedings of Irkutsk State Technical University. 2017, vol. 21, no. 7, pp. 26-38. (In Russian) DOI: 10.21285/1814-3520-2017-7-26-38

1

Елисеев Андрей Владимирович, кандидат технических наук, старший научный сотрудник Научно-образовательного центра современных технологий, системного анализа и моделирования, e-mail: [email protected]

Andrei V. Eliseev, Candidate of technical sciences, Senior Researcher of the Scientific and Education Center of Modern Technologies, System Analysis and Modeling, e-mail: [email protected]

©

Введение

Современная механика является теоретической основой для создания технологических и транспортных машин, которые используются в различных отраслях техники, что обусловливает исследования возможностей реализации динамических взаимодействий элементов механических колебательных систем различной сложности. В работах по прикладной теории колебаний в последнее время значительное внимание уделяется новым динамическим эффектам, которые возникают при введении в механические системы, либо дополнительных связей, либо при их рассмотрении в некоторых вырожденных формах [1]. Инерционные и рычажные связи, устройства для преобразования движений, используемые для решения различных задач динамики машин, инерциальные и рычажные связи рассматриваются в трудах [2-4]. Оригинальные подходы в отражении физических эффектов, возникающих в колебательных системах с упругими элементами и маятниками, предлагаются в монографии [5]. Вместе с тем, заметный интерес к изучению диад как фундаментальных структур, на основе которых выстраиваются сложные образования, проявляется в молекулярной физике, квантовой химии и т.д. [6, 7]. В работе [8] проведен анализ особенностей динамического взаимодействия диады с опорной поверхностью после импульсного воздействия, с учетом неудерживающих связей. В теории механизмов и машин при описании базовых элементов, образующих кинематические пары, используется понятие диада [9, 10].

Несмотря на кажущуюся простоту в оценке динамических свойств диад, вопросы, связанные с оценкой особенностей сохранения и передачи энергии при взаимодействиях элементов системы с учетом введения дополнительных связей, возникающих при контактах с другими элементами, а также опорными поверхностями, еще не получили должного внимания.

В предлагаемой статье развиваются методологические подходы в оценке возможностей формирования динамических свойств на основе использования особых структурных образований, так называемых диад, с двумя степенями свободы, из которых могут формироваться колебательные системы более общего вида.

Методы исследования

Структурные математические модели систем с несколькими степенями свободы обычно строятся на основе соединения парциальных блоков, имеющих одну степень свободы. Технология получения и использования структурных схем при таких подходах детализирована в работах [11-14]. Вместе с тем, делались попытки в структурных математических моделях с тремя и более степенями свободы использовать парциальные системы более сложного вида, в частности, парциальные системы с двумя степенями свободы. Более подробно особенности таких представлений о динамических взаимодействиях рассмотрены в [15, 16]. Показательной формой представлений о парциальных системах может быть выбрана диада - как некоторое структурное образование, обладающее определенным набором устойчивых динамических свойств и возможностями выступать в качестве системообразующего начала [1].

Применительно к линейным цепным механическим системам, имеющим несколько степеней свободы и совершающим прямолинейное колебательное движение, диада способна быть представлена в виде двух тел, соединенных между собой упругим элементом, совершающим прямолинейные колебания, как это показано на рисунке. Внешние гармонические силы

q1 = Q1sin(®t) и q2 = Q2svn(шt) приложены непосредственно к массоинерционным элементам

т1 и т2; силы сопротивления полагаются малыми; система обладает линейными свойствами. Для описания движения используются координаты у , у2, связанные с неподвижным базисом.

©

ш

Принципиальная схема диады Dyad schematic diagram

Задача заключается в исследовании режимов движения диады в зависимости от: начальных условий на смещение и скорость; приложенных сил, включая варианты приложения силы в начальный момент времени и гармонического силового воздействия, и параметров механической системы с учетом выбранной системы координат для создания базы сравнения по отношению к математическим моделям в операторной форме.

Диада: математическая модель во временных координатах

Движение механической системы (см. рис.) может быть представлено в разных системах координат, каждая их которых отражает специфические особенности взаимодействия элементов.

