CC BY
20
УДК 535.32
В. И. Волчихин, Д. В. Артамонов
ПОСТРОЕНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ ГЕТЕРОГЕННЫХ СТРУКТУР С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ДЕКОМПОЗИЦИОННОГО ПОДХОДА
Аннотация. Предложен декомпозиционный подход к математическому моделированию гетерогенных структур, который базируется на решении уравнений динамики деформированного тела в линейном приближении. Дифференциальные уравнения динамики сведены методом интегрирования по частям к интегральной проекционной форме, из которой получена матрица проводимости автономного блока в виде прямоугольного параллелепипеда с упругим заполнением и каналами Флоке на гранях. Разработана методика рекомпозиции автономных блоков.
Ключевые слова: математическая модель, гетерогенные структуры, каналы Флоке, рекомпозиция.
Abstract. The article introduces a decompositional approach to mathematical modeling of heterogeneous strucutures, based on solving the equations of deformed body dynamics in linear approximation. Dynamics differential equations are reduced by means of partial integration into integral projection form which would enable to obtain a rectangular-parallelepiped-shaped matrix of self-contained unit conductivity with elastic filling and Floke channels on the facets. The authors have developed a method of self-contained unit decomposition.
Key words: mathematical model, heterogeneous structures, Floke channels, recomposition.
Математические модели гетерогенных структур автомобильных дорог будем строить с использованием декомпозиционного подхода. Область полотна автомобильной дороги (рис. 1,а) расчленяем условными границами на подобласти в виде прямоугольных параллелепипедов, которые рассматриваем как автономные блоки, и для них из решения краевых задач дифракции определяем математические описания - матрицы импеданса. Математическую модель гетерогенной структуры полотна автомобильной дороги получаем как объединение автономных блоков между собой по виртуальным каналам [1].
На рис. 1,б показан автономный блок в виде прямоугольного параллелепипеда с виртуальными каналами Флоке на гранях для построения математических моделей гетерогенной структуры полотна автомобильной дороги. В объеме параллелепипеда (автономного блока) Vq волновой процесс удовлетворяет уравнению динамики деформированного тела в линейном приближении для гармонических колебаний [2]:
с2 Аи + ю2и + (с2 - с2 )grad divU = 0, (1)
где ю - частота; и - вектор перемещения частиц; сі, ст - фазовые скорости распространения продольной и поперечной волн. На поверхностях граней волновой процесс удовлетворяет условиям неасимптотического излучения (поле на гранях можно представить рядами Фурье) [1].
а)
б)
Рис. 1. Гетерогенная структура полотна автомобильной дороги: а - расчленение условными границами на автономные блоки; б - автономный блок в виде прямоугольного параллелепипеда с локальными координатами на гранях
Используя формулы векторного анализа, преобразуем (1) к виду, удобному для решения краевой задачи проекционным методом:
где Ро - плотность среды; р - давление; V - скорость частиц; Е, Н - вновь введенные векторные функции.
Преобразуем систему дифференциальных уравнений (2) к интегральной проекционной форме. Для этого необходимо на основе системы дифференциальных уравнений (2) сформулировать две вспомогательные краевые задачи на собственные значения. Выделим в (2) соленоидальные (divV = 0) и потенциальные (го1^ = 0 ) поля.
Для потенциального поля система дифференциальных уравнений (2) преобразуется к системе
grad р = Н,
(2)
Р0
div V =-і~2— р,
с1 Р0
grad р = —'юро~у.
(3)
Из (3) следует первая вспомогательная краевая задача на собственные значения:
л * . “k ?* grad pk = ----------vk,
с1
* * divVk =-i—kPk, k = 1,2,..., го, вобластиРО;
с1
(4)
pk(Sj) = pk(S4), Vk(Sj) = %(S4); pk(S2) = pk(S5),
Vk (S2) = Vk (S5); Pk (S3) = Pk (S6X Vk (S3) = Vk (S6) награнях.
Для соленоидального поля система дифференциальных уравнений (2) преобразуется к системе
rot E = ,
+? i“ ?
rotv =------------E .
Po
(5)
Из (5) следует вторая вспомогательная краевая задача на собственные значения:
. ?* . “i ?*
rotEi = i~^vi ,
rotVi = -i“iE¡, l = 1, 2,..., го, в области Vo;
É(Si) = É(S4), V?(Si) = i?i(S4); E¡(S2) = É(S5),
Vi (S2) = V¡ (S5); Éi (S3) = Ei (S6), Vt (S3) = V (S6) на гранях.
(6)
Объем V совпадает с объемом автономного блока (рис. 1,б).
