Локальная примитивность графов и неотрицательных матриц Текст научной статьи по специальности «Математика»

ПРИКЛАДНАЯ ДИСКРЕТНАЯ МАТЕМАТИКА

2014 Прикладная теория графов №3(25)

УДК 519.6

ЛОКАЛЬНАЯ ПРИМИТИВНОСТЬ ГРАФОВ И НЕОТРИЦАТЕЛЬНЫХ МАТРИЦ

С.Н. Кяжин*, В. М. Фомичев*’**

* Национальный исследовательский ядерный университет «МИФИ», г. Москва, Россия ** Финансовый университет при Правительстве Российской Федерации, г. Москва, Россия

E-mail: s.kyazhin@kaf42.ru, fomichev@nm.ru

Для ряда объектов, моделируемых неотрицательными матрицами (графами), важные свойства достигаются тогда, когда положительны их подматрицы (подграфы являются полными). В связи с этим в данной работе известные понятия примитивности и экспонента матрицы (графа) обобщаются до понятий локальной примитивности, квазипримитивности и локальных экспонентов матрицы (графа). Получены условия локальной примитивности, субпримитивности и квазипримитивности орграфа. Установлена связь экспонента матрицы (орграфа) с локальными экспонентами.

Ключевые слова: экспонент, локальный экспонент, локальный субэкспонент, локальный квазиэкспонент, примитивная матрица, локальная примитивность.

Введение

В ряде прикладных задач для изучения коммуникативных свойств системы объектов представляет интерес определение экспонента примитивной неотрицательной

0,1-матрицы или системы 0,1-матриц, кодирующих связи между объектами системы. Экспонентам неотрицательных матриц и систем матриц посвящено множество трудов. Обзор результатов в этом направлении, полученных до 2012г., можно найти в [1].

Вместе с тем в некоторых приложениях важные свойства объектов, моделируемых неотрицательными матрицами, достигаются тогда, когда положительной является не вся матрица, а лишь некоторая её часть, например подматрица, получаемая вычеркиванием некоторых строк и столбцов. Такая ситуация имеет место при изучении, в частности, композиций преобразований векторного пространства, составляющих полугруппу или группу преобразований состояний генератора гаммы: во многих случаях достаточно, чтобы от всех битов начального состояния генератора существенно зависела лишь выделенная часть битов промежуточных состояний. В связи с этим в рамках матрично-графового подхода к изучению коммуникативных свойств объектов в данной работе в порядке обобщения понятий примитивности и экспонента введены и исследованы понятия локальной примитивности, субпримитивности и квазипримитивности, а также локальных экспонентов, субэкспонентов и квазиэкспонентов неотрицательных матриц и графов. Начальные результаты в этом направлении представлены в [2].

Основные обозначения:

N — множество натуральных чисел;

Nn = {1,..., n}, где n Е N;

Qn — множество всех непустых подмножеств множества Nn;

M0(n х m) —множество 0,1-матриц размера n х т;

M0(n) = M0(n х т) при n = m;

Л = (а*-), Б = (&*,-), где Л, Б € Мо(п);

Л* = (а(-), * € Н;

V(Л) — носитель неотрицательной матрицы Л;

Б(п) —группа всех подстановочных матриц порядка п.

1. Локальная примитивность матриц

Пусть п,т € Н, Л € М0(п х т), I = гк}, 7 = }, 0 = I С Жга,

0 = 7 С Жт. Рассмотрим подматрицу Л(1 х 7) размера к х г, 0 < к ^ п, 0 <г ^ т,

полученную из Л вычёркиванием строк с номерами % = %1,... , %к и столбцов с номерами у = ... , >. Матрицу Л(1 х 7) при I = 7 обозначим Л(72), при I = N обозначим

Л(*7) и при 7 = — Л(I*).

Матрица Л называется I х 7-положительной (72-положительной при I = 7, *7-положительной при I = Жга, I^-положительной при 7 = ^т), если положительна матрица Л(! х 7) (матрица Л(72), матрица Л(*7), матрица Л(I*)). Множество I х 7-положительных (72-положительных, *7-положительных, I^-положительных) матриц обозначим М+ (I х 7) (М+(72), М+(*7), *)).

Матрица Л называется:

— ^-положительной, если не содержит нулевых строк;

— с-положительной, если не содержит нулевых столбцов;

— зс-положительной, если не содержит нулевых строк и столбцов.

Матрица Л называется I х 7-з-положительной (72-з-положительной при I = 7, *7-з-положительной при I = Жга, I*-з-положительной при 7 = ^т), если з-положи-тельной является матрица Л(! х 7) (матрица Л(72), матрица Л(*7), матрица Л(!*)). Множество з-положительных (I х 7-з-положительных, 72-з-положительных, *7^-положительных, I* -з-положительных) матриц обозначим Qs(п х т) (^8(I х 7), ^(72), ^8(*7), Qs(I*)). Аналогично определяются I х 7-с-положительные и I х 7-зс-поло-жительные матрицы. Соответствующие множества матриц обозначим Qc(n х т), Qc(I х 7), Qc(72), Qc(*7), QC(I*) и Qsc(n х т), QsC(I х 7), QsC(72), QsC(*7), QsC(I*).

