CC BY
31
ИРКУТСКИМ государственный университет путей сообщения
6. Пухначев В. В. Точные решения уравнений движения несжимаемой вязкоупругой среды Максвелла // ПМТФ. 2008. Вып. 3. С. 35-41.
7. Вязьмина Е.А., Полянин А.Д. Новые классы точных решений нелинейных диффузионно-кинетических уравнений и систем общего вида // Теоретические основы химической технологии. 2006. Т. 40. № 6. С. 595-603.
8. Ибрагимов Н.Х., Руденко О.В. Принцип априорного использования симметрий в теории нелинейных волн // Акустический журнал. 2004. Т. 50, № 4. С. 1-15.
9. Рудых Г.А., Семёнов Э.И. О новых точных решениях одномерного уравнения нелинейной диффузии с источником (стоком) // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1998. Т. 38. № 6. С. 971-981.
10. Семенов Э.И. Свойства уравнения быстрой диффузии и его многомерные точные решения // Сибирский математический журнал. 2003. Т. 44. № 4. С. 862-869.
11. Семенов Э.И. О новых точных решениях неавтономного уравнения Лиувилля // Сибирский математический журнал. 2008. Т. 49. № 1. С. 207-217.
УДК534.01; 622.24.053; 666.97.033 Белокобыльский Сергей Владимирович,
д. т. н., профессор, ректор БрГУ, e-mail: rector@brstu.ru Коронатов Виктор Александрович, к. ф.-м. н., доцент кафедры «Теоретическая и прикладная механика», БрГУ, e-mail: kortavik@mail.ru
Герасимов Сергей Николаевич,
к. т. н., доцент кафедры «Подъемно-транспортные, строительные, дорожные машины и оборудование», БрГУ,
e-mail: sdm_gerasimov@rambler. ru
ДЕТЕРМИНИРОВАННЫЙ ХАОС ДИСКОВОЙ ЗАГЛАЖИВАЮЩЕЙ МАШИНЫ ПРИ КУЛОНОВОМ ТРЕНИИ
S. V. Belokobylsky, V. A. Koronatov, S. N. Gerasimov
DETERMINISTIC CHAOS DISK OF A SMOOTHING MACHINE AT COULOMB FRICTION
Аннотация. Путем численного интегрирования дифференциальных уравнений описывался переходной режим автоколебаний динамической модели дисковой заглаживающей машины. Изучался релаксационный режим, когда на периоде фрикционных крутильных автоколебаний скольжение диска чередуется с длительными остановками (заклиниванием) за счет влияния скачкообразной характеристики сил сухого трения. При этом на этапе проскальзывания допускались возможности мгновенной смены направления вращения диска (перескоки). Данная неавтономная динамическая система приводится к автономной путем ввода дополнительной переменной. Строятся фазовые траектории в трехмерном пространстве и в проекции на плоскость. Результаты численного счета показали, что в зависимости от параметров системы при сделанных допущениях дисковая заглаживающая машина может входить либо в устойчивый периодический режим автоколебаний, либо в режим детерминированного хаоса. В первом случае в фазовом пространстве областью притяжения фазовых траекторий является регулярный аттрактор, а во втором - странный аттрактор. Получена новая динамическая модель, приводящая к возникновению детерминированного хаоса.
Ключевые слова: автоколебания, фрикционные, крутильные, релаксационный, переходной режим, силы сухого трения, скачкообразная характеристика сил трения, кулоново трение, одномассовая модель, регулярный, аттрактор, детерминированный хаос, фазовые траектории, фазовое пространство, дисковая заглаживающая машина.
Abstract. By numerical integration of differential equations the disk smoothing machine dynamic model self-oscillation transition mode was described. The relaxation mode when disk sliding alternates long stops (seizure) on a period of frictional torsional self-oscillations by the influence of dry friction forces hopping characteristic was studied. With that step of slip allowed the possibility of instantaneous change in the direction of rotation of the disk (jumps). This non-autonomous dynamical system is reduced to battery by entering additional variable. We construct the phase trajectories in three-dimensional space and projected onto the plane. The results of numerical calculations have shown that, depending on the system parameters under the assumptions made disk trowel machine can either go into stable periodic regime of self-oscillations or mode of deterministic chaos. In the first case, in the phase space the region of attraction of the phase trajectories is a regular attractor, while in the second - a strange attractor. We obtain a new dynamic model, which leads to the appearance of deterministic chaos.
