CC BY
42
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион УДК 624.04
Д. В. Артамонов, О. А. Голованов, В. В. Смогунов, А. А. Туманов
МОДЕЛИ ВОЛНОВОЙ ДИНАМИКИ МНОГОСЛОЙНЫХ ГЕТЕРОГЕННЫХ СТРУКТУР
Аннотация. Гетерогенная структура расчленяется условными границами на подобласти в виде прямоугольных параллелепипедов с неоднородным заполнением, которые рассматриваются как автономные блоки, для которых из решения краевых задач определяются дескрипторы - математические описания в виде матриц импеданса или рассеяния. Решение волновой задачи для гетерогенных структур ищется как объединение дескрипторов автономных блоков по правилам, которые следуют из уравнения непрерывности.
Ключевые слова: гетерогенная структура, волновая динамика, диссипативная структура, дескрипторы, уравнение непрерывности..
Abstract. The heterogeneous structure is dismembered by conditional borders on a subarea in the form of rectangular parallelepipeds with non-uniform filling which are considered as independent blocks for which out of regionals problems the solving of descriptors - mathematical descriptions in the form of impedance or dispersion matrixes are defined. The solving of a wave problem for heterogeneous structures is searched as association of descriptors of independent blocks by rules which follow from the continuity equation.
Keywords: the heterogeneous structure, the wave dynamics, the dissipative structures, descriptors, the continuity equation.
Введение
Подавляющее большинство современных природных и искусственных систем составлены из разнородных материалов, выполняют разные функции, связаны различными связями и пр., т.е. являются гетерогенными структурами с дискретно-непрерывной нерегулярной диссипативной схемой слоев.
Большинство проблем разрушения современных сложных систем с гетерогенной структурой связано с недостаточной изученностью волновой динамики многофазных многослойных структур [1, 2].
1 Математическая модель распространения упругих волн в гетерогенных структурах
Математические модели распространения упругих волн в гетерогенных структурах строятся на основе уравнений механики сплошных сред; уравнения движения и неразрывности имеют вид
Эо
Р— = -gradP,
Э (1) ЭР 2Л- - п
----ъ pc divo = 0,
dt
где v - скорости частиц среды; Р - избыточное давление; p - плотность среды; с - скорость упругих волн в сплошной среде.
Гетерогенная структура расчленяется условными границами на подобласти в виде прямоугольных параллелепипедов, которые рассматриваются как автономные блоки (рис. 1). Для автономных блоков из решения дифракционных задач определяются дескрипторы - математические описания в виде матриц импеданса или рассеяния, связывающие амплитуды падающих и отраженных волн на входных сечениях блока. Решение краевой задачи для гетерогенной структуры в целом ищется как объединение дескрипторов автономных блоков по определенным правилам [3], следующим из уравнения непрерывности.
Рис. 1 Автономный блок в виде прямоугольного параллелепипеда с виртуальными каналами Флоке: V) - основная область;
V - неоднородное заполнение
Автономный блок в виде прямоугольного параллелепипеда с виртуальными каналами Флоке (рис. 1) состоит из основной области V), в которой находятся включения V . Область V) имеет энергетические связи с внешним пространством через входные сечения (грани) і^, S2,..., І6, к которым присоединены каналы Флоке. Собственные упругие волны каналов Флоке имеют следующую структуру:
ркф)( хр, ур, гр ) = Рк (Р)( хр, ур )ехр (+/Гк (Р) гр);
^(Р)( хр, Ур, гр) = ((Р)( хр, Ур) ± ^(р)(хр, ур)) ехр ((к (р) )), (2)
к = 1,2,...; р = 1, 2,..., 6, где к - номер мод собственных упругих волн; р - номер входного сечения блока; Р±(р)(хр, Ур, гр) - избыточное давление; ї±(р)(хр,ур, гр) - скорость частиц; Гк(р) - постоянные распространения упругих волн; їк(р)(хр, ур), у|(р)(хр, ур) - поперечная и продольная компоненты скорости частиц; хр, ур, гр - локальные координаты граней параллелепипеда; «+» - прямые волны; «-» - обратные волны.