Далее считаем п = т > 1, Л € М0(п). Рассмотрим М0(п) как кольцо относительно операций сложения и умножения (обозначаемых ± и о соответственно), где Л ± Б = V(Л + Б), Л о Б = V(ЛБ), то есть Л ± Б и Л о Б суть 0,1-матрицы, полученные из матриц Л + Б и ЛБ соответственно заменой положительных элементов единицами.

Рассмотрим свойства типа I х 7-положительности для степеней квадратной матрицы. Матрица Л называется I х 7-примитивной (72-примитивной при I = 7, *7-примитивной при I = Жга, I*-примитивной при 7 = ^га), если существует натуральное число 7, такое, что матрица Л*(! х 7) (матрица Л*(72), матрица Л*(*7), матрица Л*(!*)) положительна при любом * ^ 7. Наименьшее такое число 7 назовём I х 7-экспонентом (72-экспонентом при I = 7, *7-экспонентом при I = Жга, I*-экспонентом при 7 = Жга) матрицы Л, обозначим I х 7-ехрЛ (72-ехрЛ, *7-ехрЛ, I*-ехрЛ). Множество примитивных (I х 7-примитивных, 72-примитивных, *7-примитивных, I*-примитивных) матриц обозначим Р(п) (Р(I х 7), Р(72), Р(*7), Р(I*)).

Обозначим Б(7) подгруппу группы Б(п), определяемую условием: если % € 7, то в любой матрице из Б(7) единица в %-й строке расположена на главной диагонали. Иначе говоря, при умножении матрицы из подгруппы Б(7) на любой вектор координаты вектора с номерами % € 7 остаются неизменными, а остальные координаты могут быть переставлены. Группа Б(7) изоморфна группе Б(|71). Заметим, что подстановоч-

ные матрицы не являются I х 7-примитивными, если хотя бы одно из множеств I, 7 имеет порядок больше единицы.

Отметим некоторые алгебраические свойства рассматриваемых множеств матриц.

Утверждение 1. При любых допустимых множествах I, 7 выполнено:

а) если Л € Qs(12) и Qc(72) и 7 — наименьшее натуральное число, при котором Л7(I х 7) > 0, то Л € Р(I х 7) и I х 7-ехрЛ = 7;

б) Qs(72) и Qc(72) — мультипликативные моноиды, содержащие подгруппу Б(7);

в) Р(72) —наследственное подмножество множества Qsc(n).

Доказательство.

а) Если Л*(! х 7) > 0, то > 0 при любых % € I и у € 7, * ^ 1. По правилу умножения матриц

п(*+1) = п п(4) + + п п(4) • (1)

пг,- — пг,1п1,- + ... + пг,ппп,- • V )

п(*+1) = п(*)п + + п(*) п (2)

Пг,- = пг,1 п1,- + ... + пг,гапп,-. (2)

Если Л € Qs(12) и % € I, то во множестве {а^,г : г € I} содержится положительное число, тогда п(-+1) > 0 в соответствии с (1). Если Л € Qc(72) и у € 7, то во множестве {п— : г € 7} содержится положительное число, тогда а(*+1) > 0 в соответствии с (2). Следовательно, в обоих случаях Л*+1(! х 7) > 0. Отсюда если Л7(I х 7) > 0, то Л*(! х 7) > 0 при любом * ^ 7.

б) Единичная матрица является 72-з-положительной при любом допустимом множестве 7, то есть достаточно показать, что множество Qs(72) замкнуто относительно умножения. Пусть С = (сг,-) = ЛБ, где Л и Б суть 72-з-положительные матрицы, тогда а^(г) > 0 и 6г(г)- > 0 при любом % € 7 и при некоторых /(%), у € 7. Тогда

сг,- пг,161,- + ... + пг,га6га,- ^ пг,1(г)61(г),- >

то есть %-я строка матрицы С ненулевая при всех % € 7. Значит, С € Qs(72).

Для множества Qc(72) доказательство аналогичное.

Включение Б(7) С Qs(72) П Qc(72) следует из определений данных множеств.

в) Если матрица содержит нулевую строку (столбец), то и любая её степень содержит нулевую строку (столбец), отсюда Р(72) С Qsc(n). Любая степень 72-примитивной матрицы также 72-примитивная, значит, подмножество Р(72) —наследственное. ■

Замечание 1. Множество Qsc(I х 7) не замкнуто относительно умножения. Например, при п = 3, I = {1, 2, 3}, 7 = {1, 2}:

0 1 0 0 1 0

Л = 10 1 0 1 € Qsc(I х 7), Л2 = 10 1 0 I € Qsc(I х 7).

1 0 0 0 1 0

Рассмотрим частичные порядки на множестве М0(п) и других множествах.

Напомним, что функция f : X ^ Ь, где X — частично упорядоченное множество, Ь — линейно упорядоченное множество, называется изотонной (антиизотонной), если для любых х,х' € X из отношения х ^ х' следует, что f (х) ^ f (х') ^(х) ^ f (ж')).

