CC BY
18
УДК 551.24 + 51-72
В.С. Захаров1
МОДЕЛИ СЕЙСМОТЕКТОНИЧЕСКИХ СИСТЕМ С СУХИМ ТРЕНИЕМ
Рассмотрены некоторые модели сейсмического режима и блоковой динамики, основанные на фрикционных автоколебаниях в системах с нелинейным сухим трением. Представлено семейство моделей Барриджа и Кнопова для описания генерации землетрясений при относительном движении бортов разлома. Исследованы дисковая модель для описания вращательной динамики блоков земной коры и модель блоковой динамики в предгорных зонах. Установлено, что в некотором диапазоне параметров (сила трения, скорость ведущих блоков и т.д.) в рассмотренных системах осуществляется режим хаотических колебаний. Это приводит к ограничению прогноза в таких системах.
Ключевые слова: сейсмотектонические системы, сухое трение, фрикционные автоколебания, блоковая динамика, модели Барриджа—Кнопова, детерминированный хаос.
Some models of a seismic regime and the block dynamics, based on frictional self-oscillations in systems with non-linear dry friction are s considered in the article. The set of Burridge—Knopoff mechanical model of an earthquake fault is considered. The disk-type models for exposition of rotational dynamics of blocks of an earth crust, a models of block dynamics in foredeeps is investigated. It is established, that in some range of parameters (friction force, rate of driving blocks and so on) the regime of chaotic oscillations realizes in this systems. Therefore in such systems the prognosis is restricted.
Key words: seismotectonic systems, dry friction, frictional self-oscillations, block dynamics, Burridge—Knopoff models, and deterministic chaos.
Введение. Согласно современным представлениям литосфера — иерархическая, самоподобная, грубоди-скретная среда. Со структурой неоднородной среды самым тесным образом связан сейсмический процесс. Понимание причин, обусловливающих возникновение землетрясений и их пространственное распределение, поиски предвестников землетрясений всегда были актуальными задачами сейсмологии и сейсмотектоники.
По мере накопления сведений о пространственно-временном режиме проявления тектонической активности и сейсмичности стала очевидной сложность этого процесса. В настоящее время понятно, что это определяется не только строением сейсмотектонической системы, сложностью и большим количеством элементов системы, но и характером взаимосвязей. При этом большую роль играют диссипативные силы, организующие функционирование всей сейсмотектонической системы. Действие диссипативных сил не только рассеивает механическую энергию, преобразуя ее в тепло, но может приводить к весьма сложной динамике. К диссипативным силам, действующим в механических системах, относится сухое трение.
Цель работы — рассмотреть некоторые модели сейсмического режима и блоковой динамики. Все они основаны на колебательной системе с нелинейным сухим трением.
Закон сухого трения. Силами сухого трения называют силы, возникающие при соприкосновении двух твердых тел при отсутствии между ними жидкой или газообразной прослойки. Сила сухого трения определяется выражением Fт = где P — прижимающая
сила, ц = ^(v) — коэффициент трения, определяемый эмпирически и зависящий от скорости относительного движения трущихся поверхностей.
Закон сухого трения, в отличие от ньютоновского вязкого трения, — нелинейный [Основы трибологии, 2001]. Различные варианты качественной зависимости коэффициента трения от относительной скорости представлены на рис. 1. Простейший закон сухого трения, предложенный Амантоном, имеет вид, показанный на рис. 1, а, более реалистичный закон трения, предложенный Кулоном, представлен на рис. 1, б. В кулоновском законе коэффициент трения покоя ц (при относительной скорости, равной нулю) больше коэффициента трения «скольжения» Дальнейшие исследования показали, что при малых значениях относительной скорости коэффициент трения уменьшается при увеличении скорости, затем в некотором диапазоне скорости может быть постоянным, а при большой относительной скорости может снова возрастать. Закон зависимости силы трения от скорости такого вида показан на рис. 1, в.
В статье [Marone, 1998] приведены экспериментальные данные о зависимости коэффициента трения от скорости относительного движения. Существует довольно много вариантов аналитического задания особенностей сухого трения [Dieterich, 1978; Scholz, Engelder, 1976; Carlson, Langer, 1989; De Sousa Vieira, Herrmann, 1994; Schmittbuhl et al., 1996]. Наличие в системе сухого трения помимо простой диссипации энергии приводит к весьма значительным следствиям для ее динамики.