Избыточное давление и скорость частиц в каналах Флоке можно представить в виде суперпозиции прямых и обратных волн:
Рр ( хр, ур, гр ) = 2 4(Р) Рк+(Р) ( хр, ур, гр ) + ск;(Р) Рк;(Р) ( хр, ур, гр X к =1
ур(хр, ур, гр) = 2 °к{р) ^и:р)( хр, ур, гр) + скф) ук(Р)( хр, ур, гр X (3)
к=1
где ск(р) - амплитуды падающих (прямых) волн; ск(р) - амплитуды отраженных (обратных) волн. На входных сечениях —р (р = 1, 2,..., 6) автономного блока избыточное давление и скорость частиц с учетом (2) имеет следующий вид:
Рр (хр,ур,0) = 2 (Ск(р) к С^(р))Рк(р)(хр, ур), к=1
ур(хр, ур,0) = 2 (ск(Р)к ск"(р))ї^ (р)( хр, ур X к=1
ур (хр, ур,0) = 2 (ск(р)_ ск(р))їт( хр, ур), р=l,2,...,6. (4)
к=1
Обозначим
ак (р)=ск(р)+ck(Р), ьк (р) = ск(р)_ ck(Р), р=1,2, ...,б; к = 1,2,... (5)
Тогда (4) можно записать в виде:
Рр ( хр, ур,0) = 2 ак (Р) Рк (Р)( хР, ур ), к=1
(хр, ур,0)=2 ьк (Р) %)(хр, ур х р=1,2,...л (6)
к=1
Системы функций |р(р)(хр, ур)}, |їк(р)(хр,ур)| ортогональны и нормированы:
| Pk{Р)(r, а) ^Р)^«) • ё ^р = 8Ь, (7)
—Р
где dSр = грё-р, їП(*Р)(хр, ур) = їг(Р)(хр, ур)гр; * - комплексно сопряженная величина; 8к„ - символ Кронекера.
Любое избыточное давление и скорость частиц на входных сечениях —р автономного блока разлагается по ортогональным рядам (6). Пусть такое раз-128
ложение произведено на всех входных сечениях автономного блока, т.е. можно говорить о коэффициентах Фурье а^ (р), Ь^ (р) рядов (6). Объединяя все эти
коэффициенты, составим векторы
а = (a1(1), a2(1),..., a1(2), a2{2),...), b = (b1(1), ^(І)^.^ b1(2), b2(2),...).
(8)
Векторы а и Ь связаны линейной зависимостью (твердая среда включений внутри автономного блока линейна):
а = Z • b
(9)
Матрица импеданса Z является многоканальной многомодовой и имеет строение
Z =
fZ11 Z12 ... Z16 ^
Z 21 z 22 z26
z61 z62 z66
(10)
где
f 7 PY
ZPy =
J11
7 pY 12
7 py 7 py
21 22
, P, Y = 1,2,...,6.
Матрица импеданса а = Z • b связывает между собой коэффициенты bk(P) (P = 1, 2,..., 6; k = 1, 2,...) с коэффициентами ak(p) (P = 1, 2,..., 6; k = 1, 2,...)
в рядах Фурье (6). Пусть все коэффициенты bk (p) равны нулю, кроме одного bn(y) = 1 (у = 1, 2; n = 1, 2,...), тогда коэффициенты ak(p) численно равны элементам матрицы импеданса, т.е. ZjOf = ak(p).
2 Определение дескриптора автономного блока
Сформулируем для гармонических колебаний (P = Pm exp(imt),
v = vm exp(imt)) краевую задачу для определения дескриптора автономного блока. В области V0 автономного блока избыточное давление и скорость частиц удовлетворяют уравнениям
Jimp^m + grad Pm = 0,
I 2 (11)
[imPm + pc divum = 0.
На входных сечениях S1, S2,..., S6 автономного блока избыточное давление и скорость частиц представляется рядами Фурье (6).
Для решения этой краевой задачи используем проекционный метод Га-леркина. В качестве базисных функций используем собственные колебания прямоугольного резонатора, которые определяются из решения следующей краевой задачи:
i “k P0 6k + grad Pk = 0 i “kPk + P0 c 2div 6 k = 0
ЭPk
в V0
(12)
ЭЯ
• = 0 на S,
где п - внешняя нормаль к поверхности ^ .
Решение краевой задачи будем искать в виде рядов Фурье по базисным функциям {Р.} , {V.} (решение краевой задачи (12)):
= У A.
Я=1
P = У B P
т / , ^я* я ■ я=1
(1З)
Прямая подстановка (13) в (11) допустима в том случае, когда операция дифференцирования (точнее, применение операций grad и div) (13) оказывается оправданной. В противном случае прямая подстановка может привести к неверным результатам. Эту трудность можно обойти, выполнив предварительно интегрирование по частям, которое заключается в использовании векторного тождества div9 а = a grad9 + ф diva и формулы Остроградского - Гаусса. Используя интегрирование по частям, получаем следующую проекционную модель:
i ю Г р v • Vfc dV- — Г юк P Pk dV = 0,
J р0 c0 J
V0
V0
Ф0 j “k v • vkdV - іщ j PPkdV + j Pk6Z • dSa = 0
(14)
V0
V0
PC
где V - продольная составляющая вектора V .
