CC BY
32
— в функциональном графе Gf,2 при n = 3 • 2k(2m + 1) множество вершин, принадлежащих деревьям, разбивается на 2k уровней, причём каждая вершина дерева имеет ровно четырёх предков;
— при чётном n функциональный граф Gf,2 содержит четыре неподвижные точки, при нечётном n — две неподвижные точки;
— если n = 2k(2m + 1), то все длины циклов функционального графа Gf,2 являются делителями 2k(2s — 1), где s = min{j : j > 0, 2j = ±1 (mod 2m + 1)}.
ЛИТЕРАТУРА
1. Харари Ф. Теория графов. М.: УРСС, 2003.
2. Евдокимов A. A, Пережогин A. Л. Дискретные динамические системы циркулянтного типа с линейными функциями в вершинах сети // Дискретный анализ и исследование операций. 2011. T.3. №3. С. 39-48.
УДК 519.6
О ЛОКАЛЬНОЙ ПРИМИТИВНОСТИ ГРАФОВ И НЕОТРИЦАТЕЛЬНЫХ МАТРИЦ
С. Н. Кяжин
Положительным криптографическим свойством генератора гаммы, построенного на основе управляющего и генерирующего блоков, является существенная зависимость элементов состояний генерирующего блока от всех знаков начального состояния генератора. Для изучения такого рода зависимостей в рамках матричнографового подхода введено понятие локальной примитивности неотрицательных матриц и графов. Получены условия локальной примитивности матриц. Установлена связь характеристик локальной примитивности частного класса матриц (графов) с конструктивными параметрами генераторов гаммы.
Ключевые слова: экспонент, локальный экспонент, примитивная матрица, примитивный граф, локальная примитивность.
Пусть M0(n) —множество всех квадратных неотрицательных матриц порядка n, A Е M0(n), J = {ji,... , jr}, 0 = J С {1,... ,n}; A(J2) —подматрица порядка r, полученная из A вычёркиванием строк и столбцов с номерами j = ji,... , jr. Множество матриц, для которых подматрица A(J2) неотрицательна, обозначим M0(J2).
Матрицу A назовем J2-положительной, если положительна подматрица A(J2). Обозначим M+(J2) полугруппу по умножению J2-положительных матриц.
Матрица A называется квазиположительной, если все её строки и столбцы отличны от нулевых. Матрица A называется J2-квазиположительной, если квазиположитель-ной является подматрица A( J2). Обозначим Q( J2) множество J2-квазиположительных матриц.
Квазиположительную матрицу A назовём J2-примитивной, если положительна подматрица A*(J2) матрицы A* при любом натуральном t ^ y; наименьшее такое число y назовём J2-экспонентом матрицы A и обозначим J2-expA. Множество J2-прими-тивных матриц обозначим P(J2).
Подматрицу размера n х г, полученную из A вычёркиванием столбцов с номерами j = ji,...,jr, обозначим A(J) и назовём её в соответствующих условиях J-положительной (J-квазиположительной, J-примитивной). Множества таких матриц обозначим соответственно M+(J), Q(J) и P(J). Наименьшее натуральное число y, при кото-
ром подматрицы A*( J) строго положительны при любом t ^ y, назовём J-экспонентом матрицы A и обозначим J-expA.
Обозначим S(J2) группу подстановочных матриц порядка n, для которых любой элемент i Е J неподвижный.
Утверждение 1. При любом непустом подмножестве J С {1,... , n}, n> 1, имеет место:
1) M+(J2) С P(J2) С Q(J2);
2) S(J2) С Q(J2), при этом S(J2) U P(J2) = 0;
3) множество Q(J2) образует моноид относительно умножения, M+(J2) —идеал моноида Q(J2).
Пусть A, B Е M0(n), A = (aj), B = (bij), определим отношение
A ^ B ^ ajj ^ bjj, i, j = 1,... , n.
Утверждение 2.
1) Пусть J ^ I, тогда если матрица A не J2-примитивная, то она не I^примитивная; если матрица A является I2-примитивной, то она J2-примитивная и J2-expA ^ 12-expA; аналогичные соотношения верны для J-примитивности и I-примитивности.
2) Если матрица A не J2-примитивная, то и матрица A(J2) не примитивная; если матрица A(J2) примитивная, то матрица A является J2-примитивной и J2-expA ^ expA(J2).