Для I, 7, I', 7' С N положим: (I, 7) ^ (I', 7') ^ I С I' и 7 С 7'. Данное бинарное

отношение ^ рефлексивно, антисимметрично и транзитивно, следовательно, является отношением частичного порядка на множестве ПП

Для Л, Б € М0(п) положим: Л ^ Б ^ а^,- ^ для всех %, у = 1,... , п. Если при этом существуют такие % и у, что , то Л < Б. Бинарное отношение ^ обладает

свойствами рефлексивности, транзитивности и антисимметричности, следовательно, является отношением частичного порядка на множестве М0(п).

Выполнены следующие монотонные свойства.

Утверждение 2.

а) I х 7-ехрЛ есть изотонная функция ^ N при любой матрице Л € М0(п);

б) I х 7-ехрЛ есть антиизотонная функция М0(п) ^ N при любых допустимых I, 7;

в) (Л(72))* ^ Л*(72) при любой матрице Л € М0(п) и любом допустимом 7, * ^ 1, вследствие этого 72-ехрЛ ^ ехр Л(72).

Доказательство.

а) Следует из того, что если (I, 7) ^ (I', 7') и Л(!' х 7') > 0, то Л(! х 7) > 0.

б) Индукция по степени * матрицы. Если Б ^ Л, то Б * ^ Л* при * ^ 1. Действительно, при * =1 неравенство выполнено. Пусть оно выполнено при *. Тогда Л*+1 = ЛЛ* = (Б + С)(Б* + С'), где С, С' € М0(п). Тогда

Л*+1 = Б*+1 + Б',

где Б' = СБ* + БС' + СС' € М0(п). Отсюда Б*+1(! х 7) ^ Л^1^ х 7) при любых

I, 7 С N и * ^ 0. Следовательно, I х 7-ехрЛ ^ I х 7-ехрБ.

в) Индукция по степени * матрицы. Пусть (Л(72))* = (с(*)), * = 1, 2,... При * = 1 неравенство выполнено. Пусть оно выполнено для *, где * ^ 1. Докажем неравенство для * + 1. По правилу умножения матриц для любых %, у € N

(*+1) (*) (*+1) (*)

- = Е , с1- = Е сЦск,-.

к=1

По предположению с^ ^ для любого в ^ * и для любых %, у € 7. Тогда для %, у € 7

(*+1) V—' (*) ^ V—' (*) ^ (*) (*+1)

с1- = Е 4 кск- ^ Е к^ Е ,к^,- = .

fceJ fceJ к=1

Индукция доказана. ■

Для матрицы Л обозначим = {Б € М0(п) : Б(72) ^ Л(72)}, где 0 = 7 С Жга.

Утверждение 3. Если Л(72) ^ Л2(72), то М^ — полугруппа; если при этом Б(72) ^ ЛБ(72) (Б(72) ^ БЛ(72)), то Мв^ — правый (левый) идеал полугруппы М^.

Доказательство. Пусть С,Б € МА^. Тогда С(72) = Л(72) + С'(72), Б(72) = = Л(72) + Б'(72), где С', Б' — неотрицательные матрицы. Отсюда

СБ(72) = ((Л + С')(Л + Б'))(72) = (Л2 + ЛБ' + С 'Л + С'Б')(72) ^ Л2(72) ^ Л(72).

Следовательно, СБ € М^, то есть М^ — полугруппа.

Пусть , то есть К(72) ^ Б(72). Так как С(72) = Л(72) + С'(72), где

С' € М0(п), то получим

СК(72) = ((Л + С')К)(72) = (ЛК + С'К)(72) ^ ЛК(72) ^ ЛБ(72) ^ Б(72).

Следовательно, СК € Мд^ и Мд^ — левый идеал полугруппы М^. Для правого идеала доказательство аналогичное. ■

Следствие 1. Если Л(72) —единичная матрица, то Р(72) — идеал моноида Ма^.

2. Локальная субпримитивность матриц и графов

Пусть A — матрица смежности вершин n-вершинного графа Г. По определению матрица A и граф Г одновременно примитивны или не примитивны. Для графа Г обозначим через D* матрицу достижимости вершин за t шагов, t = 1, 2,..

D = Е A". i=1

Известно, что Dn > 0, если граф Г сильносвязный. В соответствии с [3, разд. 10.2], наименьшее натуральное число t, при котором D* > 0, называется субэкспонентом матрицы A, обозначается sbxpA, при этом матрица A называется субпримитивной.

Критерий субпримитивности таков: матрица A субпримитивная, если и только если сильно связен граф Г, при этом sbxpA равен диаметру графа Г. Заметим, что понятие субэкспонента распространено [3, разд. 10.2] на систему матриц таким образом, что понятия субэкспонента системы матриц и диаметра соответствующей системы графов существенно различаются.

Дадим иное обобщение субэкспонента. Матрица A называется I х J-субпримитив-ной (/2-субпримитивной при I = J, *J-субпримитивной при I = Nn, I*-субприми-тивной при J = Nn), если для некоторого натурального числа y матрица (I х J)

(матрица (J2), матрица (*J), матрица (I*)) положительна. Наименьшее такое y назовём I х J-субэкспонентом (J2-субэкспонентом при I = J, * J-субэкспонентом при I = Nn, I*-субэкспонентом при J = Nn) матрицы A и обозначим I х J-sbxpA (J2-sbxpA, *J-sbxpA, I * -sbxpA). Заметим, что если (I х J) > 0, то Dt(I х J) > 0

при всех t ^ y. Множество субпримитивных (I х J-субпримитивных, J2-субприми-тивных, *J-субпримитивных, I*-субпримитивных) матриц обозначим E(n) (E(I х J), E(J2), E(*J), E(I*)).

