CC BY
2ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ И
ПРОЦЕССЫ УПРАВЛЕНИЯ N. 2, 2024 Электронный журнал, рег. Эл № ФС77-39410 от 15.04.2010 ISSN 1817-2172
http://diffjournal.spbu.ru/ e-mail: _ [email protected]
Общая теория управления
Декомпозиционный метод модального синтеза при управлении MIMO-системой с обратной связью по производным состояния
I ^ 1 ** 1 ***
Зубов Н. Е1, , Рябченко В. Н.1, , Лапин А. В.1,
1 Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана (МГТУ им.
Н.Э. Баумана)
e-mail:
*
**
***
Аннотация. Разработан метод размещения полюсов в детерминированной линейной динамической MIMO-системе при управлении с обратной связью по производным состояния. В основе метода лежит оригинальная декомпозиция исходной системы с помощью матричных делителей нуля. Метод универсален для непрерывного и дискретного случаев описания MIMO-системы, не имеет ограничений по размерностям векторов состояния и входа MIMO-системы, алгебраической и геометрической кратности задаваемых полюсов, предоставляет возможность аналитического синтеза регуляторов.
Ключевые слова: модальное управление по производным состояния, декомпозиционный метод, размещение полюсов, устойчивость системы, размещение полюсов, непрерывные и дискретные системы.
1. Введение и постановка задачи
Пусть задана детерминированная линейная динамическая MIMO-система (Multi Inputs Multi Outputs System)
D{x(t)} = Ax(t) + fiu(t),
(1)
где "В{х(0} = - для непрерывного и "В{х(0} = х^ + 1) - для дискретного случая
описания МГМО-системы; х(0 - и-мерный вектор состояния, - г-мерный вектор управления.
В качестве закона управления рассматривается обратная связь по производным вектора состояния МГМО-системы [1-4]
и(0 = -Я"О{х(0}. (2)
В результате замыкания обратной связью (2) МШО-сисгема (1) преобразуется к виду *0{х(0} = Лх(0 - ЯК"О{х(0},
(3)
(7П + ЯК)"О{х(0} = Лх(0.
Здесь /п - единичная матрица порядка п.
В дальнейшем считается, что матрица в левой части уравнения (3) (1п + ВК) невырождена (т.е. (3) не относится к классу дескрипторных систем [5, 6]). Тогда вместо (3) можно записать МГМО-систему
■Б{х(0} = (/п + ЯК)-1Лх(0. (4)
Требуется найти такую матрицу К, чтобы замкнутая МГМО-система (4) была асимптотически устойчивой, точнее, гурвицевой в непрерывном, и шуровской - в дискретном случае [7], при этом ее движение обязательно бы имело заданный спектр [2-4]. Под спектром системы (4) понимается множество собственных значений (полюсов) матрицы
(7П + ЯК)-1, (5)
т.е.
+ ДЮ-1Л) = - (7П + В#)-1Л) = 0;/ = 1,...,п}. (6)
2. Решение для непрерывной М1МО-системы
Рассмотрим сначала случай непрерывной МГМО-системы, когда ^{х^)} = х(^. В предположении, что матрица (7П + В^) является невырожденной требуется найти матрицу К в (2), обеспечивающую замкнутой МГМО-системе (4), которая в данном случае принимает вид
х(0 = (/„ + В#)-1Лх(0,
асимптотическую устойчивость и заданный спектр (6).
Из (4) вытекает необходимое условие решения данной задачи в непрерывном случае.
Теорема 1. Для того чтобы непрерывная М1МО-система (1) после замыкания обратной связью (2) имела гурвицеву матрицу (1п + ВК)-1А необходима невырожденность матрицы А или эквивалентно - отсутствие у этой матрицы нулевых собственных значений.
Действительно, если матрица A вырождена, то в силу теоремы Кронеккера - Капелли [7] никакая матрица (In + BK) не может обеспечить невырожденность произведения матриц (5) (эквивалентно - отсутствие нулевых собственных значений в (5)) и, следовательно, асимптотической устойчивости замкнутой системы.
Теорема 2. Для того чтобы непрерывная MMO-система (1) после замыкания обратной связью (2) имела гурвицеву матрицу (In + BK)-1A необходима полная управляемость пары матриц
(А-1, А-1В) (7)
или - более строго - полная управляемость пары матриц
(А, АВ). (8)
Заметим, что из полной управляемости пары (8) следует полная управляемость пары (7), но не наоборот.