Keywords: self-oscillation, frictional, torsional, relaxation, transition mode, dry friction force, friction force hopping characteristic, Coulomb friction, single-mass model, regular attractor, deterministic chaos, phase trajectories, phase space, disk smoothing machine.
Современные технологии. Математика. Механика и машиностроение
Введение
В последнее время повышенное внимание привлекают динамические системы, при работе которых возникает детерминированный хаос. У таких систем малое изменение начальных условий приводит к сильному изменению решений дифференциальных уравнений движения на достаточно большом промежутке времени. Такое часто происходит при описании реальных систем, поскольку обычно начальные условия задаются с некоторой погрешностью. Поведение динамической системы становится непредсказуемым, т. е. проявляется детерминированный хаос. Далеко не всякая динамическая система обладает такими свойствами. Поэтому обнаружение новых таких систем вызывает определенный интерес.
Описание модели
Работа дисковой заглаживающей машины [1, 3, 4] моделируется одномассовой системой при наличии прижимного вибрационного воздействия Н 8т(^) на рабочий орган (диск) и сил вязкого, а также сухого трения со стороны обрабатываемой поверхности бетонной смеси (см. рис. 1).
Ю
С
Hsin v t ф
/ / /
Рис. 1. Динамическая модель дисковой заглаживающей машины
Вращение рабочего органа с постоянной угловой скоростью ю сообщается посредством упругой связи жесткости с от двигателя неограниченной мощности. Предполагается, что коэффициент сил трения скольжения к имеет скачкообразную характеристику зависимости от угловой скорости вращения (кулоново трение) (см. рис. 2):
к =
, drn drn Л к0 sgn-, при-Ф 0;
dt
dt
-k, < к < к при <^ф = 0. 1 1 dt
(1)
k k
k
dp "dL
k
Рис. 2. Скачкообразная характеристика сил сухого трения
Момент сопротивления М с складывается из моментов сил сухого и вязкого трения, определяемых по следующим формулам:
2 í Н
Mсух = к - mgR\ 1 +-Sin(vt)
у 3 1 mg
(2)
M язК =М
tR 4 dp 2 dt '
где т, Я, v, Н, ц — соответственно масса и радиус заглаживающего диска, ускорение свободного падения, частота и амплитуда вибрационного воздействия, коэффициент вязкого трения. Постановка и решение задачи Переходя от размерных переменных (I, ф — времени и угла поворота диска) к безразмерным:
T = i -t, —
Ь м,
"(ф-Qt)
(3)
(M0 - значение момента сухого трения при
скольжении диска; I - момент инерции диска), а также к безразмерным параметрам:
kj 4lC . tR 4
s = —— > 1, Q =-ш, b = p, —=,
к 0 M о 24lc
и - [I
h =-, p = v -,
mg V c
запишем дифференциальное уравнение скольжения диска сразу в безразмерном виде:
= 4- 2b(é, + q)+(1 + h sin (px))sgn + q),
при Ф -Q.
Здесь дифференцирование по безразмерному времени обозначено точкой.
ИРКУТСКИМ государственный университет путей сообщения
Моменты мгновенного изменения направления вращения диска (мгновенные перескоки) находятся из условия:
4 = —Q, |4|> |l + h sin (рг), (6)
а моменты окончания скольжения - из условия:
4 = —Q, Щ< |l + h sin (рг). (7)
При заклинивании диска (4 = —Q) должно выполняться:
14 <8|l + h sin (рг); (8)
моменты срыва (начало скольжения) определяются из условия:
>8|l + h sin (рг). (9)
Сформулированная задача (5-9) является нелинейной и не решается аналитически. Заметим, что для принятой модели при отсутствии вибрационной силы и сил вязкого трения ранее были получены точные аналитические решения [2]. Исследование переходного релаксационного режима фрикционных автоколебаний диска проводилось численно. Результаты численных экспериментов показали, что в зависимости от параметров система либо входит в устойчивый периодический режим (и обычно это происходит очень быстро), либо устанавливается детерминированный хаос, т. е. фазовые траектории притягиваются в ограниченное фазовое пространство - область притяжения странного аттрактора.
Фазовое пространство системы трехмерно, так как состояние системы определяется через координаты: 4, 4, г. Данная неавтономная система приводится к автономной, если ввести дополнительную переменную Л = sin (Qr), в этом случае фазовое пространство будет определяться через координаты: 4,4, Л. Система зависит от параметров: 8, q, b, h, р. Ниже приведены четыре примера детерминированного хаоса релаксационных автоколебаний (рис. 3-18) описанной динамической модели при различных параметрах.
