CC BY
27DOI: 10.17516/1999-494X-0222 УДК 629.7.05
A Deterministic Approach Used for Solving the Problem of Positioning and Angular Orientation Defining of Onboard Direction-Finder Antenna Based on the Results of Radio Direction Finding of Radio Reference Points
Valery N. Tyapkin and Alexander D. Vinogradov*
Siberian Federal University Krasnoyarsk, Russian Federation
Received 24.06.2019, received in revised form 03.10.2019, accepted 21.01.2020
Abstract. The paper considers the possibilities and conditions for the unambiguous determination of the coordinates and angular orientation of the onboard direction - finder antenna placed on a moving object, based on the results of the azimuth-elevation radio direction finding of radio reference points. The coordinates of a moving object are determined by taken at one or several receiving points on board of a moving object measurements of radio signal delay time emitted simultaneously by at least three radio reference points. The unambiguous angular orientation in space is determined by measuring the viewing angles of at least three radio reference points of at least two direction finding pairs of receiving points with intersecting (non-collinear) bases. The article presents the mathematical features of determining the spatial position of onboard DF antenna, a general approach used for solving the problem of azimuth-elevation radio direction finding of three radio reference points, methods for determining the distance to radio reference points based on the results of their azimuth-elevation radio direction finding, and the analysis of the research results.
Keywords: azimuth-angle radio direction finding, radio reference point, onboard direction-finder antenna, navigation system receiver, source of radio emission.
Citation: Tyapkin V.N., Vinogradov A.D. A deterministic approach used for solving the problem of positioning and angular orientation defining of onboard direction-finder antenna based on the results of radio direction finding of radio reference points, J. Sib. Fed. Univ. Eng. & Technol., 2020, 13(3), 289-310. DOI: 10.17516/1999-494X-0222
© Siberian Federal University. All rights reserved
This work is licensed under a Creative Commons Attribution-Non Commercial 4.0 International License (CC BY-NC 4.0). Corresponding author E-mail address: [email protected]
Детерминированный подход к решению задачи определения координат и угловой ориентации бортовой пеленгаторной антенны по результатам радиопеленгования радиоориентиров
В.Н. Тяпкин, А.Д. Виноградов
Сибирский федеральный университет Российская Федерация, Красноярск
Аннотация. В работе рассматривается исследование возможности и условий однозначного определения координат и угловой ориентации бортовой пеленгаторной антенны (БПА), размещенной на подвижном объекте, по результатам азимутально-угломестного радиопеленгования радиоориентиров. Координаты подвижного объекта определяют по результатам измерений в одной или нескольких точках приема на борту подвижного объекта времен задержки радиосигналов, синхронно излучаемых не менее чем тремя радиоориентирами, а однозначная угловая ориентация в пространстве - путем измерения углов визирования не менее трех радиоориентиров не менее чем двумя пеленгационными парами точек приема с пересекающимися (неколлинеарными) базами. В статье приведены математические особенности определения пространственного положения БПА, общий подход к решению задачи при азимутально-угломестном радиопеленговании трех радиоориентиров, способы определения дальности до радиоориентиров по результатам их азимутально-угломестного радиопеленгования и анализ результатов исследования.
Ключевые слова: азимутально-угломестный радиопеленг, радиоориентир, бортовая пеленгаторная антенна, навигационный приемник, источник радиоизлучения.
Цитирование: Тяпкин, В.Н. Детерминированный подход к решению задачи определения координат и угловой ориентации бортовой пеленгаторной антенны по результатам радиопеленгования радиоориентиров / В.Н. Тяпкин, А.Д. Виноградов // Журн. Сиб. федер. ун-та. Техника и технологии, 2020. 13(3). С. 289-310. DOI: 10.17516/1999-494Х-0222
Введение
Для определения координат и угловой ориентации подвижных объектов воздушного, морского или наземного базирования в настоящее время используют спутниковые радионавигационные системы [1, 2], основанные на излучении радиосигналов реперными источниками радиоизлучения (ИРИ), размещенными на спутниках с известными координатами, называемые в общем случае радиоориентирами или радионавигационными точками [3], и приеме этих радиосигналов в нескольких пространственно разнесенных точках, размещенных на подвижном объекте, выполняющих функции бортовой пеленгаторной антенны (БПА) и обеспечивающих реализацию фазового метода радиопеленгования [2, 4, 5]. При этом координаты подвижного объекта определяют по результатам измерений в одной или нескольких точках приема на борту подвижного объекта времен задержки радиосигналов, синхронно излучаемых не менее чем тремя радиоориентирами, а однозначная угловая ориентация в пространстве - путем измерения углов визирования не менее трех радиоориентиров не менее чем двумя пеленгационными парами точек приема с пересекающимися (неколлинеарными) базами. Следует отметить, что угол визирования представляет собой угол между отрезком линии, проходящей через пелен- 290 -
гационную пару точек приема, и направлением на радиоориентир, проходящим через одну из точек приема пеленгационной пары, координаты которой определены вышеупомянутым образом [2, 4, 5]. То есть координаты и угловая ориентация подвижных объектов определяются спутниковыми радионавигационными системами дальномерно-угломерным методом, реализуемым при условии синхронного излучения радиосигналов радиоориентиров.
В известных работах по радионавигации [6-10] исследованы различные способы определения координат в пространстве подвижного объекта угломерным методом путем радиопеленгования с борта подвижного объекта, оснащенного бортовыми автономными навигационными датчиками и системами (инерциальными, геомагнитными) [11-14], радиоориентиром, реализуемым без предъявления требований к синхронности излучения радиосигналов радиоориентирами. Однако возможности одновременного и однозначного определения координат и угловой ориентации в пространстве подвижного объекта путем азимутально-угломестного радиопеленгования (определения азимута и угла места источников радиоизлучения) с борта подвижного объекта радиоориентиров без использования вспомогательной информации от автономных навигационных датчиков и систем в известных работах по радионавигации [1-14] не исследованы. При этом возникает необходимость решения задачи определения условий однозначности определения координат и угловой ориентации в пространстве подвижного объекта, оснащенного БПА, определяющих минимально возможное число и ограничения на взаимное пространственное расположение БПА и радиоориентиров.
Цель работы - исследование возможности и условий однозначного определения координат и угловой ориентации бортовой пеленгаторной антенны, размещенной на подвижном объекте, по результатам азимутально-угломестного радиопеленгования радиоориентиров.
Постановка задачи. Будем считать, что N радиоориентиров размещены в 1-х точках М] пространства (где / = 1,2,..,N с известными координатами М(х, у, z ) в нормальной земной системе координат (НЗСК) Енз = {О, X, У, Z}, представляющей собой левую пространственную прямоугольную декартовую систему координат, начало О которой фиксировано по отношению к Земле, ось абсцисс ОХ которой, находящаяся в горизонтальной плоскости, совпадает с северным направлением истинного или магнитного меридиана или вертикальной линии координатной сетки плоской прямоугольной геодезической системы координат, ось аппликат OZ которой перпендикулярна горизонтальной плоскости и направлена вверх по вертикали, а ось ординат ОУ которой, находящаяся в горизонтальной плоскости ХОУ, дополняет систему до левой пространственной прямоугольной декартовой системы координат [15]. Отсчет углов (азимута а и угла места е) при азимутально-угломестном радиопеленговании реперных ИРИ с борта подвижного объекта, на котором размещена БПА, осуществляется в связанной системе координат БПА Есв = {О', X', У', Z'}, представляющей собой левую пространственную прямоугольную декартовую систему координат, начало О' которой помещено в фазовом центре (ФЦ) БПА, осями которой служат продольная, поперечная и нормальная осевые линии БПА, являющиеся осями абсцисс ОХ', ординат О'У' и аппликат O'Z' соответственно [16]. При этом азимут а представляет собой угол между проекцией направления от ФЦ БПА на радиоориентир на азимутальную плоскость О'Х'У', содержащую продольную и поперечную осевые линии БПА, и положительным направлением продольной осевой линии О'Х' БПА, измеряемый в градусах в пределах от 0° до 360° и отсчитываемый от положительного направления продольной осевой
линии О'Х' БПА по ходу часовой стрелки, если смотреть в направлении навстречу положительному направлению нормальной осевой линии O'Z' БПА. Угол места е есть угол между направлением от ФЦ БПА на радиоориентир и проекцией вышеупомянутого направления на азимутальную плоскость ОХ'Т', содержащую продольную и поперечную осевые линии БПА, измеряемый в градусах в пределах от 0° до ±90°, отсчитываемый от вышеупомянутой проекции на азимутальную плоскость О'ХТ' с положительным или отрицательным знаками в случае, если радиоориентир находится соответственно выше или ниже азимутальной плоскости О'ХТ', проходящей через ФЦ БПА.