3) Если A ^ B и A является J2-примитивной, то и B является J2-примитивной и J2-expA ^ J2-expB.
Утверждение 3. Если матрицы A, B Е M0(J2) сопряжены в группе S(J2), то A и B одновременно или J2-примитивны, или не J2-примитивны.
Обозначим через r(A) орграф, матрицей смежности вершин которого является носитель матрицы A. Известно, что матрица A и граф r(A) одновременно примитивны или не примитивны.
Теорема 1. Граф r(A) является J2-примитивным тогда и только тогда, когда r(A) имеет сильносвязный примитивный подграф с множеством вершин, содержащим J.
Теорема 2. Связный граф r(A) является J-примитивным тогда и только тогда, когда r(A) имеет сильносвязный примитивный подграф U с множеством вершин, содержащим J, и из каждой вершины i Е U достижимо множество вершин U.
Следствие 1. Пусть J2-expA = y , J-expA = 8. Если граф r(A) является J -примитивным, то y ^ 8 ^ Y + max p(i, U), где p(i, U) —длина кратчайшего пути из верши-
i
ны i Е U в ближайшую вершину j Е U.
Ряд генераторов гаммы построен на основе последовательного соединения управляющего и генерирующего автоматов [1, гл. 18], при этом выходная гамма образуется с помощью функции от некоторого подмножества J знаков состояний генерирующего автомата. Положительным криптографическим свойством такого генератора является
существенная зависимость всех знаков множества J от всех знаков начального состояния генератора. В связи с этим рассмотрим автономный автомат без выхода A, построенный как последовательное соединение двух регистров правого сдвига длины n и m соответственно с функциями обратной связи f (x) и g(x).
Пусть V —множество двоичных r-мерных векторов, r = 1, 2,...; A — автомат с множеством состояний Vn+m, выходным алфавитом управляющего регистра V1 и функцией переходов h:
h(x1, . . . , xn, xn+1, . . . , xn+m)
(f (x1, . . . , xn) , x1, . . . , xn-1, xn ф g (xn+1, . . . , xn+m) , xn+1, . . . , xn+m-1).
Перемешивающая матрица M (порядка m + n) преобразования h генератора имеет вид
M = (A B
где A — перемешивающая матрица порядка n преобразования управляющего регистра; C — матрица порядка m, совпадающая при фиксированном xn с перемешивающей матрицей преобразования генерирующего регистра; в матрице B = (bij) порядка n х m элемент bn,n+1 = 1, а остальные элементы равны 0.
Теорема 3. Пусть J = {n +1,...,n + m}, функция g(x) существенно зависит от переменных с номерами j\,... , jr, m, где 1 ^ j < ... < jr < m, 1 ^ r < m, НОД^,... , jr, m) = d ^ 1. Тогда матрица M преобразования генератора J-примитивна, если и только если d = 1; в случае J-примитивности верны следующие оценки:
1) J-exp M ^ max{n + j^m — 1), exp C};
2) J-exp M ^ n + exp C.
Величины exp C и J-exp M можно оценить через характеристики генератора.
1) Из [2, c. 227] следует, что exp C ^ m + j^m — 2), тогда в соответствии с теоремой 3, п. 1
J-exp M ^ max{m, n + j\} + j1(m — 2).
2) Пусть среди чисел j1,..., jr, m имеется пара взаимно простых чисел, например
(jb j2) = 1, тогда из [3, теорема 1,б ] следует, что exp C ^ 2m + jj — j2 — 2jb
В этом случае в соответствии с теоремой 3, п. 1
J-exp M ^ max{n + j^m — 1), 2m + jj — j2 — 2j\}.
T7 • . О • / m(j1 — 2) + j1 ^ / W ^
Если, в частности, j > 2 и j2 ^ -------------, то exp C ^ J1(m — 1), то есть оценка
j1 — 1
теоремы 3, п. 2 точнее. Тогда в соответствии с теоремой 3, п. 2
J-exp M ^ n + 2m + jj — j2 — 2j.
ЛИТЕРАТУРА
1. Фомичев В. М. Методы дискретной математики в криптологии. М.: Диалог-МИФИ, 2010.
2. Сачков В. Н., Тараканов В. Е. Комбинаторика неотрицательных матриц. М.: ТВП, 2000.
3. Фомичев В. М. Оценки экспонентов примитивных графов // Прикладная дискретная математика. 2011. №2(12). С. 101-112.