Динамические системы, приводящие к детерминированному хаосу, вызывают интерес, так как последние мало изучены и обнаружить их не так просто. Каждая новая система, приводящая к возникновению детерминированного хаоса, обычно заносится в своеобразный каталог [5]. Для данной механической системы, подбирая параметры, можно строить различные виды хаоса, в том числе и похожие друг на друга (фрактальные).
ФАЗОВОЕ ПРОСТРАНСТВО ДЛЯ ДИСКА (8=2.7; Q=0.355; b=0.175; p=3.17; h= 1.25; 4„=-0; 4'0 = -0; imax = 2500)
d4/dr
-0.5 -1.5
Рис. 3. Пример-1 детерминированного хаоса (заключительные витки фазовой траектории)
Рис. 4. Пример-1 детерминированного хаоса (все витки фазовой траектории за время счета)
ФАЗОВАЯ ПЛОСКОСТЬ ДЛЯ ДИСКА 4'= 4'(4)
-1.4 -1.2
-0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0
4
Рис. 5. Пример-1 детерминированного хаоса (заключительные витки фазовой траектории)
0.5
0
-0.5
0
4
(8=2.7; Q=0.355; b=0.175; p=3.17; h= 1.25; 40=-0; 4'0 = -0; г = 2500)
0.6
0.3
0.2
0.1
0
-0.1
-0.2
-0.3
-0.4
ФАЗОВАЯ ПЛОСКОСТЬ ДЛЯ ДИСКА (8=2.7: 0=0.355; Ь=0.175; р=3.17; (1= 1.25; ^=-0; = -0; т^ = 2500)
0.6 г
0.5 0.4 0.3 0.2 , 0.1 0 -0.1 -0.2 -0.3
1.4 -1.2 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0
ФАЗОВАЯ ПЛОСКОСТЬ ДЛЯ ДИСКА ВД) (8=3.1; 0=0.525; Ь=0.045; p=1.25; (1= 0.055; ^=-0; = -0; т^ = 2500) 2.5 г
-3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1
Рис. 6. Пример-1 детерминированного хаоса (все витки фазовой траектории за время счета)
Рис. 9. Пример-2 детерминированного хаоса (заключительные витки фазовой траектории)
ФАЗОВОЕ ПРОСТРАНСТВО ДЛЯ ДИСКА (8=3.1; 0=0.525; Ь=0.045; р=1.25; (1= 0.055; ^=-0; = -0; т^ = 2500)
с^/Л
-1 -4
ФАЗОВАЯ ПЛОСКОСТЬ ДЛЯ ДИСКА ВД) (8=3.1; 0=0.525; Ь=0.045; р=1.25; (1= 0.055; ^=-0; = -0; т^ = 2500) 2.5 г
к .
} 1
-3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1
Рис. 7. Пример-2 детерминированного хаоса (заключительные витки фазовой траектории)
Рис. 10. Пример-2 детерминированного хаоса (все витки фазовой траектории за время счета)
ФАЗОВОЕ ПРОСТРАНСТВО ДЛЯ ДИСКА (8=3.1; 0=0.525; Ь=0.045; р=1.25; (1= 0.055; ^=-0; % = -0; т = 2500)
с^/Л
ФАЗОВОЕ ПРОСТРАНСТВО ДЛЯ ДИСКА (8=2.1; 0=0.525; Ь=0.045; р=0.25; (1= 0.055; ^=-0; % = -0; т = 2500)
-0
2
1.5
0.5
0
0
-0.5
-0.5
0.5
0.5
0
0
-0.5
-0.5
Рис. 8. Пример-2 детерминированного хаоса (все витки Рис. 11. Пример-3 детерминированного хаоса
фазовой траектории за время счета) (заключительные витки фазовой траектории)
ИРКУТСКИМ государственный университет путей сообщения
ФАЗОВОЕ ПРОСТРАНСТВО ДЛЯ ДИСКА (8=3.7: 0=0.125; Ь=0.025; р=2.14; (1= 0.055; ^=-0; = -0; т^ = 2500)
-1 -4
Рис. 12. Пример-3 детерминированного хаоса (все витки фазовой траектории за время счета)
Рис. 15. Пример-4 детерминированного хаоса (заключительные витки фазовой траектории)
ФАЗОВАЯ ПЛОСКОСТЬ ДЛЯ ДИСКА (8=2.1; 0=0.525; Ь=0.045; р=0.25; (1= 0.055; ^=-0; = -0; т^ = 2500)
1 0.8 0.6 0.4 ■о ^ 0.2 0 -0.2 -0.4
-А
/
V ■
-2 5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0 5
ФАЗОВОЕ ПРОСТРАНСТВО ДЛЯ ДИСКА (8=3.7; 0=0.125; Ь=0.025; р=2.14; (1= 0.055; ^=-0; = -0; т^ = 2500)
-1 -4
Рис. 13. Пример-3 детерминированного хаоса (заключительные витки фазовой траектории)
Рис. 16. Пример-4 детерминированного хаоса (все витки фазовой траектории за время счета)
ФАЗОВАЯ ПЛОСКОСТЬ ДЛЯ ДИСКА ВД) (8=3.7; 0=0.125; Ь=0.025; р=2.14; (1= 0.055; ^=-0; = -0; т^ = 2500) 3г
2.5 2 1.5 , 1 0.5 0
-0.5
/ N.