Пространственное положение и угловую ориентацию БПА в НЗСК Енз = {О, X, Т, Z} будем характеризовать: во-первых, координатами х, у и г точки М0 (х, у, z) размещения ФЦ О' БПА в НЗСК Енз = {О, X, Т, Z}; во-вторых, тремя углами Эйлера [17]: углами курса ц, тангажа ^ и крена 3, определяющими угловую ориентацию продольной О'Х', поперечной ОТ' и нормальной Оос евых линий БП А в нормальной земной подвижной системе координат (НЗПСК) Ензп = {О', X, Тв Z}, представляющей! собой левую пространственную прямоугольную декартовую систему координат, начало О' которой помещено в ФЦ О' БПА, а оси абсцисс О'Х, ординат ОТ и аппликат О ^ кото рой направлен ы так же, как и оси соответственно абсцисс ОХ, ординат ОТ и аппликат OZ НЗСК Енз = {О, X, Т, Z} [17-19]. При этом угол курса ц БПА представляет собой угол между проекцией на горизонтальную плоскость ОХ'ТНЗПСК Ензп = {О',X, Т, Z} положительного направления продольной осевой линии О'Х' БПА и линией О'Х, расположенной в горизонтальной плоскости ОХ'Т, проходящей через ФЦ О' БПА, принятой за начало отсчета, измеряемый в градусах в пределах от 0° до 360° и отсчитываемый от вышеупомянутой линии О'Х по ходу часовой стрелки, если смотреть в направлении вниз по вертикали, проходящей через ФЦ О' БПА. Угол тангажа ^ БПА есть угол между продольной осевой линией О'Х' БПА и горизонтальной плоскостью ОХ'Т НЗПСК Ензп = {О', X, Т, Z}, проходящей через ФЦ О' БПА, измеряемый в градусах в пределах от 0° до ±90°, отсчитываемый от горизонтальной плоскости ОХ'Т с положительным или отрицательным знаками в случае, если положительное направление продольной осев ой линии О'Х' БПА находится соответственно выше или ниже горизонтальной плоскости ОХ'Т. Угол крена 3 БПА представляет собой угол между поперечной осевой линией ОТ' БПА и осмю ординат ОТ1 смещенной НЗПСК £нзпц = {О', Хц, Тц, Z}, представляющей собой НЗПСК, оси абсцисс ОХц,и ординат ОТц которой смещены отнесительно осей соответственно абсцисс О'Х и ординат ОТ НВПС КЗ Ензп = {О', X, Тм Z} в положение, при котором угол курса ц БПА равен нулю. Угол крена 3 БПА измеряется в градусах в пределах от 0° до ±90° и отсчитывается от оси ординат О 'Тц смещенной Н0ПСК £нзпц, = {О', Х¥, Тц, Z} с положительным или отрицательным знаками в случае, если поаомительное направление оси орд и нат ОТц смещенной НЗПСК £нзпц, = {О', Х0 ТЗ, Z} совмещается с положительным направлением поперечной осевой линии ОТ' БПА поворотом вакруг продольной осевой линии О'Х' БПА соответственно по ходу или против хода часовой стрелки, если смотреть в положительном направлении продольной осевой линии О'Х' БПА.
При одновременном азимутально-угломестном радиопеленговании с борта подвижного объекта N радиоориентиров, размещенных в 1-х точках пространства с известными координатами М(х, у, 1) можно получить соответствующую совокмпность 1-х пар азимутов а{ и углов места е^ (где / = 1,2,...Щ. Так как пространммоеннмр положенме и вгоовая вриентация БПА опре-
- Н9М -
деляются шестью неизвестными параметрами (тремя координатами х, у и z и тремя углами щ, ^ и 3), то для их однозначного определения необходимо измерять не менее шести параметров, какими в рамках рассматриваемой задачи являются не менее трех пар азимутов а 1 и углов места е, получаемых, соответственно, в результате радиопеленгования радиоориентиров с их общим числом N > 3. Детерминированный подход к решению задачи определения координат ФЦ БПА х, у, z и углов щ, ц и 3, определяющих угловую ориентацию БПА, по результатам измерений не менее трех пар азимутов а{ и углов места е{ при азимутально-угломестном радиопеленговании не менее трех радиоориентиров можно представить в виде четырехэтапной процедуры, этапы которой предназначены для решения следующих частных задач:
- нахождение совоку пности расстояний о т ФЦ БПА до радио ориентиров;
- опредаление областей аространства, в которых совоеупность расстояний от ФЦ БПА до радиоориентиров однозначна;
- определение координат ФЦ БПА;
- нахождение матрицы вращения и связанных с нею углов Эйлера, определяющих угловую ориентацию в пространстве БПА.
Система уравнений связи межде неизвестной совокупностью расстояний от ФЦ БПА до радиоориентиров и аоответствующей совокупностью известных (измеряемых) угловых параметров, возникающая при решении первой частной задачи на первом этапе, является нелинейной. Поэтому при ази мутально-угломестном радиопеленговании с борта подвижного объекта трехе радиоориентиров в общем случае пеоизвольного взаимного пространственного расположения БПА относительно радиоориентиров решение вышеупомянутой определенной системы уравнений о тносительно совокупности расстояний о т ФЦ БПА до трех радиоориентиров неоднозначно и может включать от одного до четырех решений. При увеличении размерности системы уравнений патем азимутально-угломестного радиопеленгованея более чем трех радиоориентиров систе ма хравне най связи становится переопреде ленной, и, соответственно, в случае учета погрешностей измерений азимутов и углов места она перестает быть совместной. Применение для 12 е решения стандартно го метода наименьших квадратов приводит к повышению степени уравнений и, соответственно, к существенному усвожнению процедуры определения искомых пераметров . Поэтому в данной работе рас сматриваем два случая, когда возможен детерминированный подход к решению первой и второй частных задач нахождения однозначной совокупности расстояний от ФЦ БПА до ¡радио ориентиров: а) в случае азимуталь-но-угломестного радиопеленгования трех радиоориентиров, не находящихся на одной прямой линии, когда система уравнений связи между искомы ми и измеряемыми параметрами является определенной; б) в случае азимутальн о -у г ломестного радиопеленгования четырех радиоориентиров, три из которых расположены на одной прямой линии, когда система уравнений связи между искомыми и измеряеуыми параметрами является переопределенной и совместной. Задачи третьего и четвертого этапов стандартны для радионавигации подвижных объектов [6-10], поэтому для их решения не требуется разрабатывать специальных методов. Ключевыми оказываются именно первые два этапа решения вышеупомянутых первой и второй частных задач. Структура возможных решений соответствующих нелинейных систем уравнений связи между искомыми и измеряемыми параметрами оказывается сложной, включая большое число вырожденных случаев. Без понимания данных особенностей затруднительно строить эффек-
тивные вычислительные алгоритмы однозначного определения координат и угловой ориентации БПА, размещенной на подвижном объекте, по результатам азимутально-угломестного радиопеленгования радиоориентиров.
Общий подход к решению задачи при азимутально-угломестном радиопеленговании трех радиоориентиров. Если три радиоориентира размещены в точках М1(х1, уь 1\), М2(х2, у2, 12) и М3(х3, у3, 13) с заданными известными координатами, находящихся не на одной прямой линии, а ФЦ О' БПА, размещенной на подвижном объекте, - в точке М0 с неизвестными координатами М0(х, у, 1), то в общем случае указанные четыре точки в трехмерном пространстве образуют треугольную пирамиду, схематическое представление которой приведено на рис. 1, где кроме вышеупомянутых параметров обозначены: ' - длина /-го бМкового ребра М0М,- треугольной пирамиды ММ1М2М3; - длина ребра ММз осноаания М1ИИ2М3 тмеугольной пирамиды ММ1М2М3; Му в аМ^ММз - плоский угол при вершине М0 между боковыми ребрами M0Mi и ММз треугольной пирамиды ММММИ; / = 1,2,3; } = 1,2,3; / <у. Пространственное положение точки М0 размещения ФЦ О' БПА и точек Мв размещения Мх радиоориентиров в НЗСК Енз = {О, X, Т, Z} будем также характеризовать радиус-векторами г0 = (х0, у0, 10) и г, = (х, у1/) соответственно, где / = 1,2,3.
