Многоуровневая оптимизация составных технологических процессов с координацией в режиме реального времени Текст научной статьи по специальности «Математика»

France. P. 5-10. 20. Andra K., Chakrabarti C., Acharya T. A VLSI architecture for lifting-based forward and inverse wavelet transform. Signal Processing. IEEE Transactions and Signal Processing. Vol. 50. Issue 4. 2002. P. 966 - 977. 21. Barua S., Kotteri Carletta J. E, K. A., Bell A. E. An Efficient Architecture for Lifting-based Two-Dimensional Discrete Wavelet Transforms. GLSVLSI'04. 2004. Massachusetts. USA. 11 p.22. ITU-TRecommendation. T .24.Standardized digitized image set. ITU Standard. June 1998. Available at http://www.itu.int/ITU-T/. 23. Arslan Tan K-C. B., T. Shift-accumulator ALU centric JPEG2000 5/3 lifting based discrete wavelet transform architecture.- 7803-7761-3103111. 7.00 02003 IEEE. P. V-161 V-164. 24. Lian C-J., Chen K-F., Chen H-H.and Chen L-G. Analysis and architecture design of lifting based DWT and EBCOT for JPEG2000. Proceedings of Technical Papers of 2001 International Symposium on VLSI Technology Systems and Applicarions. 2001. P. 180-183. 25. Simon T. andChandrakasanA. P. An ultra low power adaptive wavelet video encoder with integrated memory. IEEE Journal of Solid-Slate Circuits. Vol. 35. No. 4. 2000. 10 p.

Поступила в редколлегию 20.03.2006

Хаханова Ирина Витальевна, докторантка кафедры АПВТ ХНУРЭ. Научные интересы: проектирование цифровых систем на кристаллах. Увлечения: английский язык, музыка. Адрес: Украина, 61166, Харьков, пр. Ленина, 14, тел. 70-21-326.

УДК 681.324.01

А.Я.СКЛЯРОВ, Л.А. ХРИСТОЕВА

МНОГОУРОВНЕВАЯ ОПТИМИЗАЦИЯ СОСТАВНЫХ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ С КООРДИНАЦИЕЙ В РЕЖИМЕ РЕАЛЬНОГО ВРЕМЕНИ

Выполняется анализ способов решения задач оптимального управления технологическими процессами, динамика которых описывается математическими моделями большой размерности, традиционными методами управления. Предлагается метод решения таких задач посредством декомпозиции на ряд локально не связанных подзадач меньшей размерности с последующей координацией локальных решений в реальном масштабе времени.

1. Введение

При решении задач оптимального управления технологическими процессами в реальном масштабе времени, динамика которых описывается математическими моделями большой размерности, может оказаться, что традиционные методы управления практически не эффективны из-за недопустимо большого времени решения задачи оптимального управления и прогрессирующего накопления ошибок округления в численных алгоритмах их реализации.

Эффективное решение таких задач может быть осуществлено посредством декомпозиции оптимизационной задачи большой размерности на ряд локально не связанных подзадач меньшей размерности. Однако в больших системах, как правило, не бывает автономно функционирующих подсистем. Поэтому для учета взаимосвязей между подсистемами необходим, по крайней мере, еще один уровень управления, который бы позволил скоординировать локально функционирующие подсистемы таким образом, чтобы оптимизировать общий критерий качества всей сложной системы. Этот уровень должен обеспечивать оценку параметров взаимосвязи подсистем, формировать координирующие воздействия (параметры порядка) и передавать их подсистемам в режиме приоритетного воздействия.

В большинстве научных работ, посвященных проблемам декомпозиции-координации [ 14], в основном рассматриваются методы координации в режиме off-line. Однако имеется ряд работ [5, 6 ], в которых предлагаются методы координации, обеспечивающие получение эффективных решений оптимизационных задач в режиме on-line.

Следует отметить, что on-line координация может быть применена в системах, в которых переменные взаимосвязи изменяются значительно медленнее переменных состояния подсистем, потому что процедура координации, как правило, является многошаговой и

не всегда, в случае быстро изменяющихся переменных взаимосвязи, удается получить физически реализуемое значение координирующих параметров на промежуточных этапах вычислений [6].

Цель данного исследования состоит в анализе известных подходов к решению задач оптимального управления системами большой размерности в режиме on-line и сведению решения таких задач к общим формулам, простая детализация которых позволит получить необходимые и достаточные условия разрешимости задач оптимального управления линейными взаимосвязанными системами большой размерности с квадратичными критериями качества в режиме on-line для достаточно большого класса технологических процессов.