Обобщенные координаты y1, y2. Система координат y1 и y2 отражает смещение мас-соинерционных элементов относительно некоторого положения статического равновесия. При составлении математической модели используются уравнения Лагранжа 2-го рода. Соответствующие дифференциальные уравнения движения диады в системе координат yl и y2 мож-

но записать:

[от, V, + к2у1 - к2у2 = £/,, \-к2у] + т2у2 + к2у2 = с/2. С учетом начальных условий в момент времени:

|Л(°) = й(°) = Уи> Ы(0)= у20, У2(0) = у21. аналитическое решение системы дифференциальных уравнений (1), (2) принимает вид:

т\Ую + т2У20 , ЩУП + т2У21 _

у1 ^ ) =--1--t +

т1 + т2 т1 + т2

| Ql + Q2 ^ sin(юt) ю(т1 + т2) ю

т2 (m1Q2 - m2Q1) 1 ,, т1 + т2 (т1 + т2) М п

ю ^т(ю^) sin(юt) х ^ Т"( ) -

(ю2 -ю2) Ю 2 ю

(1) (2)

(3)

--((У20 " yio)cos(®2t) + (У21 " У\\)

mx + «2

y2{t)-m1 У10 + m2У20 | «1У11 + m2У21 t + 2 m1 + m 2 m1 + m2

| 81 + Q2 Sin(№f)

ю(«1 + m2) ю

m1 (m1Q2 ~ m2Q1) 1 ,, m1 + m2 (m1 + m2) M n ю sin(ca9 t) sin(roi)

-r(-2---— ) +

(ю2 -ю2) ю2 ю

sin(ro2t)

);(4)

m1 " ((У20 - У10) cos(® 2t) + (У21 - Уи)^^П(Ю^)),(5)

m1 + m2

ю

2

+

2

где Mn =

щш2 m + m2

- приведенная масса, со2 =^к2/Ми - вторая собственная частота систе-

мы (первая собственная частота с = о).

Характерной особенностью является то, что у и у2 не являются тождественными совпадениями. В частности, необходимо отметить, что в выражениях (4) и (5) члены \, Д2 имеют вид

Д =-

m

(mQi- mQx) 1

со

m+m (m+m) мп (о -®2)

sin(o2t) sin(ot)

2N (---);

ак

аз

(4)

Д2 = +

m (miQ2- m2Qi) 1 v_0

X 7 7 ^

m + m2 (m + m2) Mn (0 -о2) о

,sin(o2t) sin(ot)

2\ V )

03

(5)

и являются различными, что вносит асимметрию в значение двух колебательных процессов по координатам у1 и у2. Такие особенности отражают свойства колебательных движений по

координатам у1 и у2 в противофазе, что имеет отношение к формированию соответствующей формы собственных колебаний элементов диады. Важно отметить еще одно обстоятельство, которое заключается в том, что отношение ¡л = Л1/Л2 отражает коэффициент форм для процесса собственных колебаний, при этом выясняется, что:

ц = —2. mx

(6)

В связи с этим можно предположить, что коэффициент формы колебания на собственных частотах в определенной форме отражает свойства несимметричности системы (во всяком случае - по отношению к свойствам диады).

Формы движения каждой массы щ, щ в системе координат у1 и у2, представляют

собой суммы поступательного движения и гармонических колебаний (включая колебания с собственной частотой).

Движение под действием начальных условий. Полагается, что силовые возмущения равны нулю (Оу = 0, Q2 = 0), т.е. движение определено только начальными смещениями и скоростями. Система уравнений (4), (5) принимает вид

y{t) = miy 10 + my 20 1 my 11 + my 211__

m+m2

m + m2

m + m2

-((У20 - y10)cos(°2t) + (У21 - );

con

y2(t) = m1y10 + my20 , my 11 + my211+_

m

m + m2

m+m2

m + m2

-((y20 - yW)COs(°2t) + (y21 - УИ)

sin(o t)

03-,

(7)

(8)

X

<

На основе (7), (8) движение центра масс системы, имеющего координату V (?) = (щу + т2у2 )/(щ + щ), является прямолинейным, что может быть рассмотрено как вырожденное гармоническое колебание с частотой с = о. Массоинерционные элементы ту и

т2 относительно центра масс совершают гармонические колебания с частотой с2 и амплиту-

дами Ai и 4г, соответственно:

4 =-

^ (у2о - У10)2 +

m + m

(9)

Д)2 " '

m

m + m2

(У20 - У10) + (

2 , /У21 У11\2

■)2.