Допустим, что в результате одновременного азимутрльно -угломестного радиопеленгования /-х радиоориентиров с использованием БПА определены три пары озимутов а/ и углов места е/. То гда в связанной системе координат БПА Есв = {<Р', Х', 7', Z'} можно определить три единичных вектора sсвi направлений на /-е радиоориентиры в соответствии с соотношением
С учетом (1) косинусы плоских углов cos ay при вершине M0 треугольной пирамиды M0M1M2M3 (см. рис. 1) можно определить в соответствии с соотношением
sCB = Тcos a. cos s 1 sin a. co s ss , sin s),
CBi \ i i J i i J if"
(1)
где i = 1,2,33.
(2)
где 1 < i <j < 3.
M2
Mb
M
Рис. 1. Схема размещения в пространстве трех радиоориентир ов и фазового центра БПА Fig. 1. Spatial layout of Шгев radio reference points and the onboard DF antenna phase csnter
- 294 -
Следует отметить, что длины ребер МЩ основания М1М2М3 треугольной пирамиды М0М1М2М3 (см. рис. 1) являются априорно известным и параметрами и определяются в соответствии с соотношением
dj =
xs- Х--- — j )2+(zi~zi)2
(3)
где 1 < i < j < 3.
С учетом известных значений! вышеупомянутых параметров cos ai2, cos ai3, cos a23, d12, d13 и d23 для определения трех не известных зн-чений длин - i2 и L 3 боковых ребер треугольной пирамиды M0M1M2Ai3l (см . рис. 3) по лучаем следующую систем- из трех у равнений:
Lзз + L s jZ^i'PP^SB^S»——2 — И-у2 ; L зз + 1р 2—-—з в—02 аи — и—— з;
LL 33 x— L 3 2-Х 2L 3 P02 У23зз — zd—3 *
(4)
Как показали вычислительные эксперименты, система уравнений (4) относительно иском ых знаоений парамеаров а^ а. и аз может иметь от одного до четьфее решений в каждой из двух областей пространства, находящихся симмеорично относительно плоскости располо-жения трех радиоориентиров. Страктура этих решений и правила выбора правильного (однозначного) решения еудут о писаны далее. Предположим, чтг гднознаснгее еначения параметров а 1 , а (, аз из системы уравнений (4) определены. Для ое иувестных координат х, у и г точки М0 (х, с, г2) рх^спо ложения ФЦ, БПА гзолучаем сеедуюгцую систему из трех уравнений.:
2 х- — )) 2 + ( j - 02 -- (г- z2 - —
(х +Х,)- (х~У+- + ( 2?--^2)2 :=(22^ ( x -хз )2 — (y - Уз — + (- - z3- — aA
(5)
—лх рее-ше-киу- <—и:^Т1е^:Е;2 лpлднеаиа (5 2 вычуем —з вт-рого и третьего ура-нений первое ур2в-нение и перенесем парыметры, связанные с неизвестным з—ахением z, в правые части ур-вне-ний, в результате чего относительно неизвестных значений ко ординат и(— пол+чаем с—ед-к-щ-ю с ^^'лекту из двух -рдвхен ий :
f2x(-) -2 -—) *— ^.((-С- - --) — -— -z - —(- " -2 — -( -У— — S " z( - 2z(z- - -);
- 2i(-i - —) + ^ЛУОЛУ- - -о) = У— (( 23:Д + +2 " — + —2 " А- "У - - 2з " 2 ( - :з-
(6)
Согласно прави21у Крамера р-е^ш^кил системы у равн—ний ((6—1 нотю сите льно координатх и-) зависящих от неизвнстного значения 2оординыты z, определяется соотношениями
J —Г-
A(z) ^У- ~ >2) -(z) 2(— -)23)
у — л2
— --В ^-z)
^ы- - -¡Г2,) ¿--I-
(7)
где
А) —= — - а2 + -Л - х2 + У2 - —а) -2 )22 -- л2 - 2z(z- -Zзl); B(z) —z- ---2;+ х-2 —р +-—2 + zp -к- -23— -л-; - 2—5-
V = 2
(8)
V- определитела системы уравнений (6), определяемыйсмотношением
(-а-М (у;му2Н
(•х1мМх-а и-уза
Для однозначной разрешимости с истемы ур авнений (6) в соответствии с (7) требуется, чтобы определитель V сисвемы уравненвй (6) не быи равен нулю, что с учеиом (8) равносильно требованию того, чтобы точки рЦ (х- уь и^), М2 (о2, у2,12) и М3 (х3, у3, 13) размещения радиоориентиров не находились на одной прямой что напрямвю вытекает из постановки задачи (см. рис. 1).
После подстановки со отношений (7) в одно из уравнений (5) получим квадратное уравнение относительно а. Полученное в результате решен ия вышеупомянутого квадратного уравнения значение коомдинаоы и точки М0 х у, м) распо ложе ния ФЦ БПА иопользуется в качестве известного параметр)- п,и решмнии систамы ио двух уравнений (6) в соответствии с соотношениями (7) относите льно значе ний ооординвт хи у точки М0 (х, у, 1) расположения ФЦ БПА.
После нахожделиз ко ордират точки М0 (в, у, 1) расположения ФЦ О' БПА и вычисления в НЗСК Енз = {О, X, Т, Z} радиус-векторов г0 = (х0, у0, 111) и г,- = (х,, у,, 1,) можно определить три единичных вектора 8нзш направлений нр 1-е радиоорвентиры относительно ФЦ О' БПА в НЗПСК Ензп = {О', X, Т, Z} в со ответствии с соотношением
s ^ s s s
нзег e )зпе' нзт'п' )зп1 z,
ro 00 Г-
(9)
где Sн3шix, Sн3шi> и Sнзш^ - координаты /-го единичного вектора SнЗIII■ в НЗПСК Ензп = {О', X, Т, Z}; / = 1,2,3.
Определим квадратную мотрицр Sн3II рмзмерт 3 х3 мо орринмт т,ех полуненных по формуле (9) единичных векторов sнзш1, sн3II2 и sн3II3, записанных в столбцы, в соответствии с соотношением
SH3n=Ts
s s
нзп1' нзп 2' нзп1 .
) нзп1х 1^нзп2х *^нзп1 х
s нзп1 y ^зп2у ^зп1у
s ^ нзп1z Sнзп2z *^нзп1 z
л
(10)
где От - знак транспонирования.
По аналогии с (10) опредХлим квадратную мотрицу Бсв размера 3х3 коомдинао трех полученных по формуле (1) единичных векторов ¡1>е:в1, sсв2 и sсв3 в связанной системе координат Есв = {О',Х', Т', Z'}, записанных в столбцы, в соответствии с соотношением
(с
scb tscb1'Scb2' SCBl)
Л
оиса11 со; ы1
sin nsH coss2
sins
от и
2
отм3 со; ы3 оты3
. (11)
Квадратные матрицы Sн3II и Sсв размвров 3х3 связаны между собой матричным соотноше-
нием
s = е нзпц
нзп S св с
где ' 1™ - квадратная матрица вращения размера 3х3 при перехмде от связанной системы координат Есв = {О',X', Ы', X'} ыНЗПСК Ензп = {О',X, у X}, определяемая соотношением
УхХ ЫТХ Ыа'Х
(13)
£ нзп _
Vcb
XX ZXV \ZX Z
?VX bz'X ZVV ZZV
ZVZ Zz'z X
где £xx, Zx'y, Zx'z, Zyx, £yy, &'z, ¿zx, Zz'y и Zz'z - направляющие косинусы оскй связанной системы координат Есв = {O',x\ Y', Z'} в НЗПСК Ензп = {O',X, Y, Z}, связанные со значениями углов курса ц, тангажа ^ и крена 3 БПА соотношениями [17],
E,XX = cosycos ¿и; 0Х Y = so nycos и
$=Z = sin х; = sin 3 cos y sin х - eos 3 si ny;
E,yV = eos 3 eos i// + sin .9 sin 3 sin os 3 = -sinOcos //;
(14)
<—x = -sin3 sinis- cos3co sysin х; lZY = sin 33 co s y- cos 3 sin y sin ¿u; 3ZZ = cos3cos /i
По вычисленным значениям квадратных матриц Sнзп и S^ из формулы (12) получаем следующее соотношение д ля кв адратнY= матрицы вращения £ размера 3*3:
^ХХх £vx £ZX ^
£ нзп _
Vcb
^ХЧ
zZXZ
= sS -В.
215)
их Ьх'х ро ч ^а'х
Рт X %XX J
где 8св1 - матрица, обратнаяматрице Sов.
