CC BY
36
Измерение. Мониторинг. Управление. Контроль
УДК 538.5
О. А. Голованов, А. А. Кичкидов, Н. В. Прокина, С. А. Тарасов
ДЕКОМПОЗИЦИОННЫЙ ПОДХОД В МОДЕЛИРОВАНИИ РАСПРОСТРАНЕНИЯ СЕЙСМОАКУСТИЧЕСКИХ ВОЛН
DECOMPOSITION APPROACH IN MODELING OF SEISMIC WAVE PROPAGATION IN THE EARTH'S SURFACE
Аннотация. Рассмотрено применение метода автономных блоков при моделировании процессов распространения сейсмических волн в земной поверхности. Метод позволяет учесть неоднородность среды распространения волн и будет полезен в создании адаптивных алгоритмов обнаружения сейсмических средств охраны.
Abstract. The application of autonomous blocks method in the simulation of seismic wave propagation in the Earth's surface is considered. The method takes into account the environment propagation heterogeneity of the wave field. The study will be useful in adaptive algorithms creation for seismic detection.
Ключевые слова: математическое моделирование, декомпозиционный подход, сейсмоакустические волны.
Key words: mathematical modeling, decomposition approach, seismoacoustic wave.
В настоящее время разработчики сейсмических систем управления строят алгоритмы обнаружения, основываясь просто на широкой базе сейсмических сигналов, зачастую не анализируя все процессы, проходящие в среде их формирования. Такие алгоритмы часто оказываются неэффективными при смене условий эксплуатации системы. Поэтому необходимо провести исследования с целью изучения особенностей формирования и распространения сейсмических волн в грунте, влияния характеристик сейсмических приемников на процесс сигналообразования.
В работе предлагается применение метода автономных блоков в исследованиях гетерогенных (разнородных по составу) структур земной поверхности. Для получения математической модели гетерогенной структуры грунта наиболее целесообразно использовать декомпозиционный подход, позволяющий учесть все неоднородности среды распространения акустических волн в грунте.
Область земной поверхности и прилегающего к нему воздушного слоя (рис. 1) разбиваем условными границами на подобласти в виде прямоугольных параллелепипедов, которые рассматриваем как автономные блоки, и для них из решения краевых задач дифракции определяем математические описания - матрицы импеданса. Математическую модель гетерогенной структуры в целом находим как объединение автономных блоков между собой по виртуальным каналам Флоке [1].
В объеме автономного блока V0 волновой процесс удовлетворяет уравнению динамики деформированного тела в линейном приближении для гармонических колебаний [2]:
В ЗЕМНОЙ ПОВЕРХНОСТИ
O. A. Golovanov, A. A. Kichkidov, N. V. Prokina, S. A. Tarasov
c2Au + <2u + (cf - c2 )drad divu = 0 ,
(1)
2012, № 2
47
где ю - частота; и - вектор перемещения частиц; с1, ст - фазовые скорости распространения продольной и поперечной волн. На поверхностях граней волновой процесс удовлетворяет условиям неасимптотического излучения (поле на гранях можно представить рядами Фурье) [1].
Рис. 1. Расчленение земной поверхности и прилегающего воздушного слоя на автономные блоки: Н1 - воздух; И2 - почвенно-растительный слой; к3 - суглинок; И4 - твердая глина с включениями
Используя формулы векторного анализа, преобразуем (1) к виду, удобному для решения краевой задачи, проекционным методом:
V = —1Ср, grad р = Н,
С Ро
- 1юр0 - 1 - - 1ю -го! Е = —V + — Н, го! V =--Е,
ст2 ст2 Ро
(2)
где р0 - плотность среды; р - давление; V - скорость частиц; Н, Е - вновь введенные векторные функции.
Используя две вспомогательные задачи на собственные значения для определения вихревой и потенциальной подсистем и формулу Остроградского-Гаусса, получаем интегральную потенциальную форму:
% I р* % • ^р+1 р* ^ • V=—1ю | рр*ау—1 "С11- ■ ;
С1 р0 Vо с
р = 1
6
^ Vо
% I рр V* • I • ^ =— ^ I рр* dV +1Н • ;
Р = 15
6
^ Vо
% | (Ер х ) • dSр= 1юРо | - • | Н • У*ldV — 1С| Е • E*dV;
Р = 15р
6
"т Vо
^ Vо
(-тх Е*) • = —IЕ • E*dv—1СI- • ^,
Р = 15р
"т Vо
(3)
где рр - давление на поверхностях граней параллелепипеда (Р = 1, 2, ..., 6); Ур - нормальные составляющие вектора скорости V на поверхностях граней параллелепипеда 5р;
48
Измерение. Мониторинг. Управление. Контроль
Ур , Ер - касательные составляющие векторов V, Е на поверхностях граней параллелепипеда
{рк} , [Ук} - потенциальная подсистема функций; |Ег }, {V} - вихревая подсистема функций.