(10)

Скорость центра масс диады равна нулю при условии, что для начальных скоростей выполняется условие:

mlyl(0) + m2y2(0) = 0.

(11)

Таким образом, движение диады при отсутствии внешнего силового возбуждения определяется энергией, введенной в систему в начальный момент времени.

Движение под действием приложенной силы. Полагается, что заданы нулевые

начальные условия (уг>. = 0). К массе щ приложена гармоническая сила ^ (^ ^ 0, q2 = 0).

Решения (4), (5) принимают вид

) = Уг(*) =

G1

co(m + m2) си(щ + m2)

(t - sin(ct)) -

m

(—ma) 1

CO

CO

m+m2 (m+m) мп с — с)

sin(c t) sin(ct)

2ч x ( );

COn

CO

(t - snH))+

m

(-ma) 1

CO

CO

m+m2 (m+m) мп (о —о2)

sin(c t) sin(ct)

2x(---).

(12) (13)

CO

Движение центра масс у(?) складывается из апериодической и гармонической составляющих

v>i(t) =

61

■t—-

61

1

а(щ+m) (m+m) о

sin(ct) .

(14)

Гармоническая форма колебаний имеет частоту внешнего возмущения со, амплитуда

которой

А - -

ЛМ _ 2

61

о (m + m)

(15)

Если частота приложенной силы ^ близка к собственной частоте со2, то наблюдается эффект биений по каждой координате. В частности, по координате у эффект биения создает компонента

yr(t)=-

61

(m+m) о

1 ., N

—sin(ot)--^

(m+m) мп (о — о 2) с

о sin(c t) sin(ot) -(---).

о

(16)

x

По координате у2 эффект биения представлен выражением:

y2(b)(t ) = -

81

(m+m) ю

1-sin(®t) + m'Ql

ю

(m+m)мп(ю -ю2)

,sin(^t) sin(®t)

2 2л (---).

ю

ю

(17)

В теории колебаний вопрос о вынужденном движении в системе с одной степенью свободы рассматривается в предположении о том, что свободные колебания затухают. Тем не менее, вопрос о приближении частоты вынужденной силы к частоте собственных колебаний, когда последние не исчезают, а поддерживаются за счет определенных условий, остается открытым.

В частности, можно показать, что для любого фиксированного момента времени I, при стремлении частоты внешнего силового возмущения к собственной частоте ю^ю2, выполняется «переход» эффекта биения в эффект резонанса:

1 ,sin(^t) sin^t) sin(®21) t cos(®2t) (---) ^

(ю - ю2) ю2

ю

2ю3

2ю2

Таким образом, представленное решение отражает явление резонанса, возникающее при условии совпадения частоты внешнего силового возбуждения с собственной частотой, т.е. при ю = ю. Соответствующие компоненты биений у(Ь)(г), у2(г,)(г) «перейдут» в компоненты

У(г Ч*), У2( г40, формирующие резонанс:

У/' )(t) = -

Q1

(m+m) ю

) -.m^^sn^) - icosM);

(m+m) 2Mn ю2

ю

(16)

y2(' )(t) = -

Q1

(m+m) ю

) + imQ1

1 ,sin(^t) t cos(^t)

(m+m) 2Mn ю.

ю

(17)

Представленные компоненты у(г), у2(г)(^ содержат колебания, амплитуда которых

увеличивается пропорционально времени.

Обобщенные координаты VI, Детализация представлений о движении элементов диады существенным образом определяется формами движения центра масс и относительными колебаниями массоинерционных элементов.