Действительно, если выполняется условие полной управляемости пары матриц (8), например, с использованием критерия управляемости Калмана
rank [АВ А2В ... АпВ] = п,
то «автоматически» при невырожденной матрице A выполняются и другие (эквивалентные) условия полной управляемости пары (7), а именно,
rank [В АВ ... Ап-1В]=п, rank [А-1В А-2В ... А-п-2В] = п.
Эти условия можно получить различными способами, например, следующим образом. Ясно, что если обеспечено множество собственных значений (6) и матрица A невырождена, то имеет место равенство
eig{A-1(In + BK)) = \x-1\det(x-1In-А-1(1п + ВК)) = 0;i = 1,...,п}.. (9)
Таким образом, имеет место вспомогательная задача размещения собственных значений у инверсной MIMO-системы
z(t) = A-1(In + BK)z(t), (10)
или в эквивалентном виде
z(t) = A-1z(t) + A-1Bv(t), v(t) = Kz(t). (11)
Очевидно, что для полной управляемости инверсной MIMO-системы в форме (10) или (11) необходимо и достаточно полной управляемости пары матриц (7), или более строго - пары матриц (8).
Отметим следующее: если для MIMO-системы (1) закон управления (2) имеет вид отрицательной обратной связи по производным вектора состояния, то для инверсной системы этот закон преобразуется в положительную обратную связь по вектору состояния (см. уравнение (11)). Однако, этот закон «виртуален», носит вспомогательный характер, и поэтому задача его физической реализации не ставится и, соответственно, не решается.
Итак, если найти решение задачи размещения собственных значений (9) у инверсной MIMO-системы (10), (11), то автоматически будет решена задача размещения собственных значений (6) у MIMO-системы (4) в непрерывном случае ее представления.
Осталось применить разработанный метод размещения полюсов [8-10] для собственных значений (9) и MIMO-системы с парой матриц (7).
Пусть X - некоторая произвольная матрица, X+ - псевдообратная матрица, X1 - левый матричный делитель нуля, которые совместно удовлетворяют условиям регулярности и симметричности [11]:
ХХ+Х = Х, Х+ХХ+ = Х+, XY+ = да+)т, Х+Х = (Х+Х)т, X1* = О, Х1Х1+ = 7.
Введем в рассмотрение следующую многоуровневую декомпозицию MIMO-системы (11):
нулевой уровень декомпозиции
л.о = л-1, в*о=л-1Я; (12)
первый уровень декомпозиции *0 , в *1 в *
(13)
k-й (промежуточный) уровень декомпозиции
Л*£ = BlL-1Л*L-1BlL+-1, B*L =BlL-1-^*L-1B*L-b (14) L—й (конечный) уровень декомпозиции
Л*£ = BlL-1Л*L-1BlL+-1, B*L =BlL-1-^*L-1B*L-b (15)
где L = ceil (j) — 1 (ceil(*) - операция округления числа в сторону большего значения).
Для каждого из уровней приведенной многоуровневой декомпозиции (12) - (15) рассмотрим также матрицы
= So(B+0 — К*!^) — (В+0 — ^*1В10)Л*1; (16)
= S1(B+1 — К*2В11) — (B+L — К*2В11)Л*2 (17)
= — . (19)
По аналогии с [8-10] нетрудно доказать, что в данном случае выполняется следующее тождество для собственных значений:
eig(A*0 + В*0К*0) = (\JLk=0 eig(Sk)). (20)
Таким образом, полагая K = K„0 и в силу доказанных ранее положений, будем иметь тождество
eig((In + ВК)-1А) = (jj eig(S-1)\ = [s-1] = [Ak] (21)
\k=0 /
Это и требовалось получить.
3. Решение для дискретной MIMO-системы
Ясно, что рассмотренный в предыдущем разделе подход справедлив и для случая дискретной MIMO-системы, когда D[x(t)] = x(t + 1). При этом собственные значения (6) следует задавать таким образом, чтобы они лежали внутри единичного круга (но не в нуле), а у MIMO-системы (10), соответственно, вне этого круга, т.е.
eig((In + ВК)-1А) = [Л0 0 < ^ < 1], при этом
eig(A-1(In + ВК)) = [А-1: ¡А-1! > 1}.