1 Московский государственный университет имени М.В. Ломоносова, геологический факультет, кафедра динамической геологии, доцент, канд. физ.-мат. н., e-mail: zakharov@dynamo.geol.msu.ru; vszakharov@yandex.ru
Фрикционные автоколебания.
Рассмотрим динамику системы, которую обычно используют при изучении трения, как теоретического, так и экспериментального («груз на движущейся ленте»). К неподвижному основанию прикреплен пружиной и демпфером груз массой m, нижней поверхностью лежащий на горизонтальной ленте, которая движется с постоянной скоростью V0 (лента транспортера). Между лентой и грузом действует сила сухого трения.
Тело увлекается лентой, но этому поступательному движению препятствует пружина, которая срывает тело с ленты, когда сила упругости превышает силу трения. Груз совершает колебательные движения с частотой, близкой к собственной частоте. В некоторый момент значения скорости груза и ленты сравниваются, сила трения резко возрастает, груз «прилипает» к ленте, и они начинают двигаться вместе до следующего срыва. Такое поведение называется прилипание—скольжение (stick—slip).
Рассмотренное явление — фрикционные автоколебания, они нежелательны в технике, с ними борются. Но для сейсмотектоники фрикционные автоколебания имеют особое значение, так как, по современным представлениям, именно с механизмом такого рода связано возникновение землетрясений.
Отметим, что главная особенность, приводящая к возникновению фрикционных автоколебаний, — сухое трение, т.е. превышение «трения покоя» над «трением скольжения» ^ и уменьшение силы трения при увеличении скорости. При этом конкретный вид функции, описывающей это падение, не столь важен.
Модели Барриджа и Кнопова. Рассмотренная достаточно простая система — вариант предложенной
Рис. 1. Зависимость коэффициента трения от скорости: а — закон Амантона; б — закон Кулона; в — современные зависимости для сухого трения
Барриджем и Кноповым модели [Burridge, Knopoff, 1967], которую часто используют как базовую модель генерации землетрясений при относительном движении бортов разлома.
Динамика рассмотренной выше модели кажется слишком простой для представления сейсмотектонического процесса — все срывы (т.е. модельные землетрясения) в ней происходят периодически и предсказуемо. Однако добавление в систему второго блока (рис. 2, а) приводит к качественному изменению ее поведения [Turcotte, 1997]. Здесь kc, k1 = k2 = = k — жесткость пружин, моделирующих силы упругой связи блоков между собой и с ведущим блоком; F1 и F2 — силы трения, действующие на основания первого и второго блоков; ( и (2 — соответствующие коэффициенты трения. В этой модели для каждого блока принят чисто кулоновский закон трения (s > (d (рис. 1, б).
Блоки в системе взаимодействуют: движение одного блока может вызвать срыв другого и наоборот. Анализ динамики этой системы подробно проведен в [Turcotte, 1997]. Введем два управляющих параметра а = kc/k (степень связи блоков между собой) и в = (s2/(s1 (асимметрия трения покоя для блоков). В зависимости от значений этих управляющих параметров система демонстрирует различное поведение. В случае в = 1 в системе происходят периодические автоколе-
Рис. 2. Модель Барриджа и Кнопова: а — двухблоковая система; б — фазовый портрет динамики системы в координатах (хх2) в режиме
хаотических колебаний
Рис. 3. Трехдисковая система с сухим трением: а — вид модели; б — фазовая диаграмма колебаний одного из ведомых дисков в хаотическом режиме
бания. В случае различия коэффициентов трения для блоков (в ф 1) поведение системы становится гораздо сложнее и разнообразнее. В зависимости от значения параметра а в системе возможны как периодические, так и хаотические режимы. На рис. 2, б представлены фазовый портрет системы в координатах (х1х2) в режиме хаотических колебаний.
Таким образом, установлено, что состоящая всего из двух блоков автоколебательная система с сухим трением может демонстрировать сложное хаотическое поведение. Очевидно, что увеличение числа элементов в таких системах приведет к еще большему усложнению динамики. Рассмотрим ряд моделей геологических систем, состоящих из набора блоков, связанных силами упругости и силами сухого трения.
Трехдисковая модель с сухим трением. Блоки земной коры могут совершать как поступательные, так и вращательные движения. Взаимодействие по границам блоков определяет сейсмичность региона. Для описания динамики вращательного движения рассмотрим следующую трехдисковую модель [Вад-ковский, Захаров, 2002], воспроизводящую основные черты поведения гранулированной структуры.