Задачи: рассмотреть традиционные методы решения задач оптимального управления составными технологическими процессами; разработать метод решения оптимизационных задач большой размерности, предполагающий декомпозицию их на ряд подзадач меньшей размерности; описать процедуру координации полученных результатов в реальном времени.

Рассмотрим иерархическую структуру информационных потоков системы управления сложным составным технологическим процессом р, который декомпозирован нап подпроцессов pi,1 <i < n (рис. 1).

Рис. 1

На рис.1 приведены следующие обозначения: w - входной вектор возмущающих воздействий размерности г; У - вектор состояния размерности р; V - вектор измерения помехи размерности s ; ъ — вектор измерения выходного состояния размерности s ; и -вектор управления размерности q; р; — вектор модификации целевой функции подсистемы ; размерности р; х 1; у; - вектор модификации функции управления подсистемы ; размерности qi х 1; т; — переменные взаимосвязей в уравнениях, описывающих ограничения на динамику и управления; у; - оценка локального вектора состояния подсистемы ;.

Линейную дискретную модель управляемого процесса представим следующим образом:

у(к +1) = Ау(к) + Ви(к) + Cw(k) , (1)

где к = 0,..^,; А — матрица коэффициентов при векторе состояния размерностью р х р; в — матрица коэффициентов при векторе управления размерностью р х q; с - матрица коэффициентов при векторе входных возмущений размерностью р х г.

Измеренные значения вектора состояния определим как:

7(к) = Бу(к) + У(к), (2)

где г - вектор измерения состояний размерности s; V - вектор измерения помехи размерности s; Б - диагональная матрица измерений размерности s х р. Общий критерий качества определим как:

N-1

^у, и) =< у(К) - г, 0Р (у(К) - г) > + £ [< у(к) - г, 0 Y (у(к) - г) >+ < и(к), 0ии(к) >], (3)

к=0

здесь г - постоянное эталонное значение вектора состояния размерностью р; 0 р -диагональная матрица коэффициентов конечного состояния размерностью р х р; 0 Y -диагональная матрица коэффициентов состояния размерностью р х р; 0 и - диагональная матрица коэффициентов управления размерностью р х q. (Запись < х, Ах > соответствует

записи хтАх .)

Блок-схема управления технологическим процессом представлена на рис. 2.

|u(k)

B

w(k)

Т

v(k)

y(k+i)

Задержка

:УгЧ D

A

z(k)

Рис. 2

Предположим, что существует, по крайней мере, одно измеримое состояние подсистемы и одно управление, а число управлений не превышает числа состояний в каждой

подсистеме (p; > q;). Тогда линейную дискретную модель управляемого подпроцесса можно представить в виде:

y; (k + 1) = Aijy; (k) + BjjU; (k) + С;;Ю; (k) + m; (k), (4)

где ю; - входной вектор возмущающих воздействий для подпроцесса i; mi (k) - функция взаимодействия подпроцесса ; с другими подпроцессами, определяется как:

m; (k) = £ [Aijy j (k) + B;jU j (k) + C;JÖ j (k)] (5)

j^i

Функция измерения для каждого подпроцесса определяется как:

Z ;(k) = D;;y;(k) +V ;(k), (6)

а локальные функционалы

N-1

G;(y;,U;) =< y;(N) - Г;, Q;F(y;(N) - Г;) > + £[< y;(k) - Г;, Qy^OO - Г;) +< U;(k),Q;uU;(k) >] (7)

k=0

Предположим, что общий функционал системы является аддитивным:

n

G(y,u) = £ G;(y;,u;). (8)

i=1

2. Модификация локальных функционалов

Для достижения оптимального функционирования управляемого процесса р локальные критерии качества должны быть скоординированы таким образом, чтобы обеспечить

минимум функционалу (8). При этом локальные функционалы G;(y; ,U;) модифицируются координатором в функционалы Gjß (y;, U;, ß;), где ß; - функция модификации локального

С

критерия качества подсистемы i, не зависимая от U; и Ю; и обеспечивающая согласование локального критерия подсистемы с глобальной целью системы.

Таким образом, если G;ß сбалансирован с G и если найдены оптимальные локальные управления u* такие, что

Giß(y*,u*,ß*) <Giß(y[,u[,ß[) , (9)

тогда будет справедливо

G(y*,u*) < G(yr,ur), (10)

где уГ ,иГ ,ßГ ,yr ,ur - заданные эталонные значения соответствующих переменных.