В остальном какие-либо отличия в решении задачи отсутствуют.
Остается неисследованным случай, при котором отдельные или все собственные значения замкнутой системы принимают нулевые значения (эквивалентная трактовка связана со снижением ранга матрицы замкнутой MIMO-системы (In + BK)-1A). Ясно, что напрямую воспользоваться изложенным выше подходом нельзя в силу сделанного постулирования обратимости матриц A и (In + BK)-1A.
С другой стороны, из теории матриц хорошо известно [7], что нельзя никакой обратимой матрицей понизить ранг ее сомножителя. Например, если матрица A имеет ранг rank A = m < n, то никакой матрицей (In + BK)-1 нельзя уменьшить этот ранг. Другими словами, нельзя «приписать» матрице замкнутой системы (In + BK)-1A большее количество нулевых собственных значений, нежели то, что присутствует в исходном множестве собственных значений матрицы A.
Следовательно, для системы (3) существует лишь один вариант увеличения числа нулевых собственных значений - преобразование к дескрипторной форме
(In + BK)D[x(t)] = Ax(t), (22)
где матрица (1п + ВК) вырождена, т.е. матрица К выбрана таким образом, что частично или полностью обеспечивает ненулевые (конечные) собственные значения у дескрипторной МГМО-системы (22). Данная задача является самостоятельной и выходит за рамки настоящей работы.
4. Пример синтеза
Рассмотрим применение предложенного подхода в примере, носящем практический характер и соответствующем орбитальной стабилизации космического аппарата (КА) во взаимосвязанных каналах «крен - рысканье». В этом случае модель движения КА как МЕМО-системы имеет следующие матрицы, входящие в систему (1):
А =
В =
0 1 0 0
а21 0 0 а24
0 0 0 1
0 а42 а43 0
00
.10
/х 0
01
0 /у-
(23)
(24)
Предположим, что заданное множество собственных значений замкнутой системы имеет вид
е i#((/n + Btf)-1A) ={Лс1, Яо2, ¿11, ¿12} MW, Sq-1, s-1, s-1}.
(25)
Найдем матрицу К в законе управления (2), обеспечивающего замкнутой системе множество (25) (и соответствующее множество для инверсной системы (10)).
Вычислим первоначально матрицы для модели (12). Они примут вид
А
-1
1 0 - а21
0 1 0 0 ■ -1
а21 0 0 а24 1
0 0 0 1 а42
0 а42 а4з 0 а21
А-1В =
0 10 0
Й21 0 0 Й24 0 0 0 1 0 а42 а43 0
а24 а21
0
0 а42 1
00 |- 1
Ю а21-/х
/х 0 = 0
01 0
0 V - 0
1
а21 0
0
(26)
(27)
Размерность пространства состояний инверсной системы в данном случае кратна количеству входов и превосходит последние в два раза, поэтому для рассматриваемой МЕМО-системы требуется описать лишь нулевой и первый уровни декомпозиции. Нулевой уровень здесь имеет вид
А*о =
0 _L _ 0
^21 а21
10 0 0
^00 —
а21 ^21
0 а42 1 0
(28)
1
1
0
В*о —
1
_ 0
a2iJx 0 0 1
0 aA3Jy 00
(29)
Производя далее соответствующие вычисления, последовательно получим сначала делитель нуля
В
L — [0 0 — к
l _ 10 10 01 0 0 0 iJ
(30)
и псевдообратные матрицы
ßl^ _ |}1Т п+ _ *0 — D *0 ' D *0 —
a2lJx 0 0 0 0 0 а4з1у 0
(31)
затем первый уровень декомпозиции
Л - Dl Л RlT - Г° °1
— в*оЯ*о°*о — [q QJ
1
B*I — В^АноВно —
a2lJx 0
0
1
a43]y.