Из определений следует, что при любых допустимых множествах I, J

P(n) С E(n) П P(I х J) С P(I х J) С E(I х J).

Следовательно, для любой матрицы A Е M0(n)

I х J-sbxpA ^ I х J-expA ^ max{I х J-expA, sbxpA} ^ exp A.

Утверждение 4. Если матрицы A,B Е M0(n) сопряжены в S(J), то они одновременно обладают или не обладают свойством £, где £ — любое из свойств: J^примитивность, J2-субпримитивность, J2-s-положительность, J2-c-положительность, J2-sc-положительность.

Доказательство. Если матрицы A и B сопряжены в S(J), то найдётся перестановочная матрица T Е S(J), такая, что A = T-1BT, отсюда A* = T-1B*T при любом t Е N. Следовательно, при любом натуральном t матрицы A* и B* отличаются лишь перестановкой строк и столбцов с номерами i Е J, то есть обладают одинаковыми указанными свойствами. ■

Обозначим: /j — длина кратчайшего пути от вершины i до вершины j в графе Г; d(I, J) = max /j —расстояние между наиболее удалёнными вершинами множеств I

(ij)e/х J

и J. При I = J = величина d(I, J) совпадает с диаметром графа Г.

Теорема 1. Матрица A является I х J-субпримитивной, если и только если в графе Г существует путь из любой вершины i Е I в любую вершину j Е J, при этом I х J-sbxpA = d(I, J).

Доказательство. Согласно [4, с. 143], > 0, если и только если в орграфе Г

имеется путь из i в j длины t. Отсюда матрица Dt(I х J) > 0, если и только если

в графе Г для любых i I и j J существует путь из i в j длины не более t.

Следовательно, I х J-sbxpA = d(I, J). ■

3. Локальная примитивность ориентированных графов

Граф Г называется I х J-примитивным, если матрица A является I х J-примитивной, при этом соответствующие I х J-экспоненты матрицы A и графа Г равны. Получим условия I х J-примитивности на теоретико-графовом языке.

Обозначим при любых допустимых I, J:

J — множество \ J;

Y/xj — величину I х J -exp Г для I х J -примитивного графа Г, где YiXj = Y/ XJ при I = {i} J = {j};

Yj2 — величину J2-exp Г для J2-примитивного графа Г;

Y*J — величину *J-exp Г для *J-примитивного графа Г;

Y/* —величину I * -exp Г для I*-примитивного графа Г;

p(I, J) —величину min /j, то есть расстояние в графе Г от множества I до мно-

(ij)e/х J

жества J (p(I, J) = 0 при I П J = 0, p(i, J) = p(I, J) при I = {i}, p(I, j) = p(I, J)

при j = {j});

0(I, J) —величину max p(i, J), то есть расстояние достижимости из любой вершины множества I некоторой вершины множества J (0(i, J) = p(i, J) = 0(I, J) при I = = {i});

т(I, J) —величину maxp(I, j), то есть расстояние достижимости из некоторой вершины множества I любой вершины множества J (т(I,j) = p(I,j) = т(I, J) при

J = {j }).

Обозначим также в графе Г:

L(i, j) —множество длин всех простых путей из i в j;

Ь(Г) —множество длин всех простых циклов;

U — множество вершин графа U, где U — часть графа Г (цикл, подграф, ...). Пусть Y С Nn. Путь в Г из i в j, проходящий через некоторые вершины непустого множества Y, назовем Y-путём из i в j. Сильносвязный подграф U орграфа Г назовём i, j-связывающим, если в Г существует U-путь из i в j. В частности, сильносвязный орграф есть i, j-связывающий орграф при любых i, j.

Пусть Ь(Г) = {/1,... , /m}, где /1 < ... < /m. Заметим, что (/1,... , /m) = 1, если и

только если орграф Г примитивный [5, с. 226].

Утверждение 5. Если орграф Г является I х J-примитивным, то орграф Г имеет i, j-связывающий подграф для любой пары (i, j) Е I х J.

Доказательство. Если орграф Г является I х J-примитивным, то матрица A является I х J-примитивной, тогда A*(I х J) > 0 при любом t ^ y, где y Е N. Отсюда в Г имеется путь w длины t из i в j для любой пары (i, j) Е I х J и любого t ^ y. Число вершин в подграфе не более n, значит, при t > n путь w содержит цикл C. Следовательно, подграф Г(С) с множеством вершин C является сильносвязным и i, j-связывающим подграфом. ■

Утверждение 6. Связный циклический орграф Г является I х J-примитивным,

если и только если Г является i х j-примитивным для любой пары вершин (i, j) Е I х J,

при этом Y/xJ = max Yixj.