\\
} 1 11
«У
-4 -3 -2 -1
12
Рис. 14. Пример-3 детерминированного хаоса (все витки фазовой траектории за время счета)
Рис. 17. Пример-4 детерминированного хаоса (заключительные витки фазовой траектории)
0.5
0
-0.5
2
0.5
0
-0.5
2
0
тяжения является регулярный аттрактор -замкнутая фазовая траектория.
В отличие от обычных систем, для систем с релаксационными режимами обнаружение хаоса можно фиксировать не только по поведению фазовых траекторий, но и по нестабильности длительностей зон скольжения и заклинивания. При вхождении в периодический режим автоколебаний временные интервалы зон скольжения и заклинивания с течением времени стабилизируются.
Приведенные примеры наглядно показывают, что найдена новая механическая система, в которой в режиме релаксационных автоколебаний может наблюдаться детерминированный хаос.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Белокобыльский С.В., Коронатов В.А., Герасимов С.Н. Динамика взаимодействия дисковой заглаживающей машины с бетонными смесями. Братск : Изд-во БрГУ, 2014. 67 с.
2. Белокобыльский С.В., Коронатов В.А. Фрикционные автоколебания одномассовой системы с учетом возможности мгновенной смены знака скорости на противоположный // Системы. Методы. Технологии. 2013. № 1. С. 16-21.
3. Герасимов С.Н., Коронатов В.А., Вельш Н.В. Дисковый рабочий орган бетоноотделочной машины с фрикционными автоколебаниями // Труды Брат. гос. ун-та. Сер.: Естественные и инженерные науки. 2013. Т. 1. С. 104-106.
4. Рабочий орган заглаживающей машины : пат. 2182536 Рос. Федерация : МПК В28В11/08 / Л.А. Мамаев, В.А. Коронатов, С.В. Белокобыльский, С.Н. Герасимов ; заявитель и патентообладатель Брат. гос. техн. ун-т. заявл. 20.06.2000 ; опубл. 20.05.2002, Бюл. № 36.
5. Спротт Дж.К. Элегантный хаос: Алгебраически простые хаотические потоки : пер. с англ. М. Ижевск : РХД, ИКИ, 2012. 328 с.
ФАЗОВАЯ ПЛОСКОСТЬ ДЛЯ ДИСКА Ç'= Ç'(Ç) (s=3.7; Q =0.125; b=0.025; p=2.14; h= 0.055; =-0; = -0; ^ = 2500)
2.5 2 1.5 5 1 T3 0.5 0 -0.5
-4 -3-2-1012
Рис. 18. Пример-4 детерминированного хаоса (все витки фазовой траектории за время счета)
Для каждого приведенного примера на графиках (рис. 3-18) сначала показано поведение фазовых траекторий в трехмерном пространстве
(<4, 4, л) а затем в проекции на плоскость 4) При этом и в трехмерном фазовом пространстве, и в проекции на плоскость на печать выводились сначала заключительные витки фазовых траекторий, а затем - все витки на всем временном интервале счета. Заключительные витки приводились для того, чтобы видеть динамику изменения фазовых траекторий. При изображении всех витков, в случае детерминированного хаоса, создается впечатление сплошного заполнения ограниченной части фазового пространства - области притяжения странного аттрактора.
Заключение
Наступление детерминированного хаоса определялось поведением фазовой траектории. В случае хаоса фазовая траектория заполняет ограниченную часть фазового пространства - область притяжения странного аттрактора. В случае периодического режима автоколебаний областью при-