Для исследования свойств диады выбирается центр новой системы координат:

т. 02 - положение статического равновесия системы; v1 - смещение центра масс относительно 02; v2 - разница смещений положений массоинерционных элементов диады. Кинетическая Т(у15v2) и потенциальная П(у,v2) энергии имеют вид

1

T(v,, v2) = — (ш, +/w2) v, +

2 , 1 mlm2 .2.

2 ml+m2

к2 1

(18)

1 2

пv V) = - k2v2 .

(19)

Уравнения Лагранжа 2-го рода в обобщенных координатах у, у при силах / = F1 вт(с£) и /2 = F2 вт(с£) сводятся к следующему виду:

тгт2

тг +т2

у 2 ' k2V2=fl

(20) (21)

Начальные условия задаются системой параметров:

к(0) = у10;у1(0) = у11; |^2(0) = у20; У2 (0) = у21 .

(22)

В системах координат (у, у2) и (у, у ) дифференциальные уравнения (1), (2) и (20), (21) связаны между собой посредством прямой и обратной замены переменных:

V =

+ т2У2.

т + т2

v2 = у 2 - У;

у = v

m0

щ + т2

-у;

У 2 = V1 +-

m.

щ + m2

"У-

(23)

(24)

(25)

(26)

Зависимости (23) и (24) обобщенных координат определяют начальные условия в координатной системе у, у, если заданы начальные условия в системе координат у, у2.

Начальные условия на смещения в координатах (у, у) выражаются с учетом (23) в таком виде

' ЩУш+ЩУ20. •

щ + щ ' (27)

vi 0 =■

v20 У 20 yi 0-

Соответствующие начальные скорости в системе координат (у, у) определяются начальными скоростями, заданными в системе координат (у, у2):

_ЩУ11+ т2 y 2 1 v11 = ; щ + т2

V2 1 = У 2 1 - У1-

(28)

Обобщенные силы / = Fвт(с/),/2 = ^2в1п(сГ) и q1 = 8ш(С), q2 = Q2siп(at) в системах координат у, у и у, у2 связаны между собой:

<

f = 41 +

/2 =

4im1 - 41m2.

m + m2

41 = -/2 +■

m0

m+m2

-/1;

(29)

m

42 = /2 +-1-f1

m + m2

С учетом (27-29), решение дифференциальных уравнений в системе координат (v1, v2) имеет вид

V1(t) =

v2(t) =

F , sin(öt).

—F-Л'--—) + V10 + V;

a(m + m) ю

gF2 sin(02t) sin(at X sin(«2') Tl~~2-^ (---) + V20 Cos(®2') + V21--

Mп (ю -ю2)

(30)

(31)

ю

ю

ю

mm

- приведенная масса, ю2 = ^k2/Mn .

где Мп = —

^ + да2

Решения (30), (31) представляют собой по первой координате v1(t) - смещение центра масс, образованное суммой равномерного прямолинейного движения и гармонических колебаний; по второй координате v2(t) - разницу относительных смещений массоинерционных

элементов в форме гармонических колебаний. Полученное решение показывает, что движение центра масс системы имеет гармоническую составляющую.

Система координат (и1, и2). Величины смещения и1, и2 каждого массионерционного элемента У1, У2 относительно положения центра масс V определяются соотношениями:

IУ1 = V1 + u1; [У2 = V1 + U2 .

(32)

Откуда следует, что:

m,

u = ■

m + m2

■v2;

m

U2 = —

(33)

(34)

m + m2

Рассмотрение динамических свойств одного и того же объекта в различных системах координат имеет свои особенности. Хотелось бы отметить, что при всем разнообразии возможных подходов существуют определенные инварианты (частоты собственных колебаний). Что касается диады, то таким инвариантом является форма колебаний, поскольку отношение У2/У остается постоянным.

Центр масс системы колеблется относительно точки х0, совершающей равномерное, поступательное и прямолинейное движение:

<

<

xo(t) = V10 + (vii +

F

ю(т+m)

)t.

(35)

Определенный интерес представляет рассмотрение особенностей движения диады в системе координат, центр которой перемещается с некоторой постоянной скоростью. Точка с координатой х0 может рассматриваться в качестве начала такой инерциальной системы отсчета.