(i,j)e/xJ j

В силу утверждений 5 и 6 достаточно получить условия i х j-примитивности для связного циклического орграфа Г.

Для множества взаимно простых натуральных чисел {a1,...,am} обозначим g(a1,...,am) число Фробениуса, то есть наибольшее натуральное число, не принадлежащее аддитивной полугруппе, порождённой множеством {a1,... , am}.

Сильносвязный орграф Г с n вершинами называется r-дольным с блоками V0, V1, ... , VT-1, где r > 1, если V0, V1,... , Vr-1 —блоки разбиения множества вершин орграфа Г, такие, что если (i, j) —дуга и i Е Vt, то j Е V(t+1) mod r, t = 0,1,..., r — 1.

Множество всех путей орграфа Г образует частичный моноид [6] относительно операции конкатенации, обозначаемой точкой. Данная операция определена на паре путей (u,v), если и только если конечная вершина пути u совпадает с начальной вершиной пути v. Если u — путь с начальной вершиной i и конечной вершиной a, v — путь с начальной вершиной a и конечной вершиной j, то w = u • v есть путь с начальной вершиной i и конечной вершиной j. При этом len w = len u + len v, где len w — длина пути w, то есть число дуг в нём.

Обозначим в графе Г: [i, j] —путь из i в j; (i, j) —кратчайший путь из i в j. Часть цикла C в орграфе Г, являющаяся путём из i в j, где i, j Е C, обозначим [i, j]с. При обходе цикла C выделим его вершину а как начальную, цикл (7 в этом случае обозначим (7(a). Для целого неотрицательного e через eC*(a) обозначим цикл, составленный из e-кратно пройденного цикла С(а), где 0(7(а) —пустой путь.

Лемма 1. Пусть Г — сильносвязный n-вершинный орграф, Ь(Г) = {/1,...,/m} и (/1,... , /m) = d > 1. Тогда Г является d-дольным орграфом с блоками V0, V1,... , Vd-1, и при s = 0,... , d — 1 для любых вершин i, j Е Vs существует путь [i, j] длины t, где t — любое число, кратное d, и t ^ fn(/1,... , /m), где

/Л / \ m

/га(/1, . . . , /m) = dg ( d , . . . , J + d + n(m + 1) — 1 — E /k. (3)

Доказательство. Не ограничивая общности, положим, что i, j Е V0. Заметим, что путь [i,j] существует, так как орграф Г сильносвязный. Пусть цикл Ck имеет длину /k, k = 1,..., m. Путь [i, j] представим в виде

[i,j] = [i,a1] • (e1(71(a1)) • [a1,a2] • (e2(72(a2)) • ... • [am-1,am] • (em^n(am)) • (am,j),

где e1,... , em — целые неотрицательные числа; a1 —вершина цикла C1, ближайшая к вершине i; ak — вершина цикла Ck, ближайшая к вершине a^-1, k = 2,...,m. Тогда

m

len [i, j] = e 1 /1 + ... + em/m + len [i, a^ + ^ len [afc-1 ,afc] + len (am, j). (4)

k=2

По условию (/1,... , /m) = d > 1. Тогда, в соответствии с [5, с. 390], орграф Г является d-дольным; пусть V0, V1,... , Vd-1 —его блоки. Так как i, j Е V0, то len [i, j] кратна d.

Вместе с тем (/1/d,... , /m/d) = 1. Тогда любое натуральное число, большее g(/1/d,... , /m/d), может быть представлено линейной комбинацией чисел /1/d,... , /m/d. Отсюда любое натуральное число, кратное d и большее dg(/1/d,..., /m/d), может быть

представлено линейной комбинацией чисел /1,... , /m. Значит, подбирая коэффициенты e1,... , em, можно получить сумму e1/1 + ... + em/m, равную любому числу t, которое кратно d и превышает dg(/1/d,... ,/m/d). Так как len (am, j) ^ n — 1 и расстояние от любой вершины до цикла Ck не превышает n — /k, k = 1,... ,m, из (4) следует, что, подбирая коэффициенты e1,... , em, можно получить len [i, j], равную любому числу t, которое кратно d и не меньше /п(/1,... , /m). ■

При натуральном d множество натуральных чисел M назовём d-полным, если M содержит полную систему вычетов по модулю d. Наименьшим d-трансверсалом d-полного множества M назовём подмножество (обозначаемое M(d)), состоящее из наименьших чисел множества M, образующих полную систему вычетов по модулю d.

Пусть R = {r1,r2,...} и R' = {r/, r2,...} —множества натуральных чисел. Под суммой множеств (обозначается R + R') понимаем множество натуральных чисел

R + R' = {r + rj : i, j = 1, 2,...}.

Теорема 2. Связный циклический орграф Г является i х j-примитивным, если в графе Г выполнено хотя бы одно из условий:

а) имеются примитивные i,j-связывающие подграфы [71,...,Uk, к ^ 1; тогда

Yixj ^ min {p(i, Ur) + exp Ur + p(Ur, j)};

1^r^k

б) имеется i, j-связывающий подграф V, L(7) = {/1,... , /m}, (/1,..., /m) = d > 1, и для некоторых вершин p, v графа 7 множество M(i M)+(VJ) является d-полным, где M(i,M)+(vj) = L(i,p) + L(v, j); тогда

/1 /m m

Yixj ^ dg f d’... , "dJ + 2d + n(m + 1) + qi,j — 2 — E /k,

где —наибольшее число d-трансверсала M(i,M)+(v,J)(d).

