CC BY
9
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ
ДЕКОМПОЗИЦИЯ ДИСКРЕТНОЙ ЗАДАЧИ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ С МАЛЫМ ШАГОМ НА ИНТЕГРАЛЬНЫХ МНОГООБРАЗИЯХ Аширбаев Б.Ы. Email: [email protected]
Аширбаев БейшембекЫбышевич - кандидат физико-математических наук, доцент, кафедра прикладной математики и информатики, Кыргызский государственный технический университет им. И. Раззакова, г. Бишкек, Кыргызская Республика
Аннотация: при решении задач управления объектами из различных областей науки и техники возникают сложности, обусловленные высокой размерностью моделей и наличием нескольких временных масштабов. В связи с этим возникает необходимость разделения переменных состояния в задачах оптимального управления. В статье методом интегральных многообразий [1] дискретная задача оптимального управления с малым шагом подразделена на две подзадачи, решения которых находятся независимо друг от друга. Алгоритмы приближенных решений подзадач построены на основе второго метода Ляпунова [2]. Данная работа является продолжением исследований работ [3, 4] дискретной задачи оптимального управления с малым шагом.
Ключевые слова: малый шаг. Матрица простой структуры. Декомпозиция линейной дискретной системы. Уравнения Риккати. Уравнения Ляпунова. Интегральные многообразия. Функции Ляпунова. Первая разность.
DECOMPOSITION OF DISCRETE OPTIMAL CONTROL PROBLEM WITH A SMALL STEP ON THE INTEGRAL MANIFOLDS Ashirbayev B.Y. Email: [email protected]
Ashirbayev Beyshembek Ybyshevich - candidate physical and mathematical. Sc., Associate Professor, DEPARTMENT OF APPLIED MATHEMATICS AND COMPUTER SCIENCE, KYRGYZ STATE TECHNICAL UNIVERSITY I. RAZZAKOVA, BISHKEK, REPUBLIC OF KYRGYZSTAN
Abstract: in solving the object management tasks from various fields of science and technology there are difficulties due to the high dimensionality of the model and the presence of multiple time scales. In this connection there is need for the separation of state variables in optimal control problems. In the article the method of integral manifolds [1] discrete optimal control problem with a small step subdivided into two sub-tasks, the solution of which is independently from each other. Algorithms for the solution of subtasks are based on the second method of Lyapunov [2]. This work is a continuation of research works [3, 4] the discrete optimal control problem with a small step.
Keywords: small step. Simple structure matrix. Decomposition of a linear discrete system. Riccati equation. Lyapunov equations. Integral manifolds. Lyapunov functions. The first difference.
УДК517.977.58: 517.925.53
Пусть задана линейная дискретная система с малым шагом
х ( t + T)=A гх (t)+A 2 z (t)+Bxu ( t), х (0)=х0, (1)
z(t + Т) = A3x(t) + A4z(t) + B2u(t), z( 0) = Zq,
где
постоянные матрицы, и = и(t) — г — мерный вектор управления, t = kT, k = 0,1 ,■ ■ -со, T — малый шаг, 0 <T < 1.
Требуется найти оптимальное управление и * = и * (t), которое минимизирует критерий качества
J = Zt=o[u'(kT)u(kT) + х (кТ)1гх(кТ) + z'(kT)L2z(kT)], (2) где L! > 0, L2 > 0 — симметрические постоянные матрицы, штрих обозначает транспонирование.
Потребуем выполнения следующих условий:
I. Матрицы АI ( £ = 1 , 4) являются матрицами простой структуры и они не имеют нулевого собственного значения Л ; (£ = 1, п).