Относительная координатная система Х1, х2. В качестве начала системы координат рассматривается движущаяся точка с координатой х0(?) (35). На основе решения (31) центр

масс системы колеблется относительно х0 (£) согласно выражению

v(t) = -

F

(m+ma

- sin(a).

(36)

Колебания массоинерционных элементов относительно х0(1) имеют вид

xi(t) = W-~

m,

m + m2

~V2;

x2(t) = ¥ + -

m

щ + m2

(37)

(38)

Аналитические формы относительного движения массоинерционных элементов можно записать следующим образом:

xi(t) = -

x2(t) = -

F

(m+m )a F

(m + m )a

sin(at) -

m

(

coF2 sin(®2t) sin(at)

m+m чмпa2 -c2) ( C

c

) + v20 cos(®2t) + v2

sin(®2t)

m

-sin(at) +--1—(■

coF2 sin(®2 t) sin(at)

(

m + щ чмп (a2 - a2)4 a

) + v20 cos(a2t) + v2

sin(a2t)

a

a

); (39) ). (40)

Введение подвижной системы координат, в которой указывается смещение массоинер-ционного элемента относительно равномерно движущегося начала координат, на основе информации о линейной составляющей решения системы дифференциальных уравнений, создает основу для отражения динамических аспектов относительного движения диады как механической колебательной системы с одной степенью свободы.

Режимы движения диады

Рассматриваются режимы движений диады в зависимости от параметров воздействий. Параметры, характеризующие диаду как некоторую типовую структурную единицу в механической колебательной системе, включающую приложенные силы, начальные условия в сочетании вынужденных и собственных форм колебаний, определяют разнообразие динамических эффектов, проявляющихся в процессе движения диады.

Система координат (у1, у2). Гармонические составляющие движения, сформированные под воздействием внешнего возбуждения, имеют вид

y[g\t) = -y2g ](t) = -

щ + m2

щ (a2 -&l) щ + т.

sin(at) | 1 sin(at) (щ1^2 - .

a2 1 2 sin(at)

2

щ + щ2

_((1 ,n л 1 sin(at) (щА- щШ

2 (Q1 + Q2) r 2 2ч , '

a щ (a - a2) щ + щ2

(41)

(42)

Формы собственных колебаний, соответствующие частоте с , определяются выраже-

ниями:

y[* ](t) = —((у 20 - yjcosao + у - y„)sinat);

щ + щ2

a

y2 ](t) = —^((у20 - yjcosao + (у21 - yn)sin(a2)).

щ + щ2

a

(43)

(44)

Линейные составляющие (34), (44) могут быть представлены в виде

ц_ щУ10 + щУю , ,щУп + щ2У21 + Q1 + Q2 )t.

у!' ](t) = у2' ](t) =

щ + щ2

щ + щ2

+( +(щ

щ + щ2

а(шх + щ)

и_ щУ10 + ^20 , щУп + щу21 + Q1 + Q2 )t

щ + щ2

а(щ1 + щ)

(45)

(46)

Диада в системе координат (VI , у2). Линейные компоненты движения имеют вид

v[ \(t) = (

F

а(щ + щ)

+vu)t+v10;

(47)

v[' ]2(t) = 0.

Компоненты собственных колебаний, соответствующие частоте ю2, могут быть записаны таким образом:

V s ](t) = 0;

*](t) = »f2 .sin(a2t) + V20 cos(a2t) + V2 sin(a2t)

Mn (a -a2) a2

a

(48)

Компоненты вынужденных колебаний определяются выражениями:

Vg ](t) = -

F

(щ + щ )a

v2g ](t) = -

F

Mn(a2 -a22)

^sin(at);

-sin(at).

(49)

(50)

Амплитуда колебания центра масс монотонно убывает по мере увеличения частоты внешнего возмущения. Линейная скорость диады определена частотой внешнего возбуждения.

1

<

1

<

ш

Особенности движения диады в относительной системе координат (х1, х2). Закон х0(?) движения точки отсчета определяется начальными условиями, модулем и частотой

внешнего возмущения.

x0(t) = (■

F

(o(m+m)

+ v11)t + v10.