Поскольку квадратная матрица враще ния '1' опреде лема в соответс твии о соотношенмем (15), то тем самым однозначно с использованием соотношений (15) определяют згзы курса ц, тангажа /г и крена 3 БПА. Например, угол тангажс // определяют с использован ием значения параметра 0хх в виде / = агсвш СаХ, а рглы курса ц и крена 3 - с использованием значений параметров 0хх, 0хъ £тв, 0аг (если с;о^ /о ^ 0) или значений пармметров аРХ, Мах, 0т От (в противном случае).
Математические особ1нности опрелеления пространственного положения БПА. Несмотря на внешнюю простоту состемы уравнений ((4), она имеет ряд особенностей, связанных с описанием всех ее решени й относительно неи звестных значений пара мет ров 3 ^ Зр и З13 для разных случаев расположения в пространстве БПА и радиоориентиров, требующих обширно -го математического исслздования. С прикладной точки зрения более практичным выглядит подход, заключающийся в разрабо тке приближенного метода рое шения системы лрлвнениу (4), учитывающего стрл зтуру возможных решений, полученную с использован ием априорной информации относительно области возможных значений искомых параметров . Без понимония такой структуры возможны, решений системы ураснений (4) гораздо сложнее разрабытывать
аОфуктовоые приближенные метода, позволующсе контролирооать погрешности входных данных и промежуточных вычислений.
Систему тр ех уравнений (4) отно сительно трех неизв естных зн ачений д л ин боковых ре бер а 1, а( и аз треугольной оирамиды (Вс:м. рис. 1) можно свесто в общем сл-учае к 'раонению чет-ае ртой степе ни относительно одно й переменной. Для пояснения этой возможности необходимо указать на следующие свойств а ре шений исходннй систе мы у равнений (4).
Во -первых, если (а 1, а З.) — решение, то , очевидно, (-М., —У., -Зз) тоже решение. Кроме того, хотя решение с отрицателхными зночеуиями ребер не «физично», оно хказываотся связанным с аналогичной задачей для тех же точек М1, М2, М3, но с набором углов а12, а13 и а23 дающих те же значения по модулю косинусов. Напромер, если (е-11 1 , 0 ° '3) - одно из уешений аля таборе -глог (а12, а13, а 23), то (-е , а(, З3) - решение для углов (п - а12, п - асс, а23).
Во-вторых, «гссчктать всн возможные решезия, в том числе с нулевыми и отрицательными значениями длин Мокквых ребер За, З( и З3, то ис полнится на ^оле;е восьми. С учетом описанной выше снмметрии количестве положите ноных ртшсний не превышает четырех.
В-третьих, каждое конкретное решание 3З З° З3) непуерывно зависит от набора углов
(а1У аlз, ¿«23).
В-четвертых, гистему трех уразнений (4)) отно сительно трех неизвестных значений длин боковых ребер З г, и П3 тревгольной пирнмиды М0аг1М2М3 (см. рис. 1) можно интерпретировать следующим обрузом. ИЗ кажаой из боаовых тре-голуных граней М(ММ' пирамиды МММуМ3 иввестна длина С. стороны МаЦ- треугольника и угол ау, нахудящийся напротив ^казс;^:^но1( стороны ММ., где 1 Н х < Т 0 3. Следовательпо, для кзждоу ^зз боковых треугольных граней МММ. известен и соответстоующзийСс рра^кус Кг охружноати, описанной около боковой грани МуЗ/М, причем отрезок ММ,, являющийся хордой окружности. делит огсрппужясисо^т^ыь. на д ве дугз, Е[]^€;:с11ь>ие; в общем случае разные длины. Искомая точеаМ0 тргукозь. ной пирамиды ММЬМ2М3 (сн. рис. 0) в завнсимасти от воличины не который может (Ныть острым: или тупым, может рвспоуагавься сооввеостнерно ур бтсьшей ихи меньшей д(сгг-е:; охрхж-ности, описаншж около боковой грани ММВМ/. Для каждай аасзз трех бохотых треугосьных граней М(ММ. вышепомянутае слеергз^^жясннок;;.':!":^ не еденстве нна из? обрсзует семейство охружеостей, которое описывается как множество точек, находящихся на поверхнхсти, обру^узоЕсзвсн^!]! зроь
щением окружности с радимом К, вокруг оси ММ. лежащей в плоскости зтой озружности
с: т
и в отличие от обычного («отерытого»>) тора пeрeоeхающoо ее. При этом цевтр окрвжности, описанногг около боковой грани МММт вращхемой в^ог^рраау;о.^ оси ММ,, описывхет окружность с центром 15 середине стороны ММ/ основения >»> треогвльной пирамиды ММ». и
с 2 сО
радиусо м> меньшим, чем УУ, , и равнугм .Л К.--. Поэтому вышеупомяну тая поверхность
у с су 4
представляст собой «закрытый» тор) (тор) без о тверстия в центр е), часть анешних границ кото? рого, образьоанная вращением меньшей дуги окружности с радиусом Кс1, располагается вну-
аз
три его внешних гратиц> образованных вращением большей деги ооружносеи в радиусом СУу. Внешний вид «закрытого»: тора, образованного вращением окружности с радиусом К, вокруг
¿(с
оси ММд являющейся хордой окружности, представлен на рис. 2;
4
Рис. 2. Внешний вид «закрытого» тора, образованного вращением окружности вокруг ее хорды Fig. 2. The external view of a "closed" torus formed by the rotation of a circle around its chord
Используя вышеупомянутую геометрическую интерпретацию особенностей описания возможных решений систе мы>1 у равнени й (4) относительно трех неизвестных значений длин боковы>1х ребер 11,02 101 33 треугольной пирамидыМ0ММ2М3 (см . рис. 1) , можно составить экви-13алентную системам уравне ний (4) и (5) систему трех уравнений относительно трех неизвестных координат х,у и х еочеи М0 (х, у, х) расположения ФЦ БПА, обеспечивающую возможность определения координат ФЦ БПА без необходимости определения длин боковых ребер 00 1, 00 н и 0 3 треугольной пирамиды. Для этого обозначим точками М>> (ху у у, х>) середины ребер МЩ о снования МаМвМъ треугольной пирамиды ММ1М2М3, координаты х>, у>> и х>> которых определяются в соотве тствии с со отношениями
x, +Х, yt+y< z..+z..
г \ У г У \ г
х.. =--; v.. =--; z.. = —
1\ ~ ' У 1\ r* ' «
(16)
где 1 < i < j < 3 .
Тогда систему трех уравнений относительно трех неизвестных координат x, y и z точки
М0 (x, y, z) расположения ФЦ БПА можно представить в виде
)2 2
(■ - —12 )2 + (У " У ) + (Z - У12 )2 " "Г" " ( ( — " —2 £ + (j - Уу )2 ) "l2 Ctg2 «12 = 0;
/
2 2 2 йР ■ - - (
(-—n) + (у-аг)+ (с-—+ —у -((—") +(j- j.) ))rta2= 0; .17)
\
( 2 2 . d2T\2 3 2 2 \
-—22) + (j У23 ) +( - -j^2 ) -2-4jLB1 - ((— - — В ) +(y - У23) )Ctg2 «22=°-
Для о преде ления областей простратств а, в которых совокупность расстояний Г j, Г2 и Г3 от ФЦ БПА до тре х радиоориентиров является однозначной, рассмотрим схему разме щения в
пространстве трех радиоориентиров и фазового центра БПА, приведенную на рис.1. Исходя из гео метриче ского представления задачи нахождения трех неизвестных значений длин боковых ребер A(, У2 и -¿И треегольной пирамиды ММММ^, можно утверждать, что если каждый угол aij боковой грани М/ММх больше соответствующего ему угла о с нов ания ММ М 1М j, 1 < М j < 3, то решение единственно, а проекция точки М0 (х, y, z) рас положения ФЦ БПА на плоскость треугольника MiM2M3 находится енутри треугольника основания MjM2M3. В случае, когда угол а-- (боковой2 грани ММ—// оаазывМе тся равным соответствующему ему .елу основания ^M^A/^Mj , уозникаут решение с нелевым ребром. При уменьшении угла аj боковой! грани М—АЦ (например, при вертикаль ном под ъеме БП А относитель но пло ско сти треугольн ика ММ2М3), в силу непрурывности, все значения б о ковых ребер в j , а2 и A3 -трэеу гольной пирамиды ММ1М2М3 являются нена левыми и п гложительными.