Доказательство.

а) Если U — примитивный подграф графа Г, то для любого t ^ exp U существует путь в U длины t из любой вершины в любую. По условию множество U достижимо из вершины i не более чем за p(i, U) шагов, и из множества U достижима вершина j не более чем за p(U, j) шагов. Тогда в Г существует путь длины t из i в j при любом t ^ exp U + p(i, U) + p(U, j). Значит, граф Г является i х j-примитивным и неравенство для локального экспонента YiXj выполнено.

б) По условию орграф V является d-дольным. Пусть V0, V1,... , Vd-1 —его блоки, p Е VS, v Е Vh, где s, h Е {0,... , d — 1}. Рассмотрим систему путей [i, j]p, p = 0,..., d — 1:

j]p = [i,P]P • ^pl • ^ v] • [v, j]p,

где p' — ближайшая к вершине v вершина из блока VS; пути [i,p]p и [v, j]p являются простыми и len [i, p]p + len [v, j]p = p (mod d) — по условию для любого p = 0,... , d — 1 в Г такая пара путей имеется. Тогда при p = 0,... , d — 1

len [i, j]p = len [p', v] + (len [i, p]p + len [v, j]p) + len [p, p']. (5)

По определению вершины p' имеем: len [p' ,v] ^ d — 1. Так как наибольшее число d-трансверсала множества L(i,p) + L(v, j) равно qi,j, то len [i,p]p + len [v, j]p ^ qi,j при

любом p. По лемме 1 можно построить путь [p, p'], длина которого равна любому числу t, кратному d и не меньшему /п(/1,... , /m). Так как множество M(i M)+(VJ) является d-полным, то, в соответствии с (5), можно при любом p = 0,... , d — 1 построить путь [i, j]p, длина которого равна любому числу t, сравнимому с p по модулю d и не меньшему /п(/1,... ,/m) + d + qi,j — 1. Следовательно, граф Г является i х j-примитивным и оценка для YiXj верна. ■

Следствие 2. При выполнении условия б теоремы 2 верна оценка

/1/ m

Yixj ^ —j-/1 — /m + 2d + n(m + 3) — 4 — /k.

d k=1

Доказательство. Следует из оценки числа Фробениуса [7, теорема 3.1.1]

. . . , am) ^ a1 am a1

а также оценки qi,j ^ 2n — 2. ■

Замечание 2. Для снижения оценки величины YiXj, полученной в п. б теоремы 2, можно использовать эквивалентное подмножество {Л1,... , Ar} множества {/1,... , /m}, такое, что r ^ m, (Л1,..., Ar) = (/1,..., /m) = d и g(A1/d,..., Ar/d) = g(/1/d,..., /m/d).

Построение эквивалентных подмножеств {Л1,... , Ar} исследовалось в [6].

Замечание 3. Условие б теоремы 2 может быть расширено не только за счёт рассмотрения в орграфе Г нескольких i, j-связывающих не примитивных подграфов, но и за счёт d-полноты объединения по данным подграфам множеств вида M(i M)+(VJ).

Теорема 3. Граф Г является J2-примитивным, если и только если в Г имеется примитивная компонента сильной связности U, содержащая множество вершин J; при этом

YJ2 ^ exp U ^ YJ2 + 0(U \ J, J) + т(J, U \ J).

Доказательство. Необходимость. Пусть граф Г является J2-примитивным. Тогда существует путь длины t из p в v для любых p, v Е J и любого t ^ YJ2. Значит, J С U, где U — компонента сильной связности графа Г. Тогда при любом t ^ YJ2 существует путь длины A = t+6(U \ J, J )+т (J, U \ J) из i в j для любых i, j Е U. Следовательно, граф U примитивный с экспонентом, не превышающим Yj2 + 6(U\ J, J) + т(J, U\ J).

Нижняя оценка exp U следует из п. а утверждения 2.

Достаточность. Если U — примитивная компонента сильной связности в графе Г, где J С U и Аи — матрица смежности вершин графа U, то существует натуральное число y, такое, что AU > 0 при любом t ^ y. Значит, AU(J2) > 0 при любом t ^ y, то есть матрица Аи является J2-примитивной. Следовательно, граф Г является J2-примитивным. ■

Следствие 3. J2-примитивный граф Г примитивен, если и только если Г сильносвязный, при этом

YJ2 ^ exp Г ^ YJ2 + 0( J J) + т(J, J).

Следствие 4. Граф Г является *J-примитивным (I^-примитивным), если и только если Г является J2-примитивным (I2-примитивным) и из каждой вершины i Е U достижимо множество вершин U (из множества вершин U достижима каждая вершина i Е U), при этом

YJ2 ^ Y*J ^ YJ2 + 6( J, J) (yi2 ^ Y/* ^ Yi2 + Т(I, 7)).

Доказательство. Докажем следствие для *J-примитивности графа; для 1*-примитивности доказательство аналогично.