(51)

Вынужденные компоненты движения в координатах х(0, х2(?), в зависимости от приложенных к массам щ и т2 сил Q1 и , принимают вид

а

x(t) = (Qi(—+

m m + m2

2 2 а -) + Q2 ( а~ ))X

1

m + m а (а - а2)

x2(t) = (Qi(

а

а

-) + Q2 (--+

а

-)) х-

1

m + m m m + m2" а2(а2 -а22)

sin(at);

sin(at).

(52)

(53)

Приложение силы к массе щ. В случае приложения только силы (Q2 = 0) коэффициент формы х2(1)(?)/х/1^) (далее верхний индекс (1) или (2) обозначает закон движения, соответствующий силовому возмущению, приложенному к щ1 и щ2 соответственно) опреде-

ляется величинои «:

а

2

аг = ■

m+m

2

2

(54)

а

а

m m+m2

Приложение силы к массе щ. В случае приложения только силы Q2 (Q1 = 0) коэффициент формы х2(2)(?)/х/2^) составляет величину а2:

а

а

m2 m + m2 а2

(55)

m

m

Заключение

Развитие аналитического подхода в оценке особенностей реакции системы на внешнее возмущение показывает, что движение элементов диады носит достаточно сложный характер.

Учет начальных условий движения показывает возможности совместных движений элементов диад, вызванных введением начальных смещений и начальных скоростей. В этом случае, т. е. при отсутствии внешних сил, отдельным соотношением между движениями по координатам характеризуется связанность движения. Такое понятие при рассмотрении свободных колебаний трансформируется в понятие коэффициента формы связанных движений

2

«2 =

между координатами массоинерционных элементов диады.

Специфика диады, как некоторого фундаментального структурного образования (или системообразующего, если иметь в виду систему с несколькими степенями свободы), заключается в том, что диада обладает лишь одной частотой собственных колебаний. В связи с этим коэффициент формы связи имеет одно значение, равное m2/m с отрицательным знаком. Это соответствует вполне определенной форме колебаний относительно центра масс.

Коэффициент форм связности может определяться в различных системах координат, однако значение коэффициента при этом не меняется. Физический смысл коэффициента форм связи заключается в отражении свойств симметрии диады. В общем случае соотношение координат при формах свободных колебаний определяется из условий динамического равновесия в процессе колебания относительно центра масс.

Показано, в частности, что отношение амплитуд колебаний для отдельно взятого силового возмущения (при отсутствии свободных колебаний) также дает коэффициент связности колебаний как отношение у/у при одной возмущающей силе, равное коэффициенту формы

связей в свободных колебаниях (рассматриваемых независимо от вынужденных движений). Эту особенность следует рассматривать как доказательство возможности определения свойства свободных колебаний через реакции исходной системы на внешнюю силу.

Библиографический список

1. Самарский А.А., Михайлов А.П. Математическое моделирование: Идеи. Методы. Примеры. М.: Физматлит, 2001. 320 с.

2. Белокобыльский С.В., Елисеев С.В., Ситов И.С. Динамика механических систем. Рычажные и инерционноупру-гие связи. СПб: Политехника, 2013. 320 с.

3. Eliseev S.V., Lukyanov A.V., Reznik Yu.N., Khomenko A.P. Dynamics of mechanical Systems with Additional Ties. Irkutsk, ISU, 2006, 315 p.

4. Karnovsky I.A., Lebed E. Theory of Vibration Protection, Springer International Publish-ing, Switzerland, 2016, 708 p.

5. Rocard Y. Dynamique generale des vibrations. Paris, Masson, 1949, 439 p.

6. Будыка М.Ф., Садыкова К.Ф., Гавришова Т.Н. Фотохимические свойства нафтолстирилхинолиновой диады в нейтральной и ионной формах // Химия высоких энергий. 2012. Т. 46. № 1. C. 47-53.