В связи с предположением (8) об аддитивности глобального функционала его можно представить в виде:

n

G = Gi + EGJ , (11)

т.е. сумма в выражении (8) может быть разделена на выражения, содержащие переменные y;,U;,Ю;, и выражения, которые от них не зависят. Выражения, которые не зависимы от ui , можно представить как функцию взаимосвязи по управлению и возмущению ßi = h; (u, w), а оставшиеся переменные - как функции модификации локальных функционалов Y; = n;(u,w).

Из уравнения (4) определим управление локальным подпроцессом:

U; (k) = B -1 [y; (k + 1) - А;;У; (k) " ^ Ю; (k) " m; (k)] . (12)

Далее определим модифицированный функционал подпроцесса:

G;ß (y;,U;, ß;, Y;) = 2 < y;(N) - r;,S;(y;(N) - г;) > +

N-1 1 1 1

+ E [- < y;(k) - r;, Q ;(y;(k) - г;) >+-< U;(k),R;U;(k) >--< Г;,Т;Г; > + k=0 2 2 2

+ 2 < ®;(k),T;«;(k) > + <ß;(k),y;(k) > + < Y;(k),U;(k) > , (13)

где

S; = 2Q ;F , Q; = 2(Q ;Y +EEaT;(B -1 )T Q juB -j

j*;

R; = 2(Q ;u -EEBT;(B j )T QjU^j;), j*;

П j;(B J )T QjUB -jj T;'= 2( E^ -U T ' j*; J*

T; = 2( E AT;(B J )T QjUB -jj T;= 2( E CT;(B j )T Q jUB -j j*; j*;

ß ;(k) = -2 ]TAT;(B -1 )T Q juB - (B JJ m j (k) + Aj;(y;(k) - r;)),

j*;

Y; (k) = -2E BT; (B-1 )T Q juB-1 (BjjU J (k) + Aj;y; (k)).

Вт гт>-ит.

Следует отметить, что переменные модификации локальных состояний (к) получены из недиагональных элементов матрицы А, а переменные координации локальных управлений у; (к) - из недиагональных элементов матрицы в • При таком выборе функции ^ (и, w)

и ni(u,w) будут не зависимы от локальных управлений Ui. В такой постановке задачи оптимального управления составным технологическим процессом для согласования решения локальных задач оптимального управления можно применять принципы координации в режиме реального времени (on-line) [1, 6].

3. Метод решения задачи локального управления и оценивания Локальное управление подсистемами. Решение задачи оптимального управления подпроцессом i состоит в том, чтобы минимизировать модифицированный локальный функционал Giß (yi, Ui, ßi, у i), заданный уравнением (13) с учетом ограничений (4).

Переменные взаимосвязи по состоянию, управлению и возмущению вычисляются с использованием заданных эталонных значений координатором. Выражение для локального управления, которое минимизирует локальный функционал, запишем в следующем виде [7, 9]:

Ui(k) = R-1BT(AT)"1[(Qi - Pi(k))yi(k) + Si(k) - Qir +ßi(k)]- R-V^b (14)

где Pi(k) - матрица Риккати, полученная в результате решения матричного уравнения в обратном времени:

(15)

(16)

(17)

Р1(к) = 01 + АТ [Р1-1 (к +1) + В^^В^]-1 А11, со значением в конце интервала управления

Р^) =

^(к) = 01Г1 - Р1 (к) + (к +1) - АТ [РГ1 (к +1) + В^-^Т]-1 х

х [ВиЯ-1В;т ^ (к +1) - ВцЯ-1у 1 (к) + СиЦю1 + Ш1 (к)] со значением в конце интервала управления

£ l(N) = (18)

= Е[й1(к)], (19)

где - математическое ожидание входного возмущения 1 -го подпроцесса.

Оценка состояний локальных подсистем. Решение задачи оптимального управления (14) осуществляется каждой подсистемой 1 < 1 < п и может быть применено к реальному подпроцессу:

У1 (к +1) = Аиу1 (к) + ВцИ1 (к) + СйцШ1 + шГ (к), (20)

где шГ(к) - заданное значение функции взаимодействия, определяемое координатором.