Системы функций {Рк }, {у£ } , порождаемые краевой задачей (4), и системы функций {Е/} , {V1} , порождаемые краевой задачей (6), полны, ортогональны и нормированы:
| РпРкЛу = | ^ = 8ик;
Vo Vo
J Én • E*dV = J i?„ • fdV = 8„i:
(7)
(8)
где 8nk - символ Кронекера (8nk = 1, если n = к и = 0, если n Ф к). Используя дифференциальные формулы векторного анализа
div^a = a grad^ + ^ divo , div(a X b) = b roto - a rotb
и формулу Остроградского - Гаусса, из (2), (4) и (6) получаем интегральную проекционную форму:
с
6
2 I Рк^ • ^р + І Ркїу • ^V = —ію~2 | РРк^ -і — Iv • ,
р=5р Sv с1Ро Vо с Vо
:ИИ„ *
21РР V; • =—і -* | р рк dv +1 н • у; dv,
р=5р с Vо V (9)
6 Р 1 ()
2 І (Ёр XV*) • = іюр° ІV • V* dV +— IН • V* dV —і(а11Ё • Ё* dV,
Р=1 Сз Vо Ст Vо Vо
2 І 0$ X Ё*) • dSр = — IЁ • Ё* dV — і ^ ІV • V/ dV,
р=1 Sр Vо ст Vо
где рр - давление на поверхностях граней параллелепипеда Sр (р = 1, 2,..., 6); vр - нормальные составляющие вектора скорости V на поверхностях граней
параллелепипеда Sр; , Ёр - касательные составляющие векторов V, Ё на
поверхностях граней параллелепипеда Sр.
В области V автономное решение краевой задачи ищем в виде рядов
Фурье по собственным функциям {Рк}, ^}, {V/1, |Ё/1 краевых задач
(2), (4):
^ ^ ^ ^
р=2 сП Рп, Н=2 , v=2 ^п, Ё=2 ^ Ёп. (10)
п=1 п=1 п=1 п=1
На гранях Sр автономного блока решение ищем в виде рядов Фурье по собственным функциям |е^(р)}, {еіф)} |л^(р)}, {^(р)} :
^’13 2 апф)епф) , ^3 2 ап(р)еп(р),
п=1 п=1
рр = 2 Ькр)Икр), Ёр = 2 Ьп(р)%) . (11)
п=1 п=1
Эти системы функций полны, ортогональны и нормированы:
І (ек(а) х ^п(а)) • ^а = І (ек(а) х ^п(а)) • dSа = 8кп ; (12)
S« Sа
І ек(а) ^п(а) ^а = І %(а)еп(а) ^а = ^кп . (13)
Подставляя (10) и (11) в интегральную проекционную форму (9), получаем следующую систему линейных алгебраических уравнений:
"я11 0 Я13 0 ^ " с Р ' V11 0
Я21 Я22 0 0 с Н 0 3
0 я32 я33 я34 & 0 0
4 4 ей 3 4 ей 0 ® V йЕ V V0 0
,22
,33
0
0
0
ж?44
(14)
/ чЬ /
11 13 21 22 32
В системе алгебраических уравнений (14) Я , Я , Я , Я , Я , Я33, Я34, Я43, Я44 , '^1, W22 , W33, W44 - матрицы с элементами:
с/2Ро у
Уо
якп = I Рп Рк ¿у; якп = І іп • п ¿У;
сі :
Уо
І
Уо
К32 = К1п =
-1 І ^ • іі ¿У ; К33 = /Юро І і?п • V* ¿У;
Т Уо
Т Уо
К1п /Юі
1 ¿У; К^п =-/^ І іп і ¿У;
ст Уо
Кіп4 =-| Еп Е ¿У;
Уо
о
^^(Р) = I ечр) рк ^р; ^п2р) = | (еи(р)х Еі) • ;
5р
^кпз(р) = | ^ • 4*; ^ = | (¿пт(р) х V;) • ¿§р.