II. Матрицы А; (£ = 1, 4) устойчивы т.е., все собственные значения Л; матрицы А; удовлетворяют неравенствам:
| Л | <ц0<1, Л1+ Л ФО, £ > 1, ] <п. При выполнении условии I, как показано в [3, с. 25-31] систему (1) можно разделить на две подсистемы меньшего порядка вида:
х (Ь + Т)=А1 х ( Ь) + В1и (Ь) , (3)
г (ь + т)= а4 2(ь) + в2и(Ь), (4)
где
А 1= А1+А2Н , А4=А4-НА2, В1 = В1 + МВ2, В2 = -НВ1+В2. (5) При условии, что матрицы Ни N удовлетворяют следующим матричным уравнениям Риккати и Ляпунова соответственно:
- НА 1 + аан - НА 2 Н + А 3=О , (6) -А^ + N А4 +А 2 = О. (7) Начальные условия системы (3) и (4) принимают вид:
х (О) = х0, 2(О) = 20, (8)
где
Теперь рассмотрим задачу декомпозиции (2) - (4). Известно нам, что при выполнении условий II системы (3) и (4) имеют интегральные многообразия [1, с. 15-26, 4, с. 79-84]:
2 = Нх, х = -N2. (9) Представим интегральные многообразия (9) в виде:
9У = { (хНх)I х = хеЯп,2 = Нх,2е Яп}, (10) да = {((-N2) ',2)1 х = -N2 едп, г е Яп}. Определим из столбцов матрицы В1 и В2 следующие векторы:
ь(1) = (ьт ьт ... ьт) ьт = (ьт ьт ... ь(2)у и] V 1г 21 пЬ)' 1 \ 11 21 пЬ)'
} = 1 , п, £ = 1, 1 , где ь(1), ь(221 - элементы матриц В-1 и В2. Пусть выполняются условия
(ь(1)Г, НЬ(1 )еву, ( ( -N3?))',ь(2^ев„ (11)
где
ът = (Вт 5(1) ... вт) ът = гБт ът ... 5(2)у
и] \"а и21 иш ) ' иI V 1г 21 пЬ ] Тогда исходная задача сводится к независимому синтезу регуляторов в системах (3), (4). При этом управление и(Ь) можно определить в форме
и «) = {-^х (Ь)'ХеЯ п, (12) {-в2ка2Ц), 2 е яп,
где матрицы усиления, которые подлежат определению.
Теперь задачу (1), (2) представим в виде следующих две подзадач, решения которых находятся независимо друг от друга:
(13)
х(Ь + Т)= А1 х(Ь) + В-¡_и(Ь), х(О) =х0, 2 = Нх, х = х, (14)
где и
]а = £к=о[и'(кТ)и(кТ) + 2 (кТ)Ьа2(кТ)] - т£п, (15)
(16)
где
При построении решений задачи (13) - (16) используем метод Ляпунова [2, с. 320-410]. Для данной задачи функции Ляпунова имеют вид:
V(х, Ь) = х'(Ь)Рх(Ь), в(2,Ь) = 2'(Ь)((2(Ь), (17) где Р и (( - положительно определенные матрицы. Тогда первые разности функции (17) соответственно можно записать в виде:
^ (X,Ь)=V [х ( Ь + Т) ]-V [х ( Ь) ] , (18)
(19)
Сначала рассмотрим задачу (13), (14). Согласно методу Ляпунова первая разность функции Ляпунова должна быть отрицательна определенной. Объединив условие отрицательной определенности первой разности функции Ляпунова (18) с функционалом (13) полагаем
х(г + т)Рх(г + т)Р - х(г)Рх(г) = = - [и '( 0 и ( £) + х ' (£) Ьух (Ь) ] . (20) С учетом (12), (14) из (20) имеем
х'ЩА'1РА1 - А^В^Ку - КуВ1В'1РА1 + КуВ^РЁ^Ку - P]x(t) = = - х' (о [КВ± В [Ку + Ц х ( 0 . (21) При любом х ( £) из (21) получаем
Р = А[Р А! - А[РВ^К - КВ1В'1РА1 + КуВ1 В'1РВ1 В'К, (22) КВ1 В'К +Ьу=0. (23) Аналогично для задачи (15), (16) из условия
г {г + Г)(2г(£ + Г)<2 - г (£)<Ж£) = = - [и '( 0 и ( £)+гтг,стг(£)] (24) с учетом (12), (16) из (24) получаем
