CC BY
8Электронный научный журнал "Математическое моделирование, компьютерный и натурный эксперимент в естественных науках" http://mathmod.esrae.ru/ URL статьи: mathmod.esrae.ru/17-60 Ссылка для цитирования этой статьи:
Козел А.Г. Деформированное состояние трёхслойной круговой пластины, связанной с основанием пастернака // Математическое моделирование, компьютерный и натурный эксперимент в естественных науках. 2018. №1
Выполнено при поддержке гранта БР ФФИ_
УДК 539.3
ДЕФОРМИРОВАННОЕ СОСТОЯНИЕ ТРЁХСЛОЙНОЙ КРУГОВОЙ ПЛАСТИНЫ, СВЯЗАННОЙ С ОСНОВАНИЕМ ПАСТЕРНАКА
Козел А.Г.
Белорусский государственный университет транспорта, Беларусь, Гомель,
kostj aschka2009@mail.ru
STRAIN STATE OF THREE-LAYER CIRCULAR PLATE CONNECTED TO THE PASTERNAK'S BASE Kozel A.G.
Belarusian state University of transport, Belarus, Gomel, kostj aschka2009@mail.ru
Аннотация. Предложена математическая модель описания осесимметричного деформирования несимметричной по толщине упругой трёхслойной круговой пластины на основании Пастернака. Соответствующая краевая задача включает систему дифференциальных уравнений равновесия в перемещениях и граничные условия. Общее решение задачи получено в функциях Бесселя. Рассмотрен случай изгиба пластины под действием равномерно распределенной поверхностной нагрузки при жёстком закреплении ее контура. Получены численные результаты и произведён их параметрический анализ.
Ключевые слова: трёхслойная круговая пластина, перемещения, деформации, осесимметричный изгиб, основание Пастернака.
Abstract. A mathematical model of the axisymmetric deformation of steel by the thickness of elastic circular sandwich plates based on Pasternak is suggested. The corresponding boundary value problem system of differential equilibrium equations in displacements and boundary conditions are includes. The general solution is obtained in the Bessel functions. The case of bending the plate under the action of uniformly distributed surface load with rigid fastening of its contour is considered. Numerical results are obtained and their parametric analysis is made.
Keywords: three-layer circular plate, displacement, deformation, axisymmetric bending, Pasternak's base.
Введение. Трёхслойные конструкции, набранные из двух несущих слоев и заполнителя, обеспечивающего их совместную работу, обладают широким спектром конструктивных достоинств. Они способны противостоять тепловым, химическим, радиационным и другим негативным воздействиям. Кроме этого
трёхслойные конструкции, при относительно небольшой массе, имеют высокую несущую способность и изгибную жесткость.
Наметившиеся в последние годы тенденции к использованию композитных слоистых конструкций в машиностроении, авиационной и космической технике, судостроении и строительстве приводят к необходимости разработки теории и эффективных методик их расчёта. Результаты, связанные с колебаниями трехслойных элементов конструкций, в том числе опирающихся на упругое основание, геометрия и движение которых описывается с помощью тех или иных гипотез, изучены в работах [1-9].
Квазистатическое изотермическое и термопластическое деформирование трехслойных стержней и пластин, связанных с упругим основанием Винклера (однопараметрическим) рассмотрено в статьях [10-17]. Математическая модель этого основания учитывает его сжимаемость, но связностью (распределительной способностью) пренебрегает. Поэтому актуально исследование деформирования трёхслойных элементов конструкций, связанных с упругим двухконстантным основанием. Подобная модель основания была введена П.Л. Пастернаком [18].
В работах [19, 20] выведены уравнения равновесия упругой трехслойной круговой пластины, связанной с основанием Пастернака. Здесь приведена постановка краевой задачи об изгибе указанной пластины, получено ее общее аналитическое решение, численно исследован случай воздействия равномерно распределенной нагрузки при жёсткой заделке контура пластины.
1. Постановка задачи
Рассматривается задача об осесимметричном изгибе несимметричной по толщине упругой трехслойной пластины с легким заполнителем на основании Пастернака. В тонких несущих слоях принимаются гипотезы Кирхгофа, в несжимаемом по толщине заполнителе нормаль остается прямолинейной, не изменяет своей длины, но поворачивается на некоторый дополнительный угол ). На контуре пластины предполагается жесткая диафрагма, которая препятствует относительному сдвигу слоев. Постановка задачи и ее решение проводятся в цилиндрической системе координат, связанной со срединной плоскостью заполнителя (рис. 1).