7. Будыка М.Ф., Поташова Н.И., Гавришова Т.Н., Ли В.М. Дизайн полностью фотонных молекулярных логических вентилей на основе супрамолекулярной бисстирилхинолиновой диады // Российские нанотехнологии. 2012. Т. 7. № 5-6. С. 89-95.

8. Елисеев С.В., Елисеев А.В. Особенности возникновения зазора в механической системе с неудерживающей связью при импульсном воздействии // Современные технологии. Системный анализ. Моделирование. 2013. № 2. C. 36-45.

9. Тимофеев Г.А., Мор Е.Г., Барбашов Н.Н. Совместный метод кинематического и силового анализа сложных механических систем // Известия высших учебных заведений. Машиностроение. 2015. № 3. С. 11-17.

10. Крохмаль Н.Н. Кинематический анализ групп Ассура в связи с их структурными свойствами // Известия Челябинского научного центра УрО РАН. 2003. № 1. С. 64-68.

11. Цзе Ф.С., Морзе И.Е., Хинкл Р.Т. Механические колебания / под ред. чл. -корр. АН СССР И.Ф. Образцова. М.: Машиностроение. 1966. 508 с.

12. Елисеев С.В., Резник Ю.Н., Хоменко А.П., Засядко А.А. Динамический синтез в обобщенных задачах виброзащиты и виброизоляции технических объектов. Иркутск: ИГУ, 2008. 523 с.

13. Елисеев С.В., Резник Ю.Н., Хоменко А.П. Мехатронные подходы в динамике механических колебательных систем / отв. ред.: П.А. Лонцих, А.В. Лукьянов. Новосибирск: Наука, 2011. 383 с.

14. Елисеев С.В., Артюнин А.И. Прикладная теория колебаний в задачах динамики линейных механических систем. Новосибирск: Наука. 2016. 459 c.

15. Елисеев С.В., Большаков Р.С., Нгуен Д.Х., Выонг К.Ч. Определение частот собственных колебаний механических колебательных систем: особенности использования частотной энергетической функции. Часть I // Вестник Иркутского государственного технического университета. 2016. № 6 (113). С. 26-33.

16. Хоменко А.П., Елисеев С.В. Характеристическое частотное уравнение: структура, динамическая жесткость, особенности взаимодействия элементов системы // Современные технологии. Системный анализ. Моделирование. 2016. № 2 (50). С. 12-24.

©

ш

References

1. Samarskii A.A., Mikhailov A.P. Matematicheskoe modelirovanie: Idei. Metody. Primery [Mathematical modeling: Ideas. Methods. Examples]. Moscow, Fizmatlit Publ., 2001, 320 p. (In Russian).

2. Belokobyl'skij S.V., Eliseev S.V., Sitov I.S. Dinamika mehanicheskih sistem. Rychazhnye i inercionno-uprugie svjazi [Dynamics of mechanical systems. Lever and inertial-elastic connections]. SPb, Politehnika Publ., 2013, 320 p. (In Russian).

3. Eliseev S.V., Lukyanov A.V., Reznik Yu.N., Khomenko A.P. Dynamics of mechanical Systems with Additional Ties, Irkutsk, 2006, 315 p.

4. Karnovsky I.A., Lebed E. Theory of Vibration Protection, Springer International Publishing, Switzerland, 2016, 708 p.

5. Rocard Y. Dynamique generale des vibrations. Paris, Masson, 1949, 439 p.

6. Budyka M.F., Sadykova K.F., Gavrishova T.N. Fotohimicheskie svojstva naftolstirilhino-linovoj diady v nejtral'noj i ion-noj formah [Photochemical properties naphthol styryl chinoline dyad in neutral and ionic forms]. Himija vysokih jenergij [High Energy Chemistry], 2012, vol. 46, no. 1, pp. 47-53. (In Russian).

7. Budyka M.F., Potashova N.I., Gavrishova T.N., Li V.M. Dizajn polnostju fotonnyh mole-kuljarnyh logicheskih ventilej na osnove supramolekuljarnojbisstirilhinolinovoj diady [Design of fully photonic molecular logic gates based on supramo-lecular bistiril-quinoline dyad]. Rossijskie nanotehnologii [Russian Nanotechnologies], 2012, vol. 7, no. 5-6, pp. 89-95. (In Russian).