2'ЩА'^А4 - А'^В2В2ка - КВ2В2(}А4 + к'ав2в'2(}в2в'2ка - о\г{1) = = - г(£)[КаВ2В2Ка + Ц2(Ь). (25) При любом из (25) имеем
< = А4(}А4 - А4(2 Й2 В2Ка - К'^В'ЛА4 + К'^В'ЛВ2В2Ка, (26) КВ2 В'гКа+Ь . (27) Теорема. Пусть выполняются условия II, (11), (20) и (24). Тогда в интегральных многообразиях (10) существуют управления (12) для системы (14) и (16), которые соответственно минимизируют функционалы (13) и (15), причем их минимальные значения определяются как
т т]„ = х'( 0) Рх ( 0) , (28) т т] а = г'(0)«г(0). (29) При этом оптимальные управления задачи (13), (14) и (15), (16) определяются соответственно функциями:
и, а) = -в'&х (о , (30) и. (I) = -В2Каг(1). (31) Доказательство. Сначала докажем теорему для задачи (13), (14). Для того чтобы минимизировать функционал (13), находим суммы:
21=0 тх, кТ] = 2£=о{У[х((к + 1)Т)] - У[х(кТ)]}, (32) 2%=0 ДУ[х, кТ] = х'(ЮРх(Ю - х (0)Рх(0). (33) С учетом (12) и (14) из (32) имеем
^=0АУ[х,кТ] =
1%=0хХкТ)[к1В1В1Ку+Ьу+А'1РА1-А'1РВ1В'1Ку - -¡СВ&РА^К^В&РВ&Ку -
РхкТ. (34) Сравнивая правые части (33) и (34), получим равенство
х(кТ)[КВ^Ку + 1У+ А'1РА1 -А^РВ^Ку -КВ1В'1РА1 + +КВ1В'1РВ1В'1Ку -РхкТ- XШх^Х0Рх0=0. (35) Добавляя теперь, к функционалу (13) левую часть равенства (35) получаем
} = ТЗ^хХкПКВ&Ку + Цх(кт) +1,%=0хХкт)[КВ1В'1ку +ьу + +А1рА1-А1рВ1В'1ку -
КУ В1В1'РА 1 +КУ В1В1 РВ1В1'Кт- РхкТ- - XN РхЫ+Х 0Рх0. (36) При выполнении условий (23) и
1 1 т^х ' ( N Рх(N=0 (37) и с учетом (22) из (36) получаем (28). Аналогично для задачи (15), (16) имеем:
2 £=о ДС[г,кТ] = 2Ъ=о{С[г((к + 1)Т)] - С[2(кТ)]}, (38) 2 1=оДС[г,кТ] = г'(Ы)((2(Ю -г(0)<г(0). (39) Тогда с учетом (12) и (16) из (38) имеем
Е£=о ас [г, кт] =
Ж=0гХкТ)[каВ2В2ка+ьа+А4(2А4-А4(2В2В2ка - -каВ2В2рА4+каВ2В^В2В2ка -
. (40)
Сравнивая правые части (39) и (40), получаем
TZ=0z(kT)%B2B2K„ + La + A4QA4 - A4QB2B2Ka - KaB2B2QA4 + +KaB2B2QB2B2Ka -QzkT- 2NQzN+Z0Qz0=0. (41)
Добавляя к функционалу (15) левую часть равенства (41), получаем
] =
ZZ=0zXkT)[K„B2B2K„ + La]z{kT) +^=0zXkT)[K„B2B2K„ + La + +A4QA4-A4QB2B2K„ -КО B2B2'QA4+KO B2B2'QB2B2'Ко- QzkT--2NQzN+20Qz0. (42) При выполнении условий (27) и
1 i mN _ Mz'(JV)QzW = 0 (43) и с учетом (26) из (42) получаем (29), ч. т. д.
Список литературы / References
1. Стрыгин В.В., Соболев В.А. Разделение движений методом интегральных многообразий. М: Наука, 1988. 256 с.
2. Андреев Ю.Н. Управление конечномерными линейными объектами. М: Наука, 1976. 424 с.
3. Иманалиев З.К., Аширбаев Б.Ы. Алгоритм решения линейного матричного разностного уравнения с малым шагом // Проблемы современной науки и образования, 2016. № 8 (50). С. 8-10.
4. Аширбаев Б.Ы. Декомпозиция и алгоритм решения задач оптимального управления с малым шагом // Известия КГТУ им. И. Раззакова, 2016. № 3 (39). С. 25-31.
5. Иманалиев З.К., Аширбаев Б.Ы. Декомпозиция задач оптимального управления с сингулярными возмущениями на интегральных многообразиях // Известия КГТУ им. И. Раззакова, 2007. № 11. С. 79-84.