Особенности нахождения аналитического решения системы уравнений (4) относительно искомых значений псраметров A с С2 и A?^ продемонстрируем на основе частного случая, когда основание ММОУ треугольной пиромиды М—еХВоГТ (см. рис. 2/ аридставляет собой равносторонний треугольник со стороной О = П12 = 013 = 023. Заметим2 что испо/льзуемые при/ этом приемы в целом прМ м^ет/имм!»! и для общега с лучая. При условии оу = о£2 = Mi3 = и23 и замены переменных А, к ЪАА , Аз > cAj (слусАЙ Aj к (3 следует рассмотреть осдеиьно/ система ууавнениМ (4)
Ес ли разделить первое уравнеъае системы (18) на второе, далее из суммы первого и второго уравнения вычесть третье уравнение системы (18) и, наконец, результат поденить на первое уравнение системы (18), то относительно двух ннизвестиых пар—метрю в Ъ и с получнм следующую систему из двух уаавненив:
Из второго уравнения системы уравнений (19) выразим параметр с через неизвестный паргметр Ъ (случай b = ±1 требует отдельного рассматрения), подставим полгченное соотно -шение в ппрвое уравнение системы уравнений (19) и относительно неизвестного параметра b получим уравнение
Для уравнения (220)) значения угла а23, при которых сова,, = —, являются особыми. При
2
таких значениях угла а23 порядок уравнения (220) понижается с четырех до трех. Кроме того, значения корня I) = ±1 приводят к дру г им частным случсям. Эти обстоятельства не позволяют в общем случае использов=ть у равнение (20) для численного решения исходной системы у равне-
примет вид
' 21(l- 2bcosar12+b2) = d2; < 2l(l - 2с cos cs13 + c 2 ) = d2; 22 (c2 - 2bccoic223 + b2) = <22
(18S
(19)
(20)
ний (18), поскольку при приближении к вышеупомянутым вырожденным случаям нарушается устойчивость искомых решений.
Следует отметить, что можно существенно упростить решение системы уравнений (5) путем введения локальной системы координат (ЛСК) Ел = {О'', X", Y", Z"}, представляющей собой левую пространственную прямоугольную декартовую систему координат, начало О" которой находится в точке пересечения медиан основания М1М2М3 треугольной пирамиды М(М1М2М3, координаты хО», Уо" и гО» которой в НЗСК Енз = {О, X, Y, Z} определяются соотношениями ось абсцисс О "X" которой, находящаяся в плоскости основания М1М2М3 треугольной пирамиды ММММз, проходит через точку И— размещения первого радиоориентира" ось аппликат O"Z" которой! перпендикулярна плоскости основания МцМ2Мз с положительным направлением, образующим" острый у гол с осью аппликат OZ НЗСК Енз = {О, X, 0, а ось ординат О "У" которой, находящаяся в плосиости основания М'МиИ треуголиной пнрамидыМММйВЧ, дополняет сиз стему до левой пространственной прямоугольной декартовой системы координат.
ей -о хз о ох у о уз о у3 - о -- о- и3
Хх - -3-2-; уО - ^-:33—-О„ - -3-3 . (21)
° 3 3 а 3
Пусть гО» = (хОН Но"з -О" - радиус-веотхр точки О " в НЗСК Енз = "О, X, Y- Z0, а вактор нормали п к плоскости треугольнич—М][М2М3 определяется следящим образом:
n = (r2-ri)x(r3-ri) =
S нз1 Srn2 S нз3
(22)
хзд н- Узд у - 3 д
"а двв е- -0 .у- о - ■
где ¡нз1 = (1,0,0), ¡нз2 = (0з1,У)" ¡н- = (0,—1) - единичные оркы в НЗСК. Если угол между положительными направлениями вектора нормали п и единичного орта онз3 ире—ышает 90-, то есть для скалярного произведения выполеяеття соотношение п • ¡нз3 < (С, то вектор п заменяется на -п.
Определим едикичные орты ¡лу и ¡л3 Л(ДЬС Ел = {О", .X", У", Z"} в виде следующих соотношен—й:
У, - Уу "-- X ¡"л,- 10
ол! -г-—О; о^з -","" д3|;= п- (23)
н-гто у^ч-: м
Отметим, что порядок сомножителей в вегторохм пмррхтиз^в^^дС^езш-ии: ¡о3 " ¡л3, определяющем в соответствии с ("0) единичный орт ¡л2, еыбран таким образом, чтобы упорядоченная совокупность единичных ортов ¡л2 и ¡л3 ЛСК Ел = {О'', ХО", Н", Z"} образовывала левую тройку векторов.
Пусть г - радиус вектор точки М0 расположения Ф1- БПА, имеющ—й координаты (к, н, -) в НЗСК и ноординаты (н", д", е") в ЛНК. Тогда"("учетом (21)-(23) справедливо векторное соотношение
0 = -" 3х 0 нз з т -"Снз3 = О- "" "Ч- -) Н"з1 л Х Н 2'"л 3' <"
Из векторного соот—ошендя (022 ¿С)) с —четом (21—23) можно пхлучитт снедующин соосноше-ния для опредзлянио кохрдипат (х, х, г- точки М0 в НУ^ССК по полгученным (злданным) значениям координат (н", у", г") этой же тозчки в ЛСКз
x ~~ ^O" + x" (s- Sю ! )+y" (
y^--'- --sj + y +
Sл2 ' SH3l
Sj2 ' SH32
SJ2 ' SH33
) +1( M
)«s л
Sj3 ' S H3l
Sj3 ' SH32/>
(25)
Sл3 ' SH33 Ь
и следующие соотношения для определения координат (х'Ву", о1') точки М0 в ЛСК по полученным (заданным) значениям координат (о, у, о) этой же точки в НЗСК :
= ("""- ) )( • Ч1 ) и (У — У о» ) ( • 8 л,!) о "0 " ""]))) • 8л1; С" и ("- Хо")(3-1 • ""2 2 - "( - Уо" ) ("зО 3 8Л2) - ( " И(з 1 вл2 )• (26) 1 (О и ( " •о^))(Л1)31 -Чз))"- — лз ) 33 ( -3 О" )((з 1 3лз )•
Пространственное положение точек А) размещения ¿-х радиоориентидов в вышеупомянутой ЛСК Ел = {О" X", У'" 2"" оурактеризовать ^-^у^с^^^ехйзтго^^и^:) "у (в", у" 0), находящимися в плосуости основания МА)- треугол:ы1Ю]]В пирамуды M(MЛЫ2M3, где ¿ = 1,(,3. Тогда с учетом (25) и (26) и определенности выбора положительного ноправления оси абсц(сс 0"Х'] ЛСК Ел = {О", X", И", .О-"}, проходящего через точку М» размещения пер(ого родлоорл(н-тира, при котором ув' " (", систем( уравнений (") для неизвестногх координат х", -'' и )'' точки М0 (за", у", о ") ранположения ФЦ БПА в ЛСК Ел = {О"» X", 7", 2"} может быть представлена в вид)
Ч 2 / »\2 / »\ 2
(-r -х+) - + (/)2 + (- s )2-(2 s
(xL-X-^-X/- )2 + (а ()2 = а22;
(27)
При этом сиcтема¡ )з двух ураонений относительно неизвестных значений координат х" и у" точки М2 расположения (ВЦ" БПА в ЛСК Ел = ЛО'В У"'', 7"- 2'", пооученная аналогичным образом, как и система уравнений (6), с учетом) (27) мож)т быть пред(таолена в виде
2r=(<-2) - 2— - 2) - 22;+ )<)2 - (r) " (lO; - О - 201 - £2 - 2 2+ )(2 - (r))2 - (g2)2.
(28)
Согласно правилу Крамера решение системы уравнегшй (28) относительно координат х" и у" точки M2 расположения <1)1+ БПА у JKJHia, в отл-чие от (73 не зависящее от неизвестного значения координаты z" определяется соотношениям и
r -
Ал -2g2'
в, -i
ttf-r)) A
2(;- r) Bj
где
2(((вx'r)-yg(-r)fy 2№- x30-g3(^T-A))
Ал ^ " - 22 a (х-)2 - - ( giH)2, B3 - 23-2 2 a (xH')2 - (x3')2 - (g33)2.
Из первого уравнения системы (27) с учетом полученных в соответствии с (29) значений x" и y" неизвестное значение координаты z" точки M0 (x", y'', z") расположения ФЦ БПА в ЛСК £л = {O", X", Y", Z"} определяется в соответствии с соотношением
2т2]- 2х"-22? )2< (3°)
Определение координат (в, y, z) точки M0 в ИЗСК Енз = {O, X, Y, Z} по полученным в соответствии с (29) и (30) значениям 120ординат (x", у", z") этой ж2 точки в ЛСК £л = {O", X'', Y'', Z''} осуществляется в соответствии с соотношением (-5).