8. Eliseev S.V., Eliseev A.V. Osobennosti vozniknovenija zazora v mehanicheskoj sisteme s neuderzhivajushhej svjazju pri impul'snom vozdejstvii [Features of gap occurrence in a mechanical system with a non-restraining connection under impulse action]. Sovremennye tehnologii. Sistemnyj analiz. Modelirovanie [Modern technologies. System Analysis. Modeling]. 2013, no. 2, pp. 36-45. (In Russian).

9. Timofeev G.A., Mor E.G., Barbashov N.N. Sovmestnyj metod kinematicheskogo i silovogo analiza slozhnyh mehanicheskih sistem [A combined method for the kinematic and force analysis of complex mechanical systems]. Izvestija vysshih uchebnyh zavedenij. Mashinostroenie [Proceedings of Higher Educational Institutions. Mechanical Engineering]. 2015, no. 3, pp. 11-17. (In Russian).

10. Krohmal' N.N. Kinematicheskij analiz grupp Assura v svjazi s ih strukturnymi svojstvami [Kinematic analysis of As-surian groups in connection with their structural properties]. Izvestija Cheljabinskogo nauchnogo centra UrO RAN [Proceedings of the Chelyabinsk scientific center]. 2003, no. 1, pp. 64-68. (In Russian).

11. Cze F.S., Morze I.E., Hinkl R.T. Mehanicheskie kolebanija [Mechanical vibrations]. Moscow, Mashinostroenie Publ., 1966, 508 p. (In Russian).

12. Eliseev S.V., Reznik Ju.N., Khomenko A.P., Zasjadko A.A. Dinamicheskij sintez v obobshhennyh zadachah vibro-zashhity i vibroizoljacii tehnicheskih ob'ektov [Dynamic synthesis in generalized problems of vibration and vibration protection of technical objects]. Irkutsk, IGU Publ., 2008, 523 p. (In Russian).

13. Eliseev S.V., Reznik Ju.N., Khomenko A.P. Mehatronnye podhody v dinamike mehanicheskih kolebatel'nyh sistem [Mechatronic approaches in the dynamics of mechanical oscillation systems]. Novosibirsk, Nauka Publ., 2011, 383 p. (In Russian).

14. Eliseev S.V., Artjunin A.I. Prikladnaja teorija kolebanij v zadachah dinamiki linejnyh mehanicheskih sistem [Applied theory of oscillations in the problems of linear mechanical system dynamics]. Novosibirsk, Nauka Publ., 2016, 459 p. (In Russian).

15. Eliseev S.V., Bol'shakov R.S., Nguen D.H., Vyong K.Ch. Opredelenie chastot sobstvennyh kolebanij mehanicheskih kolebatel'nyh sistem: osobennosti ispol'zovanija chastotnoj jenergeticheskoj funkcii. Chast' I [Identification of mechanical oscillation system eigen frequences: features of using the frequency energy function. Part I]. Vestnik Irkutskogo gosudar-stvennogo tehnicheskogo universiteta [Proceedings of Irkutsk State Technical University]. 2016, no. 6 (113), pp. 26-33. (In Russian).

16. Khomenko A.P., Eliseev S.V. Harakteristicheskoe chastotnoe uravnenie: struktura, dinamicheskaja zhestkost', osobennosti vzaimodejstvija jelementov sistemy [Characteristic frequency equation: structure, dynamical stiffness, features of interaction of system elements]. Sovremennye tehnologii. Sistemnyj analiz. Modelirovanie [Modern technologies. System analysis. Modeling]. 2016, no. 2 (50), pp. 12-24. (In Russian).

Критерий авторства

Елисеев А.В. является автором статьи и несет ответственность за плагиат.

Authorship criteria Eliseev A.V. is the author of the article and bears the responsibility for plagiarism.

Конфликт интересов

Автор заявляет об отсутствии конфликта интересов.

Conflict of interests

The author declares that there is no conflict of interests regarding the publication of this article.

Статья поступила 23.05.2017 г. The article was received 23 May 2017