(32)
(33)
и, наконец, матрицы регуляторов
Кн1 —
Кно —
a2lJxs11 0
0 a43Jys12.
a21^x(s01 + ^^ -Jx(a21s01s11 + Jxa24 0
Jya42 0 a4sJy(s02 + s12) Jy(a43s02s12 + ^
или в другом виде
KH1 —
a2dxÄ 0
хл11
0
а4з1у^12
Кно — К — a21Jx(.^01 +
Jva42
Чх^МЛ-! + 1) JxO-24
0 ^4з1у(^02 + K2)
-Jv(a43Ä0^Ä1^ + 1)
(34)
(35)
0
Непосредственной подстановкой можно убедиться в правильности найденного решения. Как видно, данный синтез никак не отягощается различными условиями по кратности задаваемых полюсов. Так, если в формуле (35) положить все полюса равными друг другу, например, А, то в результате получим регулятор
К =
2 a2l/x
/уа42
-MIM
/ха24 2а4э/у
Я
0
0
у
обеспечивающий заданное требование eig((In + BK) XA) = (А, А, А, А), т.е. множество собственных значений с кратностью 4.
5. Заключение
В статье представлен разработанный метод размещения полюсов в детерминированной линейной динамической MIMO-системе с управлением в виде обратной связи, осуществляемой по производным вектора состояния. В основе метода лежит оригинальная многоуровневая декомпозиция исходной MIMO-системы с помощью орматричных делителей нуля. Метод универсален для непрерывного и дискретного случаев описания MIMO-системы, не имеет ограничений по размерностям векторов состояния и входа MIMO-системы, алгебраической и геометрической кратности задаваемых полюсов, предоставляет возможность аналитического синтеза регуляторов.
Список литературы
[1] Ogata K. Modern Control Engineering. Prentice-Hall. New Jersey. 2002.
[2] Abdelaziz T.H.S., Valasek M. Eigenstructure assignment by state-derivative and partial output-derivative feedback for linear time-invariant control systems // Acta Polytechnica. 2004. No. 4. P. 54-60.
[3] Abdelaziz T.H.S., Valasek M. A direct algorithm for pole placement by state-derivative feedback for multi input linear systems - non singular case // Kybernetika. 2005. V. 41. No. 5. P. 637-660.
[4] Abdelaziz T.H.S. Parametric eigenstructure assignment using state-derivative feedback for linear systems // J. Vibration and Contr. 2012. No. 18. P. 1809-1827.
[5] Dai L. Singular Control Systems. Lecture notes in control and information sciences. SpringVerlag, Berlin. 1989.
[6] Мисриханов М.Ш., Рябченко В.Н. Ленточные критерии и рекурсивные тесты полной управляемости и наблюдаемости линейных алгебро-дифференциальных систем // АиТ. 2008. № 9. С. 44-61.
[7] Bernstein D.S. Matrix mathematics. Princeton Univ. Press. 2009.
[8] Мисриханов М.Ш., Рябченко В.Н. Размещение полюсов в больших динамических системах с многими входами и выходами // ДАН. 2011. Т. 439. № 4. С. 464-466.
[9] Мисриханов М.Ш., Рябченко В.Н. Размещение полюсов при управлении большой энергетической системой // АиТ. 2011. № 10. С. 129-153.
[10] Зубов Н.Е., Микрин Е.А., Мисриханов М.Ш., Рябченко В.Н. Синтез развязывающих законов стабилизации орбитальной ориентации космического аппарата // Изв. РАН. Теория и системы управления. 2012. № 1. С. 92-108.
[11] Зубов Н.Е., Микрин Е.А., Рябченко В.Н. Алгебраические и матричные методы в теории и практике систем автоматического управления летательных аппаратов. М.: Издательство МГТУ им. Н.Э. Баумана. 2015. 666с.
Decompositional method of modal synthesis at controlling a MIMO-system with feedback by state derivatives
1 H< 1 H«!< 1 ***
Zubov N.E.1' , Ryabchenko V.N.1, , Lapin A.V.1, 1 Bauman Moscow State Technical University (Bauman MSTU)
e-mail:
*
**
RyabchenkoVN@yandex .ru
***
Abstract. In this article a method of pole placement in a deterministic linear dynamic MIMO-system at controlling with feedback by state derivatives is developed. The method is based on the special decomposition of the original system by means of semi-orthogonal matrix zero divisors. The method is applicable for both continuous and discrete cases of describing a MIMO-system, has no restrictions on the dimensions of state vector and input vector of the MIMO-system, algebraic and geometric multiplicity of specified poles, provides the possibility of analytical synthesis of controllers.
Key words: modal control by state derivatives, decompositional method, stability of a system, pole placement, continuous and discrete systems.