Модель показана на рис. 3, а: один из дисков (ведущий) движется с постоянной угловой скоростью О, два других диска касаются ведущего диска и друг друга. В точках касания на ведомые диски действует момент сил сухого трения (рис. 1, в). Кроме того, на диски действуют моменты сил линейного упругого взаимодействия и момент сил вязкого сопротивления.
Динамика исследуемой системы демонстрирует разнообразные режимы (затухающие колебания, регулярные автоколебания, хаотические автоколебания) в зависимости от параметров модели. Управляющим параметром здесь является угловая скорость О ведущего диска, которая моделирует скорость тектонического движения. При малых значениях О система после нескольких колебаний приходит к состоянию равновесия. При увеличении значения О происходит переход к хаотическому поведению.
На рис. 3, б показана фазовая диаграмма хаотических колебаний одного из ведомых дисков в координатах угол поворота (ф) — угловая скорость (ю).
В хаотическом режиме в динамике системы наблюдаются колебания с различными периодами и амплитудами, а также внезапные скачки скорости углового вращения диска. Эти скачки представляют собой модельные «землетрясения». Отметим, что величины скачков различны по величине и направлены как по, так и против направления вращения ведущего блока. Редкие скачки с большой амплитудой и многочисленные скачки с малыми амплитудами порождаются одним и тем же механизмом. Амплитуды скачков и временной интервал между скачками распределены хаотически, никакие предвестники скачков не обнаружены, причем это относится к скачкам любой амплитуды. Другими словами, один скачок прямо не провоцирует другой скачок.
Последовательность скачков уникальна для каждого начального значения. Следует отметить, что для возникновения хаотического распределения моментов возникновения скачков не требуется введение какой-либо случайной силы — это следствие нелинейного характера взаимодействия. Схожая модель для динамики литосферы, состоящей из вращающихся блоков, рассмотрена в [Primakov, Shnirman, 1999].
Модель движения сцепленных блоков по разлому (train-модель). Измерения деформаций земной поверхности свидетельствуют о наличии колебаний с различными периодами и амплитудами. В некоторых местах наблюдаются относительно плавные изменения, в других — очень быстрые (землетрясения).
Для описания движения по разлому предложена модель сцепленных между собой блоков (train-модель, рис. 4, а). На каждый блок действуют упругие силы со стороны соседних блоков, вязкая сила сопротивления среды и сила сухого трения со стороны движущейся с постоянной скоростью V0 поверхности [Вадковский, Захаров, 2002].
На рис. 4, б показана временная развертка смещений X(t) для 50 центральных блоков из общего числа блоков в цепочке, равного 100. Время увеличивается слева направо. В цепочке блоков также наблюдаются скачки скорости отдельных блоков, вызывающие смещения соседних блоков. Момент времени появления каждого скачка и знак смещения непредсказуемы. Скачку не предшествует какое-либо особое поведение. Сколь угодно малое изменение начальных условий не приводит к качественному изменению поведения блоков, но последовательность скачков во времени становится совершенно другой.
Эта модель позволяет понять особенности проявления сейсмичности вдоль разлома, а также динамику бортов разлома. Управляющий параметр в этой модели — скорость смещения (V0) подстилающей поверхности.
Рассмотренная модель фактически является вариантом train-модели Барриджа и Кнопова [Cartwright et al., 1997], динамика которой также демонстрирует хаотический характер. Предложено множество разнообразных моделей, развивающих подход Барриджа и Кнопова. В книге [Turcotte, 1997] рассмотрен двухмерный вариант модели. Такая система демонстрирует поведение, называемое самоорганизованной критичностью (СОК) [Bak, Tang, 1989]. Результаты моделирования ее динамики широко используются для объяснения особенностей сейсмического процесса. Существует также иерархическая модификация модели Барриджа и Кнопова [Schmittbuhl et al., 1996]. В этой системе взаимодействующие посредством упругих связей блоки имеют размеры, подчиненные степенному закону распределения, а жесткости связывающих пружин пропорциональны размерам блоков.