Однако значение выходных параметров состояния подсистемы У1 (к) зашумлено измеряемой помехой V 1(к), поэтому измеренное значение выхода представляется формулой:

71(к) = DiiУi(k) + v 1(к). (21)

Блок-схема системы управления и измерения состояния локального подпроцесса приведена на рис. 3.

|и 1*(к-1)

roi(k-1)

mi(k-1)

Рис. 3

yi(k)

Dii

vi(k)

Aii yi(k-1) 4- Задержка

z i(k)

В связи с тем, что выходные параметры состояния подсистемы у;(к) зашумлены измеряемой помехой V; (к), возникает необходимость определения оценки вектора состояния подсистемы. Запишем уравнение одношагового предсказания

у ;(к | к -1) = Аиу; (к -1) + вии; (к -1) + С;;+ тГ(к -1). (22)

Если помеха гаусовская, то лучшую оценку вектора состояния подсистемы можно получить из следующего выражения

у; (к) = у;(к | к - 1) + К (к)[7; (к) - ЦV; - Dlly; (к | к - 1)] , (23)

где К; (к) - коэффициент усиления Калмана; = Е^ ;(к)] - математическое ожидание помехи. Определим коэффициент усиления Калмана [10]

К; (к) = ^(к | к - 1)DiT[DllV~l (к | к - 1)БТ + VVl ]-1, (24)

где Vvl - ковариационная матрица измеряемой помехи размерности s; х Sl; V; (к | к -1) -априорная дисперсия фильтруемой погрешности у; = у; - у;, вычисляемая по формуле

^;(к | к - 1) = А;;^;(к)АТ + ; (25)

где V; - ковариационная матрица измеряемого входа подсистемы размерности Г; х Г;. Апостериорную дисперсию фильтруемой погрешности определим из выражения

V; (к) = [I - К; (к)Б;; ^ ^ | к - 1). ^

Процедура синтеза оценки вектора состояния подсистемы приведена на рис. 4.

Рис. 4

Процедура координации в реальном времени. Полный период управления процессом разбивается на L последовательных интервалов координации к = 1 ^2 ,...,tL-1 с конечным значением к = N. В каждом интервале координации локальные подсистемы управления определяют улучшенное, относительно к эталонному, управление, которое было определено в предыдущий координационный интервал. Процедура координации:

Шаг 1. В начальный момент координации к = 0 эталонное управление считается заданным и равным и Г0 (к) для каждого подпроцесса, 1 < 1 < п . Функции взаимодействия и модификации локальных критериев на первом координационном интервале

т1(к) = 0, р 1(к) = 0, у 1(к) = 0 .

Оптимальное управление определяется при нахождении минимума функционала Gl(у1,и1) по формуле (7) с ограничениями (4).

Шаг 2. Полученное эталонное значение локальных управлений и[0 (к) координатор

использует для определения эталонного выхода у[° (к) и функций взаимодействия т[° (к)

для к, от к = 0 до к = N -1.

Функция взаимодействия вычисляется из выражения

т[0 (к) = ИАуУГ0 (к) + Б^0 (к) + С^]. (27)

.И

у[0 (к +1) = Аиу[0 (к) + Вии[0 (к) + Сц ^ + т[0 (к) (28)

Эталонное значение выхода У[0 (к +1) с начальными значениями у(0).

Далее координатор определяет функции модификации локальных критериев рг0 (к) и у г0 (к) для всех к, от к = 0 до к = N -1, используя выражения

р Г0 (к) = -2 ¿А^Б -1 )т 0 ^Б -1[В. иГ0 (к) + А^(у[0 (к) - (29)

у г0 (к) = -2 £ ВТ (В-1 )т 0 JuБ -1 [Б. иГ0 (к) + А^уГ0 (к)] (30)

.И

Вычисленные значения тГ0 (к), р Г0 (к), у Г0 (к) координатор передает локальным подсистемам для определения лучших относительно иГ0 (к) локальных управлений.

Шаг 3. Локальные подсистемы, используя переданные координатором значения тГ0 (к), Р Г0 (к), у Г0 (к), определяют оптимальные управления и*0 (к) для всех к, от к = 0 до к = N -1 используя

и*0 (к) = RГ1B1T(AT)-1 [(01 - Р1 (к)у1 (к) + ^ 1(к) - о 1Г1 +р Г0 (к))] - R-1y Г0 (к^ (31) при ограничении

у1(к +1) = Ацу1(к) + Бци1(к) + Сц ^ + тГ0 (к). (32)

Шаг 4. Оптимальные значения и*0 (к) используются в реальном процессе локального управления в первом координационном интервале от к = 0 до к = ^ . Управление и*0 (к) для к = 0 до к = 11 -1 является реально применимым, а для интервала от к = ^ до к = N -1 становится новым эталонным управлением иГ для следующего координационного интервала к = ^ .