(Способы определения дальности до радиоориентиров по результатам их азиму-тально-угломестного радиопеленгования. Решение системы уравнений (4) относительно неизвестных значений длин О, , 02 и £3 боковых ребер) треугольной пирамиды M0M1M2M3 (см. рис. 1), соответствующих дально стям от БПА до радиоориентиров, с помощью прямых аналитических методов, как было скасано ранее, сводится к поиску корней многочлена четвертой степени, один из вариантов которого определяется соотношением (20). Коэффициент при старшей степени может быть малым или даже вырождаться, что является причиной не-устойчивос ти поисиа кнрной вышеу помянутого многочлена. Поэтому боле е удобным с практической точки зрения представ ляется применение приближенного метода решения. Будем использовать метод Ньютона для нелинейных систем [20]. Этот мет од наиболее эффективен в случае, когда имеется априорно известное начальное приближение для искомо го ре шения. Обратная матрица, вознииающая при реализации метода Ньютона, выписывается явно. Нет никаких других опураций над данными, кр о ме арифметических, по скольку значен ия cos a.j вычисляют в соответстнии с соотношением "2) один раз по розульчатам измерений азимутов ai и углов ме ста е, при одновременном азим"тально2у гломе стном рад иопеленговании ,-х радиоориентиров с использоцанием БПА. Для получения тре бткемой точкокти вычислений искомых значений длин -, , £1) и £3 до статочно сделачь 5-6 итераций. Это обеспечивает проведение расчето в в режиме реа льно го врема ни. Решенке системы ура2нен ок (4), как быоо рун ее отмечено, не является однозначным. Вместе с тем в условиях наличия априорно известной информации о ранее упомянутых закономерностях и усновиях возндкновения пармзитных решений можно заранее рассчитать рекомендуемые области размещения БПА относительно радиоориентиров, чтобы ме тод Иьютона при решении системы уравнений (4) относительно неизвестных значений пар) аме тров £ 3, £2 и £3 сходился к истинным значениям искомых параметров.
Для решения системы ур-внений (4-2) методом Ньютона представим ее в векторной форме с использованием вектора F(L) в виде соотношения
2f XL) ï 'а ?о-У"е -У^ООПа," ■еДДН.^ -0Н
F 2L ) = О 0 ) = а У" О 0\ -У)£2C002H- = 0 н 3зн)
2f(2l )J 22 о0( \е " ( 0 оч ( ООП22( -d" Н"3 --н
где L = ЦУ,, У", У3)т - вектор-столбец неозвостных параметров 20 ч2 и £3; , = ^(L), F2 = F2(L) и F3 = F3(L) - компоненты вектор-столбцо F(L), мадовчемые в соооветмтвии с системо- -равнений (4).
Обозначим через DF(L) квадратную матрицу размера 3 х 3, элементами которой являются
dF.
частные производные —'- (где i = 1,2,3; j = 1,2,3) компонент Ft вектор-столбца F(L), определя-
д-,.
емую с учетом (31) со от ношением
DF (L ) = 2
(_ -2 0o-K( 2 -х _-3 cos «J 3
32 -31 cos«12
J 2 J 3 С 02S О-233
)3 -2^c;os3;-13
3 3 -^2 COS«—232
(32)
Кроме того, об означим чорез ]Ш) о (-(в) -(в) -3™) )т в ектор - столбец параметров ц"', v) и -3"), соответствующих е-й итерации решения системы уровеений (4)) методом Ньютона, где ез = 2, 1,2,... - порядковый номер стерации Тогда вестор-столбец L(l1) о (-D+13 LK+X), Т(3"1+1)) дальностей от БПА до р^;адио о^иис^нтирреовЕ! - 1")Н_1), - ) и - З"11), определяемых на (( к 1)-й итерации решения системы уравнений (4) методом Ньютона -220], с очетом (31) и (32Ц определяется соотношением
- (ета() _т (т)
а lk)))_1fkcC) 3
(33)
где (I)F(L(eT) i - маореца( с- Sj-jbthc-^ ом;а'тр:-еоц^ DF(L (К сooттетств( ющей у-й итереции решения системы уравшений )4)( oпреденяемая с учетом (-2) соотношение
(DF(L( _))_3
-
(j- ег)П03^в) уу( 1") _ у— )в)уoMе)D1 е)
С у^в-уу—ео
ТУ (к) TСTеl Ш 3 _2
-к_(к(е)
«(в) ))_ Л2 ^ 6
_у (L ТС (ев)
D 1 6
-■I е<КНе) 2*
-у(е ) в) Л1 "¿4
ам6Кк2
(346)
где
.уШ о ^^ к - к о™ o_PD12 е У о- ТОб"- 1- КЗ)- 1 <)lc(:^ ^ )
LM = 2 _ 1""1 -з ом з^1 К1' о 2УЩ0 D 2Це) c^^s«3;
К]"1 у 21а(2в^ - 24(3К соз Dl L(L цц 2у)l)3') - 2 -(Ш о-- К
При условии, что проекция ФЦ БПА н- плосксть основания МвММ3 треугольной пи-рьмиды MMMM" наоодится вну три треугольника M1MM3 и априорной неопределенности посожения ФЦ БПА относительно радиоориеетиров, в качестве «нулевок» итерации K = 0) однозначного решения! с истемы ураонениу (¿4) ме-оодом можу выбрать , наприсзер,
веетор-столбец L(M о(2l((а0(-((3 -_) дтоьнoстзй от 'то^чии- O' 3 п2ресечения ке_иан осннзования Mi—2М3 треугольной пирамиды М20р1М2Мз доточео [-^i (хь go zj), M2 ^:r2, g2,3)2) и M3 (x3 g3, z3) размещения радиоориентиров, компоненты 3 К котррого с; учетом )2I) определяются сooтнoо шенеем
уlз ) о -Tзпi-кт 2 < (У'-У11 - )2i ( -'_-к2
(35)
где i = 1,2,3.
В последующем при периодически осуществляемом азимуталонo-у гломестном радиопеленговании i-х радиоориентиров с использование м БПА и определением соответствующих i-м радиоориентирам азимцтов а р и }'I)лo^ м2е;стт г- о качества «)))у лт^вой»» итерации (в = 2) одно- 334 -
значного решения системы уравнений (4) методом Ньютона в соответствии с соотношением (33) выбирается вектор-столбец L =( 12,13)т дальностей от ФЦ БПА до точек М^хьуь-О, М2(х2,у2—) и М3(х3,у3,-3) размещения радиоориентиров, полученных по результатам предыду-щегоизмеренияазимМтов а, и углов места е, радиоориентиров.
Необходимо отметить, что при достижении определенной (критической) высоты h размещения ФЦ БПА относительно плоскости основания М1М2М3 треугольной пирамиды М0М1М2М3 (см. рос. 1), зависящей от радиуса R окружности, описанной вокруг треугольника ДМ1М2М3, если проекция ФЦ БПА на плоскость основанияМ1М2М3 треугольной пирамидына-ходится внутри треугольника ДМММз, появляется второе (ложное) решение системы уравнений (4), соответствующее расположению ФЦ БПА в од ной из вершин треу гольника ДМ1М2М3 (одно дз значений длин боковых ребер £ 1 , £2 и £ 3 треугольной пирамидыМ0М1М2М3 становится равным нулю). При дальнейшем увеличении высоты размещения ФЦ БПА относительно плоскости основания М1М2М3 треугольной пирамиды М0М1М2М3 вышеупомянутое ложное решение сиетемы уравнений (4) определяет положение ФЦ БПА, при котором высота размещения ФЦ БПА относительно плоскости основания М1М2М3 увеличивается, а проекция ФЦ БПА на плоскость основания М1М2М3 треугольной! пирамиды М(М1МУ3 находится вне треугольника ДМ1М2М3 и удаляется от вышеупомянутой вершины треугольника ДМ1М2М3. При достижении следующих критических высот появляются втород и третье андло-ичные ложные решения системы уравнений (4), соответствующие положениям ФЦ БПА вблизи двух других вершин треугольника ДМ1М2М3. При определенных симметриях вышеупомянутые ложные решения системы уравнений (4) могут появляться псрой или даже тройаой. Это зависит от конфигурации треугольника ДМ1.М2М3, лежащего в основании треугольной пирамиды Mу1Mу3, и траектории движения БПА.