Применение дисковой модели для описания вращательной динамики блоков земной коры Эгейско-Анатолийского региона. Эгейско-Анатолийский регион представляет большой интерес для геодинамических и сейсмотектонических исследований. Динамика этого региона обусловлена взаимодействием Евроазиатской, Африканской и Аравийской плит. Качественно для описания этой сложной динамики можно применить несколько усложненную модель взаимодействия дисков.
Геологическими, геодезическими и сейсмотектоническими исследованиями установлена сложная блоковая структура Восточного Средиземноморья. В работе [McClusky et al., 2000] приведены данные о горизонтальной скорости пунктов GPS. Анализ этих данных позволяет выявить относительное вращение блоков (микроплит) в регионе. Особенно значительные движения происходят по Северо-Анатолийскому разлому. На рис. 5 показана схема микроплитной (блоковой) динамики, предлагаемая в [McClusky et al., 2000] для интерпретации данных GPS. При такой динамике помимо общего смещения начинают проявляться собственные движения блоков, входящих в состав региона.
Согласно сейсмологическим наблюдениям в Эгейско-Анатолийском регионе отмечается повышенная сейсмическая активность, главным образом представленная слабыми землетрясениями. Сейсмичность региона по каталогу PDE за 1973—2007 гг. представлена на рис. 6. Практически все землетрясения
Рис. 4. Тгат-модель движения блоков по разлому: а — вид модели; б — временная развертка смещений для 50 центральных блоков
мелкие, коровые, их глубина не превышает 33 км. Расположение эпицентров неоднородное: значительная часть очагов концентрируется в зонах границ между крупными блоками (микроплитами), таких, как Северо-Анатолийский разлом, Эгейский желоб. Выделяются также зоны концентрации эпицентров меньшего масштаба. В то же время между этими зонами можно выделить области, где землетрясений относительно мало.
Подобная картина может быть следствием сложного взаимодействия блоков земной коры разного масштабного уровня (ранга), общая причина (источник энергии) — движение Аравийской плиты, которое вызывает взаимодействие и сложную поступательную и вращательную динамику относительно жестких крупных блоков (микроплит), таких, как Анатолийская, Эгейския и другие. Эти крупные блоки, а также зоны между ними в свою очередь не однородные, а состоят из блоков меньшего масштаба, которые также могут совершать дифференциальные вращательные движения. Взаимодействие по краям этих разномасштабных блоков отражается в наблюдаемой картине сейсмичности. Дифференциальные вращательные движения блоков в составе микроплит в данном регионе выявлены нами на основании анализа данных GPS в работах [Симонов и др., 2006;
Рис. 5. Схема блоковой динамики в Восточном Средиземноморье, построенная на основании анализа данных GPS, по [McClusky et al., 2000]: 1 — зона Кавказской конвергенции; 2 — Восточно-Турецкая зона распределенных сдвигов; 3 — Анатолийская микроплита; 4 — зона сдвигов и растяжений в западной части Северо-Анатолийского разлома; 5 — зона субмеридионального растяжения в Западной Турции и на северо-востоке Эгейской плиты; 6 — юго-запад Эгейской—Пелопоннесская микроплита. Стрелки — направления горизонтального движения, числа — скорость движения, см/год; сплошные линии — разломы и границы блоков; пунктирные линии —
границы государств
Захаров, Симонов, 2010]. Результаты предварительного анализа представлены на рис. 6, где показаны выделенные блоки.
Сложная структура, динамика и относительная подвижность блоков коры, определяемые на основании анализа сейсмических и геодезических данных, выявляются и на другом временном масштабе. В статье [Piper et al., 1997] приведены результаты палеомагнит-ных исследований в этом регионе, которые свидетельствуют об относительном вращении блоков.
Рассмотренная система из соприкасающихся блоков моделирует сложное поведение так называемой гранулированной структуры — системы блоков с допустимыми поступательными и вращательными относительными перемещениями при непрерывном поступлении энергии. В гранулированных средах возможны как дифференциальные движения отдельных элементов, так и согласованное коллективное движение временно возникающих, а затем распадающихся агломератов.
Модель блоковой динамики в предгорных зонах. Области, примыкающие к горноскладчатым сооружениям (например, Предкавказье), обычно имеют сложное блоковое строение. Геологические данные указывают на весьма сложную динамику этих зон.