Из проекционной интегральной формы (3) методом Галеркина получена система линейных алгебраических уравнений:
' Я11 0 Я13 0 ^ Г с Р 1 ' W11 0 0 0 ^
Я 21 Я 22 0 0 с н 0 W 22 0 0 ах
0 Я32 Я33 Я34 0 0 W33 0 Ь2
V 0 0 Я 43 Я 44 у V *Е у V 0 0 0 W44 у VЬХ у
(4)
В системе алгебраических уравнений (4) Я
11
Я13, Я21,Я22,
Я44, W11, W22, W33, W44 - матрицы с элементами
11
22
33
44
Я32, Я33.
Я34, Я43
С Ро
| РпРк ¿У;
»13 _ тк
Ккп _--
Ч У,
| РпР* ¿У;
■г
1
?32
Чп 2 С2
»22 _ [ V-¿¡¿У; _4IV-; »33 I V ¿¡¿У;
"х V,
€ _-т
Щ | Еп-ЦйУ ; К43 _I $п- Цау ; К44 Еп-Е*йУ ;
С,
X Уо
_ I < (Р) - Р* ¿^р; ^/22(Р) _ I (е^р) х Е
33
кп (Р)
I *
3Р
п (Р)- ^Р ; ^
44
1п (Р) " ^"пТ(Р)
5
I (*пТ(Р) X V*) - ^р .
Р
Из системы уравнений (4) методом парциальных режимов [1] определяем матрицу импеданса Z автономного блока, которая используется в построении математической модели распространения сейсмических волн в гетерогенной структуре земной поверхности.
Запишем матрицу импеданса Z, гетерогенной структуры земной поверхности и прилегающего воздушного слоя, выделив особо канал Флоке 1, с помощью которого осуществляется сейсмическое нагружение гетерогенной структуры:
Z
' 7ц ^ Л
7 7
V а1 аа У
(5)
где а - совокупность индексов остальных виртуальных каналов Флоке 2, 3, ... .
Матрица импеданса связывает вектор а (представление скорости частиц) с вектором Ь (представление давления). Для матрицы (1) такая связь имеет следующий вид:
Г ь 1
V Ьа у
Г 7 7 1
71 71а
^11
V 7а1
аа у
Га А
V аа У
(6)
Волновые процессы в гетерогенной структуре земной поверхности и прилегающего воздушного слоя удобно описывать матрицей рассеяния 8, которая связана с матрицей импеданса 7 следующим образом:
8 = (7 + 1)-1-(7 + I),
(7)
где I - единичная матрица. Матрица рассеяния существует, так как автономный блок записан в терминах собственных волн каналов Флоке, и она имеет структуру, аналогичную матрице импеданса:
о
Р
Р
2012, № 2
49
(Л (с с Л Г с+ Л
с
V а
с с
V а1 ^аа у
с+
V а у
Амплитуды падающих волн с^, с+ Флоке определяются следующим образом:
С1+ = с- = са = ^, Са . (9)
Динамическое нагружение гетерогенной структуры (рис. 1) осуществляется со стороны канала Флоке 1 амплитудой падающей волны с^, амплитуды остальных падающих волн в каналах математической модели гетерогенной структуры равны нулю (са = 0) . В этих каналах распространяются только уходящие волны, возбужденные динамической нагрузкой со стороны канала Флоке 1. Амплитуда падающей волны с^ определяется векторами а^ Ьь Компонентами вектора а! являются коэффициенты рядов Фурье представления нормальной и касательной составляющих скорости частиц. Компонентами вектора Ь1 являются коэффициенты рядов Фурье представления давления и касательной составляющей вихря скорости частиц. Следовательно, можно проводить комплексное нагружение гетерогенной структуры (скорость частиц, давление, вихрь скорости частиц). При нагружении гетерогенной структуры ступней ноги человека доминирующими являются нормальная составляющая скорости частиц V2 и давление р. Остальные компоненты векторов а! и Ьь представляющие касательные составляющие скорости частиц и вихря скорости частиц, принимаем равными нулю.
