Деревья функциональных графов для циркулянтов с линейными булевыми функциями в вершинах Текст научной статьи по специальности «Математика»

Теорема 1. Пусть граф О — двулистная пальма высоты п, п > 3. Тогда рогатый

п — 4

+ 2, длиной п1 = п — р + 3 и разреженностью

цикл G1 с количеством рогов p =

б

меньше 5 является минимальным рёберным 1-расширением графа G.

ЛИТЕРАТУРА

1. Harary F. and Hayes J. P. Edge fault tolerance in graphs // Networks. 1993. V. 23. P. 135-142.

2. Абросимов М. Б. О сложности некоторых задач, связанных с расширениями графов // Матем. заметки. 2010. Т. 88. №5. С. 643-650.

УДК 519.174

ДЕРЕВЬЯ ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ ГРАФОВ ДЛЯ ЦИРКУЛЯНТОВ С ЛИНЕЙНЫМИ БУЛЕВЫМИ ФУНКЦИЯМИ В ВЕРШИНАХ

А. С. Корниенко

Получено описание функционального графа дискретной динамической системы, являющейся моделью регуляторного контура генной сети.

Ключевые слова: дискретная динамическая система, циркулянт, генная сеть, регуляторный контур, функциональный граф.

Пусть даны п ^ 3, {в,1, ^2,... , йи} С {0,1,... ,п — 1} и ориентированный граф Сща1,а2...,,ак с множествами вершин {0,1,... ,п — 1} и дуг {г] : (] — г) = йг (mod п), г = = 1, 2,... , к}. Матрица смежности таких графов называется циркулянтом. Эти графы также принято называть циркулянтами [1].

Рассмотрим следующую дискретную динамическую систему. В каждый момент времени вершины циркулянта Сп;^ьй2,...,йк помечены элементами у0,у1, ... ,Уп-1 из конечного поля ^ порядка q. Набор V = (у0, у1,..., уп-1) € назовём состоянием системы. В следующий момент времени (такт работы системы) состояние системы меняется, и динамика его изменения определяется отображением

А : Fn —V Fп

А/^ : Гq ^ rq ,

где / = (/0, /1,..., /п-1) и новая метка каждой вершины г является значением функции /г : Fk ^ Fq, аргументы которой принимают значения старых меток в тех вершинах, дуги из которых входят в вершину г.

Функциональным графом С/^ называется ориентированный граф, вершинами которого являются элементы Fqn, причём дуга из вершины V идёт в вершину V тогда и только тогда, когда А/Л (V) = V.

В работе рассматривается структура функционального графа в случае, когда д = 2, все функции /г равны между собой и линейны и отображение А/,2 действует следующим образом:

А/,2 (у0, ^1, . . . , Уп-1) (и0, и1, . . . , ип- 1) ,

и = Уг-1 + у + 1>г+1, г = 0,1,...,п — 1, где V— = Уп-1,Уп = Уо.

С использованием методов, изложенных в [2], доказаны следующие свойства функционального графа С/,2:

— если п не кратно 3, то отображение А/,2 обратимо и функциональный граф С/,2

является дизъюнктивным объединением простых контуров;

— в функциональном графе Gf,2 при n = 3 • 2k(2m + 1) множество вершин, принадлежащих деревьям, разбивается на 2k уровней, причём каждая вершина дерева имеет ровно четырёх предков;

— при чётном n функциональный граф Gf,2 содержит четыре неподвижные точки, при нечётном n — две неподвижные точки;

— если n = 2k(2m + 1), то все длины циклов функционального графа Gf,2 являются делителями 2k(2s — 1), где s = min{j : j > 0, 2j = ±1 (mod 2m + 1)}.

ЛИТЕРАТУРА

1. Харари Ф. Теория графов. М.: УРСС, 2003.

2. Евдокимов A. A, Пережогин A. Л. Дискретные динамические системы циркулянтного типа с линейными функциями в вершинах сети // Дискретный анализ и исследование операций. 2011. T.3. №3. С. 39-48.

УДК 519.6

О ЛОКАЛЬНОЙ ПРИМИТИВНОСТИ ГРАФОВ И НЕОТРИЦАТЕЛЬНЫХ МАТРИЦ

С. Н. Кяжин

Положительным криптографическим свойством генератора гаммы, построенного на основе управляющего и генерирующего блоков, является существенная зависимость элементов состояний генерирующего блока от всех знаков начального состояния генератора. Для изучения такого рода зависимостей в рамках матричнографового подхода введено понятие локальной примитивности неотрицательных матриц и графов. Получены условия локальной примитивности матриц. Установлена связь характеристик локальной примитивности частного класса матриц (графов) с конструктивными параметрами генераторов гаммы.

Ключевые слова: экспонент, локальный экспонент, примитивная матрица, примитивный граф, локальная примитивность.

Пусть M0(n) —множество всех квадратных неотрицательных матриц порядка n, A G M0(n), J = {ji,... , jr}, 0 = J С {1,... ,n}; A(J2) —подматрица порядка r, полученная из A вычёркиванием строк и столбцов с номерами j = ji,... , jr. Множество матриц, для которых подматрица A(J2) неотрицательна, обозначим M0(J2).

Матрицу A назовем J2-положительной, если положительна подматрица A(J2). Обозначим M+(J2) полугруппу по умножению J2-положительных матриц.

Матрица A называется квазиположительной, если все её строки и столбцы отличны от нулевых. Матрица A называется J2-квазиположительной, если квазиположитель-ной является подматрица A( J2). Обозначим Q( J2) множество J2-квазиположительных матриц.

Квазиположительную матрицу A назовём J2-примитивной, если положительна подматрица A*(J2) матрицы A* при любом натуральном t ^ y; наименьшее такое число y назовём J2-экспонентом матрицы A и обозначим J2-expA. Множество J2-прими-тивных матриц обозначим P(J2).

Подматрицу размера n х г, полученную из A вычёркиванием столбцов с номерами j = ji,...,jr, обозначим A(J) и назовём её в соответствующих условиях J-положительной (J-квазиположительной, J-примитивной). Множества таких матриц обозначим соответственно M+(J), Q(J) и P(J). Наименьшее натуральное число y, при кото-