Рис. 6. Сейсмичность Эгейско-Анатолийского региона по каталогу PDE за 1973—2007 гг. и примерная схема выделенных при анализе блоков (показаны пунктиром), по [Симонов и др., 2006]
Такая раздробленность, по-видимому, объясняется коллизионным взаимодействием жестких плит, когда при достижении предела прочности происходит хрупкое разрушение коры (или ее верхних слоев).
Субвертикальные разломы разбивают верхний слой на отдельные блоки (с горизонтальным размером до нескольких сотен километров), которые относительно слабо связаны друг с другом (в основном силами трения). Блоки «плавают» на вязком основании — нижней коре, находясь в состоянии, близком к равновесию. Эти блоки связаны с платформенной областью и представляют собой своеобразные «клавиши» (рис. 7, а). В динамике таких блоков значительную роль — помимо сил трения и плавучести — играют силы упругости, возникающие при их изгибе.
Область этих блоков (соответствующая области предгорных осадочных бассейнов) отделена от орогена крупным разломом. Поднимающийся ороген за счет сил трения передает свое вертикальное движение соседним блокам. Они также начинают подниматься, однако из-за «коллективного» поведения, а также вследствие особенностей сил трения (их нелинейности) характер движения может быть весьма сложным и существенно отличаться от постепенного вздымания.
Для исследования динамики поведения системы предлагается следующая модель [Короновский, Захаров, 2000; Захаров, 2001]. Рассмотрим линейную цепочку жестких блоков, плавающих в вязкой жидкости (рис. 7, б). Для учета сил упругости будем полагать, что каждый блок прикреплен к пружине (что соответствует упругости, характеризующей каждую «клавишу») таким образом, что в состоянии гидростатического равновесия пружина не растянута. Каждый блок соприкасается с соседними боковыми поверхностями (будем считать их вертикальными), сцепление обеспечивается силой трения. Кроме того, все блоки соприкасаются и взаимодействуют силами трения с одним общим ведущим блоком, который двигается в вертикальном направлении с некоторой скоростью и0 (что соответствует вздыманию горного сооружения).
Динамика каждого блока определяется балансом действующих на него сил: силы тяжести, силы Архимеда (т.е. изостатических сил), силы упругости, сил трения со стороны соседних блоков и ведущего блока, силы вязкого сопротивления. На рис. 8 представлены временные диаграммы смещений Х^) для системы 9 блоков, пунктирными линиями показаны нулевые уровни для каждого блока.
Видно, что рассматриваемая система участвует в довольно сложном колебательном движении, где наряду с осцилляциями, определяемыми собственной
Рис. 7. Модель блоковой динамики в предгорных зонах: а — геодинамическая схема;
б — механическая модель
Рис. 8. Временные диаграммы смещений для системы 9 блоков
частой каждого блока, возникают непериодические колебания с большим (на порядок) характерным временем. Блоки колеблются вокруг одного, двух, иногда трех положений равновесия, перескоки между которыми разделены различными промежутками времени. Отдельные блоки, участвуя в общем процессе переработки поступающей энергии, могут вести себя относительно независимо, соседние блоки могут участвовать в «перескоках» и в одном, и в противоположных направлениях: один двигается вверх, другой вниз. Иногда некоторые блоки «объединяются», совершая совместные колебания, но затем их объединения распадаются.
Отдельные элементы такой системы имеют собственную «историю». Эта модель может объяснить некоторые элементы динамики предгорного осадочного бассейна.
Заключение. Все рассмотренные системы, несмотря на различные пространственно-временные масштабы, объединяет ярко выраженная особенность динамики. В них происходят довольно сложные колебательные движения, где наряду с осцилляциями, определяемыми собственной частой каждого блока, возникают непериодические колебания. В некотором диапазоне параметров (сила трения, скорость ведущих блоков и т.д.) в рассмотренных системах осуществляется режим хаотических колебаний, наблюдаются резкие перескоки между различными
положениями, разделенные разными промежутками времени. Отдельные блоки, участвуя в общем процессе переработки поступающей энергии, могут вести себя относительно независимо, соседние блоки могут участвовать в «перескоках» и в одинаковом, и в противоположных направлениях. Иногда блоки объединяются, совершая совместные колебания, но затем эти объединения распадаются.
Это явление — хаотическое поведение при точном задании всех параметров — называется детерминированным хаосом. Сходная картина наблюдается при некотором, достаточно широком (но неизвестном заранее) разбросе параметров. Однако любое малое изменение скорости, силы трения и т.д. приводит к тому, что поведение каждого блока может измениться
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
Вадковский В.Н., Захаров В. С. Электронное учебное пособие «Динамические процессы в геологии» // Мат-лы XXXV Тектонического совещания. М., 2002. С. 86—89.