Зная амплитуду падающей волны (с/" Ф 0 , са Ф 0), определяем (4) амплитуды отраженных волн (с—,са ) в каналах Флоке базового элемента гетерогенной структуры. Среда заполнения каналов Флоке имеет параметры р (плотность), с, ст (скорости распространения продольных и поперечных упругих волн). Эти параметры выбираем, учитывая физические свойства материалов гетерогенной структуры земной поверхности. Через канал Флоке 1 осуществляется динамическое нагружение гетерогенной структуры ступней ноги человека, следовательно, параметры р, с, ст берем для резины (обувь). Для остальных каналов, находящихся сверху структуры, параметры р, с берем для воздуха. Для каналов, находящихся снизу структуры, параметры р, с, ст берем для грунта. Для боковых каналов структуры параметры выбираем следующим образом: первый слой - р, с для воздуха; второй слой - р, с, ст для почвен-но-растительного слоя; третий слой - р, с, ст для суглинка; четвертый слой - р, с, ст для твердой глины с включениями.
В табл. 1 приведены значения плотности, модуля Юнга и модуля сдвига для слоев гетерогенной структуры слоев земной поверхности.
Таблица 1
а
Материал Плотность, р, кг/м3 Модуль Юнга, Е, МПа Модуль сдвига, О, МПа
Почвенно-растительный слой 1550 16 8
Суглинок 1700 28 14
Твердая глина с включениями 1800 45 22,5
Скорости распространения продольных и поперечных упругих волн определяются следующим образом:
Затухание упругих волн учитывается путем введения комплексного модуля Юнга (для продольных волн) и комплексного модуля сдвига (для поперечных волн) [1]:
50
Измерение. Мониторинг. Управление. Контроль
E = El 1 + i ; g = G 11 + i
щ у V ю
где а1, ах - коэффициенты поглощения продольных и сдвиговых упругих волн; -
частота.
Такой подход позволяет строить широкий класс математических моделей гетерогенных структур с твердыми телами, в частности учесть все разнообразие грунтов, их структуру (слоистость, отличные по составу включения и другие неоднородности). Использование математической модели дает преимущество в сокращении экспериментальных исследований, а также при получении данных, когда по каким-либо причинам эксперимент провести невозможно. Это позволит разработчикам расширить круг решаемых задач сейсмическими средствами обнаружения.
Список литературы
1. Голованов, О. А. Автономные блоки с виртуальными каналами Флоке и их применение для решения прикладных задач электродинамики / О. А. Голованов // Радиотехника и электроника. - 2006. - Т. 51, № 12. - С. 1423-1430.
2. Ландау, Л. Д. Механика сплошных сред / Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц. - М. : Гос. изд. физ.-мат. лит., 1954. - 471 с.
Голованов Олег Александрович
доктор физико-математических наук, профессор, кафедра № 6,
Пензенский филиал Военной Академии материально-технического обеспечения E-mail: golovanovol@mail.ru
Кичкидов Анатолий Андреевич
кандидат технических наук, заведующий кафедрой автономных информационных и управляющих систем, Пензенский государственный университет E-mail: aius@pnzgu.ru
Прокина Наталья Владимировна
инженер, аспирант,
кафедра автономных информационных и управляющих систем, Пензенский государственный университет E-mail: nataly_pr@mail.ru
Тарасов Сергей Александрович
адъюнкт, кафедра № 6, Пензенский филиал Военной Академии материально-технического обеспечения E-mail: tarasovca@mail.ru
Golovanov Oleg Aleksandrovich
doctor of physical and mathematical sciences, professor, sub-department of № 6, Penza branch of the Military Academy of material-technical support
Kichkidov Anatoliy Andreevich
candidate of technical sciences, head of sub-department of autonomous information and control systems, Penza State University
Prokina Natal'ya Vladimirovna
engineer, postgraduate student, sub-department of autonomous information and control systems Penza State University
Tarasov Sergey Aleksandrovich
postgraduate student, sub-department of № 6, Penza branch of the Military Academy of material-technical support
УДК 538.5 Голованов, О. А.
Декомпозиционный подход в моделировании распространения сейсмоакустических волн в земной поверхности / О. А. Голованов, А. А. Кичкидов, Н. В. Прокина, С. А. Тарасов // Измерение. Мониторинг. Управление. Контроль. - 2012. - № 2. - С. 46-50.