Компонентами вектора ср являются коэффициенты: {сЦ}, сн - {с
^ - {<}, йЕ - }, а2 - {аП(р)}, ат - {а^}, Ь2 - {ьП(р)}
Ь - {ь«(р)} •
Обращая матрицу, находящуюся слева, преобразуем (14) к виду
с ' ^ ІЛ 3 814
СН. £21 3 4 т
йу 831 3 т 3 3 ' СЛ ] 834
йЕ 1 842 3 4 С/) 4 4 СЛ
Г а2 ^
а
Ь 2
V VЬ /
(15)
о
р
р
где
fc.11 с12 с13 с14 Л
§ 21 § 22 §23 §24
§31 §32 §33 §34
§41 §42 §43 §44
' я11 о
я13 о
Л 1 ( 11
Л {W11 о о
я21 я22 о
к32 к33 к34
о
к43 к44
о
о о о о
W22 о
о
о
W33 о
о W
44
. (16)
Выделяя в матрице выражения (15) четыре клетки и объединяя векторы
' ср Л ' «Ґ л ' а2 Л ' Ь 2 Л
с = , Й = , а = , ь =
сн у V Й ^ У V аТ у VЬТ у
преобразуем (15) к виду
Гс\
'с 11 с12 Л
V § 21 § 22 ,
где
§11 =
§21 =
'§11 §12 Л ч§21 §22у '§31 §32Л ч§41 §42 у
§12 =
§22 =
V Ь У
'§13
(17)
,14 Л
§23 §24
'§33 §34 Л ,§41 §42 у
Между векторами а, Ь в (17) существует линейная зависимость в виде матрицы Z, которая называется матрицей импеданса:
Ь = Z • а. (18)
Исключая из (17) векторы с, d и преобразуя полученное матричное выражение к форме (18), получаем матрицу импеданса автономного блока:
-1
ъ = (I - о • §1р • О • § 2,
(19)
где I - единичная матрица;
О
V о О у
, §1 =
'§11 §12 л ч§41 §42,
, §2 =
'§13 §14 л ч§43 §44 у
Элементы матриц Q2 , Qт вычисляются следующим образом:
Qk(a )п ~ ^ рпек(а)^а , бк(а)п _ ^ ( еЛ(а) х Еп )^а .
На рис. 2 показан фрагмент рекомпозиции автономных блоков. Составим из клеток многоканальных матриц импеданса ZA и ZB сводную матрицу импеданса Zc:
р 9 1 2 3
р Ърр 0 Zр1 Zр2 0
9 0 Z99 0 0 Z 93
1 Z1р 0 Z11 Z12 0
2 Z 2р 0 Z21 N 0
3 0 Z39 0 0 3 3 N
V"
(20)
У
5 6
7 8
/ '
V А 2 3 г' в
а)
9
10
Р. у
12 3 4
б)
Рис. 2. Рекомпозиция автономных блоков: а - фрагмент гетерогенной структуры; б - декомпозиционная схема фрагмента
Клетки сводной матрицы импеданса ZС, в которых встречаются сочетания индексов, принадлежащих различным блокам, равны нулю. Совокупность индексов 1, 2, ... обозначим через а, тогда выражение (20) можно записать следующим образом:
(21)
На основании (21) в терминах клеточных матриц имеем следующие матричные уравнения:
' Zрр 0
Zc = 0 Z 99 Z 90
оР Z09 Z0о
Ър = ZРРaр + Zр0í
о
Ъ 9 = Z 99 а 9 + Z 90а0;
(22)
Ъа = гоРар
„ і ^-07 . гу00„
ар + Z а 9+ Z ао.
Наложим на уравнение (22) условия связи ар = ау , Ър = Ъу , что соответ-
1 А В zА zВ -^тА -»тВ
ствуют непрерывности функций Рр = Рр , Ур = Ур , Ур = Ур ,
Ер = Ер
на гранях сшивания автономных блоков, и исключим векторы ар, ау, Ър, Ъу. После несложных преобразований получаем матричное выражение для рекомпозиции автономных блоков:
Z = Z00 +1 Zор + Z
гор
гау
',рр _ у 99
-1
гуо _ 7Ро
(23)
С
Метод автономных блоков позволяет строить математические модели различных гетерогенных структурах при их динамическом нагружении. Волновые процессы в регулярных областях гетерогенных структур, связанные с распространением продольных и поперечных упругих волн, описываются собственными волнами каналов Флоке.
Список литературы
1. Голованов, О. А. Автономные блоки с виртуальными каналами Флоке и их применение для решения прикладных задач электродинамики / О. А. Голованов // Радиотехника и электроника. - 2006. - Т. 51, № 12. - С. 1423-1430.
2. Ландау, Л. Д. Механика сплошных сред / Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц. -
М. : Гос. изд. физ.-мат. литер., 1954. - 471 с.
Волчихин Владимир Иванович доктор технических наук, профессор, ректор Пензенского государственного университета
E-mail: [email protected]
Артамонов Дмитрий Владимирович
кандидат технических наук, доцент, директор Межрегионального центра повышения квалификации, Пензенский государственный университет
E-mail: [email protected]
Volchikhin Vladimir Ivanovich Doctor of engineering sciences, professor, rector of Penza State University
Artamonov Dmitry Vladimirovich Candidate of engineering sciences, associate professor, director of Interregional Center of Advanced Staudies,
Penza State University
УДК 535.32 Волчихин, В. И.
Построение математических моделей гетерогенных структур с использованием декомпозиционного подхода / В. И. Волчихин, Д. В. Артамонов // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физикоматематические науки. - 2011. - № 3 (19). - С. 61-68.