Захаров В.С. Модель блоковой динамики в предгорных зонах // Современные процессы геотектоники. М.: Научный мир, 2001. С. 106-109.
Захаров В.С., Симонов Д.А Анализ современных дискретных движений блоков земной коры геодинамически активных областей по данным GPS // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 4. Геология. 2010. № 3. С. 25-31.
Короновский Н.В., Захаров В.С. Колебания блоков земной коры южного края Скифской плиты (Северное Предкавказье), в связи с образованием передовых прогибов // Мат-лы XXXIII Тектонического совещания. М., 2000. С. 232-235.
Основы трибологии (трение, износ, смазка) / Под ред. А.В. Чичинадзе. М.: Машиностроение, 2001. 664 с.
Симонов Д.А.., Захаров В.С., Лю С. Методики анализа современных дискретных движений блоков геодинамически активных областей по данным GPS (на примере Эгейско-Анатолийского региона) // Области активного тектоно-генеза в современной и древней истории Земли: Мат-лы XXXIX Тектонического совещания. Т. 1. М.: ГЕОС, 2006. С. 215-219.
Bak P., Tang C. Earthquakes as a self-organized critical phenomenon // J. Geophys. Res. 1989. Vol. 94, N B11. P. 15635-15637.
Burridge R., Knopoff L. Model and theoretical seismicity // Bull. Seismol. Soc. of America. 1967. Vol. 57, N 3. P. 341-371.
Carlson J.M., Langer J.S. Mechanical model of an earthquake fault // Phys. Rev. A. 1989. Vol. 40, N 11. P. 6470-6484.
(т.е. конкретные моменты скачков становятся другими), но при этом общий режим сохраняется.
Рассмотрение подобных моделей делает понятнее сложности, с которыми сталкиваются исследователи при прогнозе землетрясений и других катастрофических событий. Ограниченность (или невозможность) прогноза в таких системах заложена в самой их природе.
Подчеркнем, что ключевую роль в хаотическом характере динамики рассмотренных систем играет именно сухое трение. Таким образом, модели динамики, учитывающие сухое трение, весьма полезны как для понимания особенностей и сложности сейсмотектонического процесса, так и для наук о Земле в целом.
Cartwright J.H.E., Hernandez-Garcia E, Piro O. Burridge— Knopoff Models as Elastic Excitable Media // Phys. Rev. Lett.
1997. Vol. 79. P. 527-530.
De Sousa Vieira M, Herrmann H.J. Self-similarity of friction laws // Ibid. 1994. Vol. 49. P. 4534-4541.
Dieterich J. Time-dependent friction and the mechanics of stick // Pure Appl. Geophys. 1978. Vol. 116. P. 790-806.
Marone C. Laboratory-derived friction laws and their application to seismic faulting // Ann. Rev. Earth Planet. Sci.
1998. Vol. 26. P. 643-696.
McClusky S., Balassallian S, Barka A. et al. Global positioning system constraints on plate kinematics and dynamics in the eastern Mediterranean and Caucasus // J. Geophys. Res. 2000. Vol. 105, N B3. P. 5695-5719.
Piper J.D.A, Tatar O., Gursoy H. Deformational behaviour of continental lithosphere deduced from block rotations across the North Anatolian fault zone in Turkey // Earth and Planet. Sci. Lett. 1997. Vol. 150, N 3-4. P. 191-203.
Primakov I., Shnirman M. Type of trajectory instability for a movable disk model of the lithosphere // Phys. of the Earth and Planet. Inter. 1999. Vol. 111. P. 305-315.
Schmittbuhl J., Vilotte J.-P., Roux S. Velocity weakening friction: A renormalization approach // J. Geophys. Res. 1996. Vol. 101, N B6. P. 13911-13917.
Scholz C.H., Engelder T. The role of asperity indentation and ploughing in rock friction // Inter. J. Rock Mech. Min. Sci. 1976. Vol. 13. P. 149-154.
Turcotte D.L. Fractals and chaos in geology and geophysics. Second edition. Cambridge: Cambridge University Press, 1997. 398 p.
Поступила в редакцию 18.05.2010