Рис.1
Перпендикулярно верхнему слою пластины действует распределенная нагрузка % (г). Реакция основания описывается моделью Пастернака: дг{ г) = - к0^+^Аю, (1)
где к0, ^ - коэффициенты сжатия и сдвига, А - оператор Лапласа.
Уравнения равновесия в усилиях получены из вариационного принципа Лагранжа:
ь2(аи+а2 =о,
ь2(а2и+а4 а5ю,г)=о,
Ьз(ази+а5у-а6ю,г) = -(% + Чк) , (2)
где запятая в нижнем индексе обозначает операцию дифференцирования по следующей за ней координате; % - интенсивность внешней распределенной нагрузки; ю(г) - прогиб; и(г) - радиальное перемещение координатной плоскости; аи - коэффициенты, определяемые через модули упругости
материалов и геометрические параметры слоев,
з
а1 =Х\К++ , а2 = с( ^ К2), аъ = И- (с+2 И-) к-+-Ь2 (с+- ) К2+,
к=1
а=с2 (^к+++2 ск3+), а=с (с+1 \) к++\(с+- ^) к++2 с2к+, а=\(с2+с\+1 н2) к++^ (с2+с\+1 а? ) к++2 с3к3+,
где Нк - толщина к-го слоя (к = 1,2,3), к+ = кк + 3 °к, к- = кк - | °, Ок, кк -модули сдвига и объёмного деформирования; Ц -линейные дифференциальные операторы
Ь2( § )-Г ^ )
->г
Vг у
■ ё,гг+
§, г §
2 ,
г г
, 2 § ,гг § ,г . §
1 г 2 1 3
г г
Ц3(Я) --(Г12(§)),г - Я,ггг + Г
Краевая задача по определению прогиба рассматриваемой пластины замыкается присоединением к системе дифференциальных уравнений (2) граничных условий на контуре г=Я:
• при жёсткой заделке контура пластины и = у = ю=ю,г;
• при шарнирном опирании контура пластины и = у=0, Мг = 0;
• в случае свободного контура пластины
у=0, Тг =Мг =Мгг = 0. (3)
Здесь внутренние усилия Т, М выражаются через искомые перемещения следующими формулами:
+иК-) + с(К+К - +с(К~х\ - КЛ)-
г г
3
г - кУ ^к
к =1
Г и \
Кг К М =
V
кх с + — 2 у
К2+ К
С + — . 2 у
К~Л
¿1
с + —
, 2 у
Л с
К-¿2
к
с + —
, 2 у
Ж,
г
К+К
К Л г К Л-К2+К2
+
сК++ К
с + —
V 2 у
Л с
+
2
¿2 с + —
, 2 у
и,г +
к-К
¿1
с + —
, 2 у
Л с
- К2 ¿2
¿2 с + —
2 у
¿1
с + —
. 2 у
+ К+ ¿2
V
¿2 с + —
2 у
2
+ 2 сК+
3 3
-,г +
сК1 Нх
¿1
с + —
, 2 у
V
Л У
+сК2—К2
и — +
г
+- с3К" 3 3
— г
г
К+ ¿1
с2 + скх +
и;
2\
г
+к2+К
с + сК_ +
¿2
2 Л
^ /2 Л
2 I К с + сК + -11 3
+КЛ
2 Л
с ^ + сК2 + ^
+ 2 с3К— 3 3
у ж
+ —съК+
33
V
ж —
'гг
¿2 с + —
2 у
+
'г
г
Граничные условия (3) служат для определения констант интегрирования после решения системы (2).