Необходимость. Если граф Г является J-примитивным, то по определению он является и J2-примитивным. Вместе с тем множество вершин J достижимо из любой вершины графа. Так как U7 — компонента сильной связности и J С U, то из любой вершины графа достижимо множество вершин U.

Достаточность. Если граф Г является J2-примитивным, то A*(J2) > 0 при любом t ^ YJ2. Вместе с тем множество вершин U достижимо из любой вершины i Е U; тогда множество вершин J достижимо из любой вершины i Е J, следовательно, А*(* J) > 0 при всех натуральных t ^ YJ2 + 6( J, J). Значит, граф Г является J-примитивным и Y*J ^ YJ2 + 6(J, J). Нижняя оценка y*J следует из п. а утверждения 2. ■

Замечание 4. Если граф Г является J2-примитивным и U — компонента сильной связности графа Г, такая, что J С U, то Г является ^-примитивным.

Если при этом |U| = m и граф Г примитивен (*U-примитивен, U^-примитивен), то max{6(U, U), т(U, U)} ^ n — m; тогда из следствий 3 и 4 имеем соответственно

exp Г ^ Yu 2 + 2(n — m), y*u ^ Yu2 + n — m, Yu * ^ Yu 2 + n — m.

Так как для примитивного подграфа U из п. в утверждения 2 следует, что Yu2 ^ exp U, то с помощью известных оценок экспонентов отсюда получаются огрублённые оценки. Например, при использовании оценки Виландта [1, с. 7] для exp U получаем

exp Г ^ m2 — 4m + 2n + 2, y*u ^ m2 — 3m + n + 2, Yu * ^ m2 — 3m + n + 2.

4. Локальная квазипримитивность неотрицательных матриц и графов

Матрица А называется 1 х J-квазипримитивной (J2-квазипримитивной при 1 = J, *J-квазипримитивной при 1 = Nn, 1^-квазипримитивной при J = Nn), если при некотором натуральном числе 6 подматрица А*(1 х J) (A*(J2), A*(*J), А*(1*)) s-положительна для любого t ^ 6. Наименьшее такое 6 назовём 1 х J-квазиэкспонентом матрицы А (J2-квазиэкспонентом при 1 = J, *J-квазиэкспонентом при 1 = Nn, 1^квази-экспонентом при J = Nn) и обозначим I х J-qexp А (J2-qexp А, *J-qexp А, I*-qexp А). Множество 1 х J-квазипримитивных (J2-квазипримитивных, *J-квазипримитивных, I^-квазипримитивных) матриц обозначим П(1 х J) (n(J2), n(*J), П(1 *)).

1 х J-квазипримитивность матрицы при 1 = J = равносильна s-положительности. Определим: граф Г является 1 х J-квазипримитивным, если и только если матрица А является 1 х J-квазипримитивной; соответствующие 1 х J-квазиэкспоненты матрицы А и графа Г равны.

Обозначим при любых допустимых I, J:

6/xj — величину 1 х J-qexp А для 1 х J-квазипримитивной матрицы А;

6j2 —величину J2-qexp А для J2-квазипримитивной матрицы А;

6*j — величину *J-qexp А для *J-квазипримитивной матрицы А;

6/* —величину 1 * -qexp А для 1^-квазипримитивной матрицы А.

Замечание 5. При любых допустимых множествах 1, J

P(1 х J) С Е(/ х J) П П(1 х J), следовательно, для любой матрицы А Е Mo(n)

max{6/xj,1 х J-sbxpA} ^ y/xj.

Таким образом, наиболее сложным является описание 1 х J-квазипримитивных матриц (графов), не являющихся 1 х J-примитивными.

Матрицу А (граф Г) будем называть локально примитивной (локально субпри-митивной, локально квазипримитивной), если она 1 х J-примитивная (1 х J-субпри-митивная, 1 х J-квазипримитивная) при некоторых допустимых 1, J, где 1 П J = Nn. Соответствующие величины экспонентов назовём локальными экспонентами (локальными субэкспонентами, локальными квазиэкспонентами) матрицы А (графа Г).

Утверждение 7. Для любой матрицы А Е M0(n):

а) для любого фиксированного множества 1 локальный квазиэкспонент 1 х J-qexp А

является антиизотонной функцией ^ N;

б) для любого фиксированного множества J локальный квазиэкспонент 1 х J-qexp А

является изотонной функцией ^ N;

в) при любых фиксированных подмножествах 1, J локальный квазиэкспонент

1 х J-qexp А является антиизотонной функцией M0 (n) ^ N.

Доказательство.

а) Если J С J' и матрица А(1 х J) s-положительна, то матрица А(1 х J') также s-положительна.

б) Если 1 С 1' и матрица А(1' х J) s-положительна, то s-положительна и матрица А(1 х J).

в) Если B ^ А, то B* ^ А* при любом t ^ 1; следовательно, B*(1 х J) ^ А*(1 х J)

при любых 1, J С и t ^ 1. ■

Утверждение 8.

а) Если орграф Г является 1 х J-квазипримитивным, то орграф Г имеет i, j^-свя-зывающий подграф для любого i Е 1 и некоторого j Е J.