Необходимо отметить, что возможность однсзначного решения аистемы уравнений (4) существует также и в случае, когда проекция ФЦ БПА нн плоскость основания М1М2М3 треугольной пирамиды М0М1М2М3 находится вне треугольника ДАДМ2М3. Структура ложных решений системы уравнений (4), соответственно, также перестраивается. Задача полного описания решений системы уравнений (4) для всех возможных случаев представляется сложной и вряд ли реализуемой в наглядной и удобной для практического использования форме. Гораздо проще проводить расчеты по методике, предложенной выше, для заданной конфигурации размещения радиоориентиров и возможных траекторий движения БПА.
Одним из других способов устранения неоднозначности решания системы уравнений (4) является использование результатов азимутально-угломестного радио пеленгования дополнительного четвертого радиоориентира. Размещение четвертого радиоориентира хх произвольном положении относительно основания МУУз треугольной пирамиды МУУУ3 приводит к переопределенной системе уравнений относительно расстояний от ФЦ БПА до радиоориет-ниров. Фактически вместо одного треугольника в основании М1 М2М3 треугольной пирамиды МУ1МУ3 при добавлении четвертого радиоорие нтира мо жно сформи ровать четыре треугольника. То есть можно определять неоднозначные решения от двух до четырех систем уравнений, аналогичных системе уравнений (4), и выбирать в качестве однозначного совместные решения. Однако с учетом погрешностей азимутальна-угломестного радиопеленгования радиоориентиров этот вариант требует отдельного исследования. Вместе с тем, если дополнительный (чет- 305 -
вертый) радиоориентир будет рас;полагаться на одном из ребер основания M0M2M3 треугольной пирамиды M—з, то исходная задача однозначного решения системы у равнений (4) значительно упрощнется - решение становится единственным и определяется в виде аналитичезких с оотношен ий.
Бе з ограничзния общности буде м счизать, что точкз M4(B4,=4,g4) с заданны ми изве ст-ными координатами в4, y4 и z4 размещена но ребре M\M2 основания M1M2M3 треугольной пир амиды M— что поясняется ^^ тоие к M0, Mb M2, M3 и M4 размещения в пространстве со ответствен но фазового центра БПА и первого, вто ро го, т ретье го и четв ерто. го радиоорие нт ир ов, привздзнно й на рис:;. 3, где кромis ранее приведенных обозначен ий обозначено: ш14 с AMgM0M4 - плоский угол при велшине M0 между боковыми ребрами MM и M0M4 треуго льной пиратиды M—3M; ш24 с ZM2MqM4 - плооский угол при вершине M0 между боковы ми ребрами MTMr и MYM4 зреу го 2ьньй пирам иды M0M2M3M4; у = ZMqM4Mj -е тгол с верш иной в точте M4 междт о трезками линий M4M0 и M4Mb размещенными на боковой грани M0AciM2 треугольной пзрамиды М—ъ. Введем также обозначения отрезков Д14 = M1M4 и Д22 = M2M4 ре44ра M1Ma основания MiM2M3 треугольной пирамиды MT^—s.
Так кьо а2р(с - ф) = si пф, то из тре(гольндков M—1 и MM4M2 по теореме синусов можно
Д]4 П ] Д24 П ?
получить равенс твк--— с —]— и-21— л —°а, из которых получаем следующее соотно-
ainœ14 ainy aina24 ainy
шение:
К ( ain<Y(]4 К 2 ainT.^ ( ]4 - 2 24. = ain]. (36)
Д] 4 Д24
Введем обозначение
Д 24к in ш Д]4а i n <ш
Тогда с учетом (36) и (37) ползаем
р = 24 (37)
Д]4а i n ш 24
Mo
Рис. 3. Схема размещения в пространстве четырех радиоориентиров и фазового центра БПА Fig. 3. Spatial layout of four radio reference points and the onboard DF antenna phase center
- 306 -
= РМ- (38)
В соответствии с теоремой косинусов для треугол1>ника АМММ2 (см. рис. 1) получаем соотношение
£1 -у 2У/2 С03У^12 + у2 = ¿4. (39)
Из соотношения (39) с у четом (37) и (38) полу чаем следующую формулу для определения длины ребра £ 1 (см. рис. 1):
1 1=°1-£-• • (40)
14 1 — :2/:>со;^<уг12 + р
С использованием вычисленных по формулам (40) и (38) значений длин боковых ребер соответственно (1 и ( 2 треугол—ной пирамиды ММММз (см. рис. 1) для определения длины бокового ребра (3 треуго льной пиромиды2рАуМ2М3 в системе уравнений (4) из третьего уравнения вычтем гторое, в результате чего получаем следующее соотношение:
3 - 3 2 "О d-\ 3
'3
33 = . 1 22 23 13 . . (41)
2(а c;osу^13 — С2о^У23)
Анализ результ атов исследования. Обоснование предложенных алгоритмов однозначного определения координат и угловой ориеутации БПА, {размещенной на подвижном объекте, по результатам азимутально-угйоместного радиопелгнгования минимально возможного числа радиоориентиров, равного трем, связано в первую оче редь с необходимостью упрощения реализации размещения в орострунстве системы ради.ориентиров. При определении координат и угловой ориентации БПА, раамещенной на подвижном объекте, по результатам азимутально-угломестного радиопеленгования более чем трех радиоориентиров в общем случае точность определения координат и угловой ориентации БПА повышается. Однако привлечение дополнительных радиоориентиров при решении по ставленной задаче приводит к необходимости рассмотрения переопределенных несовместных нели2ейных систем, что существенно усложняет поиск однозначного их решения относительно искомых параметров.
Покажем, что небольшие погрешности измерений не приводят к несовместности системы уравнений (4). Это об стоятельство о казывается су щественным, поскольку поставленнию задачу решают в рамках детерминйрованной модели. Следовательно, можно обойтисн без функционала ошибок, построение и изучение свойств которого в случае нелинейных систен является предметом дополнительного исследования. Для этого воспользуемся результатами, изложенными в пункте «Математические особ)енности определения пространственного положения БПА». На поверхности «закрытого» тора (см. рис. 2) один из плоских углов а12, а13 или а23 при верши2е йМ0 треугольной пирам иды М0М1уу2М3 (см. рис;. 1)) оказывается постоянным. Если перемещаться по линии пересечения двух таких ««закрытых» торов, то два плоских угла при вершине М0 треугольной пирамиды М0М1М2М3 остаются постоянными, а третий меняется. Следоват ельно, им«ется возможно сть построения пирам иды .ММ1М2М3, соответствующей данным измерений плоских углов а12, а13 или а23 с малым и погре шностя-ми путем поочередного изменения на небольшую величину измеряемых знпчений всех трех углов а12, а13 или а23 при вершине М0 треугольной пирамиды ММММъ. Следовательно, си- 307 -
стема уравнений (4) остается совместной, и для ее решения не требуется строить функционал ошибок.
Когда число радиоориентиров больше трех и никакие три из них не находятся на одной прямой, с учетом полученных результатов исследования может быть предложена следующая процедура однозначного определения координат и угловой ориентации БПА, размещенной на подвижном объекте, по результатам азимутально-угломестного радиопеленгования радиоориентиров: во-первых, выбирют несколько троек радиоориентиров; во-вторых, для каждой выбранной тройки радиоориентиров решают систему уравнений (4) рассмотренными способами; в-третьих, полученные решения согласуют с помощью метода наименьших квадратов или простым усреднением. Построение процедуры «отбраковки» ложных решений, основанной на использовании дополнительной информации при одновременном азимутально-угломест-ном радиопеленговании более чем трех чисел радиоориентиров, требует дополнительного исследования. Более продуктивным выглядит подход, когда из имеющихся радиоориентиров в каждый момент времени для проведения измерений выбирают тройку радиоориентиров, пространственное положение которой относительно ФЦ БПА обеспечивает наибольшую точность измерений. При этом критерии оптимальности выбора тройки радиоориентиров следует формировать с учетом устойчивости проводимых расчетов.