2. Решение краевой задачи
Рассмотрим процедуру решения системы (2) уравнений. С помощью первых двух уравнений системы (2) в третьем уравнении обнуляем коэффициенты перед функциями и и —. В результате приходим к следующим выражениям для радиального перемещения и сдвига через прогиб ж(г), который удовлетворяет дифференциальному уравнению четвертого порядка:
и = Ь1 ж,г +С1г + —, г
С
- = Ь2 м>,г +С3 г + —4,
2 11 1
ж,гггг +-ж,ггг 2 ж,гг + ~ж,г ^/В(ж,гг +-ж,г ) + К0Вж = ,
г г г г
где С\, С2, С3, С4 - константы интегрирования; коэффициенты
(4)
Ь1
= 2~ , Ь2 = 2~ , В
а (аа — аг)
а ^^ а2
(аа — аз )(аа — а2)—(аа — аа)
В связи с ограниченностью предполагаемого решения в начале координат для сплошных пластин необходимо положить С2 = С4 = 0.
Рассмотрим однородное уравнение, соответствующее третьему уравнению в системе (4), и введем в нем замену переменной х=кг:
г
гг
2 1 1 о 2/ 1 ч
Щ,хххх +-Щ,ххх--2 Щ,хх + "7 Щ,х -2/0(Щхх + " Щх ) + W = 0
х х г
или
А2 w - 2 /2 Aw+w=0,
где к4 = к^0, д = д0П, 2/0 = tf1| к2, / = гр.
Общий интеграл третьего дифференциального уравнения в (4) может быть теперь представлен в виде
w=^ + ^ + Щ, (5)
где - частное решение рассматриваемого уравнения, щ и щ -
фундаментальная система частных интегралов, удовлетворяющая однородным уравнениям 1
Щ1х +-Щ1>х +ащ1 = 0 , X
хх +1х +аЩ2 = 0 . X
После ряда преобразований решение уравнения (5) получаем в виде:
щ = (л/Ох)+С6Я(1 (у[ах)+(л/ах)+С8Яд2) х)+щ ,
где J0(^/ax) и J0(^/ax) - функции Бесселя первого рода, нулевого порядка,
комплексных аргументов у[ах и ^ах; Я^л/Ох) и Я^(#х) - функции Ханкеля первого и второго рода, нулевого порядка от тех же аргументов.
3. Изгиб под действием равномерно распределенной нагрузки
Пусть на рассматриваемую пластину действует равномерно распределенная нагрузка интенсивности q0 = const.
Дифференциальное уравнение изгиба такой пластины принимает вид:
A2 w - 2t2 Aw+w=^ = ^, (6)
1 „4
К К0
Общее решение дифференциального уравнения (6) может быть представлено в виде:
щ=СуJ0 (4ах)+С6Яо\4ах)+С^0 (>/0х)+СнЯ(2)(4Ох)+д0, (7)
К0
Таким образом, прогиб в задаче об изгибе равномерно распределенной нагрузкой трехслойной пластины, лежащей на упругом основании Пастернака, определен с точностью до четырёх постоянных интегрирования.
Т.к. прогиб в центре пластины должен быть конечным, а функции Ханкеля
в начале координат уходят в бесконечность, то в решении (7) для сплошных пластин необходимо положить С6 = С8 = 0.
В итоге получаем прогиб пластины w в виде
w = C5 J0 (Vax)+C7 J0 (yfâx)+—,
K
^0
Полное решение поставленной задачи выпишем в общем виде:
и = Ьх ж,г + С\ г, —=Ь2 ж,г +С3 г,
= C5 J0 (sfcx)+C7 J0 (#x)+. (8)
w = C5 J0(V ax)+C7 J0(V ax)+—
K0
Общее решение (8) можно использовать для исследования любого симметричного изгиба трёхслойной круговой пластины, при опирании её на упругом основании. При этом конкретная задача сводится к определению постоянных интегрирования Ç, C3, C5, C7 из соответствующих граничных условий и условий равновесия пластины.
Рассмотрим случай жесткой заделки контура пластины. Тогда должны выполняться первые из граничных условий в (3). В результате получаем линейную систему уравнений 1 ( R)+Q R = 0, Ъ2 w,r (R)+C3R = 0,
C5J0 (4âkR)+CJb (y[âKR) + = 0,
K
0
4аСъЗх (у[акК)(у/йкК) = 0 . (9)
Решив систему уравнений (9) получим следующие константы интегрирования:
с =с =о с = кК)
К (^[акК) /0 (у[акК)—(у[акК) /0 (■\[акК) с =_кК)_
к (у/а (у[акК)У0 (4акК)—(л/ЙкК)^ (кК))
Таким образом, решение (8) с константами интегрирования (10) описывает перемещения в трёхслойной пластине на упругом основании Пастернака в случае заделки её контура при равномерно распределенной нагрузке.