Подставляя (13) и (6) в (14), получаем следующую систему линейных алгебраических уравнений:
JL • A + M • B = О,
[N • A + R • B = Q • b,
где L , M, N, R - матрицы с элементами:
Lk. =i “ j p v. • vkdV; Mk. = —— j “k Pn PkdV; J p0 c0 J
V0
V0
^кп ^ Ро I ®к ^ ' Vк ; Ркп ^ ® Г о Р Рк ;
V г Р с
у0 у0
Яи = Г ркЧг*' л5а; к, n, 1 = 1,2,..., я = 1,2,..., ^.
-а
Компонентами векторов А, В являются коэффициенты Ап, Вп рядов (13).
Компонентами вектора Ь являются коэффициенты рядов (6). Представим давление Р на входных сечениях 51, 52,..., —6 автономного блока рядом Фурье (6) и, учитывая нормировку (7), запишем его коэффициенты:
ак(а) = Г Р^!(Р) ' Л-^а . (16)
-а
Подставляя (13) в (16), получаем:
«к(а) = 2Ап I Рп^т 'л5а . (17)
П=1 5а
Пусть все компоненты ^к(р) вектора Ь равны нулю, кроме одного Ьп(у) = 1 (у = 1, 2,..., 6; п = 1, 2,...). Решая систему линейных алгебраических уравнений (15), определяем компоненты Ап, Вп векторов А и В. Подставляя
Ап в (17), получаем значения коэффициентов ак(р), которые численно равны
элементам матрицы импеданса, т.е. Zjар = ак(р).
Заключение
Полученная математическая модель используется в исследованиях процессов, протекающих в сложных многослойных, многофазных гетерогенных структурах при распространении в них упругих волн.
Список литературы
1. Артамонов, Д. В. Системный анализ процессов разрушения дорожного полотна / Д. В. Артамонов, В. В. Смогунов, Р. В. Умрихин, А. И. Вдовикин // Системный анализ, управление и обработка информации : научно-технический сборник статей. - Вып. 1. - Пенза, 2006. - С. 19-26.
2. Смогунов, В. В. Динамика гетерогенных структур. Т. 2. Фундаментальные модели / В. В. Смогунов, И. П. Климинов, О. А. Вдовикина. - Пенза : Изд-во ПензГУ, 2002. - 598 с.
3. Голованов, О. А. Прикладная математика инженера-механика / О. А. Голованов, А. А. Кадыров. - Пенза : ПВАИУ, 1987. - 237 с.
Артамонов Дмитрий Владимирович
кандидат технических наук, доцент, кафедра автономных информационных и управляющих систем, заместитель декана факультета систем управления и информационной безопасности, Пензенский государственный университет
E-mail: dmitrartamon@yandex.ru
Голованов Олег Александрович доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой математики и начертательной геометрии, Пензенский артиллерийский инженерный институт
E-mail: golovanovol@mail.ru
Смогунов Владимир Васильевич доктор технических наук, профессор, заведующий кафедрой теоретической механики и технологии, Пензенский государственный университет
E-mail: penzgu.tmt@inbox.ru
Туманов Антон Александрович кандидат технических наук, профессор, Пензенский артиллерийский инженерный институт
E-mail: tonytumano@gmail.com
Artamonov Dmitry Vladimirovich candidate of engineering sciences, associate professor, sub-department of autonomous informational and control systems, vice-dean of department of information security and control systems,
Penza State University
Golovanov Oleg Alexandrovich Doctor of physico-mathematical sciences, professor, head of sub-department of mathematics and descriptive geometry, Penza State Artillery and Engineering Institute
Smogunov Vladimir Vasilyevich Doctor of engineering sciences, professor, head of sub-department of theoretical mechanics and technology,
Penza State University
Tumanov Anton Alexandrovich Candidate of engineering sciences, professor, Penza State Artillery and Engineering Institute
УДК 624.04 Артамонов, Д. В.
Модели волновой динамики многослойных гетерогенных структур /
Д. В. Артамонов, О. А. Голованов, В. В. Смогунов, А. А. Туманов // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Технические науки. -2009. - № 3 (11). - С. 126-132.