Шаг 5. Выходные значения векторов состояния подсистем измеряются в первом координационном интервале. Фильтры подсистем определяют оценки у 1(к) для интервала

от k = 1 до k = tj по измеренным значениям z¡(k), используя выражения (22) - (26) и процедуру, изображенную на рис. 4. Результаты оценивания передаются координатору.

На интервале управления от k = 11 до k = N -1 координатор использует текущее управление u*0 (k), как новое эталонное управление ur1 (k) для следующего координационного интервала. Используя выражения (27), (28), вычисляет новые эталонные функции взаимодействия mr1 (k) и новые эталонные функции выхода yr1 (k) для интервала от k = t1 до

k = N, которые сохраняются до тех пор, пока локальные управления остаются неизменными.

Начальные условия для этой процедуры даются оценкой фильтров подсистем yr1 = y¡(t1). Тогда новые значения функций модификации локальных критериев ßr(k) и уr (k) для интервала от k = t1 до k = N -1 вычисляются по формулам (29), (30).

Вся процедура со второго по пятый шаг повторяется для каждого координационного интервала до окончания всего интервала управления.

4. Выводы

Научная новизна полученных в работе результатов заключается в разработке метода решения оптимизационных задач большой размерности, предполагающего декомпозицию их на ряд подзадач меньшей размерности. Для учета взаимосвязей между подсистемами введен дополнительный уровень управления, позволивший скоординировать локально функционирующие подсистемы в режиме on-line таким образом, чтобы оптимизировать общий критерий качества всей сложной системы.

Практическая значимость разработанного метода определяется существенным уменьшением времени решения задач оптимального управления и избавлением от прогрессирующего накопления ошибок округления в численных алгоритмах их реализации. Кроме этого, снижаются требования к вычислительным ресурсам аппаратных средств системы управления составными технологическими процессами.

Список литературы: 1МесаровичМ., Мако Д., Такахара И. Теория иерархических многоуровневых систем: Пер. с англ. М.: Мир, 1973. 344 с. 2.ChongC.Y., ÄthansM. On the Periodic Coordination of Linear Stochastic Systems. Automatica, 1976. 12, N 7. Р. 146-152. З.ПервозванскийА.А., Гайцгори В.Г. Декомпозиция, агрегирование и приближенная оптимизация. М.: Наука, 1979. 344 с. 4.WilsonI.D. Foundations of hierarchical control. Int. J. Control, 1979. 29, №° 6. Р. 899-933. 5Aoki M. On Decentralized Linear Stochastic Control Problems with Quadratic Cost. IEEE Transactions on Autonomic Control, 1973. 18, N 6. Р. 243-250. 6.Pearson I.D. Dynamic decomposition techniques. In: Optimization Methods for Large Scale Problems with Application /Edited by D.A. Wismer. New York: McCraw Hill, 1971. Р. 121-190. 7.СейджЭ.П., УайдИ.С. Оптимальное управление системами: Пер. с англ./ Под ред. Б.Р. Левина. М.: Радио и связь, 1982. 392 с. 8.НетушилА.В., Болтушевич А.В., Бурляев В.В., Кузин Р.Е., Александровский Н.М. Теория автоматического управления: Нелинейные системы управления при случайных воздействиях. М.: Высшая школа, 1983. 432 с. 9АтонсМ., ФалбП. Оптимальное управление: Пер. с англ. М.: Машиностроение, 1968. 763 с. 10.Калман Р., Фалб П., АрбибМ. Очерки по математической теории систем: Пер. с англ. М.: Мир, 1971. 400 с. 11. SilJak D.D., Sundareshan M.K. A Multilevel Optimization of Large Scale Dynamic Systems. IEEE Transactions on Autonomic Control, 1979. 21, N 1. Р. 79-84

Поступила в редколлегию 24.03.2006 Скляров Александр Яковлевич, канд. техн. наук, доцент кафедры ИУС ХНУРЭ. Научные интересы: синергетика, анализ и мониторинг компьютерных сетей. Адрес: Украина, 61166, Харьков, пр.Ленина,14, тел. 70-21-451.

Христоева Людмила Александровна, ассистент кафедры ИУС ХНУРЭ. Научные интересы: анализ и мониторинг компьютерных сетей. Адрес: Украина, 61166, Харьков, пр.Ленина, 14, тел. 70-21-451.