4. Численные результаты.
Численный параметрический анализ проведен для защемлённой по контуру пластины единичного радиуса К=1 м, слои которой набраны из материалов Д16Т-фторопласт-Д16Т [22]. Принимались: величина интенсивности поверхностной нагрузки д0 =—1МПа; толщины слоёв К = К = 0,04 м, К = 0,4 м. Отношение коэффициентов, описывающих жесткость основания, принималось к0 < 1, согласно рекомендациям Пастернака [9]. Градация оснований по жесткости в дальнейшем принята следующая [10]: при
к0 < 30 МПа/м - основания малой жесткости (легкие); 30 <к0 < 650 МПа/м -основания средней жесткости; к0 > 650 МПа/м - основания высокой жесткости.
В случае легкого основания (к0 = 5 МПа/м) на рисунке 2 а, б показано изменение прогиба щ и сдвига в заполнителе у вдоль радиуса рассматриваемой трехслойной пластины при различных коэффициентах сдвига основания ^, МПам: 1 - // = 0, 2 - /у = 0,1, 3 - ^ =1 .При значениях коэффициента сдвига /у < 0,1 МПа м его влияние на перемещения в пластине не превышают 2,5 % и в инженерных расчетах это можно не учитывать.
Рис.2
На рисунке 3 а, б показано изменение прогиба щ и сдвига в заполнителе у вдоль радиуса рассматриваемой пластины при основании средней жёсткости (к =100 МПа/м) и различных коэффициентах сдвига основания ^, МПам: 1 -// = 0, 2 -^ =1, 3 - ^ =10. С ростом коэффициента г/ уменьшается прогиб пластины и сдвиг в заполнителе. Здесь также при малых значениях ^ < 0,1МПам изменения не существенные и сдвиговой деформацией основания можно пренебречь. При увеличении коэффициента сдвига до 1МПам прогиб уменьшается на 5 %, в случае ^ =10 МПа м прогиб уменьшается на 37%. Аналогично ведёт себя сдвиг в заполнителе.
а) О 0,2 0,4 0,6 0,8 г, м 1,0 б)
0 0,2 0,4 0,6 0,8 г, м 1,0
Рис. 3
Следует отметить, что при применении модели основания Винклера решение аналогичной краевой задачи получено в функциях Кельвина [10]. При использовании модели Пастернака этот случай соответствует решению в функциях Бесселя с коэффициентом сдвига основания tf = 0. Были проведены соответствующие сравнительные расчеты по этим обоим решениям: в функциях Кельвина и в функциях Бесселя при tf = 0. Полученные численные результаты в обоих случаях совпали с точностью до 12-го знака при различных значениях коэффициента сжатия к0. Следовательно, несмотря на то, что аналитические решения для перемещений в пластине на основаниях Винклера и Пастернака имеют различный вид и получены в функциях Кельвина и Бесселя соответственно, совпадение численных результатов при tf =0 подтверждают преемственность моделей.
Выводы. Предложенная математическая модель и полученное аналитическое решение краевой задачи позволяют исследовать НДС несимметричной по толщине упругой трёхслойной круговой пластины при изгибе на основании Пастернака при любых осесимметричных нагрузках и граничных условиях.
Работа выполнена при финансовой поддержке БР ФФИ.
Литература
1. Могилевич Л.И., Попов В.С., Старовойтов Э.И. Гидроупругость виброопоры с трехслойной круглой упругой пластиной с несжимаемым заполнителем // Наука и техника транспорта. 2006. № 2. С. 56-63.
2. Starovoitov E.I., Leonenko D.V., Yarovaya A.V. Circular sandwich plates under local impulsive loads // International Applied Mechanics. 2003. Т. 39. № 8. P. 945-952.
3. Горшков А.Г., Старовойтов Э.И., Леоненко Д.В. Колебания трехслойных стержней под действием локальных нагрузок различных форм // Экологический вестник научных центров Черноморского экономического сотрудничества. 2004. № 1. С. 45-52.