б) QS(J2) С n(J2), и 6J2 = 1 для любой матрицы А Е QS(J2).

Доказательство.

а) Если орграф Г является 1 х J-квазипримитивным, то матрица А является 1 х J-

квазипримитивной; тогда матрица А*(1 х J) является s-положительной при любом t ^ y, где y Е N. Отсюда в Г имеется путь w длины t из i в j для любого i Е 1 и некоторого ji Е J при любом t ^ y. Число вершин в подграфе не более n, значит, при t > n путь w содержит цикл C. Следовательно, подграф Г(С) с множеством

вершин C является сильносвязным и i, j^-связывающим подграфом.

б) Если А Е QS(J2), то, согласно п. б утверждения 1, А* Е QS(J2) при любом натуральном t. Следовательно, А Е n(J2) и 6j2 = 1. ■

Следствие 5. Если орграф Г является 1 х J-квазипримитивным, то множество J достижимо из всех вершин множества 1.

Теорема 4.

а) Пусть U — сильносвязный d-дольный подграф орграфа Г с блоками U0, U1, ... , Ud-1, где L(U) = {/1,... ,/m}; d = (/1,... ,/m) > 1. Граф Г является U х J -квазипримитивным, если и только если J П Us = 0, s = 0,1,... , d — 1, в этом случае при |U| = r выполнено

U х J-qexp Г ^ /г (/1,... , /m) + d — 1,

где величина /г (/1,... , /m) определена равенством (3).

б) Пусть в графе Г подграф J7 сильносвязный или состоит из компонент сильной связности, где J есть множество вершин Г, достижимых из любой вершины множе-

ства 1. Тогда орграф Г является U х J-квазипримитивным при U = 1 U J и

U х J-qexp Г = 6(1, J).

Доказательство.

а) Необходимость. Пусть граф Г является U х J-квазипримитивным, тогда при любом t ^ 6иxj матрица A*(U х J) является s-положительной. Значит, для любого и Е U и любого t ^ 6и XJ в Г имеется путь длины t из и в одну из вершин J. Вместе с тем, если взять пути длины t,t + 1,... , t + d — 1, то с учётом d-дольности орграфа U получим, что J П Us = 0, s = 0,1,... , d — 1.

Достаточность. Пусть js Е J П Us, s = 0,1,... , d — 1. Не ограничивая общности, рассмотрим блок U0. В блоке U0 имеется вершина us, из которой вершина js достижима за s шагов, s = 0, . . . , d — 1 . По лемме 1 для любой вершины и U0 можно построить путь [u,us] длины t, где t — любое число, кратное d и не меньшее /г(11,... ,1m). Тогда имеется путь [u, js] длины t + s, s = 1,... , d — 1. Следовательно, для любой вершины и Е U и любого t ^ /г (/1,... , 1m) + d — 1 имеется путь длины t из и в одну из вершин множества J. Это означает, что граф Г является U х J-квазипримитивным и оценка для U х J-qexp Г верна.

б) Из любой вершины i Е 1 существует путь длины 6(i, J) в некоторую вершину

ji Е J. По условию для любой вершины j Е J и любого r Е N существует путь [j, v]

длины r, где v Е J. Тогда для любой вершины i Е U в Г имеется путь [i,v] длины

6(i, J) + r, где v Е J и r Е N (если i Е 1, то [i, v] = [i, j ■ j v]). Следовательно, граф Г

U х J-квазипримитивен и U х J-qexp Г = max6(i, J) = 6(1, J). ■

i€/

Пример (локально квазипримитивная, но не локально примитивная матрица).

Пусть А рис. 1.

О І О О

І О І О

О О О 1

І О О О

Е Qsc(1 х J), соответствующий граф Г(А) изображён на

Рис. 1. Граф Г(А)

Граф Г является двудольным с блоками ^ = {1, 3} и VI = {2, 4}. При 3 = {1, 4} оба блока содержат по одной вершине из множества 3. Тогда по теореме 4 матрица А является *3-квазипримитивной. Вместе с тем по теореме 3 матрица А не является

* 3 -примитивной.

Полученные результаты могут быть использованы для изучения перемешивающих свойств композиций криптографических преобразований.

ЛИТЕРАТУРА

1. Когос К. Г., Фомичев В. М. Положительные свойства неотрицательных матриц // Прикладная дискретная математика. 2012. №4(18). С. 5-13.

2. Кяжин С. Н. О локальной примитивности графов и неотрицательных матриц // Прикладная дискретная математика. Приложение. 2013. №6. С. 81-83.

3. Фомичев В. М. Методы дискретной математики в криптологии. М.: Диалог-МИФИ, 2010. 424 с.

4. Берж К. Теория графов и её применения. М.: ИЛ, 1962. 320 с.

5. Сачков В. Н., Тараканов В. Е. Комбинаторика неотрицательных матриц. М.: ТВП, 2000. 448 с.

6. Фомичев В. М. Эквивалентные по Фробениусу примитивные множества чисел // Прикладная дискретная математика. 2014. №1(23). С. 20-26.

7. Alfonsin J. R. The Diophantine Frobenius Problem. Oxford University Press, 2005. 243 p.