Для однозначного определения координат и угловой ориентации бортовой пеленгаторной антенны, размещенной на подвижном объекте, по результатам азимутально-угломестного радиопеленгования радиоориентиров предложена четырехэтапная процедура, включающая, во-первых, нахождение совокупности расстояний от фазового центра БПА до радиоориентиров; во-вторых, определение областей пространства, в которых совокупность расстояний от фазового центра БПА до радиоориентиров является однозначной; в-третьих, определение координат фазового центра БПА; в-четвертых, нахождение матрицы вращения и связанных с нею углов Эйлера, определяющих угловую ориентацию в пространстве БПА. Решение задачи нахождения совокупности расстояний от фазового центра БПА до радиоориентиров угломерным методом имеет сложную структуру. Аналитические методы определения совокупности расстояний от фазового центра БПА до радиоориентиров по результатам их азимутально-угломестного радиопеленгования с борта подвижного объекта возможны, но приводят к уравнениям высоких степеней с возможным вырождением порядков уравнений, что означает неустойчивость прямых методов их решения. По-видимому, возможно применение методов регуляризации, но это требует дополнительного математического обоснования. Поэтому предложен устойчивый численный метод решения задачи нахождения совокупности расстояний от фазового центра БПА до радиоориентиров угломерным методом, позволяющий в случае осуществления периодического азимутально-угломестного радиопеленгования с борта подвижного объекта трех радиоориентиров, расположенных в вершинах треугольника, однозначно определять координаты и угловую ориентацию бортовой пеленгаторной антенны, размещенной на подвижном объекте. Предложен вариант размещения в пространстве четырех радиоориентиров, три из них расположены на одной прямой, при котором решение задачи нахождения совокупности расстояний от фазового центра БПА до радиоориентиров на основе использования результатов их азимутально-угломестного радиопеленгования с борта подвижного объекта является единственным и определяется в виде аналитических соотношений.
Список литературы / References
[1] Яценков В.С. Основы спутниковой навигации. Система GPSNAVSTAR и ГЛОНАСС. М.: Горячая линия - Телеком, 2005. 272 с. [Yatsenkov V.S. Basics of satellite navigation. GPS, NAVSTAR and GLONASSSystems. Moscow: Goryachaya liniya - Telekom. 2005. 272 p. (in Russian)].
[2] Тяпкин В.Н., Гарин Е.Н. Методы определения навигационных параметров подвижных средств с использованием спутниковой радионавигационной системы ГЛОНАСС: монография. Красноярск: Сибирский федеральный университет, 2012. 260 с. [Tyapkin V.N., Garin E.N. Methods for determining the navigation parameters of moving objects using the GLONASS satellite radio navigation system: monograph. Krasnoyarsk: SFU. 2012. 260 p. (in Russian)].
[3] Пестряков В.Б. Радионавигационные угломерные системы. М.-Л.: Госэнергоиздат, 1955. 304 с. [Pestryakov V.B. Radio navigation angle measuring systems. M.-L.: Gosenergoizdat, 1955. 304 p. (in Russian)].
[4] Перов А.И., Харисов В.Н. ГЛОНАСС. Принципы построения и функционирования. 4-е, перераб. и доп. изд-е. М.: Радиотехника, 2010. 800 с. [Perov A.I., Kharisov V.N. GLONASS. Principles of construction and operation. Ed. 4th, rev. and add. M.: Radiotekhnika. 2010. 800 p. (in Russian)].
[5] Корнев В.В., Чмутин Н.Ф. Определение пространственной ориентации объекта в среде глобальных радионавигационных спутниковых систем. Ракетно-космическое приборостроение и информационные технологии. 2016. Сборник трудов VIII Всероссийской научно-технической конференции «Актуальные проблемы ракетно-космического приборостроения и информационных технологий» (1-3 июня 2016 г.). Под ред. д.т.н., профессора А.А. Романова. М.: АО РКС, 2016, с. 52-69. [Kornev V.V., Chmutin N.F. Determination of spatial orientation of an object by global radio navigation satellite. Rocket and Space Engineering and Information technologies. Proceedings of VIII all-Russian scientific-technical Conf. "Topical issues of Rocket and Space Engineering and Information technologies". (1-3 June 2016). Edited by Professor Romanov A.A. M.: AO RKS, 2016. 52-69. (in Russian)].
[6] Белавин О.В. Основы радионавигации. Изд. 2-е, перераб. и доп. М.: Сов. радио, 1977. 320 с. [Belavin O.V. The basics of radio navigation. Ed. 2nd rev. M.: Sov. radio, 1977. 320 p. (in Russian)].
[7] Беляевский Л.С., Новиков В.С., Олянюк П.В. Основы радионавигации. М.: Транспорт, 1982. 288 с. [Belyayevskiy L.S., Novikov V.S., Olyanyuk P.V. The basics of radio navigation. M.: Transport, 1982. 288 p. (in Russian)].
[8] Ярлыков М.С. Статистическая теория радионавигации. М.: Радио и связь, 1985. 344 с. [Yarlykov M.S. Statistical theory of radio navigation. M.: Radio i svyaz, 1985. 344 p. (in Russian)].
[9] Сосулин Ю.Г. Теоретические основы радиолокации и радионавигации. М.: Радио и связь, 1992. 304 с. [Sosulin Yu.G. Theoretical Foundations of Radar and Radio Navigation. M.: Radio i svyaz, 1992. 304 p. (in Russian)].
[10] Бакулев П.А., Сосновский А.А. Радиолокационные и радионавигационные системы: М.: Радио и связь, 1994. 296 с. [Bakulev P.A. Sosnovskiy A.A. Radar and radio navigation systems. M.: Radio i svyaz, 1994. 296 p. (in Russian)].
[11] Бранец В.Н., Шмыглевский И.П. Введение в теорию бесплатформенных инерциальных навигационных систем. М.: Наука, 1992. 280 с. [Branets V.N.. Shmyglevskiy I.P. Introduction to the theory of strapdown inertial guidance and navigation systems. M.: Nauka, 1992. 280 p. (in Russian)].
[12] Алешин Б.С., Веремеенко К.К., Черноморский А.И. Ориентация и навигация подвижных объектов: современные информационные технологии. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2226. 424 с. [Aleshin B.S., Veremeyenko K.K., Chernomorskiy A.I. Orientation an2navigation of coving objects: co2ern information technology. M.: FIZMATLIT, 2226. 424 p. (in Russian)].
[13] Виноградов А.Д., Востров А.Ю., Дмитриев И.С. Оценивание пространственной ориентации подвижного объекта по показаниям ортогональных акселерометра и магнитометра. Успехи современной радиоэлектроники, 2216, 7, 35-45 [Vinogradov A.D., Vostrov A.Yu., Dmitri-yev I.S. Estimation of the spatial orientation of a moving object according to the readings of an orthogonal accelerometer and magnetometer. Achievements of colern ralioelectronics, 2216, 7, 35-45 (in Russian)].
[14] Чаплыгин А.А., Семенов Н.Н., Лукьянчиков В.Д., Медведев А.Б. Использование бортовых навигационных комплексов для решения задач в различных радиотехнических приложениях. Антенны, 2214, 9(228), 42-56 [Chaplygin A.A., Semenov N.N., Lukianchikov V.D., Medvedev A.B. Using on-board navigation systems to solve problems in various radio engineering applications. Antennas, 2214, 9(228), 42-56 (in Russian)].
[15] ГОСТ 22268-76 Геодезия. Термины и определения. M.: Издательство стандартов, 1977. 34 с. [GOST 22268-76 Geodesy. Terms and definitions. M.: Izdatelstvo standartov, 1977. 34 p. (in Russian)].
[16] Виноградов А.Д., Востров А.Ю., Дмитриев И.С. Обобщенная структура радиопеленгатора и основные термины, используемые в теории радиопеленгования. Антенны, 2218, 5(249), 5-22 [Vinogradov A.D.. Vostrov A.Yu.. Dmitriyev I.S. Generalized structure of the direction finder and basic terms used in the theory of radio direction finding. Antennas, 2218, 5(249), 5-22 (in Russian)].
[17] Ишлинский А.Ю. Ориентация, гироскопы и инерциальная навигация. М.: Наука, 1976. 622 с. [Ishlinskiy A.Yu. Orientation, gyroscopes an2inertial navigation. M.: Nauka, 1976. 622 p. (in Russian)].
[18] ГОСТ Р 51794-2228. Глобальные навигационные спутниковые системы. Системы координат. Методы преобразования координат определяемых точек. M.: Стандартинформ, 2229. 16 с. [GOST R 51794-2228. Global navigation satellite systems. Coordinate systems. Methods for transforming coordinates of defined points. M.: Standartinform, 2229. 16 p. (in Russian)].
[19] ГОСТ 22258-82 Динамика летательных аппаратов в атмосфере. Термины, определения и обозначения. M.: Издательство стандартов, 1981. 56 с. [GOST 22258-82 The dynamics of aircraft in the atmosphere. Terms, definitions and designations. M.: Izdatelstvo standartov, 1981. 56 p. (in Russian)].
[22] Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.Г. Численные методы. Изд-е 8. М.: Лаборатория Базовых Знаний, 2222. 636 с. [Bakhvalov N.S., Zhidkov N.P., Kobelkov G.G. Numerical cethols. Ed. 8th. M.: Laboratoriya Bazovykh Znaniy, 2222. 636 p. (in Russian)].