4. Starovoitov E.I., Leonenko D.V., Yarovaya A.V. Vibration of sandwich rod under local and impulsive forces // International Applied Mechanics. 2005. Vol. 41. N. P. 809-816.
5. Starovoitov E.I., Kubenko V.D., Tarlakovskii D.V. Vibrations of circular sandwich plates connected with an elastic foundation // Russian Aeronautics. 2009. Vol. 52. N 2. P. 151-157.
6. Starovoitov E.I., Leonenko D.V. Impact of thermal and ionizing radiation on a circular sandwich plate on an elastic foundation // International Applied Mechanics. 2011. Vol. 47, N. 5. P. 580-589.
7. Leonenko D.V., Starovoitov E.I. Thermal impact on a circular sandwich plate on an elastic foundation // Mechanics of Solids. 2012. Vol. 47, N. 1. P. 111-118.
8. Kuznetsova E.L., Leonenko D.V., Starovoitov E.I. Natural vibrations of three-layer circular cylindrical shells in an elastic medium // Mechanics of Solids. 2015. Vol. 50, N. 3. P. 359-366.
9. Горшков А.Г., Старовойтов Э.И., Яровая А.В. Гармоническое нагружение слоистых вязкоупругопластических систем // Изв РАН. МТТ. 2000, № 6, С. 91-98.
10. Старовойтов, Э.И. Деформирование трехслойных элементов конструкций на упругом основании / Э. И. Старовойтов, А. В. Яровая, Д. В. Леоненко - Москва: ФИЗМАТЛИТ, 2006. 380 с.
11. Горшков А.Г., Старовойтов Э.И., Яровая А.В., Леоненко Д.В. Деформирование круговой трехслойной пластины на упругом основании // Экологический вестник научных центров Черноморского экономического сотрудничества. 2005. № 1. С. 16-22.
12. Starovoitov E.I., Leonenko D.V., Yarovaya A.V. Elastoplastic bending of a sandwich bar on an elastic foundation // International Applied Mechanics. 2007. Vol. 43, N 4. P. 451-459.
13. Leonenko D.V., Starovoitov E.I. Thermoplastic strain of circular sandwich plates on an elastic base // Mechanics of Solids. 2009. Vol. 44, N. 5. P. 744-755.
14. Старовойтов Э.И., Доровская Е.П. Изгиб прямоугольной трехслойной пластины на упругом основании // Проблемы машиностроения и автоматизации. 2006. № 3. С. 45-50.
15. Старовойтов Э.И., Леоненко Д.В., Сулейман М. Термоупругий изгиб кольцевой трехслойной пластины на упругом основании // Экологический вестник научных центров Черноморского экономического сотрудничества. -2006. № 4. С. 55-62.
16. Старовойтов Э.И. Упругопластическое деформирование трехслойных стержней в температурном поле // Проблемы машиностроения и автоматизации. 2012. № 3.С. 91-99.
17. Старовойтов, Э. И. О переменном нагружении вязкопластических трехслойных пологих оболочек // Вестник МГУ. Сер. 1. Мат. Мех. 1980. № 2. С. 92-96.
18. Пастернак П.Л. Основы нового метода расчёта фундаментов на упругом основании при помощи двух коэффициентов постели. М.: Гос. Изд-во литературы по строительству и архитектуре. - 1954. - 55 с.
19. Козел, А.Г. Математическая модель деформирования круговой трёхслойной пластины на основании Пастернака / А.Г. Козел // Проблемы физики, математики и техники. - Гомель: ГГУ им. Ф.Скорины. - 2017. - № 1(30). - С. 42-46.
20. Козел, А.Г. Перемещения в круговой трехслойной пластине на двухпараметрическом основании / А.Г. Козел // Механика. Исследования и инновации. - 2017. - Вып. 10. - С. 90-95.
21. Власов, В.З. Балки, плиты, оболочки на упругом основании / В.З. Власов, Н.Н. Леонтьев. — М.: Гос. изд-во физ.-мат. лит-ры, 1960. - С. 226-235.
22. Старовойтов, Э. И. К описанию термомеханических свойств некоторых конструкционных материалов / Э. И. Старовойтов // Пробл. прочности. 1988. № 4. С. 11-15.
